Conferência Nacional sobre Modelagem na Educação Matemática Modelagem Matemática na Educação Matemática: pluralidades e debates São Carlos, SP – 30 de abril à 02 de maio de 2015
ISSN 2176-0489
O PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA E O MÉTODO FILOSÓFICO CARTESIANO: ALGUMAS DISCUSSÕES Renato Francisco Merli Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Toledo
[email protected] Resumo: O presente texto é um ensaio sobre as possíveis (des)aproximações que podem existir entre o processo de Modelagem Matemática e o método filosófico cartesiano de constituição do conhecimento. Trata-se de uma pesquisa cuja abordagem metodológica foi de cunho histórico-bibliográfico. Para que as discussões possam ser frutíferas são apresentadas algumas perspectivas de Modelagem Matemática, dando ênfase ao processo de modelagem (que é o foco do texto), em seguida, o método de Descartes é apresentado, sendo ele delineado pelo filósofo principalmente em suas obras o Discurso do Método e As Regras para Direção do Espírito. Na sequência as possíveis relações e aproximações são apresentadas e discutidas. Por fim, nas conclusões é possível verificar que muito do que Descartes apresenta enquanto método filosófico para constituir o conhecimento é realizado no processo de Modelagem Matemática, o que evidencia a importância desse processo enquanto método de ensino de matemática.
Palavras-chave: Método Cartesiano. Modelagem Matemática. Processo de Modelagem.
Apresentação do tema Nas situações corriqueiras da escola ouvimos professores conversarem “Hoje eu passei o Teorema de Tales”, “Iniciei o Teorema Fundamental do Cálculo”, “Consegui terminar o conceito de Semelhança de triângulos”, entre outras frases que mostram que a ênfase do ensino, nesses casos, está no objeto a ser ensinado (Teorema de Tales, Teorema Fundamental do Cálculo, Semelhança de triângulos) e no sujeito “transmissor” do mesmo (professor). Esse tipo de situação retira o papel fundamental do aluno e o mesmo fica subjugado aos outros elementos do ambiente de ensino. Nesse contexto, a Modelagem Matemática, enquanto método de ensino muda esse paradigma e, o foco passa a ser no sujeito que aprende, sujeito este que constrói seu conhecimento e é mediado pelo professor. Nessa perspectiva de mudança, ao longo desse texto, procura-se reforçar o uso da Modelagem Matemática enquanto processo de ensino por entender que esse processo permite ao aluno alcançar o conhecimento. É com esse objetivo que o texto trata da importância da Modelagem Matemática como método filosófico de conhecimento. Para tanto, será utilizado, enquanto fundamento e necessidade de prova, o método filosófico cartesiano, que é baseado fundamentalmente em duas obras de René Descartes, o Discurso do Método (1637) e Regras para Direção do Espírito (1628), para compreender que o processo de modelagem pelo qual
os alunos passam durante a aula trata-se de um processo de construção, descoberta e invenção, um modelo de método filosófico para constituição de novos saberes 1. É importante destacar que o modelo cartesiano para o conhecimento é baseado num modelo matemáticometafísico, cujo enfoque está na dúvida metódica2, ou seja, coloca-se em dúvida tudo aquilo que não possa ser tratado de forma clara e distinta3. Alguns poderiam perguntar: o método cartesiano não é um método reducionista presente numa perspectiva moderna racionalista, o que fragmenta o currículo (KLÜBER; BURAK, 2008, p. 27) e foge ao atual paradigma sistêmico e integrador? Sim, mas o enfoque dado no presente texto é problematizar as contribuições que Descartes, em seus estudos sobre o método filosófico, podem trazer para a constituição e entendimento do processo de Modelagem Matemática enquanto modo de adquirir saberes. Também cabe ressaltar como apontam Souza e Espírito Santo (2008, p. 7) que “podemos observar que o método de Descartes assemelha-se ao da Modelagem Matemática quando temos que considerar apenas uma parte da realidade”, ou seja, uma “parte” e não toda ela. Portanto, o autor que vos escreve, está ciente que o método cartesiano não é completamente semelhante ao processo de Modelagem Matemática, possuindo convergências e divergências, que ao longo do texto serão apresentadas e discutidas. Desta forma, a pretensão deste ensaio é defender, conforme Meyer, Caldeira e Malheiros (2011, p. 14-15) um uso de Matemática que, mesmo podendo se constituir num fim em si mesmo para os matemáticos, para a enorme maioria de nossos alunos, deve e precisa ser um instrumental de avaliação do mundo: é, antes, também um meio de complementar de se - como afirma Paulo Freire – “ler o mundo”. Ler o mundo e tentar entendê-lo em seus muitos e diversos aspectos.
Ler o mundo significa conhecer o mundo, ou seja, subjazem aspectos epistemológicos e ontológicos dos objetos, principalmente dos matemáticos. Nessa perspectiva, o texto está dividido em três seções que discutirão a Modelagem Matemática, o método cartesiano e as discussões que podem ser estabelecidas entre ambos.
1
Nesse texto os termos saber e conhecimento serão tratados como sinônimos do ato de conhecer, discernir. O método cartesiano da dúvida é o rótulo amiúde aplicado ao procedimento pelo qual Descartes tenta remover do caminho, com a finalidade de estabelecer uma base metodológica confiável para sua nova ciência, as pedras que constituem os preconceito e opiniões preconcebidas (COTTINGHAM, 1995, p. 56). 3 Chamo claro ao que é presente e manifesto a um espírito atento: do mesmo modo que dizemos ver claramente os objetos, quando estão presentes e agem intensamente... e, os nossos olhos estão dispostos a olhá-los. É distinta aquela que... é tão precisa e diferente de todas as outras, que só compreende em si o que aparece manifestamente a quem a considera como deve ser (DESCARTES, 1995, p.70). 2
Modelagem matemática
A Modelagem Matemática pode ser entendida sob diversos contextos, seja como um ambiente de aprendizagem, um método de ensino ou como um método científico de construção do conhecimento. Essas formas de conceber a Modelagem Matemática estão presentes nos diversos trabalhos dos pesquisadores da área. Apresentando alguns, sem esgotar o tema, tem-se que, para Almeida, Silva e Vertuan (2012, p. 15) “a Modelagem Matemática visa propor soluções para problemas por meio de modelos matemáticos”; para Bassanezi (2011, p. 16) “a modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”; em Biembengut e Hein (2003, p. 11), é entendido que “a modelagem, arte de modelar, é um processo que emerge da própria razão e participa da nossa vida como forma de constituição e de expressão do conhecimento”. Já Almeida e Vertuan (2014, p. 2) admitem que a Modelagem Matemática “visa propor soluções para problemas por meio de modelos matemáticos”. Nesse caso, para eles, a obtenção de tais modelos está diretamente relacionada há resolução de um problema, que pode levar a um novo conhecimento. Num viés mais científico, de interesse para o presente trabalho, Cifuentes e Negrelli (2011, p. 123) entendem que a [...] finalidade do processo de Modelagem Matemática, numa perspectiva científica, é a elaboração/construção de um modelo matemático que descreva e/ou explique uma situação dita “real”, previamente delimitada, o que também evidencia o caráter epistemológico e não apenas matemático do referido processo.
Nessa mesma linha, Bean (2001, p. 55) admite que o processo de construção de um modelo envolve “hipóteses e aproximações simplificadoras”, que focaliza o “processo matemático, enquanto, as propostas para o ensino tratam questões metodológicas para conectar a Matemática aos interesses dos alunos. Embora distintos, os dois enfoques são importantes para o ensino e aprendizagem da matemática”. Além de tais concepções de Modelagem Matemática, Meyer, Caldeira e Malheiros (2011, p. 17) caracterizam a modelagem em três passos principais: “o da formulação, o do estudo de resolução (ou, em muitos casos – aliás, a maioria – o de resolução aproximada) e o de avaliação”. Logo em seguida, distinguem cinco momentos para o processo de Modelagem Matemática [...] 1) determinar a situação; 2) simplificar as hipóteses dessa situação; 3) resolver o problema matemático decorrente; 4) validar as soluções matemáticas de acordo com a questão real e, finalmente, 5) definir a tomada de decisão com base nos resultados (MEYER, CALDEIRA, MALHEIROS, 2011, p. 28).
Almeida e Vertuan (2014, p. 4) caracterizam os procedimentos de Modelagem Matemática em Inteiração, Matematização, Resolução e Interpretação de Resultados e Validação. A Inteiração diz respeito ao primeiro momento de contato com o problema, em que a finalidade é conhecer as especificidades e as características do mesmo. Na Matematização temos a passagem da linguagem natural (em termos não matemáticos) para a linguagem matemática, nesse momento aparecem as simplificações, as hipóteses, a seleção de variáveis, os símbolos matemáticos e todo o arcabouço necessário para a resolução matemática do problema. A Resolução é o momento em que o modelo matemático passa a ser construído, buscando descrever e explicar o comportamento do problema inicial. E por último, e não menos importante, há a Interpretação de Resultados e Validação dos mesmos; que, a grosso modo, significa essencialmente analisar o modelo obtido e verificar a sua adequação ao problema. Essa fase consiste numa avaliação de todo o processo realizado, de modo que, se não estiver a contento dos modeladores, o processo é novamente realizado. Apresentado o que se entende por Modelagem Matemática nas diferentes perspectivas dos autores, fica aqui estabelecida como perspectiva do ensaio, a proposta dada por Cifuentes e Negrelli (2011), ou seja, a científica e, como processo de Modelagem Matemática, o de Almeida e Vertuan (2014). Na sequência é apresentado o método cartesiano de René Descartes.
Método cartesiano
O cartesianismo, como filosofia, busca dentre muitas de suas pretensões e realizações, assumir como primeira e fundamental dessas o provimento dos fundamentos, das raízes, a árvore do saber. René Descartes empreende um verdadeiro recomeço na filosofia, ao considerar insatisfatórios tanto o método, quanto os resultados obtidos pelos homens do saber até a sua época, sente-se obrigado a romper definitivamente com o legado deles. Assim, a insatisfação não leva o filósofo francês a uma tentativa de retificação pontual daquilo com o que não concordava nas outras filosofias, mas, sim, a começar tudo novamente, desde os fundamentos, das primeiras causas, isto é, desde os primeiros princípios. O conhecimento, para Descartes, se constrói em conformidade com uma determinada ordem, que pode expressar-se por via analítica ou por via sintética. Essa ideia de ordem expressa na forma analítica e sintética partiu de uma “inspiração matemática” (BATTISTI, 2002, p. 24) ou como
apresenta Rodis-Lewis (2001, p. 21) de “prática das matemáticas”, cujos fundamentos estão no método geométrico grego4 de resolução de problemas. Para melhor compreensão do método, serão discutidas nos próximos parágrafos as regras apresentadas pelo filósofo no livro o Discurso do Método e também no livro Regras para Direção do Espírito. Logo no início do texto do Discurso, o filósofo adverte “assim, o meu desígnio não é ensinar aqui o método que cada qual deve seguir para bem conduzir sua razão, mas apenas mostrar de que maneira me esforcei por conduzir a minha” (DESCARTES, 1979, p. 30). O propósito do filósofo não era taxar ou forçar um método comum a todos, até porque, ele era contra esse tipo de prática; o seu objetivo era mostrar um possível caminho para o saber. Nesse esforço de expor o seu método a todos, ele propõe quatro regras: O primeiro era o de jamais acolher alguma coisa como verdadeira que eu não conhecesse evidentemente como tal; isto é, de evitar cuidadosamente a precipitação e a prevenção, e de nada incluir em meus juízos que não se apresentasse tão clara e tão distintamente a meu espírito, que eu não tivesse nenhuma ocasião de pô-lo em dúvida. O segundo, o de dividir cada uma das dificuldades que eu examinasse em tantas parcelas quantas possíveis e quantas necessárias fossem para melhor resolvê-las. O terceiro, o de conduzir por ordem meus pensamentos, começando pelos objetos mais simples e mais fáceis de conhecer, para subir, pouco a pouco, como por degraus, até o conhecimento dos mais compostos, e supondo mesmo uma ordem entre os que não precedem naturalmente uns aos outros. E o último, o de fazer em toda parte enumerações 5 tão completas e revisões tão gerais, que eu tivesse a certeza de nada omitir (DESCARTES, 1979, p. 37-38).
Essa é a essência de seu trabalho, pois Descartes expõe sua crença na caracterização do problema do método como garantia para a obtenção da verdade. Segundo esse racionalismo, o melhor caminho para a compreensão de um problema é a ordem e a clareza com que são processadas as reflexões. Um problema sempre será mais bem compreendido se for dividido em uma série de pequenos problemas que serão analisados isoladamente do todo. O filósofo ainda aponta que essas longas cadeias de razões, todas simples e fáceis, de que os geômetras costumam servir-se para chegar às mais difíceis demonstrações, haviam-me dado a ocasião de imaginar que todas as coisas possíveis de cair sob conhecimento dos homens seguem-se umas às outras da mesma maneira e que, contanto que nos abstenhamos somente de aceitar por verdadeira qualquer que não o seja, e que guardemos sempre a ordem necessária para deduzi-las umas das outras, não pode haver quaisquer tão afastadas a que não se chegue por fim, nem tão ocultas que não se descubram (DESCARTES, 1979, p. 38-39).
Descartes sinaliza neste trecho, assim como no anterior, a importância dos antigos 4
O método geométrico grego está vinculado essencialmente à obra de Pappus A coleção. Rodis-Lewis (2001, p. 20) afirma que a enumeração tem um forte papel heurístico, tanto na investigação dos intermediários como no percurso das dificuldades. E enumeração releva em primeiro lugar tudo o que se relaciona com uma dada questão. 5
geômetras gregos6 para construção e elaboração de seu método, para ele “devem ler-se os livros dos Antigos, pois é uma grande vantagem podermos aproveitar os trabalhos de um tão elevado número de homens, quer para conhecer as descobertas já feitas no passado com êxito, quer também para nos informarmos do que ainda falta descobrir em todas as disciplinas” (DESCARTES, 1989, p. 18). Dando continuidade à explicação do método, Descartes admite dois “atos” do entendimento: a intuição7 e a dedução. Para o filósofo, o primeiro, não é uma “convicção flutuante fornecida pelos sentidos ou o juízo enganador de uma imaginação de composições inadequadas, mas os conceitos da mente pura e atenta tão fácil e distinta que nenhuma dúvida nos fica acerca do que compreendemos” e, como exemplo, admite que seja pela intuição que um indivíduo vê, “pensa, que um triângulo é delimitado apenas por três linhas, que a esfera o é apenas por uma superfície” (DESCARTES, 1989, p. 20).
O segundo, a dedução, é
entendida como “o que se conclui necessariamente de outras coisas conhecidas com certeza” (DESCARTES, 1989, p. 21). Esse movimento de deduzir é realizado por “um movimento contínuo e ininterrupto do pensamento, que intui nitidamente cada coisa em particular”. Portanto, para o filósofo, a distinção entre ambas é que a segunda é concebida por meio de um movimento ou sucessão, enquanto que a primeira não precisa desse movimento, é uma evidência buscada na memória. Descartes, entretanto ressalva que [...] é “certíssimo, pois, que os estudos feitos desordenadamente e as meditações confusas obscurecem a luz natural e cegam os espíritos” (DESCARTES, 1989, p. 23) e continua: entendo por método regras certas e fáceis, que permitem a quem exatamente as observar nunca tomar por verdadeiro algo de falso e, sem desperdiçar inutilmente nenhum esforço da mente, mas aumentando sempre gradualmente o saber, atingir o conhecimento verdadeiro de tudo o que será capaz de saber (DESCARTES, 1989, p. 24).
Descartes, na sua busca pela ordem do método afirma que “[...] decidi observar pertinazmente na busca do conhecimento das coisas uma ordem tal que, principiando sempre pelos objetos mais simples e mais fáceis, nunca passe a outros sem me parecer que os primeiros nada mais me deixam para desejar” (DESCARTES, 1989, p. 29). Assim, para ele, todo o método consiste na ordem e na disposição dos objetos para os quais é necessário dirigir a penetração da mente, a fim de descobrirmos alguma verdade. E observá-lo-emos fielmente, se reduzirmos gradualmente as proposições complicadas 6
Os antigos geômetras gregos apontados por Descartes dizem respeito a Euclides, Pappus e Apolônio, os quais tiveram suas obras lidas pelo filósofo, como aparecem em alguns trechos de sua obra. 7 A intuição, do latim intuitus, deriva do verbo intueri, quem em latim clássico significa, simplesmente olhar, ou inspecionar. Descartes alega que a mente, quando liberta da interferência dos estímulos sensoriais, tem o poder inato de “ver”, ou aprender diretamente (COTTINGHAM, 1995, p. 91).
e obscuras a proposições mais simples e se, em seguida, a partir da intuição das mais simples de todas, tentarmos elevar-nos pelos mesmos degraus ao conhecimento de todas as outras (DESCARTES, 1989, p. 31).
Para distinguir as coisas mais simples das mais complexas e prosseguir ordenadamente na investigação, é necessário, em cada série de coisas em que diretamente deduzimos algumas verdades umas das outras, notar o que é mais simples e como todo o resto dele está mais ou menos, ou igualmente afastado (DESCARTES, 1989, p. 33). Ele prossegue, admitindo que não se deva começar os estudos pela investigação das coisas difíceis, mas que importa, antes nos aprontarmos para algumas questões determinadas, recolher previamente, sem fazer nenhuma escolha, as verdades que se apresentem espontaneamente, ver depois, gradualmente, se outras delas se podem deduzir, e destas outras ainda, e assim por diante (DESCARTES, 1989, p. 36).
Descartes salienta que o conhecimento se dá por mais de um caminho e este, pode ser simplificado ou ser tornar mais complexo, na medida em que cada um medita sobre ele, se “pode buscar o conhecimento da mesma coisa por vias diferentes, em que uma é muito mais difícil e obscura que a outra” (DESCARTES, 1989, p. 38). Para entender o que o filósofo afirma, ele traz como exemplo encontrar termos continuamente proporcionais a 3, 6, 12 e 24. Se a suposição for dada a cada dois números contínuos, como 3 e 6, 6 e 12 ou 12 e 24, o processo para encontrar a proporção é diretamente encontrado pela divisão ou multiplicação de um pelo outro, na ordem correta. Agora, se a suposição dada for de dois números alternados, como 3 e 12, 3 e 24 ou 6 e 24, o processo para encontrar a proporção é dado de forma indireta e será necessário um estudo mais aprofundado. Outro ponto fundamental no método é que, para ele, “é preciso analisar, uma por uma, todas as coisas que se relacionam com o nosso objetivo, por um movimento contínuo e jamais interrompido do pensamento, abarcando-as numa enumeração suficiente e metódica” (DESCARTES, 1989, p. 39). Essa enumeração é exigida, pois, se outros preceitos nos servem, certamente, para resolver a maioria das questões, só enumeração nos pode ajudar a aplicar o nosso espírito a qualquer uma delas, a fazer sempre sobre ela um juízo seguro e certo e, por consequência, a não deixar escapar absolutamente nada, parecendo assim que de todas sabemos alguma coisa (DESCARTES, 1989, p. 40).
Esta enumeração, ou também indução8, é a “investigação de tudo o que se relaciona com uma questão proposta, investigação tão diligente e tão cuidada que dela tiremos a 8
A indução cartesiana não se distancia do conceito de indução apresentado por Hume, como uma generalização de particulares. Por exemplo: para mostrar por enumeração que a área de um círculo é maior que área de qualquer outra figura geométrica com perímetro igual ao do círculo, não é preciso reanalisar todas as figuras geométricas, uma vez que, se posso demonstrar que esse fato se aplica a algumas figuras em particular, poderei também concluir, por indução, que o mesmo se aplica a todos os demais casos (COTTINGHAM, 1995, p. 88).
conclusão certa e evidente de que nada omitimos por descuido” (DESCARTES, 1989, p. 40). Ele adverte que não há uma ordem para a enumeração, isso depende e varia de pessoa para pessoa, mas ressalva “é preciso dirigir toda a acuidade do espírito para as coisas menos importantes e mais fáceis e nelas nos determos tempo suficiente até nos habituarmos a ver a verdade por intuição de uma maneira clara e distinta” (DESCARTES, 1989, p. 53). Descartes dirá que a forma de tornar as operações do nosso entendimento (intuição e dedução) mais aptas é fortalecer as duas principais faculdades do nosso espírito: a perspicácia e a sagacidade. A primeira relacionada à possibilidade de “enxergar” as coisas de forma simples e fácil por meio da “capacidade de distinguir perfeitamente as coisas mais ínfimas e subtis” (DESCARTES, 1989, p. 54) e a segunda, por meio da agudeza do espírito em conduzir de forma clara e distinta as deduções que se originam da intuição. O filósofo afirma, “para que o espírito se torne perspicaz, deve exercitar-se em procurar o que já outros foi encontrado, e em percorrer metodicamente todas as artes ou ofícios dos homens, ainda os menos importantes, mas sobretudo os que manifestam ou supõem ordem” (DESCARTES, 1989, p. 57). E conclui, finalmente, há que utilizar todos os recursos do entendimento, da imaginação 9, dos sentidos e da memória, quer para termos uma intuição distinta das proposições simples, quer para estabelecermos, entre as coisas que se procuram e as conhecidas, uma ligação adequada que as permita reconhecer, quer ainda para encontrar as coisas que entre si se devem comparar, a fim de se não omitir nenhum recurso da indústria humana (DESCARTES, 1989, p. 65).
Para Descartes, só o entendimento é capaz de ver a verdade, e ele deve ser ajudado pela imaginação, pelos sentidos e pela memória, de modo que nada seja omitido. No que se refere à realidade10, para ele basta examinar três coisas: “primeiro, o que se apresenta espontaneamente; em seguida, como se conhece por outro um determinado objeto, e, por fim, que deduções se podem tirar de cada um deles” (DESCARTES, 1989, p. 66). Ele admite que a dificuldade (ou problema) proposta(o) deve ser diretamente percorrida(o), prescindindo do fato de alguns dos seus termos serem conhecidos e outros desconhecidos, examinando intuitivamente a interdependência de cada um deles em relação aos outros, mediante verdadeiros raciocínios e de forma ordenada e enumerativa, resolvê-la(o) 9
Descartes deixa claro que a imaginação (e o mesmo se aplica à SENSAÇÃO) é uma faculdade que me pertence não qua substância mental pura, mas somente na medida em que sou uma criatura investida de um corpo – um SER HUMANO. Por exemplo: quando imagino um triângulo, não entendo apenas que se trata de uma figura limitada por três lados, mas também vejo essas três linhas, ao mesmo tempo, com o olho da minha mente, como se estivessem diante de mim (COTTINGHAM, 1995, p. 82). 10 Para Descartes, há dois tipos de realidade: a formal e a objetiva. Uma ideia, segundo ele, pode ser considerada, ou do ponto de vista psicológico, como certa modificação na consciência, ou do ponto de vista de seu conteúdo representacional; o primeiro aspecto é visto por ele como realidade formal de uma ideia, o segundo como realidade objetiva (COTTINGHAM, 1995, p. 138).
de forma analítica, apresentando os resultados de forma sintética (DESCARTES, 1989, p. 111). Assim, o método cartesiano traz uma proposta para aquisição do conhecimento (ou resposta a um problema), pautado na dúvida inicial, que leva o indivíduo a particionar o problema em quantas partes forem necessárias até se chegar à forma mais simples e distinta. Posterior a isso, por meio de uma ordem estabelecida e por diversas enumerações, se resolve o problema por meio do estabelecimento de relações. Portanto, buscando revelar algumas contribuições do método para o campo da Modelagem Matemática, na próxima seção são discutidas algumas aproximações/relações.
Discussões sobre as aproximações/relações
Nessa seção, a procura por aproximações/relações entre o processo de Modelagem Matemática e o método cartesiano fará com que sejam adotadas como fases do processo de Modelagem aquelas utilizadas por Almeida e Vertuan (2014), já discutidas anteriormente, mas que valem a pena serem lembradas: Inteiração, Matematização, Resolução e Interpretação de Resultados e Validação. Todas as discussões se darão a partir desse esquema. Na primeira fase, Inteiração, Almeida e Vertuan (2014, p. 4) admitem que “esta etapa representa um primeiro contato com uma situação-problema que se pretende estudar com a finalidade de conhecer as características e especificidades da situação”. Descartes (1989, p. 87), ao se referir ao entendimento inicial de um problema salienta que, “dada uma questão qualquer, importa esforçar-nos, primeiro, por compreender claramente o que se procura”. Na Regra III das Regras para Direção do Espírito, ele admite que “no que respeita aos objetos considerados, há que procurar não o que os outros pensaram ou o que nós próprios suspeitamos, mas aquilo de que podemos ter uma intuição clara e evidente ou que podemos deduzir com certeza” (DESCARTES, 1989, p. 18) e isso é complementado na Regra X, “para que o espírito se torne perspicaz, deve exercitar-se em procurar o que já foi por outros encontrado” (DESCARTES, 1989, p. 57). Em Modelagem Matemática essa etapa é chamada de coleta de dados. Nesse momento, trata-se do primeiro olhar para o problema, aquele olhar que procura enxergar tudo o que é conhecido e desconhecido, o que se sabe, de forma clara e distinta, e o que não se sabe, pela “falta de compreensão, de entendimento da situação” (ALMEIDA; VERTUAN, 2014, p. 4). Descartes parece chamar a atenção para os erros cometidos nessa primeira fase, e assim, considera necessário que nada deve ser incluído “em
[...] [nossos] juízos que não se apresentasse tão clara e tão distintamente [...] [ao] espírito” (DESCARTES, 1979, p. 37, acréscimos nossos), e reforça, há muitos que não refletem no que ela prescreve, ou a ignoram totalmente, ou presumem dela não ter necessidade, e muitas vezes examinam questões dificílimas de um modo tão desordenado que parecem proceder como se tentassem chegar, com um só salto, da parte mais baixa ao fastígio de um edifício, descurando as escadas destinadas a este uso, ou não notando até que existem umas escadas (DESCARTES, 1989, p. 32).
Na fase seguinte, a Matematização, ocorre a “transformação de uma representação (linguagem natural) para outra (linguagem matemática). Esta linguagem evidencia o problema matemático a ser resolvido” e ainda, a busca e elaboração de uma representação matemática são “mediadas por relações entre as características da situação e os conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos” (ALMEIDA; VERTUAN, 2014, p. 5). Na Regra VII, Descartes afirma que “é preciso analisar, uma por uma, todas as coisas que se relacionam com o nosso objetivo, por um movimento contínuo e jamais interrompido do pensamento, abarcando-as numa enumeração suficiente e metódica” (DESCARTES, 1989, p. 39). Parece claro que Descartes não se refere ao uso de conceitos e técnicas matemáticas para o estabelecimento dessas relações, contudo, como é sabido, Descartes utilizou o método geométrico como modelo para o seu método, portanto, ele admitia que tudo o que era mais certo e distinto, necessitava passar pela matemática. Passada essa fase, a Resolução envolve “a construção de um modelo matemático, com a finalidade de descrever a situação, permitir a análise dos seus aspectos relevantes, responder às perguntas formuladas sobre o problema a ser investigado nessa situação” (ALMEIDA; VERTUAN, 2014, p. 5) e realizar, se possível, previsões. Como aponta Negrelli (2008, p. 40) “o modelo é então uma forma de ‘ver’ a realidade inicial (através do recorte dela) e é um recurso epistemológico para a sua compreensão”. Essa fase pode ser comparada à Regra IX de Descartes, na qual “é preciso admitir toda a acuidade do espírito para as coisas menos importantes e mais fáceis e nelas nos determos tempo suficiente até nos habituarmos a ver a verdade por intuição de uma maneira distinta e clara” (DESCARTES, 1989, p. 53) e ainda, na Regra XII, ele acrescenta que “há que utilizar todos os recursos do entendimento, da imaginação, dos sentidos e da memória, [...] para estabelecermos, entre as coisas que se procuram e as conhecidas, uma ligação adequada que as permita reconhecer, quer ainda para encontrar as coisas entre si se devem comparar” (DESCARTES, 1989, p. 65). Na última fase, a Interpretação de Resultados e Validação, há a “análise de uma resposta para o problema”; ela constitui num “processo avaliativo realizado pelos envolvidos na atividade e implica em uma validação da representação matemática associada ao
problema” (ALMEIDA; VERTUAN, 2014, p. 5). Para interpretar algo e ter certeza sobre isso, Descartes apresenta uma metáfora relacionada aos estudos sobre os planetas: igualmente, por fim, se a partir de todas as observações que possuímos sobre os astros se inquirir o que podemos assegurar com certeza a respeito dos seus movimentos, não é preciso fazer, como os Antigos, a suposição gratuita de que a Terra é imóvel e colocada no centro do Mundo, porque desde a nossa infância assim nos pareceu, mas importa antes pôr essa opinião em dúvida para, em seguida, examinarmos o que de certo é permitido asserir sobre este assunto (DESCARTES, 1989, p. 88).
Assim, como pôde ser verificado, há no processo de Modelagem Matemática, segundo o método cartesiano, um caminho para o desenvolvimento e constituição do conhecimento matemático. As fases estabelecidas na Modelagem Matemática se tornam comuns às Regras estabelecidas por Descartes. Não há, evidentemente, uma relação direta, tal qual, entre uma e outra, mas a busca, em ambos, pela solução de um problema (ou constituição de um saber), evidenciando uma possível aproximação entre ambos. Outros aspectos da concepção histórica do método cartesiano e do processo de Modelagem Matemática poderiam ser evidenciados, contudo, dadas as restrições de espaço e tempo, essa discussão se dará em textos futuros. Com o intuito de acrescentar ao bojo desse texto um olhar para outras relações, de divergência, é realizada na próxima seção – e sem esgotar o assunto - alguns contrapontos às relações existentes entre o processo de Modelagem Matemática e o método filosófico cartesiano.
Discussões sobre as divergências/relações
A literatura esclarece que a perspectiva racionalista do pensamento cartesiano é contrária à proposta sócio construtivista da Modelagem Matemática enquanto método de ensino baseada numa visão pragmática de John Dewey, por exemplo. Não é intenção desse texto trazer discussões sobre os contrapontos do pragmatismo deweyano em relação ao pensamento racionalista, mas sim, evidenciar a proposta cartesiana para a constituição do saber, ou seja, verificar que o objetivo não está na utilidade do saber, mas na forma como sua apreensão pode ser estabelecida. Dessa forma, é fato que a Modelagem Matemática procura dar significado ao saber, como também é fato que o método cartesiano não está preocupado com a utilidade do mesmo, mas em como é possível alcançá-lo. Assim, nesse aspecto, há um contraponto indiscutível. Outro observação a ser levantada é de que o modelo cartesiano é dogmático e prescritivo, enquanto que o processo de Modelagem Matemática é experimental, intuitivo e
resolutivo. Descartes é contrário ao conhecimento oriundo da experiência, como ele salienta “tudo o que recebi, até presentemente, como o mais verdadeiro e seguro, aprendi-o dos sentidos ou pelos sentidos: ora, experimentei algumas vezes que esses sentidos eram enganosos, e é de prudência nunca se fiar inteiramente em quem já nos enganou uma vez” (DESCARTES, 1979, p. 87). Já o processo de Modelagem Matemática busca na experimentação e investigação sua essência. Mais uma vez, depreende-se disso uma incompatibilidade nos processos. Como apontam Levy e Espírito Santo (2005, p. 8), no pensamento cartesiano “os modelos matemáticos deveriam ser gerados a partir do exercício da ‘razão’, caminhando-se de dentro para fora do sujeito, do geral para o particular”, enquanto que nas propostas empíricas posteriores, os modelos eram gerados de fora para dentro, pelo exercício da experiência. E ainda, nas propostas mais atuais “o conhecimento é fruto tanto da razão quanto da sensibilidade, apesar das características peculiares das diversas correntes filosóficas que levantaram e que levantam o estandarte da referida conjunção” (LEVY; ESPÍRITO SANTO, 2005, p. 10). Assim, verifica-se que no método cartesiano a concepção de um modelo é dada de um modo diferente do que pensam os atuais pesquisadores. Outros contrapontos podem ser levantados, discutidos e até mesmo combatidos (propósito de textos posteriores). Vale ressaltar que apesar das semelhanças apresentadas na seção anterior, a convergência entre o método cartesiano e o processo de Modelagem Matemática está longe de ser integral e completo; para alguns ainda, não há convergências. Certo é, que aspectos de ambos podem ser aproximados e também distanciados, foco esse, do presente texto.
Considerações finais
Como problemática desse texto, foi levantada a proposta da tentativa de aproximação (mesmo que ainda com algumas divergências) do processo de Modelagem Matemática com o método filosófico cartesiano com vistas a reforçar o uso da Modelagem Matemática enquanto método de ensino que possibilita a constituição do saber, seja ele matemático ou não. O método cartesiano, de uma forma geral, pode ser resumido, pelo próprio filósofo da seguinte forma primeiro, em toda questão, deve haver necessariamente algo de desconhecido, pois, de outro modo, a sua investigação seria inútil: em segundo lugar, esse incógnito tem de ser designado de alguma maneira, pois, de outro modo, não estaríamos determinados a investigá-lo de preferência a qualquer outro objeto, em terceiro
lugar, só pode ser designado mediante alguma outra coisa já conhecida (DESCARTES, 1989, p. 83).
Tal método, no âmbito da educação é fundamental, pois aponta para o fato de que o conhecimento dos alunos é necessário para o desenvolvimento de novos saberes. Em outras palavras, o estabelecimento de um problema, com suas hipóteses, simplificações e variáveis evoca o desenvolvimento de um modelo. No âmbito da matemática, surge um modelo matemático que pode, por meio de relações matemáticas, descrever e/ou explicar o desconhecido (um sistema). Esse desenvolver matemático está relacionado com a essência do pensamento e do conhecimento. Koyré (1992, p. 38) trata dessa essência do pensamento matemático ao afirmar que ela “consiste no fato de o matemático, quaisquer que sejam os objetos particulares do seu estudo, uma equação algébrica ou uma construção geométrica, tentar estabelecer entre eles relações ou proporções precisas e religá-los por séries de relações ordenadas”. O indivíduo (aluno/matemático) ao religar por uma série de relações ordenadas os objetos conhecidos, foca no estabelecimento de uma unidade matemática, um tipo de pensamento sistêmico, sintetizador de toda a análise realizada. Tal unidade matemática deriva do fato de os mesmos métodos – os métodos algébricos – se aplicarem em geometria e em aritmética, ao número tal como ao espaço. Mesmos métodos: isso quer dizer mesmos passos do espírito. E isto por sua vez mostra-nos que o que é importante não são os objetos – números ou linhas – mas justamente os passos, as ações, as operações do espírito que liga entre si esses objetos, estabelece – ou encontra – relações, as compara umas com as outras, as mede umas pelas outras e assim as ordena em séries (KOYRÉ, 1992, p. 40).
Essa unidade matemática, como Koyré apontou pode ser expandida para a constituição de novos objetos, ou seja, “a aplicação do método matemático é, portanto inseparável das concepções originais da razão, que presidirão ao desenvolvimento de cada sistema” (RODISLEWIS, 2001, p. 93). Trata-se assim não de uma defesa do método cartesiano enquanto método de ensino, mas da Modelagem Matemática enquanto método de ensino. O método filosófico cartesiano apenas justifica o uso da modelagem, não enquanto fruto da experiência, mas enquanto atividade racional que, por meio da investigação ponderada e tratada com seu devido rigor, possibilita a apreensão de um conhecimento seguro. Embora, o racionalismo cartesiano possua suas limitações ao colocar a matemática universal (mathesis universalis) como o único conhecimento capaz de se alcançar a verdade, ele fornece um ferramental robusto para mostrar que o processo de Modelagem Matemática pode ser um caminho fecundo para o desenvolvimento do saber, em específico, o saber matemático. Assim como para Negrelli (2008, p. 45) o autor desse texto entende que “a modelagem matemática, além de ser matemática é, também, epistemologia, uma vez que os modelos
matemáticos visam entender e explicar fatos e fenômenos observados na realidade, [...] isto é, o conhecimento dessa realidade”. Nesse sentido, coadunando, parcialmente, com o pensamento de Caldeira (2009, p. 47), é possível afirmar que (se referindo à Matemática), [...] sob o ponto de vista epistemológico, não concordo com aqueles que a consideram como um conhecimento universal e absoluto que pode ser adquirido por um determinado método, porque o conhecimento matemático não é universal, muito menos absoluto e isso justifica o que temos defendido: a Modelagem Matemática não se constitui em um método para justificar a existência de apenas uma visão da matemática, imposta pelo currículo oficial. Prefiro pensar que a Modelagem Matemática deve servir para que possamos dar significado também pelo particular de uma cultura e não apenas para justificar uma matemática que já está pronta, denominada universal.
Não há um método, mas possíveis métodos para o conhecimento matemático, que não é universal. E a Modelagem Matemática, vem a ser um dos possíveis métodos, dos quais dá significado à matemática e à cultura do aluno. Vale lembrar, que ainda hoje, “o que se pretende, dentro ou fora da escola, é uma racionalidade sustentada por uma forma não mais sobre os pilares do determinismo e das verdades imutáveis, mas aquela baseada em pressupostos do pensamento sistêmico e da complexidade” (CALDEIRA, 2009, p. 34). Nesse sentido, a Modelagem Matemática, permite o pensamento sistêmico e complexo, por meio de um método eficaz e que, de certa forma, com fundamentos filosóficos permite pensar em uma proposta de constituição do saber.
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