O movimento sob ação de uma força resistiva quadrática na velocidade e a função exponencial -- (versão 2.0)

O movimento sob a¸c˜ao de uma for¸ca resistiva quadra´tica na velocidade e a fun¸c˜ao exponencial (versa˜o 2.0) a c tort 3 de Agosto de 2015

Eis um problema de dinˆamica interessante. Encontrei-o perdido nas minhas anota¸c˜ oes de mecˆ anica newtoniana, mas inicialmente n˜ao consegui lembrar-me quando e onde travei contato com ele pela primeira vez. Depois de vasculhar um pouco minha biblioteca achei a fonte: Mrs. Perkins’s Electric Quilt de um dos meus autores favoritos, Paul Nahin, veja [1]. Trata-se da demonstra¸c˜ ao da existˆencia de um elo estreito entre a dinˆamica de um corpo que se move sob a a¸c˜ao de uma for¸ca resistiva quadr´atica na velocidade e um resultado importante do c´alculo diferencial e integral, a saber [2]:   x p lim 1 + = ex , (1) p→∞ p onde x e p s˜ ao adimensionais. Vejamos como este elo pode ser estabelecido. Considere um corpo que se move sobre uma reta. No instante t = 0 ele se encontra na origem, mas est´a animado de uma velocidade v0 , veja a v0

v F = −κmv0

F = −κmv

s>0

s=0

Figura 1: Movimento sob a¸c˜ao de uma for¸ca resistiva quadr´atica na velocidade.

1

Figura 1. As condi¸c˜ oes iniciais se escrevem: s(0) = 0, s(0) ˙ ≡ v(0) = v0 . A for¸ca resistiva sobre o corpo ´e proporcional ao quadrado da velocidade instantˆ anea e se escreve F = −κmv 2 .

(2)

dv = −κv 2 , dt

(3)

A equa¸c˜ ao de movimento ´e

ou ainda

1 dv = dt. κ v 2 dt Integrando ambos os lados da equa¸c˜ao acima obtemos −

(4)

1 + C1 , (5) κv onde C1 ´e uma constante de integra¸c˜ao – uma constante do movimento – que deve ser determinada com as condi¸c˜oes iniciais. No caso, para t = 0 temos v(0) = v0 , logo 1 0= + C1 . (6) κ v0 t=

Segue que C1 = −

1 . κ v0

(7)

Portanto, agora temos 1 t= κ



1 1 − v v0

 .

(8)

Com um pouco de algebrismo podemos escrever a equa¸c˜ao acima na forma v(t) =

v0 . 1 + κv0 t

(9)

Mas, por defini¸c˜ ao, v=

ds , dt

(10)

logo, Z s(t) =

Z v(t) dt + C2 = v0

2

dt + C2 . 1 + κv0 t

(11)

Fazendo u = 1 + κv0 t, segue que du = κv0 dt, e logo Z 1 du 1 s(t) = + C2 = ln (1 + κv0 t) + C2 . κ u κ

(12)

Lembrando que s(0) = 0, e ln(1) = 0, vemos que C2 = 0 e s(t) se escreve 1 ln (1 + κv0 t) . (13) κ Observe que κ tem dimens˜ oes de inverso de comprimento. Para contornar quest˜ oes de dimensionalidade nos passos seguintes definamos κ = λ/L, onde λ ´e um n´ umero real positivo e L ´e a unidade de comprimento adotada. Neste caso, podemos escrever a equa¸c˜ao adimensional:   1 λv0 t s(t) = ln 1 + , (14) L λ L ou, s(t) =

1 ln (1 + λ x∗ ) , (15) λ com s∗ (t) = s(t)/L e x∗ = v0 t/L. Por conveniˆencia, fa¸camos agora p ≡ 1/λ, ent˜ ao     x∗ p x∗ ∗ = ln 1 + . (16) s (t) = p ln 1 + p p s∗ (t) =

No limite em que λ → 0 (ou p → ∞), isto ´e, a for¸ca resistiva tende a zero, o corpo deve estar em movimento retil´ıneo uniforme (MRU), em outras palavra s∗ (t) ≈ x∗ , isto ´e,   x∗ p ∗ lim s (t) = lim ln 1 + = x∗ . (17) p→∞ p→∞ p Mas,  lim

p→∞

x∗ 1+ p

p

∗

= ex ,

(18)

onde   1 p = 2.7182818..., e = lim 1 + p→∞ p

(19)

´e a base dos logaritmos neperianos [2]. Portanto, o problema f´ısico proposto estabelece uma rela¸c˜ ao estreita entre a dinˆamica e uma das fun¸c˜oes matem´ aticas mais importantes da matem´atica aplicada. 3

80

y

60

40

20

0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

x

Figura 2: A fun¸c˜ao exponencial. Antes de concluir, um detalhe: considere novamente a equa¸c˜ao (15). Se λ → 0 ou p → ∞, a raz˜ ao x∗ /p → 0. Fazendo X ≡ x∗ /p, rescrevemos (15) como s∗ (t) = p ln (1 + X)

(20)

A s´erie de Taylor de ln (1 + X) para X  1 se lˆe ln (1 + X) = X + O(X 2 ) ≈ X.

(21)

x∗ v0 t = , p L

(22)

Portanto, s∗ (t) ≈ p × X = p × ou, lembrando que s∗ (t) = s(t)/L, s(t) ≈ v0 t.

(23)

A Figura 3 exibe gr´ aficos para s∗ como fun¸c˜ao de x∗ – Eq. (16) – para diversos valores do parˆ ametro p. Observe que para p  1, o gr´afico tende para uma reta que passa pela origem.

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Figura 3: Gr´ aficos para s∗ como fun¸c˜ao de x∗ para diversos valores do parˆ ametro p.

Agradecimentos A C T agradece Vitorvani Soares pelas observa¸c˜oes pertinentes.

Referˆ encias [1] P. J. Nahin Mrs. Perkins’s Electric Quilt (Princenton University Press; Princeton) 2009. [2] H. E. Taylor & T. L. Wade University Calculus and Subsets of the Plane combined edition (Wiley; New York) 1962.

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