COCITE – Física Pt
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Vasco Simões -
[email protected] O texto que se segue é a resolução de um problema do qual já conhecíamos a solução. Uma inocente afirmação do prémio Nobel da Física R. P. Feynman levou-nos a tentar obter o seu resultado, que ele apresenta sem qualquer demonstração ou explicação. Afirma Feynman que, estando a almoçar na cantina da Universidade onde leccionava, observou o movimento de um prato atirado por um aluno mais excitado certamente, e verificou que o prato apresentava um movimento oscilatório durante o movimento. Estudado o assunto Feynman concluiu que a frequência dessa oscilação deveria ser o dobro da frequência de rotação do prato. É este resultado que pretendemos obter no texto seguinte intitulado O Prato Voador de R. P. Feynman.
O PRATO VOADOR DE R. P. FEYNMAM • O problema: Um disco é lançado com velocidade de rotação ω em torno do seu eixo de simetria, no campo gravítico. Pretende-se estudar nestas condições o movimento do disco. Seja x,y,z um sistema de eixos solidário com o disco, como mostra a figura ao lado e X,Y,Z um sistema de eixos considerado fixo, com a mesma origem do sistema móvel. Pode então concluir-se imediatamente que 1 1 I x = I y = I o = mr 2 ; I z = I = mr 2 4 2 onde m é a massa do disco que supomos homogéneo, e r o seu raio. r Em geral, em relação a um ponto P, se for M P o momento resultante r das forças que actuam o disco, e LP o momento angular do disco, temos que r r dLP MP = dt ou, fazendo P=O=CM, podemos escrever abreviadamente r r dL M= dt com todos os momentos em relação ao Centro de Massa do disco, que coincide com o seu centro geométrico. A equação anterior é válida para um sistema de eixos fixo, no nosso caso o sistema X,Y,Z. Em relação a r um sistema de eixos móvel, com a mesma origem, que se move com velocidade angular Ω , teremos
∑
∑
∑
∑ ou seja:
r
∑ M = [ L&
x
r r r r r dL dL +Ω× L = M = dt X ,Y , Z dt x , y , z
+ Lz Ω y − Ly Ω z , L& y − Lz Ω x + Lx Ω z , L& z + Ly Ω x − Lx Ω y
]
(1)
que pode ser considerada como uma equação do movimento de um sólio em torno do seu Centro de Massa. Como o Momento das forças exteriores que actuam o disco é o momento do Peso do disco, em relação ao Centro de Massa o momento é nulo logo: 0 = L&x + Lz Ω y − Ly Ω z , L& y − Lz Ω x + Lx Ω z , L&z + Ly Ω x − Lx Ω y (2)
[
]
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Mais ainda, como o disco tem simetria axial, os eixos móveis x,y,z são eixos principais de inércia portanto a matriz de inércia fica diagonal. Torna-se agora necessário recorrer aos Ângulos de Euller.
1º angulo de Euller 2º angulo de Euller 3º angulo de Euller Recordemos que o primeiro angulo de Euller é o angulo φ correspondente a uma rotação anti-horária em torno do eixo Z. O segundo angulo de Euller é o angulo θ que corresponde a uma rotação anti-horária em torno do novo eixo X’. O terceiro angulo de Euller é o angulo ψ que corresponde a uma rotação anti-horária em torno do novo eixo Z’’. Por intermédio destas três rotações podemos passar, em qualquer instante, do sistema XYZ fixo para o sistema móvel xyz que corresponderá portanto ao sistema X ′′′ , Y ′′′ , Z ′′′ que surge na última das três figuras anteriores. r r Para obter as componentes de Ω e ω socorremo-nos das relações bem conhecidas que envolvem os ângulos de Euller. Como o plano X ′′′ = x , Y ′′′ = y é o plano do disco, podemos concluir que ψ& = ω Para as outras rotações temos Ω x = θ& = ω x (rotação em torno do eixo x) & Ω = φ cosθ (rotação em torno do eixo z) z
ω z = Ωz + ω
(rotação em torno do eixo z) e portanto, as componentes do momento angular serão: Lx = I xω x = I 0θ& Ly = I yω y = I 0φ& sinθ & Lz = I zω z = I ( φ cosθ + ψ& ) Colocando estas expressões em (1) fica:
I 0θ&& + I ( φ& cosθ + ψ& ) φ& sinθ − I 0φ& sinθ φ& cosθ = = I 0 (θ&& − φ& 2 sinθ cosθ ) + I φ& ( φ& cosθ + ψ& ) sinθ = 0 & & cosθ ) − I θ& ( φ& cosθ + ψ& ) = 0 I 0 ( φ&& sinθ + 2 φθ I
(3)
d & ( φ cosθ + ψ& ) = 0 dt
r r Tendo agora em conta que L = [ I ] ω
e a matriz de inércia
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[I]
é diagonal, ter-se-á:
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Lx = I xω x − I xyω y − I xzω z = I xω x = I 0ω x Ly = − I xyω x + I yω y − I yzω z = I yω y = I 0ω y L = −I ω − I ω + I ω = I ω = I ω xz x yz y z z z z z z
Se orientarmos os eixos x,y por forma a que se tenha Lx = 0 , como mostra a figura ao lado (o que se pode sempre fazer sem qualquer perda de generalidade), tem-se Lx = 0 = I 0ω x ⇒ ω x = Ω x = 0 ⇒ θ& = 0 ⇒ θ = C te e portanto estamos em presença r de um movimento de precessão estável em torno do momento angular L . Como ω x = 0 a velocidade angular de rotação do disco em torno do seu eixo (spin) fica no plano yz , tal como sucede com o eixo Z, e faz um certo angulo β com o eixo z. A tangente de θ é tg θ =
Ly
=
I 0ω y
=
I0 tg β I
Lz Iω z r e ω faz pois um angulo constante β com o eixo z. A velocidade de precessão é φ& , mas se a precessão é estável é
φ& = C te , φ = C te e ω = ψ& = C te , então ψ& = Cte ⇒ ψ&& = 0 θ = Cte ⇒ θ& = θ&& = 0 φ& = Cte ⇒ φ&& = 0 e usando estes resultados, as equações (3) ficam − I 0 φ& 2 sinθ cosθ + I φ& ( φ& cosθ + ψ& ) sinθ = 0
My = 0 Mz = 0 portanto
− I ψ& ( I − I 0 ) cosθ e esta velocidade pode ser horária ou anti-horária consoante I > I 0 ou I < I 0 1. φ& é a velocidade de precessão em torno do eixo Z fixo no espaço, e é esta precessão que dá a ideia de & & − I φ& 2 cosθ = 0 I φ& 2 cosθ + Iφψ 0
uma oscilação quando se observa o voo do disco. O período desta precessão é
φ& =
2π T= & φ
2π φ&
T=
ou melhor:
⇒
pois que φ& pode ser positiva ou negativa, então
T = 2π
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I 0 − I cosθ Iω
, ω = φ&
Será talvez interessante estudar o significado físico do caso em que I 0 = I .
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I x = I y = Io =
e no caso do disco, como
1 2 mr 4
1 2 mr 2 1 2 1 2 mr − mr I0 − I 1 4 2 = = 1 I 2 mr 2 2 π cosθ T= Iz = I =
obtém-se
e
ω
f =
A frequência da precessão é pois enquanto que frequência de rotação (spin) é
f′=
ω 1 = T π cosθ
ω 2π
f 2 2 = ⇒ f = f′ f ′ cosθ cosθ Esta “oscilação” deve ser pequena, isto é, o angulo θ não deve ser grande pois que em muitos casos a “oscilação” é quase imperceptível, portanto deve ter-se cosθ ≈ 1 e neste caso f =2f′ que é o resultado procurado. portanto
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