O Laboratório de Matemática como um espaço epistemológico

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA TURMA – PDE /2014

TÍTULO: O Laboratório de Matemática como um espaço epistemológico Autor Disciplina/Área (ingresso no PDE)

Rosilene Sprot dos Santos Poluha

Matemática Escola de implementação do projeto e sua localização Município da escola Núcleo Regional de Educação Orientador

Núcleo Regional de Educação de Pitanga Pitanga/PR Pitanga/PR Pitanga/PR Profª. Ms. Maria Regina Carvalho Macieira Lopes

Instituição de Ensino UNICENTRO Superior Guarapuava/PR Produção Didático- Unidade Didática Pedagógica Público alvo Professores de Matemática Localização Núcleo Regional de Educação de Pitanga Apresentação A presente produção didática tem como principal objetivo desenvolver atividades de Laboratório de Matemática, de cunho investigativo, utilizando materiais manipuláveis junto aos professores da rede estadual de ensino. Para o desenvolvimento deste trabalho, realizou-se uma pesquisa bibliográfica, em livros e artigos científicos, com a finalidade de investigar e compreender de que forma o uso dos materiais didáticos manipuláveis pode intervir no processo de ensino aprendizagem da matemática, tendo em vista que estes proporcionam aos alunos maior interesse pelos conteúdos estudados. Nessa proposta, o professor deverá atuar como um mediador na construção do conhecimento matemático, orientando o aluno a realizar uma ação reflexiva sobre MD durante a atividade experimental. O tema é pertinente porque nota-se a pouca utilização de materiais didáticos nas escolas junto aos professores da rede estadual de ensino de Matemática do Núcleo de Pitanga. Pensamos que se promovermos um ensino de Matemática no qual o educando seja sujeito ativo no processo, mais claro, coerente e significativo será seu aprendizado. Palavras-chave Laboratório de Matemática; Ensino Médio; professores;

APRESENTAÇÃO

Esta Unidade Didática está sendo desenvolvida para cumprir uma das exigências do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que busca a reflexão e estudo dos professores da Rede Estadual de Ensino do Paraná. Segundo a DCE (2008, p. 45) na tendência histórico-crítica: A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios.

Essa unidade didática foi elaborada, procurando atender o suposto acima e tendo como referencia a necessidade de buscar formas alternativas, que possam auxiliar os professores de maneira a significar à aprendizagem, pois entendemos que os conteúdos na Matemática exigem que o aluno abstraia, faça conjecturas e raciocine, baseados apenas em hipóteses e regras que lhe são ensinadas, de forma desconexa da realidade. Portanto, entendemos que se promovermos um ensino de Matemática no qual o educando seja sujeito ativo no processo, mais claro, coerente e significativo será seu aprendizado. Nessa perspectiva entraram os materiais didáticos manipuláveis, que são recursos auxiliares no processo natural de aprendizagem, cujo objetivo é motivar e estimular o aluno, de forma a aumentar a quantidade e a qualidade de seus conhecimentos. Necessitam, porém que estejam relacionados a situações significativas que provoquem a reflexão dos alunos sobre as ações desencadeadas. Turrioni e Perez (2006, p.61) acreditam que o uso de material concreto tem um papel relevante na aprendizagem em matemática, pois “facilita a observação e a análise, desenvolve o raciocínio lógico, crítico e científico, é fundamental para o ensino experimental e é excelente para auxiliar o aluno na construção de seus conhecimentos”. Lorenzato (2006, p.34) reforça:

Se for verdadeiro que ninguém “ama o que não conhece”, então fica explicado porque tantos alunos não gostam de matemática, pois se a eles não foi dado conhecer a matemática, como podem vir a admirála? No entanto, com o auxílio de MD, o professor pode, se empregálo corretamente, conseguir uma aprendizagem com compreensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o risco de serem criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à matemática, como a dela ser ela uma disciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, e outras semelhantes. Outra consequência provável se refere ao ambiente predominante durante as aulas de matemática, onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos pela satisfação, pela alegria ou pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será o aumento da autoconfiança e a melhoria da auto-imagem do aluno.

Os argumentos para utilização de materiais didáticos no ensino da matemática são amplos vão para além do ensino fundamental. Muitas vezes, pensa-se que é apenas numa determinada faixa escolar que é necessárias intervenções lúdicas, concretas, porque a partir daí o aluno já domina conceitos elementares da matemática. Porém, apesar da capacidade de abstração se fortalecer com o passar dos anos e de operar com símbolos matemáticos de forma mais adequada, muitos conceitos são mais facilmente absolvidos, assimilados quando investigados, explorados por meio da utilização de materiais didáticos. É importante destacar que na utilização de materiais didáticos para haver bons resultados na aprendizagem, é fundamental o professor ter em mente os objetivos a serem alcançados por meio de cada atividade planejada. Sendo assim, foram realizadas algumas considerações sobre o uso do LEM na aprendizagem da Matemática e sua contribuição na identificação dos obstáculos epistemológicos e didáticos. A implementação da unidade didática será realizada junto aos professores da rede estadual do município de Pitanga, por meio de um minicurso. O objetivo é construir e aprender a utilizar materiais didáticos no Ensino Médio visando explorar os conteúdos: Trigonometria, Geometria Analítica, Cônicas, entre outros conteúdos. .

Para a apresentação dos materiais, teremos a explanação dos objetivos do uso de cada um, acompanhado de seus conteúdos e seu correto manuseio e aplicabilidade. Isto será muito importante para que o professor participante não seja um mero ouvinte, e sim participe de todo o processo. Observa-se ainda que a prática de utilizar materiais didáticos não é objetivo a ser atingido em curto prazo, ou seja, ele exigirá constante complementação, bem como, exigirá que o professor mantenha-se sempre atualizado. Enfatiza-se que essa unidade didática está sendo elaborado com objetivo de auxiliar os professores da Rede de Ensino do Estado do Paraná a trabalharem com o Laboratório de Ensino da Matemática como uma alternativa pedagógica.

Temática 1

Estudo das Cônicas no cone reto Conteúdo Estruturante: Geometria Conteúdo Básico: Geometria Analítica Objetivos:  Reconhecer a figura que se forma quando o plano que secciona um cone reto for paralelo, oblíquo ou perpendicular a sua base; 

Estimular o estudo das cônicas;



Facilitar o entendimento do conteúdo, utilizando materiais concretos.

Série: 3º ano – Ensino Médio

Um pouco de história

Segundo Smole e Diniz, por volta do ano 200 a.C., o matemático grego Apolônio deixou registrado o primeiro estudo sobre as propriedades da elipse, da hipérbole e da parábola em seu célebre trabalho As cônicas. Apolônio chamou de cônicas as curvas que podem ser obtidas quando um plano secciona uma superfície cônica dupla. Sob tal enfoque, Sato, comenta que Apolônio estudou as cônicas pelo simples prazer de pesquisar, por curiosidade científica . A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria de 127-151 d.C.. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de projeção e transformações estereográficas. Este estudo faz uso de um Teorema de Apolônio que diz que todo cone oblíquo tem duas famílias de seções circulares. As Cônicas de Apolônio também tiveram forte influência nos estudos de Kepler. O interesse de Kepler pelas cônicas surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. Em 1.609, Kepler edita a

Astronomia Nova, onde apresenta a principal lei da astronomia: "os planetas descrevem órbitas em torno do Sol, com o Sol ocupando um dos focos". A propósito, a palavra foco é devida a Kepler e provém da forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira. Outra aplicação prática das cônicas aparece na obra de Galileu (1.632), onde "desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola". Galileu se reporta à componente horizontal e à componente vertical de uma parábola. Foi a Matemática pura de Apolônio que permitiu, cerca de 1.800 anos mais tarde, os "Principia” de Sir Isaac Newton. A lei da gravitação de Newton matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos no espaço, este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem de ida e volta à Lua fosse possível. Curiosidades...

Pesquisas de físicos, astrônomos e projetistas vem mostrando aplicações do estudo de Apolônio no mundo em que vivemos. A elipse, por exemplo, está associada à órbita dos planetas em torno do Sol, à geometria do Coliseu de Roma.

Figura 1 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/images/coliseuroma.gif

Em nosso dia a dia, as hipérboles podem aparecer, por exemplo, a partir da luz de um abajur, como na figura 2.

Figura 2 http://moquecacanadense.files.wordpress.com/2012/10/20121023-232557.jpg

Há casos em que poderá ser descrita uma parábola: no jato de água, conforme ângulo empregado, no arco-íris, no lançamento oblíquo de uma bola, de um projétil ou de uma pedra na atmosfera terrestre.

Figura 3 Foto: Margarete Sprot

Também as antenas parabólicas, os faróis parabólicos de um automóvel, o cabo de suspensão de uma ponte, são exemplos de parábolas.

Figura 4 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/images/antena.jpg

Figura 5 Fotos da ponte: Luciana Kelnihar

Figura 6

Conta-se uma lenda que:

“Arquimedes, durante o cerco de Siracusa, conseguiu incendiar naves romanas usando uns misteriosos espelhos, chamados “ustórios”, que enchiam de pavor os sitiantes e os punham em fuga. Arquimedes já conhecendo as propriedades das cônicas, recorreu a um, ou vários espelhos parabólicos colocados de modo a concentrar os raios de Sol refletidos num só ponto, desviando-o depois para uma galera romana que começava a arder em chamas.” Fonte: http://www.ebah.co.br/content/ABAAAesbYAB/conicas-historia-apresentacaoaplicacoes?part=2. Acessado em 03/10/2014

Você sabia que ...???

 ... som emitido por um avião a jato supersônico tem a forma de um cone? Além do que, ao chocar com a Terra vai formar uma curva cônica. Assim, dependendo da inclinação do avião em relação a Terra, vamos obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este fato, entre outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a barreira do som.

 ...a superfície formada pela água dentro de um copo é elíptica? Ela será circular apenas no caso em que o copo está exatamente na vertical, isto é, a superfície da água está alinhada com o nível, na horizontal. Se girarmos o copo com um movimento rotativo sobre si próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um parabolóide. Esta técnica é frequentemente usada para se obter este tipo de superfície.  ... no estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas dos elétrons em torno do núcleo são elípticas? Logo após Bohr enunciar seu modelo atômico verificou-se que um elétron, numa mesma camada, apresentava energias diferentes. Como poderia ser possível se as órbitas fossem circulares? Sommerfild sugeriu que as órbitas fossem elípticas, pois em uma elipse há diferentes excentricidades (distância do centro), gerando energias diferentes para uma mesma camada.

O elétron descreve órbita elíptica, de acordo com Sommerfeld. https://www.algosobre.com.br/fisica/modelos-atomicos.html

 ... existe em certos museus americanos de ciência e nos castelos de alguns monarcas europeus excêntricos as “salas de sussurros”? As salas de sussurros são construções de forma oval, onde estão marcados dois pontos no chão. Duas pessoas em pé, uma em cada um desses pontos, podem se comunicar em voz sussurrada, inaudível no restante da sala. Isso também decorre da propriedade refletora da elipse.

 ... os holofotes dos dentistas são elípticos? Para cuidar do sorriso dos pacientes, muitos dentistas usam uma luminária com espelho elíptico que possui a propriedade de concentrar os raios luminosos em um ponto, que é ajustado pelo dentista para iluminar o dente que está sendo tratado. Conseguem-se, assim, duas vantagens: A primeira é concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando, e a segunda é evitar que os raios luminosos ofusquem o paciente, o que aumentaria o desconforto causado pelo tratamento dentário.

Para saber mais sobre essas e outras curiosidades pesquise em:  http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo4/complementos/elip se_sussurros1.pdf  http://clubes.obmep.org.br/blog/video-5/ A

apresentação

do

detalhamento

do

diálogo

com

o

aluno

é

intencional e pode ser útil como auxílio ao professor (a) a fim de exemplificar estratégias em como levar o aprendiz a visualizar as condições gráficas dos conceitos e relações envolvidos, a analisar suas propriedades e organizá-las, de maneira informal.

Atividades

1.1 Confecção de um Cone reto e suas secções

Sugestão 1: Cone produzido com sabão caseiro Desenvolvimento da atividade Sabendo também da responsabilidade que temos de proteger o meio ambiente e da problemática do reaproveitamento do óleo de cozinha,

propomos que seja aproveitado tal resíduo na fabricação de sabão em forma de cone. Utilizando uma receita de sabão em pedra, confeccionar quatro cones (receita

em

anexo)

para

cada

grupo.

Aumentar

números

conforme

necessidade. DICA: solicitar a ajuda do professor da disciplina de química na confecção do sabão.

OBS.: É necessário um tempo de espera, em torno de 2 dias, para que o sabão fique pronto para uso.

Após a confecção dos cones de sabão prosseguir com a atividade.  Participantes: Grupos de 4 alunos.  Materiais: 4 cones retos de sabão caseiro, estilete, almofada e tinta para carimbo.  Procedimentos: Com um estilete seccionar os cones das seguintes maneiras: 

No primeiro cone, um corte plano horizontal à base (fig.8 e 9);



No mesmo cone, um outro corte mas agora plano e inclinado sem cortar a base (fig. 10 e 11);



No segundo cone, um corte plano inclinado e paralelo a uma geratriz do cone (fig. 12 e 13);



Sobreponha os dois cones restantes, de forma que seus vértices se encostem e faça um corte paralelo ao seu eixo (fig. 14);

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 13

Figura 12

Figura 14

Fotos: Luciana Kelnihar



Após seccionar os cones, cada grupo deverá apresentar seu trabalho aos demais, explicando a relação existente entre cada secção e a base considerada. OBS.:

 Quando for aplicar na turma orientar e monitorar o uso do instrumento cortante pelos alunos;

 Não se esquecer de limpar o local dos resíduos gerados.

Colocando em prática... Depois da confecção dos cones de sabão e de fazer as secções, dar prosseguimento às seguintes atividades: Circunferência 

Coloque uma folha de papel em branco sobre o papelão, fixe um percevejo mais ou menos no centro da folha e chame este ponto de C.



No percevejo, prenda uma das pontas de um pedaço de barbante, de forma que, quando o esticar, a outra ponta não saia da folha.



Amarre o lápis na outra ponta do barbante e desloque-o sobre o papel partindo de um ponto e retornando até ele, de modo a manter o barbante bem esticado ao traçar uma curva.



Troque o barbante que você utilizou por um pedaço menor e repita os itens anteriores.



Questionamentos:

a) Qual é a forma dessa última curva? Esta é parecida com a anterior? Em que essas curvas são parecidas e em que são diferentes? b) Qual corte do Conjunto de Cortes do Cone tem a forma parecida com a da curva que você desenhou? c) Pegue a peça que corresponde ao corte do cone, molhe a parte emborrachada com tinta de carimbo e carimbe-a sobre uma folha de papel. A curva carimbada é parecida com as curvas que você desenhou anteriormente? Explicando.... ... as curvas obtidas são representações de uma circunferência.

Elipse 

Aproximadamente no centro da folha de papel-vegetal desenhe uma circunferência.



Marque um ponto P qualquer no interior dessa circunferência.



Dobre a folha de tal maneira que o ponto P coincida com um ponto da linha da circunferência. Faça um vinco sobre essa dobra a fim de melhorar sua percepção. (a linha da circunferência deve passar sobre o ponto).

Luciana Kelnihar Luciana Kelnihar

Figura 15

Figura 16

 Repita o procedimento, pelo menos 50 vezes, para pontos diferentes da linha da circunferência.  Passe o lápis sobre as partes das dobras onde elas parecem formar uma curva.  Questionamentos: a) Qual corte do Conjunto de Cortes do Cone é parecido com a curva que você obteve com as dobraduras? b) Se o seu grupo comparar as curvas obtidas nos outros grupos, levando em consideração que foram obtidas circunferências de raios diferentes e outros pontos, obterá uma curva com a forma parecida com a obtida anteriormente? c) Você saberia dizer em que as curvas formadas são parecidas? Em que elas se diferem? Explicando.... ... a curva obtida é a representação da figura geométrica chamada de elipse. Percebe-se que, nas dobraduras com papel-vegetal, mesmo quando se faz uso de outra circunferência e de outros pontos, as retas continuam a formar curvas com a forma de elipses. Observa-se que a construção da forma elíptica se dá por meio da obtenção de um emaranhado de linhas retas que “criam” a curva.

Outra forma de construir elipse... 

Colocar uma folha de papel sulfite sobre um papelão grosso;



Fixam dois alfinetes com cabeça sobre a folha sulfite disposta no

papelão a uma distância qualquer (porém maior do que zero) um do outro; 

Amarram-se as extremidades de um barbante (comprimento maior do que a distância escolhida para os alfinetes, considerando o tamanho da folha sulfite) nesses dois alfinetes;



Com lápis, estica-se o barbante ao máximo e, tocando sua ponta na folha sulfite, descreve-se uma linha, dando uma volta inteira.

Figura 17

Figura 18

 Questionamentos a) Observe a curva que foi desenhada, você já viu a forma desta curva antes? Você sabe qual o nome dela? b) Troque o pedaço de barbante por um menor. Repita o procedimento anterior. Qual curva foi formada? Esta forma curva é parecida com a anterior? Em que são parecidas e em que são diferentes essas formas? c) Qual corte do Conjunto de Cortes do Cone tem a forma parecida com a dessa curva? d) Pegue a peça que corresponde ao corte do cone, molhe a parte seccionada com tinta de carimbo e carimbe-a sobre a folha de papel. A forma curva carimbada é parecida com as curvas que você desenhou? Explicando.... ... as curvas desenhadas são representações de figura geométrica chamada de elipse e os pontos onde foram fixados os alfinetes são chamados de focos da elipse. A elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante. Observe que nessa atividade a soma das distâncias de um ponto da elipse aos focos é igual à medida do comprimento do barbante.

Parábola 

Dobre o papel-vegetal de forma a ter um segmento de reta, e chame-o de r.



Marque um ponto F qualquer fora de r.



Com caneta hidrocor, pinte r e o ponto F.



Agora, posicione o ponto F sobre r, dobre e vinque o papel.



Repita o procedimento acima para pontos em diferentes posições de r. Faça isso, pelo menos 30 vezes.



Passe o lápis sobre as partes das dobras onde elas parecem formar uma curva.

Luciana Kelnihar Figura 19



Questionamentos: a) Qual corte do Conjunto de Cortes do Cone é parecido com a curva que você obteve com as dobraduras? b) Se você utilizar um outro segmento de reta e outros pontos diferentes os anteriores, acha que irá obter uma curva parecida com a anterior? Tente fazer isso em outra folha de papel vegetal. c) Você saberia dizer se as curvas assim formadas pelas retas são sempre parecidas? Em que elas se parecem e em que elas se diferem?

Explicando....

... a figura obtida é a representação de uma parábola, o ponto F é chamado de foco da parábola e a reta r chamada de diretriz. Percebe-se que, nas dobraduras com papel vegetal, mesmo quando se faz uso de segmentos de retas diferentes e de outros pontos, as retas continuam a formar curvas com a forma de parábolas. A forma parabólica aparece a partir de um emaranhado de linhas retas que a “criam”. A parábola é, portanto, a curva envolvente dessas linhas retas.

Outra forma de construir parábola: partindo do foco da parábola...  Colocar uma folha de papel sulfite sobre um papelão grosso;  Com o lápis, marque um ponto e um segmento de reta, chame o ponto de F e o segmento de d. 

Coloque o esquadro do Aparelho para Desenhar Cônicas sobre o papel de maneira que este fique do mesmo lado da reta d em que está o ponto F, como mostra foto ao lado. Luciana Kelnihar

Figura 20



Com fita adesiva e sobre a ponta livre do esquadro prenda um pedaço de barbante de comprimento igual à distância dessa ponta à reta d. Com o auxílio de um percevejo, prenda o barbante, no ponto F.

Luciana Kelnihar



Figura 21

Luciana Kelnihar

Figura 22

Com a ponta do lápis mantenha o barbante bem esticado e encostado no esquadro. Deslize o Aparelho sobre a Prancheta de Apoio, mantendo sua borda sobre a reta d, e trace uma curva.

 Questionamentos: a) Você já viu uma forma geométrica como o desta curva antes? Você sabe o nome dela? b) Qual corte do Conjunto de Cortes do Cone tem uma forma parecida com a dessa curva? c) Pegue a peça que corresponde ao corte do cone, molhe a parte emborrachada com tinta de carimbo e carimbe-a sobre uma folha de papel. A forma da curva carimbada é parecida com as das curvas que você desenhou? Explicando....

... as curvas obtidas são representações de uma parábola, o ponto F é chamado de foco da parábola e a reta d chamada de diretriz. A parábola é o lugar geométrico dos pontos cuja distância à diretriz é igual à distância ao foco.

Hipérbole 

Mais ou menos no centro da folha de papel-vegetal, desenhe uma circunferência.



Marque um ponto P qualquer no exterior dessa circunferência.



Dobre a folha de tal maneira que o ponto P coincida com um ponto da circunferência.



Faça um vinco sobre essa dobra a fim de melhorar sua percepção.



Repita as duas ações anteriores pelo menos pelo menos 50 vezes para pontos diferentes da circunferência.



Passe o lápis sobre as partes das dobras onde elas parecem formar uma curva.



Questionamentos:

a) Qual corte do Conjunto de Cortes do Cone é parecido com a forma da curva que você obteve com as dobraduras? b) Se você utilizar outra circunferência e outro ponto, diferente dos anteriores obterá uma forma curva parecida com a anterior?

c) Você saberia dizer se as curvas formadas são parecidas? Em que elas se parecem e em que se diferem? Explicando....

... a curva obtida é a representação de uma hipérbole. Percebe-se que, nas dobraduras com papel vegetal, mesmo fazendo uso de circunferências diferentes e outros pontos no exterior da mesma, as retas continuam a formar hipérboles. A forma hiperbólica aparece a partir de um emaranhado de linhas retas que a “criam”. A hipérbole é, portanto, a curva envolvente dessas linhas retas.

Outra forma de construir a hipérbole ...

Para essa atividade será necessária confeccionar uma tira de papel para desenhar cônicas. 

Materiais: papel-cartão colorido, furador de papel, cola, tesoura.



Procedimento:



Recorte duas tiras de papel-cartão de tamanho 15 cm x 3 cm e cole-as uma na outra. Com o furador de papel, faça dois furos na tira, um em cada extremidade, como mostra o esquema. 1,5 cm 3 cm 15 cm

Figura 23

OBS.: Deixe de lado a tira confeccionada, pois a mesma será utilizada posteriormente.



Colocar uma folha de papel sulfite sobre um papelão grosso;



Trace duas retas perpendiculares, tais que, o ponto de interseção esteja aproximadamente no centro da folha. Nomeie-as de x e y.



Marque dois pontos na reta x de maneira que sejam simétricos em relação à y. Chame-os de F1 e F2.



Coloque um percevejo em um dos furos da Tira de Papel para Desenhar Cônicas e prenda-o no ponto F1.



Pegue um pedaço de barbante de comprimento menor que 15 cm e amarre-o no outro furo da Tira de Papel para Desenhar Cônicas.



Amarre um percevejo na outra ponta do barbante e prenda-o no ponto F2.



Com o lápis, estique o barbante de modo a encostá-lo na Tira de Papel e a movimente em torno de F1, mantendo a ponta do lápis encostada na folha de papel e o barbante esticado. Pare quando o lápis chegar ao final do barbante.



Agora coloque um percevejo em um dos furos da Tira de Papel para Desenhar Cônicas e prenda-o no ponto F2.



Amarre um percevejo na outra ponta do barbante e prenda-o no ponto F1.



Com o lápis, estique o barbante de modo a encostá-lo na Tira de Papel e a movimente em torno de F 2, mantendo a ponta do lápis encostada na folha de papel e o barbante esticado. Pare quando o lápis chegar ao final do barbante. Observe as fotos:

Figura 24

Figura 25

Figura 23

Figura 27

Figura 28

Questionamentos: a) O que você pode observar? Você já viu alguma curva parecida com esta? Você sabe o nome dela? b) No conjunto de corte do cone existe algum corte parecido com essa curva? c) Pegue a peça que corresponde ao corte do cone, molhe a parte emborrachada com tinta de carimbo e carimbe-a sobre a folha de papel. A curva carimbada é parecida com as curvas que você desenhou? Explicando....

... as curvas obtidas são representações de uma hipérbole.Os pontos F1 e F2 são chamados de focos da hipérbole. Percebe-se que a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias aos focos constante. Sugestão 2: éCone produzido com recortes de Acetato e com linhas

DICA:

Poderá ser proposto aos alunos que construam outros modelos como material alternativo para o Conjunto de Cortes do Cone, como por exemplo, o Conjunto de Cortes de um Cone Modelado em Acetato que sugerimos a seguir. Este material poderá ser usado como alternativo com o qual, ao invés do aluno carimbar as curvas no papel, deverá tomar cada peça que corresponde a um corte e contorná-la, desenhando-a sobre o papel.

Sugestão 2: Cones de acetato e curvas cônicas luminosas Para essa atividade serão necessários dois tipos de cone: de acetato e de linhas. Na sequência explicaremos como proceder na confecção de cada um, bem como, da aplicação dos mesmos.  Cone produzido com recortes de Acetato

Desenvolvimento da atividade  Materiais: Papelão comum ou paraná, 1m de acetato com 2mm de

espessura,

plástico

adesivo

branco,

plástico

adesivo

transparente, canudo plástico (como o usado na confecção de pirulitos) e cola instantânea, moldes em anexo.  Procedimento: 

Com o acetato construa 5 cones iguais sem as bases.



Recorte e encape o papelão com plástico adesivo branco: 5 círculos de

raio igual

ao raio

da

base

dos cones;

2

circunferências, 2 elipses, 2 parábolas e 2 hipérboles, elas representarão os cortes dos cones. 

Cole, pelos bicos, dois cones para formar um cone duplo.



Cole pedaços de canudo em cada círculo de papelão, na posição adequada para prender uma das peças correspondente ao corte (veja as fotos).



Por fim, cole as bordas da base dos cones nos círculos de papelão.

Figura 24

OBS.:  Aconselha-se que os alunos estejam distribuídos em grupos de quatro estudantes, formado por duplas previamente estabelecidas.  Essa atividade demanda que sejam utilizados cones produzidos com linhas.

 Não se esquecer de limpar o local dos resíduos gerados.

 Cone produzido com linhas Desenvolvimento da atividade  Materiais: Rolo de barbante, 3 tábuas de 20 x 20 cm (cada uma), pregos, martelo, fita adesiva, barras de alumínio ou madeira ( duas de 30 cm e 1 de 20 cm), caneta, compasso, 2 parafusos, um pedaço de cabo de vassoura de 20 cm, régua, aparelho retroprojetor ou lanterna, papel cartão, tesoura, estilete. 

Procedimento:

 no centro das tábuas risca-se uma circunferência de raio 7 cm;  pregar os pregos em cima do traçado das três tábuas conservando uma distância de 1 cm entre eles, reserve-as;  pegar duas barras de alumínio ou de madeira, de 30 cm, e fixar numa das tábuas, em duas laterais opostas;  em uma terceira barra de 20 cm, fazer uma perfuração no centro;  sobrepor está terceira barra, sobre as barras laterais já fixadas, conforme foto;

Figura 30

 em cada prego amarrar fios de barbante, com aproximadamente 50 cm cada fio, fazendo-os passar pelo buraco da barra, prendendo-os com fita adesiva, conforme foto;

Figura 31

 reserve o instrumento confeccionado;  as outras duas tábuas devem ser dispostas de forma que fiquem uma sobre a outra, separadas pelo bastão de cabo de vassoura, e este seja fixado bem no centro de cada uma com parafusos;  amarrar os fios do barbante, com aproximadamente 25 cm cada um, em cada prego ligando os de cima com os de baixo de forma retilínea, os mesmos ficaram folgados, ver foto abaixo;

Figura 32

 gire a tábua de cima proporcionando aos fios ficarem torcidos, criando com isso dois cones sobrepostos, conforme figura abaixo;

Figura 33



Questionamento: a) Será que, utilizando um feixe de luz projetado sobre modelos de cones construídos com fios, pode-se obter curvas luminosas representando as cônicas?

Explicando...

... é possível sim . Pode-se utilizar para obtenção do feixe de luz, um aparelho retroprojetor ou lanterna.



Cortar na metade do papel cartão uma linha 15 cm, com estilete;



Para que o feixe de luz incida sobre os fios do cone, coloca-se sobre a face iluminada do aparelho retroprojetor a folha de papelcartão perfurada conforme fotos abaixo:

Figura 34

Figura 35

Figura 36

OBS.:  Essa atividade deverá ser realizada em um ambiente escuro;  Os cones deverão ser posicionados a uma distância não muito grande do retroprojetor, devido o alcance da luz.  O retroprojetor e os cones deverão ficar na mesma altura.

Colocando em prática... Depois de realizado os procedimentos anteriores dar prosseguimento à seguinte atividade:

Brincando com modelos em forma de cone e reconhecendo curvas

a) Observe cada curva formada pela incidência do plano de luz sobre os fios. Você seria capaz de dizer qual curva foi obtida por um feixe emitido horizontalmente à base do cone de fios?

b) Observe o Conjunto de Cortes do Cone Modelado em Acetato. Diga qual dos cortes representa uma curva parecida com aquela que você obteve acima e viu projetada sobre os fios. Você conhece essa curva? Sabe o seu nome?

c) Você seria capaz de dizer qual curva é a obtida por um feixe inclinado que não incidiu em nenhum ponto da base do cone de fios do artefato, ou seja, que não a cortou?

d) Observe o Conjunto de Cortes de um Cone Modelado em Acetato. Qual dos cortes representa uma curva parecida com aquela que você respondeu? Você conhece essa curva? Sabe o seu nome?

e) Observe as outras formas de incidências do feixe de luz. Indique qual(is) dela(s) corta a base do cone com alguma inclinação.

f) Qual(is) dos cortes do Conjunto de Cortes do Cone Modelado em Acetato representa(m) a(s) curva(s) parecida(s) com aquela(s) que você encontrou? Você conhece essa(s) curva(s)? Sabe o seu(s) nome(s)?

Explicando.... ... respondendo aos questionamentos: A curva obtida por meio de um corte do cone por um plano horizontal à sua base é uma Circunferência.

Figura37

Figura 38

A curva obtida por meio de um corte do cone por um plano inclinado à sua base (ou seja não corta a base) é uma Elipse.

Figura 39

Figura 40

A curva obtida por meio de um corte especial do cone, por um plano inclinado que corta a base é uma Parábola. Este plano tem uma inclinação especial, pois é paralelo à geratriz do cone.

Figura 41

Figura 42

A curva obtida por meio de um corte do cone duplo por um plano inclinado que corta as duas bases é uma Hipérbole.

Figura 43

Figura 44

As atividades de modelagem das cônicas a partir de dobraduras de papel e artefatos para desenhar essas curvas permitem com que o aluno progrida no desenvolvimento dessa habilidade, ele é levado a estabelecer relações visuais entre figuras desenhadas e modeladas no plano (2D), com modelos das cônicas originadas dos cortes de um cone simples ou duplo (3D). A partir dessa percepção visual, as propriedades elementares dessas curvas são estabelecidas de maneira informal, preparando o aluno para a apresentação das equações.

Saiba um pouco mais

http://www.youtube.com/watch?v=hvrIlpQhYgQ – história da matemática

Referências: http://www.uff.br/cdme Acessado em 05/09/2014 http://www.sato.prof.ufu.br/Conicas/node2.html. Acessado em 03/10/2014 http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pde/mirtes-atividade2proposta.pdf . Acessado em 04/08/2014 LORENZATO, S. Laboratório de Ensino de matemática e materiais manipuláveis. In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de professores)

PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008 Projeto Araribá: matemática/Organizadora Editora Moderna; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna; editor responsável Fábio Martins de Leonardo. - 3. ed. – São Paulo: Moderna, 2010 Smole, Kátia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 3/Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignes de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva, 2010.

Anexos

1. Receita do sabão

Sabão de álcool  Ingredientes: 4 litros de água 2 litros óleo usado 4litros de etanol 4 kg de sebo 1 kg de soda cáustica  Modo de fazer: leva o sebo ao fogo para derreter, deixa esfriar. Mistura todos os ingredientes e mexe até dar o ponto do sabão ( ficar espesso, aproximadamente 20 min). Para fazer os cones colocar a mistura em recipientes cônicos.

2. Sugestão 2: Moldes do Cone produzido com recortes de Acetato e das peças de papel

Temática 2

Geometria analítica Conteúdo Estruturante: Geometrias Conteúdo Básico: Geometria analítica Objetivos:  Estudar

relações

entre

pontos

e

retas,

experimental

e

analiticamente;  Interpretar

e

utilizar

o

conhecimento

geométrico

para

compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano;  Fazer uso das diferentes linguagens e do estudo da matemática (álgebra e geometria), estabelecendo conexões entre eles. Série: 3º ano – Ensino Médio

Um pouco de história

A Geometria analítica está calcada na ideia de representar os pontos da reta por números reais e os pontos do plano por pares ordenados de números reais. Assim, as linhas do plano (reta, circunferência, elipse, etc.) são descritas por meio de equações. Com isso, é possível tratar algebricamente muitas questões geométricas, como também interpretar de forma geométrica algumas situações algébricas. Essa integração entre Geometria e Álgebra foi responsável por grandes progressos na Matemática e nas outras ciências em geral. O grande mentor dessa ideia foi René Descartes (1596 – 1650), filósofo e matemático francês, embora licenciado em Direito, ao alistar-se no exército de Mauricio de Nassau, na Holanda, conheceu Isaac Beekman, médico holandês que o estimulou a realizar pesquisas no campo da Física e da Matemática. No campo da Matemática, Descartes escreveu La Geométrie, na qual introduziu as bases da Geometria Analítica, com as ideia de eixos e

coordenadas que permitiram traduzir um problema geométrico para a linguagem algébrica e, reciprocamente, dar uma interpretação geométrica a determinadas equações. No terceiro e último capítulo do seu livro La Geométrie, Descartes buscou exemplificar sua teoria apresentando um método racional de unificação da Geometria e da Álgebra, que recebeu o nome de Geometria Analítica. As figuras geométricas passaram a ser representadas no plano cartesiano ortogonal. Trata-se de um sistema de eixos ordenados e perpendiculares, de tal forma que cada ponto do plano é identificado por um par ordenado de números reais e, vice-versa, correspondendo cada par ordenado de números reais a um único ponto desse plano. Com o trabalho de Descartes e seus seguidores, chamados de cartesianos, deu se início à busca de um método geral com base na razão para desvendar as ciências. A Matemática passou a ser denominada, então, “rainha das ciências”. Fonte: - Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. pg 395 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005. - Smole, Katia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 3/ Katia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva , 2010. Pg. 32

Curiosidades...

Google Earth: uma das aplicações da Geometria Analítica É um software que oferece o mapeamento do planeta pela superposição de imagens de satélite, fotografias aéreas e recursos de animação gráfica. Por meio desse programa, é possível navegar virtualmente pelos países mais longínquos, visualizar com mais detalhe o relevo da Terra, a sinuosidade de um rio e a topografia dos terrenos que o circundam, localizar a cidade ou, até, a edificação em que moramos. Tudo sendo apreciado em perspectiva. Pode-se, por exemplo, estimar uma área do território brasileiro, com elevado índice de devastação de floresta tropical utilizando-se as ferramentas básicas do programa e os conhecimentos da Geometria Analítica.

Lei de Hubble – pequena equação, grande teoria Em 1924, Edwing Hubble (1889 – 1953) fez um mapeamento de estimativas para as distâncias das estrelas. Para tanto, ele comparou a luminosidade de uma estrela com outra, registrando a intensidade de radiação eletromagnética (luz) emitida na faixa de cor vermelha. O interesse na observação da radiação na faixa do vermelho tem uma explicação: se uma estrela se move na nossa direção, as ondas eletromagnéticas (luz) por ela emitidas são comprimidas, de tal forma que o comprimento da onda vai ser menor, aproximando-se da faixa de cor azul. Por outro lado, se a estrela se afasta de nós, as ondas eletromagnéticas são distendidas, aproximando-se da faixa de cor vermelha. Isso se chama efeito Doppler. O mapeamento de Hubble apresentou pontos muito próximos a uma reta. A análise desse mapeamento permitiu que Hubble formalizasse uma lei, a lei de Hubble, matematicamente expressa por v(r) = H0. r. Verifica-se que a lei de Hubble só pode ser estabelecida por encontrar, na regularidade do evento observado, aproximação com modelo matemático já conhecido, a equação da reta, escrita: ax + by + c = 0, onde a é igual a H 0, c igual a zero, x igual a r e y igual a v. A constante de Hubble foi por ele calculada, obtendo a medida de 2,1 x 10-18 s-1, valor interpretado como a taxa de expansão do universo. Por curiosidade, cabe ressaltar outro aspecto interessante da lei de Hubble. Por meio dela foi possível estimar posteriormente, quando o Big Bang ocorreu: cerca de quinze milhões de anos atrás. Fonte: Smole, Katia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 3/ Katia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva , 2010. Pg. 47 e 83

Descartes, a mosca e o plano cartesiano. A

lenda

conta

que

certo

dia,

Descartes

estava

descansando, escorado em um poltrona em seu quarto, pensando na vida. Filosofando como sempre. Quando de repente algo chamou sua atenção: uma mosca apareceu e começou a voar pelo quarto. Descartes ficou a observar a mosca com muita atenção, olhando sua trajetória no ar. Até que a mosca pousou na parede de seu quarto. Foi então que veio uma dúvida na mente de Descartes: Como ele poderia descrever a alguém a posição exata da parede em que aquela mosca havia pousado? Depois de refletir muito sobre o assunto, Descartes teve uma ideia. Ele imaginou duas retas concorrentes fixas na parede. Assim, ele poderia descrever exatamente o ponto em que aquela mosca havia pousado simplesmente medindo a distância que ela estaria de cada uma daquelas retas. Assim se iniciou a ideia do Plano Cartesiano, cujo nome é uma homenagem ao nome romano de René Descartes, a saber, Renatus Cartesius. Fonte: pibid.mat.ufrgs.br/20092010/arquivos.../artigos.../Contoselendas.doc. Acessado em 28/11/2014

Você sabia que ...???



Existe geometria analítica até no futebol? Certamente, você já assistiu ou jogou futebol alguma vez. Quando há

a cobrança de uma falta próximo à grande área, existe uma distância entre dois pontos, o goleiro (quem pretende fazer a defesa) e o cobrador da falta (quem tentará fazer o gol). Essa distância, mesmo não sendo conhecida previamente, pode ser calculada de maneira indireta. Isso é possível devido ao sistema de coordenadas cartesianas que você já conhece. O campo de futebol pode ser imaginado como um plano cartesiano e, por meio de cálculos envolvendo coordenadas, é possível determinar distâncias entre pontos. É por isso que quando assistimos a um jogo de futebol pela TV, mesmo sem uma fita métrica, o “tira-teima” nos mostra qual é a distância de determinado jogador que se encontra em posição irregular em relação a outro, ou até mesmo o quanto uma bola passou da linha da quadra adversária em um jogo de vôlei. Fonte: http://www.klickeducacao.com.br/conteudo/pagina/0,6313,POR-5034-49288-,00.html



As abelhas usam coordenadas para informar a localização dos alimentos ? Em 1973, Karl Von Frisch, etologista alemão, recebeu o prêmio Nobel

de Medicina e Fisiologia por seus estudos acerca do comportamento das abelhas. Ele observou como as abelhas do gênero Apis mellifera, após encontrarem uma fonte de alimento, retornam à colméia e informam às companheiras, Por meio de danças especiais, a localização desta fonte. Com grande precisão, a abelha indica para as demais, a direção e a

distância segundo os quais podem encontrar a fonte de alimento. A direção em que a dança é fita no favo fornece um ângulo que corresponde àquele formado entre a fonte de alimento, a colméia e posição do sol. Ao longo do dia, na medida em que a posição do sol se altera, a abelha ajusta o ângulo correspondente. A distância é informada por meio do som produzido pelas vibrações do abdômen da abelha. Fonte: Ribeiro, Jackson da Silva. Projeto radix: matemática, 9º ano/Jackson da Silva Ribeiro. - São Paulo: Scipione, 2009. -- (Coleção projeto radix) pg. 141

Atividades

1. Estradas para a estação A otimização está sempre presente no nosso dia-a-dia, até mesmo em questões simples como escolher um caminho para ir ao mercado. Porém, na maioria dos problemas do cotidiano, existem muitas variáveis a serem otimizadas, por exemplo: é melhor ir pelo caminho mais curto ou pelo mais seguro? Neste experimento apresentamos a seguinte situação: numa linha de trem, deve ser construída uma estação, de modo que se gaste a menor quantidade possível de material entre duas estradas que ligam a estação a duas cidades A e B. Ou seja, o objetivo é obter o traçado das estradas de forma que o comprimento total seja o menor possível. Em seguida, de outra forma, almejamos que duas estradas de mesma extensão liguem as cidades à estação. Esta situação não é a ideal para uma construção real, mas permite estudos matemáticos e discussões interessantes. As resoluções desses problemas serão desenvolvidas em três níveis, experimental, geométrica e analiticamente. Este experimento aborda tanto a Geometria Euclidiana quanto a Geometria Analítica através de um problema de otimização. Nos dois casos em que ele é dividido, podemos mostrar aos alunos as relações que essas duas geometrias possuem.

Problemática 1:

Sugestão 1:

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: Papel quadriculado (ou papel milimetrado), régua, tesoura, papelão (ou isopor); 3 alfinetes com cabeça para mapas, barbante; caneta hidrográfica (ou caneta comum) ou tinta guache;  Procedimentos: 

Partir da problemática:

Um trilho ferroviário retilíneo passa próximo a duas cidades. É preciso, então, construir uma estação e duas estradas de acesso a ela. Esta construção deve gastar o mínimo de material possível. Qual seria o melhor local para construir a estação?

Colocando em prática... 

Após explicar o problema, inicie esta etapa na classe com a provocação: “Como garantir a condição de gasto mínimo para a construção das duas estradas?”, lembrando que deverá haver um consenso sobre o assunto. Pretendemos que os alunos percebam a necessidade de a soma das medidas das estradas ser a menor possível;



Cada dupla deverá receber uma folha de papel quadriculado (ou papel milimetrado);



Em seguida, peça aos alunos que façam uma representação gráfica da situação;



Feito o trilho, peça que desenhem dois pontos, que serão as cidades A e B. OBS.: Verifique se os alunos : 

representam o trilho ferroviário por uma reta horizontal no papel milimetrado, pois esta configuração simplificará os cálculos no fechamento.



não desenham as cidades em uma mesma reta horizontal pois este é um caso particular que será discutido posteriormente. 



Após os procedimentos acima, o novo problema a ser resolvido é:

Aonde deve ser construída a estação para que a soma das distâncias entre as cidades e a estação seja mínima?

DICA: para encontrar esse ponto devemos usar os procedimentos descritos abaixo.



Escolha 5 pontos distintos sobre o trilho;

figura 25



Posicione o papel milimetrado em cima do isopor (ou papelão);



Corte um pedaço de barbante que passe por A, por B e por um dos pontos escolhido, prendendo-o com os alfinetes de cabeça;

figura 26



Pinte o barbante com a caneta hidrográfica ou tinta guache e separe-o;

figura 27



Faça o mesmo com os 5 pontos do trilho. Deixe os barbantes ordenados em relação aos pontos;

figura 28



Terminado o procedimento com todos os pontos, compare-os e veja em qual deles a soma foi menor, ou seja, qual barbante teve a pintura de menor extensão.

Explicando.... ... terminado o experimento, os alunos terão uma estimativa sobre o ponto onde a soma das distâncias é mínima, isto é, um local para a estação. Nesse caso, observando a foto acima, podemos concluir que a estação estará entre os pontos 2 e 3, onde as pinturas do barbante são menores.

Sugestão 2

O ponto onde será construída a estação também pode ser encontrado usando laser e espelho. Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: Papel quadriculado (o mesmo utilizado na sugestão 1); caneta hidrográfica (ou caneta comum),

laser, espelho pequeno

aproximadamente 10 cm x 5 cm;  Procedimentos: 

Posicione um espelho sobre o trilho. Coloque o laser sobre a cidade A apontando para a cidade B refletida no espelho e acione-o, como mostrado na foto abaixo, (o resultado será o mesmo se o laser for colocado sobre a cidade B):

Figura 29

Figura 30



O laser irá tocar o espelho no local exato da estação. Marcar então com a caneta o local.

Figura 31

Explicando.... ... nesta atividade, é possível visualizar um traço vermelho indicando o caminho do laser: este sai de A, toca o espelho no local exato da estação e chega até B. Obs.: no espelho é de vital importância Lembrando que a imagem de B refletida para encontrar a estação. Sugestão 3

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: Papel quadriculado (o mesmo utilizado na sugestão 1), régua, caneta hidrográfica (ou caneta comum), plástico transparente, caneta para cd (marcador permanente);  Procedimentos: 

Primeiramente, reproduzimos a figura do trilho e das cidades num plástico transparente com a ajuda de uma caneta (marcador permanente);

figura 32



Dobramos o plástico no trilho e marcamos outro ponto (B’) em cima da Cidade B, como mostrado na foto;

figura 33

OBS.: Ao dobrar o plástico, temos o mesmo efeito da reflexão no espelho. O ponto observado na imagem formada no espelho é o ponto B’, que tem a mesma distância até o trilho que o ponto B.



Abrimos o plástico novamente;



Desenhamos um segmento de reta que ligue A a B’, depois B’ a B;

figura 34



figura 35

Finalmente ligamos o ponto B ao cruzamento da linha do trilho com o segmento AB’.

figura 36

figura 37

Explicando.... Justificativa geométrica Mas, geometricamente, como podemos encontrar este ponto onde a soma é a menor? Proponha a seguinte questão aos alunos: Se a cidade B estivesse do outro lado do trilho, onde seria construída a estação?

A menor distância entre dois pontos é uma reta; assim, se a cidade original estivesse do outro lado do trilho (B’), uma simples reta unindo-as seria a solução do problema. Dessa maneira, podemos dizer que se construirmos uma cidade B’ simétrica a B, do outro lado do trilho, teríamos a solução simplesmente traçando uma reta entre elas:

Figura 38

Notação: cidade A = A, cidade B = B, trilho = T, estação = E e cidade B’ = B’ simplificando a escrita do texto. Por serem simétricos, a distância de B’ ao trilho deve ser a mesma que de B ao trilho e, traçando uma reta entre elas, esta deve ser perpendicular ao trilho. A reta traçada entre A e B’ cruzará o trilho no ponto P, que será o local exato da construção da estação. Assim, basta traçar uma reta de E a B e teremos as estradas desejadas.

Figura 39

Este procedimento é possível, pois os dois triângulos formados são congruentes. (Os segmentos PB e PB’, e EB e EB’ são iguais.) Assim, é possível encontrar o ponto onde a soma das distâncias é mínima e compará-lo com o ponto encontrado na atividade 1.

Problemática 2:

Na problemática 1, foi encontrado um ponto onde os gastos são minimizados. Porém, nesse ponto as estradas não têm o mesmo comprimento, ou seja, os moradores de uma das cidades percorreriam uma distância mais longa que os da outra para chegar à estação. A ideia agora é que as estradas além de terem um custo mínimo possuam o mesmo tamanho. Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: Papel quadriculado (o mesmo utilizado na sugestão 1), régua, canetas hidrográficas (ou canetas comuns) ou tinta guache e barbante;  Procedimentos: 

Primeiramente, sugerir uma ambientação do problema:

Os moradores da cidade mais distante não gostaram do projeto de construção e acharam que seria mais justo se as estradas tivessem o mesmo tamanho. Portanto, onde deve ser construída a estação para que as estradas tenham a mesma extensão?

Para responder a questão, os alunos devem utilizar inicialmente o mesmo método experimental da sugestão 1, problemática 1. Os pontos escolhidos anteriormente podem ser reutilizados, mas outros podem ser escolhidos se necessário. A principal diferença no procedimento desta etapa é que os segmentos AE e BE devem ser pintados com cores diferentes.

figura 40



Finalizado o experimento, devemos comparar os barbantes e verificar em qual ponto as partes pintadas de cores diferentes têm o mesmo tamanho (ou são próximas).

Figura 41

Explicando.... ... observando a figura, podemos verificar que nos barbantes correspondentes aos pontos 2 e 3, houve aproximação entre os tamanho das partes pintadas, ou seja, ficaram quase iguais. Com isso, concluímos que a estação deve ficar entre estes pontos.

Sugestão 4:

Geogebra e a Geometria analítica

O GeoGebra é um software que possui todas as características de geometria dinâmica e apresenta também recursos da álgebra e do cálculo, que tem o objetivo o ensino e aprendizagem de matemática. Desenvolvido por Markus Hohenwarter, na Áustria e nos Estados Unidos da América, tendo início em 2001, hoje é aprimorado pelo seu idealizador, assim como outros programadores. É de distribuição livre e pode ser adquirido pela internet através do site oficial do programa: http://www.geogebra.org/cms/pt_BR. A escolha desse software foi baseada por ser um programa de geometria dinâmica que faz um tratamento algébrico às construções geométricas. Fonte: http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/510. Acessado 28/11/2014

DICA: os alunos devem ter um conhecimento prévio dos assuntos a serem discutidos.

Atividade 1: Circunferência como lugar geométrico

Essa atividade pretende abordar o estudo da circunferência como lugar geométrico, afim de que os alunos sejam levados a pensar sobre a relação existente entre os pontos pertencentes à circunferência com seu centro. O objetivo é que eles percebam que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto dado, no caso, o seu centro. Que para construir uma circunferência é necessário apenas saber apenas duas coordenadas: o seu centro e seu raio e que esses dois valores são necessários e suficientes para determinar a sua equação. Desenvolvimento da atividade  Participantes: Individual ou em dupla (de acorde com o espaço físico da escola);

 Materiais: Laboratório de informática;  Procedimentos: 

Clique no ícone de abertura do software GeoGebra;

figura 42



Com o cursor em cima da tela, clique com o botão direito, abrirá uma janela de visualização, clique em “Malha”;

figura 43



Clique no triângulo localizado no canto inferior direito do botão “Retas” ( terceiro quadrinho);

figura 44



Escolha a opção “Segmento com Comprimento Fixo”;

figura 45



Clique na malha quadriculada do plano cartesiano, sobre a coordenada (5, 3). Nesse momento irá surgir o ponto A(5, 3) e abrirá uma janela para definir o comprimento do segmento. Digite 4 no campo em branco e clique em OK ;

figura 46



Note que nesse momento será criado o ponto B(9, 3) e o segmento de reta AB com 4 unidades de comprimento;

figura 47



No lado esquerdo da tela, na “Janela de Álgebra”, dê dois cliques sobre o segmento “a = 4”. Aparecerá a janela “Redefinir”;

figura 48



Clique

no

ícone

“Propriedades...”.

Aparecerá

a

janela

“Propriedades”, nela mude o “NOME” para AB. Em seguida, feche a janela;

figura 49



Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto B que se encontra no plano cartesiano da “Janela de Visualização”. Ao abrir a janela com os dados do ponto B, clique na opção “Habilitar Rastro”;

figura 50



Para salvar a construção, clique em “Arquivo” e em seguida “Gravar Como ...”. Escolha uma pasta de sua preferência, e o nome do arquivo e clique no botão “Gravar”;

figura 51



Questionamentos:

a) Qual a coordenada do ponto A? b) Qual a coordenada do ponto B? c) Qual o tamanho do segmento AB? 

Selecione a função mover clicando no botão “Mover”, no canto esquerdo da tela;

figura 52



Clique e mova o ponto B (a vontade) que se encontra na “Janela de Visualização”;



Questionamentos :

a) Qual a figura formada? b) Houve mudanças na coordenada do ponto A? Quais? c) Houve mudanças na coordenada do ponto B? Quais? d) Houve mudanças no comprimento do segmento AB ? Quais? e) O que o segmento AB representa na figura formada? f)

O que o ponto A representa na figura formada?

g) O que o ponto B representa na figura formada?

OBS.: Para responder, analise os dados que aparecem na “ Janela de Álgebra”.



Clique no ícone “Círculo”, sexto botão da esquerda para a direita.

figura 53



Em seguida, clique no ponto A e depois no ponto B (nessa ordem).

figura 54



Questionamentos:

a) Qual figura geométrica você acabou de construir? b) Quais são as suas características (centro, raio, etc)? c) Quais são as semelhanças e diferenças entre a figura geométrica construída ao mover o ponto B com essa que você acabou de construir? 

Vamos apagar a figura que foi construída, movendo o ponto B. Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto B. Ao surgir a janela com informações do ponto B, observe que a opção “Habilitar Rastro” está selecionada, clique sobre essa opção para desabilitá-la;

figura 55



Mova novamente o ponto B (para mover o ponto você precisa selecionar o botão mover que se encontra no lado esquerdo no 1º quadro). OBS.: 

Atente para o fato que o ponto B se mantém sobre a circunferência ao movê-lo;



Na “janela de álgebra”, surgiu a equação c: (x – 5)² + (y – 3)² = 16



Questionamento:

a) Existe alguma relação entre os números que aparecem nessa equação com os valores das coordenadas de A, B ou do comprimento do segmento AB ? Quais? 

Agora mova o ponto A.



Questionamento:

a) As conclusões que você chegou ao concluir o questionamento anterior ainda são válidas?

DICA: analise novamente a equação, as coordenadas de A e B, e o comprimento do segmento AB.

Atividade 2: Posição relativa entre duas circunferências Essa atividade tem por objetivo principal a percepção da relação existente entre os raios das circunferências e a distância entre seus centros para estabelecer a posição relativa entre elas. Ela também pode ser utilizada para reforçar conceitos já trabalhados como distância entre dois pontos e equação da circunferência.

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Individual ou em dupla (de acordo com o espaço físico da escola);  Materiais: Laboratório de informática;  Procedimentos: 

Clique no ícone de abertura do software GeoGebra

Figura 56



Com o cursor em cima da tela, clique com o botão direito, abrirá uma janela de visualização, clique em “Malha”;

figura 57



Clique no triângulo localizado no canto inferior esquerdo do botão da ferramenta “círculo” ( sexto quadrinho);

figura 58



Selecione a opção “Círculo dados Centro e Raio”;

figura 59



No

plano

cartesiano,

construir

a

primeira

circunferência.

Primeiramente deve-se escolher o centro da circunferência, clicando no eixo x no ponto desejado (5) e em seguida na janela que abrirá, o tamanho do raio (5). Clique ok;

figura 60



Construir a segunda circunferência, para isso clique no ponto (14,0). Escolha o tamanho do raio (2). Clique em OK;

figura 61

figura 62



Construir um segmento de reta com extremidades nos centros das circunferências de (pontos A e B). Esse segmento irá mostrar a distância entre os centros das circunferências, para isso, clique no triângulo do canto inferior direito do ícone “reta” (terceiro quadrinho) e selecione a opção “segmento”

figura 63



Construa um segmento de reta AB que representará a distâncias entre os centros das Circunferências Primeiro, clique no ponto A=(5,0) e em seguida no ponto B=(14,0).

figura 64

OBS.: Para melhor visualização, dê um clique no segmento “a” com o botão esquerdo do mouse e selecione propriedades, depois cor.



Para mudar o nome do segmento “a” para “AB”: dê um clique no segmento “a” com o botão esquerdo do mouse e selecione renomear;

figura 65



Para salvar a construção feita, clique em “Arquivo” e em seguida “Gravar Como...”, abra uma pasta de sua preferência, escolha o nome do arquivo “Distância Relativa Entre Duas Circunferências” e clique no botão “Gravar”;



Questionamentos:

a) Qual o centro da circunferência maior? b) Qual o raio da circunferência maior? c) Qual o centro da circunferência menor? d) Qual o raio da circunferência menor? e) Quais são as extremidades do segmento que liga os centros das circunferências? f)

Qual o significado do valor que aparece logo após o segmento AB na “Janela de Álgebra”?

g) Qual a posição relativa entre as circunferências de centros A e B? h) Qual o significado da escrita c : (x - 5)2 + y2 = 25? i)

Qual o significado da escrita d : (x -14)2 +

j)

Qual o significado da escrita A = (5, 0)?

k) Qual o significado da escrita B = (14, 0)? l)

Qual o significado da escrita AB = 9?

y2 = 4?

A próxima atividade consiste em mover o centro de uma das circunferências e observar se existe uma relação entre os tamanhos dos raios e as distâncias entre os centros.



Clique no botão “mover”. Clique no ponto B e arraste-o mudando sua posição para as coordenadas (12,0).

figura 66

OBS.: Observe a nova coordenada do ponto B e a nova equação da circunferência “d”.



Escreva a posição relativa entre as circunferências e anote os raios das circunferências com centro em A e B. Anote também a distância entre os centros;



Clique no ponto B (centro da circunferência) e arraste-o mudando sua

posição

para

as

coordenadas

qualquer

uma

dessas

coordenadas: (11, 0), (10, 0) ou (9, 0). Observe a nova coordenada do ponto B e a nova equação da circunferência “d”;

figura 67



Escreva a posição relativa entre as circunferências e anote os raios das circunferências com centro em A e B. Anote também a distância entre os centros;



Clique no ponto B (centro da circunferência) e arraste-o mudando sua posição para as coordenadas (8, 0). OBS.: Observe a nova coordenada do ponto B e a nova equação da circunferência “d”.

figura 68



Escreva a posição relativa entre as circunferências e anote os raios das circunferências com centro em A e B. Anote também a distância entre os centros;



Clique no ponto B (centro da circunferência) e arraste-o mudando sua

posição

para

as

coordenadas

qualquer

uma

dessas

coordenadas: (7, 0) ou (6, 0). Observe a nova coordenada do ponto B e a nova equação da circunferência “d”;

figura 69



Escreva a posição relativa entre as circunferências e anote os raios das circunferências com centro em A e B. Anote também a distância entre os centros;



Clique no ponto B (centro da circunferência) e arraste-o mudando sua posição para as coordenadas (5, 0) . Observe a nova coordenada do ponto B e a nova equação da circunferência “d”;

figura 70



Escreva a posição relativa entre as circunferências e anote os raios das circunferências com centros em A e B. Anote também a distância entre os centros;



Questionamento: O que você percebeu? Caso necessário, movimente novamente o ponto B para certificar se suas conclusões estão corretas.

Adaptado da dissertação “O Ensino de Geometria Analítica com o Uso do GeoGebra” de Teófilo Oliveira de Paula - http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/510. Acessado 28/11/2014

Outras opções podem ser exploradas no ensino de Geometria Analítica:  Localizando peças no tabuleiro de xadrez: Leve para a sala de aula um tabuleiro de xadrez e realize com os alunos a atividade de localização das peças quando dispostas no tabuleiro.  Jogo das coordenadas Proponha aos alunos o Jogo das Coordenadas que se encontra em anexo.

Referências: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. pg 292 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005. http:// educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/magicas-utilizando-cartasconhecimento-matematico.htm. Acessado em 20/11/2014 http://tcconline.utp.br/wp-content/uploads/2012/07/FRACTAIS-NA-SALA-DEAULA.pdf. Acessado em 20/11/2014 http://www.educacaopublica.rj.gov.br/oficinas/matematica/quadrado/04.html. Acessado em 20/11/2014 http://bit.profmatsbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/538/2011_00439 _NATALIA_DE_CARVALHO_DE_AZEVEDO.pdf?sequence=1. Acessado em 25/11/2014 http://vestibular.brasilescola.com/enem/prova-amarelaquestao-54.htm. Acessado em 25/11/2014 http://ksros.blogspot.com.br/2009/07/o-numero-de-ouro-sequencia-defibonacci.html. Acessado em 23/11/2014 https://aquaticscaper.wordpress.com/2010/04/06/geometria/Acessado 24/11/2014

em

http://pt.slideshare.net/jordigarrigosa/geometria-sagrada-slides-geometriasagrada. acessado em 24/11/2014 http://www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Poster/.../PO00995663033R.doc. Acessado em 24/11/2014 https://www.univates.br/ppgece/media/pdf/Construcao-de-fractais-com-uso-dosoftware-geogebra.pdf. Acessado em 25/11/2014

http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/510.Acessado 28/11/2014 Iezzi, Gelson. Matemática: Ciência e aplicações, 1: ensino médio/ Gelson Iezzi...[et al. ]. - - 6. ed. - - São Paulo: Saraiva, 2010.

PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008 Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática/ Joamir Roberto de Souza. - - 1. ed. - - São Paulo: FTD, 2010. - - (Coleção novo olhar; v. 1)

Anexos Jogo das coordenadas Para realizar este jogo, reúna os alunos em duplas. Em seguida, reproduza e entregue a cada dupla uma malha quadriculada. Inicialmente, solicite aos alunos que construam, na malha quadriculada, um plano artesiano. Escolha um terceiro aluno para ser o juiz da partida enquanto os dois alunos serão os competidores.  Cada competidor escolherá uma caneta, ou lápis, com cores diferentes e deverá entregá-los ao juiz.  Par iniciar a partida, um dos competidores deverá escolher um ponto no plano e dizer ao juiz as suas coordenadas cartesianas. O juiz marcará o ponto selecionado com a cor da caneta que este competidor escolheu e passará a vez ao outro competidor.  Vence o jogo o competidor que marcar quatro pontos consecutivos com a sua cor antes de seu adversário.  Um ponto só poderá ser escolhido se a ordenada (y) for igual a – 5 ou se logo abaixo dele houver outro ponto.  Vence a partida, o jogador que marcar primeiro os quatro pontos na horizontal, na vertical ou na diagonal.

Temática 3 Entendendo a Trigonometria Conteúdo Estruturante: Grandezas e medidas Conteúdo Básico: Trigonometria Objetivos:  Associar números reais a pontos da circunferência trigonométrica;  Familiarizar com a circunferência trigonométrica;  Conceituar arco trigonométrico;  Conceituar e identificar trigonométrica;

números

congruentes

na

circunferência

 Obter determinações de um arco trigonométrico, principalmente a determinação principal;  Identificar e determinar seno, cosseno e tangente de arcos na circunferência trigonométrica;  Calcular senos e cossenos de arcos por meio de redução ao primeiro quadrante;  Conceituar e construir o gráfico da função seno , cosseno e tangente. Série: 2º ano – Ensino Médio Um pouco de história

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri = três, gonos= ângulos e metron = medir. Daí o seu significado: medida dos triângulos. Inicialmente, então, a Trigonometria era considerada a parte da Matemática que tinha como objetivo o cálculo das medidas dos elementos de um triângulo (lados e ângulos). Como a Trigonometria estabelece relações entre as medidas de ângulos e de segmentos, foi também considerada originalmente como uma extensão da Geometria. Existem vestígios de um estudo rudimentar de Trigonometria entre os babilônios, que a usavam para resolver problemas práticos de navegação, de

agrimensura e de Astronomia. Hoje, sabemos que a Astronomia foi a grande impulsionadora do desenvolvimento da Trigonometria, principalmente entre os gregos e egípcios. Aliás, foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da Trigonometria. Sabe-se que foi o astrônomo grego Hiparco (190 a.C – 125 a.C), considerado o pai da Astronomia, que empregou, pela primeira vez, relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo, por volta de 140 a.C.. Daí ser considerado o precursor da Trigonometria. Graças a Ptolomeu ( 125 a.C), o mais celebre astrônomo da Antiguidade, surge o documento mais antigo que trata da Trigonometria: O almagesto, baseado nos trabalhos de Hiparco. Nele, Ptolomeu apresenta um verdadeiro tratado de Trigonometria retilínea e esférica. No século XV, o matemático Purback, procurou restabelecer a obra de Ptolomeu, introduzindo o seno e a tangente na Trigonometria e construindo a primeira tábua trigonométrica. Porém, o primeiro tratado de Trigonometria feito de maneira sistemática é chamado De triangulis ou Tratado dos triângulos e foi escrito pelo matemático alemão Johann Müller, chamado Regiomontanus. Atualmente, a Trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos; sua aplicação se estende a vários campos da Matemática (como a Geometria e a Análise). Encontramos também, aplicações da Trigonometria em Eletricidade, Mecânica, Acústica, Música, Engenharia Civil, Topografia e em muitos outros campos de atividades, aplicações essas envolvidas em conceitos que dificilmente lembram os triângulos que deram origem a Trigonometria. Fonte: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005.

Curiosidades...  Uma vara, duas sombras, uma idéia Por volta do ano 600 a. C., o sábio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O faraó já conhecia sua fama de grande matemático. Ouvira dizer até que Tales era capaz de uma incrível façanha: podia calcular a altura de uma construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela.

Por ordem do monarca, alguns matemáticos egípcios foram ao encontro do visitante e pediram-lhe que calculasse a altura de uma das pirâmides. Tales ouviu-os com atenção e se dispôs a tendê-los imediatamente. Já no deserto, próximo à pirâmide, o sábio fincou no chão uma vara, na vertical. Observando a posição da sombra, Tales deitou a vara no chão, a partir do ponto em que foi fincada, marcando na areia o tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a vara à posição vertical. - Vamos esperar alguns instantes, disse ele. Daqui a pouco poderei dar a resposta. Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse então aos egípcios: - Vão depressa até a pirâmide, meçam sua sombra e acrescentem ao resultado a medida da metade do Aldo da base. Essa soma é a altura exata da pirâmide. Qual é o segredo?

Figura 71 http://1.bp.blogspot.com/_R27QaxEfz70/TBaID_VV-eI/AAAAAAAAAGI/Uq-CtHod98/s320/teortales01.jpg

Não é exatamente um segredo, mas um grande conhecimento de Geometria, usado para resolver uma questão prática. No momento em que a vara e sua sombra tem exatamente o mesmo tamanho, formam um triângulo retângulo e isósceles,

semelhante a outro

triângulo retângulo e isósceles formado pela pirâmide e por sua sombra. Por semelhança de triângulos, Tales deduziu que a altura da pirâmide é igual a sombra mais a metade da base. Uma simples vara, duas sombras e que magnífica idéia! Fonte: Guelli, Oscar. Contando a História da Matemática, 6 – Dando corda na Trigonometria. pág. 6

O lugar da Terra A Terra, planeta habitado pelo homem, conseguiu ocupar o lugar central do Universo, durante muitos séculos. Essa hipótese ultrapassada alimentou deuses e vários preconceitos que impediram a ciência, durante séculos, de caminhar. A maldição era a pensa sofrida por quem tentasse tirar a terra dessa posição. No século III a.C., essa tentativa, mal sucedida, foi realizada pelo matemático e astrônomo Aristarco de Samos. Somente dezoito séculos depois, Nicolau Copérnico (1473 – 1543) conseguiu, postumamente, fazê-lo. Um dos estudos feitos por Aristarco foi sobre a distância entre a Terra e o Sol. Considerando as condições da época, foi de grande engenhosidade o cálculo feito por ele. Em suas observações, percebeu que o centro da Lua, em quarto crescente, o centro do Sol e um observador na Terra representam três pontos que, se forem ligados formam um triângulo retângulo SLT.

Figura 72 http://www.templodeapolo.net/Civilizacoes/grecia/filosofia/imagens/eclipse.jpg

Seus cálculos levaram-no a concluir que a distância da Terra ao Sol é 18 a 20 vezes a distância da Terra a Lua. Cálculo esse que, embora perfeito, necessita de conhecimentos sobre senos. sen x =

ou

Para que

= assuma um valor entre 18 e 20, Aristarco

utilizou para o ângulo de medida x o complementar de T, ou seja, 3°. = 19,11 Embora a distância esteja correta, o ângulo S é diferente dos 3° adotados, o seu valor efetivo é de 10’. Para isso, deve ter contribuindo a precariedade de instrumentos. Atualmente, dispondo sobre o conhecimento de trigonometria e das condições tecnológicas, é possível questionar os valores obtidos, naquela época, ao comparar as distâncias da Terra ao Sol e da Terra a Lua. Não podemos negar, porém, a criatividade e a engenhosidade dos cálculos feitos por Aristarco, três séculos antes do nascimento de Cristo. Fonte: Silva, Claudio Xavier da, Benigno Barreto Filho. Matemática aula por aula. Vol 1. pag. 367.

RELÓGIO DE SOL

Figura 73

http://www.manualdomundo.com.br/wp-content/uploads/relogio-de-sol.jpg

Além da utilização da trigonometria nas medições das pirâmides, apareceu no Egito (1500 a.C. aproximadamente) a idéia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a sequências numéricas, relacionando seus cumprimentos com horas do dia (relógio de sol). Poderíamos dizer então que essas ideias estavam anunciando a chegada, séculos depois, das funções: tangente e cotangente. Os predecessores da tangente, da cotangente, no entanto, surgiram de modestas necessidades de medição de alturas e distâncias Um importante conceito no desenvolvimento da trigonometria é o conceito de ângulo e de como efetuar sua medida, uma vez que ele é fundamental em diversas situações, como na compreensão das razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Existem evidências de tentativas de medi-los, em datas muito remotas, pois chegaram até nossos dias fragmentos de círculos que parecem ter feito parte de astrolábios primitivos, provavelmente usados com propósito de medições. Para se determinar um calendário ou a hora do dia, era necessária a realização de contagens e medidas de distâncias. O sol servia como referência e, para se determinar à hora do dia, dependia-se da inclinação do sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador, que era o nosso relógio de Sol. Fonte: Uma Breve História da Trigonometria e seus Conceitos Fundamentais - Carlos Antonio de Souza, Eline das Flores Victer, Jurema Rosa Lopes , pg. 44 - Editora Entorno – 2011. Acessado em 31/10/2014

Para saber mais acesse: http://www2.unigranrio.br/pos/stricto/mest-ensinociencias/pdf/produto_carlos_antonio_de_souza.pdf

Teodolito

Figura 74 http://thumbs.dreamstime.com/x/coordenador-e-esta%C3%A7%C3%A3o-ou-teodolito-total-31429872.jpg

É um instrumento utilizado em agrimensura para medir ângulos e direções inferiores a um segundo de arco (1/3.600 de grau). É semelhante ao trânsito, instrumento mais comum. Mais um teodolito permite leituras mais precisas que o trânsito. Ele é um instrumento portátil de astronomia e de geodésica que serve para medir ângulos horizontais e verticais. Um teodolito possui uma luneta que permite visão apurada em qualquer direção. Uma placa horizontal embaixo da luneta fornece leituras no horizonte em graus, minutos e segundos. Uma placa e uma escala verticais, montadas á esquerda da luneta, permite a tomada de leituras verticais. Em sua maioria os teodolitos são montados em um tripé (base de três pés). Um teodolito bem nivelado pode ser utilizado como um trânsito astronômico para determinação da latitude de um lugar. Para isso, focaliza-se a luneta na direção do sol ou de alguma outra estrela, lêem-se as medidas no teodolito e efetuam-se cálculos matemáticos. O teodolito é composto por uma estrutura fixa sobre a qual repousa um limbo horizontal e uma alidade móvel em torno de um eixo vertical. A alidade suporta a luneta de visada (móvel em torno do eixo dos munhões da alidade) e os aparelhos de leitura do limbo (nômios, micrômetros ópticos ou desviadores de lâmina de faces paralelas). Utilizados também em topografia, os teodolitos a laser possibilitam operações de alinhamento. Foi inventado pelo italiano Ingnazio Porro, em torno de 1835. Um único instrumento que permitia a medição de distância, elevação e direção, e reduzia significativamente o tempo usado para topografia e aumentava a precisão. Existe uma diversidade de teodolitos para diversos tipos de usos, precisões e alcances. Fonte: http://turmas20032004ciep.blogspot.com.br/2009/04/teodlito.html. Acessado em 13/11/2014

Você sabia que ...???



Existe Trigonometria nas teclas do telefone?

Ao clicar em uma tecla do telefone é produzido um som único. O som produzido é a soma de dois tons dados por: y = sen 2π. l .t e

y = sen 2π .h .t

Onde l e h são a baixa e a alta frequência (ciclos por segundo) que se distribuem conforme se mostra na figura 5. 2

3

697 ciclos/s

1 4

5

6

770 ciclos/s

7

8

9

852 ciclos/s

*

0

#

941 ciclos/s

1209

1336

1477

ciclos/s

ciclos/s

ciclos/s

B a i x a

f r e q u ê n c

i a

Alta frequência Figura 5

Por exemplo, se clicar na tecla 7, a baixa frequência é l = 852 ciclos por segundo e a alta frequência é h = 1209 ciclos por segundo. O som emitido ao carregar na tecla 7 é assim, dado por: y = sen 2π. (852). t + sen 2π.(1209).t 

Na música utilizamos a Trigonometria? Os sons que ouvimos todos os dias, incluindo a música, alcançam

nossos ouvidos como ondas sonoras. Essas ondas sonoras viajam pelo ar em diferentes ângulos a partir da fonte original de som. O som então rebate no que quer que esteja próximo, como pessoas ou paredes de uma sala de concerto. Se um edifício for desenhado de modo que o som não reflita para o ouvido do ouvinte, então a música pode ser difícil de escutar ou pode soar desequilibrada. Engenheiros usam a trigonometria para descobrir os ângulos das ondas

sonoras e como desenhar uma sala ou auditório para que as ondas reflitam para o ouvinte de uma maneira equilibrada e direta. Produtores de estúdio ou gerentes de salas de concerto às vezes instalam painéis pendurados no teto – esses painéis podem ser ajustados em ângulos específicos para fazerem as ondas sonoras rebaterem corretamente. Produtores em estúdios têm a tarefa de fazer com que uma gravação musical soe equilibrada e contam com diferentes programas de computador para fazer isso. Os produtores podem ver as ondas de som que foram gravadas como diferentes tipos de gráficos. Esses gráficos são produzidos conforme o programa e usa equações trigonométricas para calcular rapidamente de que forma o gráfico deve aparecer, com base em pontos individuais – a onda senoidal da voz de um cantor, por exemplo, pode ser visualizada por este processo. O visual dos gráficos pode então ajudar o produtor a ajustar coisas como volume e equilíbrio, por exemplo. Fonte: http://www.ehow.com.br/trigonometria



Que na Idade Média utilizavam o astrolábio? O astrolábio era um antigo instrumento para medir a altura dos astros

acima do horizonte, utilizado na Idade Média para fins astrológicos e astronômicos. Também era utilizado para resolver problemas geométricos, como calcular a altura de um edifício ou a profundidade de um poço. Era formado por disco de latão graduado na sua borda, num anel de suspensão e numa mediclina (espécie de ponteiro). O astrolábio náutico era uma versão simplificada do tradicional e tinha a possibilidade apenas de medir a altura dos astros para ajudar na localização em alto mar. Inicialmente tinha a forma da parte de trás do astrolábio tradicional. No entanto, com a experiência dos pilotos sua forma foi aperfeiçoada. Deixou de ser fabricado em chapa de metal ou madeira e passou a ser feito de cobre para que ficasse mais pesado, cerca de dois quilos e menos sujeito ao balanço do navio. O disco inicial foi parcialmente aberto para diminuir a resistência ao vento. O manejo do astrolábio exigia a participação de duas pessoas; consistia em grande círculo, por cujo interior corria uma régua; um homem suspendia o

astrolábio na altura dos olhos, alinhando a régua com o sol enquanto outro lia os graus marcados no círculo. O quadrante era um astrolábio reduzido à quarta parte. Muitos exemplares espalhados pelo mundo foram fabricados em Portugal e têm o nome ou marca de seu fabricante, como Agostinho de Gois Raposo, Francisco Gois e João Dias. Poucos astrolábios náuticos chegaram até os nossos dias, mas com o desenvolvimento da arqueologia subaquática foi possível recuperar mais exemplares. Há atualmente cerca de 80 e são mundialmente registrados no Museu Marítimo de Greenwich. Além de um número de registro passaram também a serem conhecidos por um nome, normalmente relacionados com o navio ou local onde foram encontrados.

figura 6

Fonte: http://www.museutec.org.br/previewmuseologico/o_astrolabio.htm. Acessado em 14/11/2014

Sugestões: Para saber mais sugerimos:  Simulador http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/mundo_trigonometria /aplicacoes/sinuca.html  Jogo: Batalha naval circular Este jogo auxilia no desenvolvimento da noção de localização de pontos no círculo trigonométrico, o mesmo encontra-se em anexo.

Atividades

1.1 Confecção de um circulo trigonométrico

Estou em dúvida...

O que é um circulo trigonométrico?

O ciclo é construído sobre o eixo de coordenadas cartesianas com centro em O, raio unitário e quatro quadrantes. Possui diversos pontos, os quais estão associados a valores de ângulos. Os estudos sobre Trigonometria estão associados à figura do triângulo retângulo e ao ciclo trigonométrico.

Figura 7

Sugestão : Confecção do círculo trigonométrico

Desenvolvimento da atividade

 Participantes: Grupos de 4 alunos.  Materiais: Papelão grosso quadrado (32 cm de lado), compasso, círculo trigonométrico confeccionado conforme modelo em anexo, alfinete com cabeça para mapas, percevejo, 1 botão em forma de pérola, cola instantânea, folha de acetato transparente (circular de raio 10,5 cm), dois canudos, papel contacto transparente  Procedimentos: 

Confeccionar um circulo trigonométrico com raio 10 cm, conforme modelo em anexo;

figura 8



Colar no papelão grosso a figura confeccionada do círculo trigonométrico;



Colar o papel contacto em cima e em baixo de cada canudo e prendê-los de forma perpendicular, passando pelo ponto médio de cada um, furando “a cruz” (figura 9);



figura 9

No circulo de acetato desenhar uma circunferência com raio de 10 cm deixando uma sobra de 0,5 cm como borda; (figura 10)

figura 10



Encaixe o percevejo na borda da circunferência do círculo de acetato, de baixo para cima, colocando uma “cabeça” na outra ponta do percevejo prendendo também na “cruz”; (conforme figuras abaixo)

figura 11

figura 12



figura 13

Prenda a folha de acetato, a folha do circulo trigonométrico e o papelão com o alfinete de mapa;(conforme fotos 14 e 15);

figura 14

Neste trabalho focamos o estudo do seno, do cosseno e da tangente, mas atividades semelhantes podem ser propostas para as outras funções. Para realizar essa atividade o professor já deve ter explicado:  Ângulos e arcos na circunferência.  Medidas de arcos e ângulos.  Transformação de graus em radiano e vice-versa.

figura 15

Colocando em prática...

1- Complete a tabela com as medidas dos arcos: (Considere o raio da C = 2 .π . r e π = 3,14

circunferência igual a 1 unidade): Valor

Grau

Radiano

Aproximação do comprimento

De uma volta De meia volta De ¼ da volta De ¾ da volta Tabela 1

Lembrando: A equação de conversão de unidades é realizada por meio de uma regra de três simples. Medida em graus

Medida em radianos

a

____________

360

____________

Portanto:

α 2π,

=

Exemplo: Qual é a medida em graus de uma arco de 1 radiano? a

____________

360

a=

1

_____________

=

≈

≈ 57°

2π

2- Transforme: a) 120° em rad

d)

b)

e) 192 ° em rad

rad em graus

c) 40° em rad

f)

rad em graus

rad em graus

3- Encontre o quadrante do ciclo em que se encontram as imagens dos números: a) b) c) – 4,5 d) e) - 3

4 - Calcule a determinação principal dos arcos de medida: a) 4120° b) – 170° c) – 4550° d) – 33 π 5 – Determinar o quadrante a que pertence as extremidades dos seguintes arcos: a) 36°

d) 480°

b) 135°

e) -110°

c) 220°

f) 1280°

c) - 300°

g)

6 – Encontre os pontos simétricos aos números, se houver: a)

e

c)

e

b)

e

d)

e

7 – Complete as tabelas, observando o ciclo trigonométrico: a) x

0° ou 0 rad 90° ou

rad

180° ou

270° ou

rad

π rad

360° ou 2 π rad

sen x Tabela 2

b) Seno Quadrantes Sinal Variação Tabela 3

c) π

0

x

Y = sen x

2π

x

1530° (- 90°)

Y = sen x Tabela 4

d) x

0° ou 0 rad 90° ou

rad

180° ou π rad

cos x Tabela 5

e) Cosseno Quadrantes Sinal Variação Tabela 6

270° ou

rad

360° ou 2 π rad

f) x

π

0

Y = cos x

2π

x

1080° (- 180°)

Y = cos x Tabela 7

8 – Simplifique as seguintes expressões: a) y= 3 sen

+ cos 2 π

b) y = c) y = d) y = cos ( - 90°) + sen 450° e) y = cos

+ cos ( - π) + 5 sen ( -

)

f) y = sen 0° . sen 135° + sen 30°. sen 360° 9 – Descubra o ângulo α do quarto quadrante cujo: a) sen α = b) sen α = + c) cos α = -

Agora, vamos analisar a tangente  Para isso construa, com papel cartão, uma tira de 50 cm de comprimento e 3 cm de largura.

 Nela você irá marcar a sua metade, onde será o zero. Agora irá marcar os valores de zero a 1 para a direita e de zero a -1 para a esquerda, como nos eixos horizontal e vertical.  Essa tira será afixada perpendicularmente ao eixo horizontal. O zero da tira irá coincidir com o 1 do eixo.

figura 16

figura 17

Colocando em prática... 10 - Complete as tabelas, observando o ciclo trigonométrico: x

π

0

2π

y = tg x Tabela 8

11 - Dê o valor de: a) tg 0° =

d) tg

=

g) tg 5100° =

b) tg 60° =

e) tg

=

h) tg (- 7350°) =

c) tg 2 π =

f) tg

=

12 – Calcule o valor: a) tg 180° . tg 210° + tg 120° . tg 225° b) tg 2 π + tg

. tg

+ tg

c) tg (- 30°) + tg (- 60°) + tg (- 120°) d) tg ( -

) + tg (-2 π)

13 – Indique um ângulo α no terceiro quadrante com: a) sen α = b) sen α = c) sen α = cos α d) cos α = e) tg α = √3 14 – Identifique os quadrantes onde: a) seno e tangente são negativos b) cosseno cresce e o seno é negativo c) tangente é negativa e o cosseno é positivo d) seno cresce e o cosseno decresce e) seno e o cosseno são decrescente f) tangente positiva e o cosseno negativo 15 – Calcule: a) sen 270° - sen 180° + cos 90° b) tg 180° + cos 180° - sen 180° c) 3 sen 90° + 2 cos 180° + sen 30°

OBS: Atividade adaptada do artigo: Material concreto para ensino da Trigonometria – Erika da Costa Ribeiro

1.2 Explorando a trigonometria por meio da roda gigante

Podemos encontrar na natureza algumas ocorrências que se repetem com o tempo. O batimento cardíaco, a respiração, as ondas cerebrais, os

campos eletromagnéticos, as fases da Lua, o movimento de um pêndulo, das marés ou de uma roda-gigante são alguns exemplos. A característica em comum desses fenômenos é que todos podem ser descritos por funções periódicas. Um importante teorema garante que todo movimento periódico pode ser descrito por uma combinação algébrica de senos e cossenos, ou seja, a trigonometria é a base para qualquer fenômeno periódico. Neste experimento nos preocupamos com o movimento de uma rodagigante que gira com uma velocidade constante, executando, assim, um movimento que se repete. A função que representa a posição de uma cadeira da roda-gigante durante o movimento é uma função cosseno. Os alunos poderão modelar a altura de uma das cadeiras em função do tempo ou do arco percorrido no movimento usando apenas as noções trigonométricas do triângulo retângulo, observando a periodicidade do movimento. Este experimento poderá ser usado antes ou depois da introdução dos conceitos de Trigonometria, ficando a critério do professor. Sugestão: Confecção de uma roda gigante com papelão

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Grupos de 4 alunos. 

Materiais: papelão, 4 tampinhas de garrafa pet, tesoura, régua, cola branca, compasso, barbante, um lápis, folhas A10 de papel milimetrado para construção dos gráficos, papel cartão.



Procedimentos:



Com a ajuda do compasso, o grupo deverá desenhar duas circunferências iguais, cujo raio pode variar entre 5 e 15 centímetros. Cada grupo deverá escolher um valor diferente para o raio;



Trace dois diâmetros perpendiculares e, no ponto de encontro, perfure o papelão com o lápis;



Escolha um dos discos e cole uma tampinha de garrafa em cada extremidade dos diâmetros traçados;

figura 18

Cole as tampinhas alternadamente com a boca pra cima e para baixo. Assim, a roda - gigante terá uma maior estabilidade.



Cole o outro disco sobre as tampinhas. Espere uns 15 minutos até a cola secar;

figura 19



Para fazer a base da roda-gigante, os alunos devem recortar um pedaço de papelão como o da figura 20;

figura 20

A base pode ter quaisquer medidas, mas uma sugestão é que o retângulo hachurado seja de 2 cm x 5 cm.



O valor da medida h (distância do lado pontilhado do retângulo até a parte marcada do segmento de reta) deve ser um pouco maior que o raio dos discos;



Dobre na linha pontilhada de modo que a parte hachurada fique para baixo;



Fure a parte marcada da reta com o lápis;

figura 21



Recorte um pequeno disco de mais ou menos 6 cm de raio e cole na parte hachurada. Assim, a base terá mais estabilidade.

figura 22

figura 23

figura 24

O minitransferidor 

Construa um mini transferidor conforme anexo em papel cartão.

figura 25

Finalização da roda-gigante 

Coloque o disco na base construída usando o lápis como eixo para a roda-gigante, como na figura 24 acima.



Fixe o minitransferidor no eixo de modo que os eixos coincidam.

figura 26 O minitransferidor vem sem marcação para que o professor possa escolher entre usar a medida de ângulo em graus ou em radianos.

Colocando em prática... Com ajuda do instrumento que construímos, vamos analisar as propriedades de uma função periódica, colhendo informações a partir das simulações e medições que faremos. Para isso, os alunos devem construir tabelas para registrar essas informações. Tabela 1 

Agora vamos coletar alguns dados. Altura (cm)

Ângulo (radianos)

Tabela 1 – ângulo em função da altura

Eles devem mover a roda-gigante em sentido anti-horário e fazer medições da altura da tampinha com uma régua. 

Um dos eixos do transferidor deve estar alinhado ao eixo h do suporte. Escolha uma das tampinhas e a coloque na posição 0 do transferidor;



Registre na tabela a altura da tampinha escolhida e o ângulo em que ela se encontra. Nesse caso, o primeiro dado será Altura = h e Ângulo = 0. Gire sua roda-gigante e meça a cada 15° o valor da

altura e do ângulo. Complete a tabela preenchendo com os valores obtidos após, no máximo, duas voltas na roda-gigante;

figura 27

Tabela 2 

Faça

então

outra

tabela,

que

será

denominada

“Altura

×

Comprimento percorrido”; 

Voltando a tampinha na posição 0, faça o seguinte procedimento: você vai marcar o comprimento percorrido, usando, para obter este dado, um barbante e uma régua, como mostra a figura.

figura 28

figura 29

Considerar que as cadeiras estejam na circunferência do disco giratório e que as medidas

 

das alturas sejam relativas à base do modelo.

Com os dados das tabelas, no papel milimetrado faça dois gráficos em planos cartesianos diferentes. No primeiro gráfico, o eixo x deve ser o ângulo e o eixo y deve ser a altura. Já no segundo, o eixo x será o comprimento percorrido e o eixo y será a altura;



Esboce o traçado das curvas.

figura 30



figura 31

Questionamentos:

a) Quais características possuem este gráfico da tabela 1 que o difere dos outros tipos de gráficos que você conhece? b) Qual altura terá quando o ângulo for de 6π radianos (1080°)? Explicando...

... uma das características do gráfico é a sua periodicidade, ou seja, a altura é a mesma a cada volta completa da roda-gigante. ...quando o ângulo for de 6π radianos, a roda-gigante terá dado três voltas completas e a altura y será igual a altura h inicial.

c)

Supondo que o movimento de rotação da roda seja uniforme e que tenha se iniciado quando um passageiro entrou e se sentou na cadeira, qual é a altura da cadeira? Marque no gráfico.

d)

Depois de quantas voltas essa altura se repete?

e)

Qual é a altura máxima da cadeira? Marque no gráfico.

f)

Observando que entre a altura mínima e a altura máxima há uma altura intermediária que é atingida duas vezes em cada volta, quanto mede essa altura intermediária? Marque no gráfico.

g) Por que o gráfico que representa a altura não é constituído simplesmente por segmentos de reta?

Explicando... ...o modelo confeccionado faz com que o aluno perceba que a altura de uma cadeira da roda-gigante é uma função do ângulo correspondente ao giro.

h)

De que forma é possível encontrar a função que descreve o gráfico?

Explicando...

... Como R o raio da roda-gigante, h é a distância da base que sustenta a rodagigante ao centro do disco e θ é o ângulo de deslocamento da cadeira, a função é procurada é:

y = h - R. cos (θ)

Rosilene Sprot

figura 22

À medida que os grupos forem terminando o experimento, escolha três que fizeram rodas-gigantes com raios de valores diferentes e peça para que reproduzam o gráfico deles na lousa em um mesmo eixo. No gráfico “altura x ângulo” é interessante destacar que os mínimos e máximos das funções estão no mesmo ponto da abscissa. Incentive-os a encontrarem o porquê dessa situação, aproveitando para construir e explicar o conceito de período. Os outros grupos poderão verificar que seus gráficos também possuem o mesmo período, variando apenas os valores no eixo y. Isso acontece porque os pontos de máximo e mínimo estão diretamente relacionados às medidas da roda-gigante. Enfatize que os pontos mais baixos são aqueles obtidos nos valores de ângulos múltiplos de 2π.

OBS: Atividade adaptada de Matemática Multimidia – Unicamp, Números e Funções – A roda –gigante.

O material concreto deve ser usado sempre durante as aulas para que o aluno visualize e crie imagens mentais sobre o ciclo trigonométrico. Muitas vezes, achamos que com uma única experimentação o material conseguirá fazer o seu papel. Porém ele se torna mais eficaz quando é manipulado várias vezes até que o aluno consiga realmente apreender as informações nele contidas. Com o tempo ele deixará de ser necessário, pois o aluno conseguirá criar imagens mentais para serem utilizadas quando precisar.

Referências: http://matematicanoponto.blogspot.com.br/2012/03/curiosidades.html. Acessado em 06/11/2014 http://www2.unigranrio.br/pos/stricto/mest-ensinociencias/pdf/produtos/produto_carlos_antonio_de_souza.pdf . Acessado em 31/10/2014 http://turmas20032004ciep.blogspot.com.br/2009/04/teodlito.html. Acessado em 13/11/2014 http://www.ehow.com.br/trigonometria. Acessado em 10/11/2014 http://www.museutec.org.br/previewmuseologico/o_astrolabio.htm. em 14/11/2014

Acessado

http://m3.ime.unicamp.br/ Acessado em 01/10/2014 http://www.mat.ufmg.br/~espec/Monografias_Noturna/Monografia_ErikaCRibeir o.pdf. Acessado em 03/10/2014 Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005. Giovanni, José Ruy. Matemática completa/ José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno. – 2. ed. renov. – São Paulo: FTD, 2005. – (Coleção Matemática completa). Vol. 2 Guelli, Oscar. Contando a História da Matemática. Vol. 6. Dando corda na Trigonometria – 3. ed. - São Paulo: Ática, 1995. LORENZATO, S. Laboratório de Ensino de matemática e materiais manipuláveis. In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de professores)

PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008 Silva, Claudio Xavier da. Matemática aula por aula/Claudio Xavier da Silva, Benigno Barreto Filho. – 2. ed. renov. – São Paulo: FTD, 2005. – (Coleção Matemática aula por aula). Vol. 1 Smole, Katia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 2/ Katia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva , 2010. Vol. 2

Anexos 1. Jogo Batalha Naval Circular

Fonte: Smole, Katia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 2/ Katia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva , 2010. Vol. 2, pg. 390.

2. Foto do circulo trigonométrico

3. Mini transferidor trigonométrico