Origem Física e Matemática das Estruturas Geométricas Fractais

Origem Física e Matemática das Estruturas Geométricas Fractais Objetivo: Apresentar a origem dos fractais na Matemática na Física e na Natureza

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Indices de Assuntos • •

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Mecânica - 1a, 2a, e 3a Leis de Newton Mecânica do Continuo - Equação de Movimento e Relações Contituivas - Diagramas Tensào X Deformação - Espaço dual e Grandezas Complementares Termodinâmica - 1a, 2a, 3a Leis - Teorema de Euler - Equação de Euler - Equação de Gibbs-Duheim - Funções e Potenciais Termodinâmicos

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Mecânica Estatistica -

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Leis da Mecânica das Partículas Peso Estatistico Espaço de Fase e Fractais Contagem de Estados Relação de Boltzmman Contagem de Gibbs Transformada de Laplace das Funções e Potenciais Termodinâmicos MultiFractais

A Fisica dos Fractais e a Teoria da Dissipação - Função de Dissipação - Padrões Geométricos formados em Fenômenos Dissipativos - Fractais Geométricos, Dinâmicos, e Termodinâmicos Teoria Fractal - Caracterização Fractal Proposta da Modelagem Fractal Ossea 2

MECÂNICA CLÁSSICA Mecânica das Partículas (Discreto) • 1a Lei de Newton

   N  p  mv  p   mi vi i 1

• 2a Lei de Newton

 dp  N dpi F F  dt i 1 dt

• 3a Lei de Newton

  Façao   Freação 3

MECÂNICA DO CONTíNUO Mecânica dos Sólidos e Fluidos

• Equação • de Movimento

  d  v  f  .  P  dt

• Leis Constitutivas : Sólido e Fluido     

    .v  v 4

Diagramas de Tensão Deformação • Comportamento: Elástico (Lei de Hooke), Plástico e Viscoso

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Espaço Dual e Grandezas Complementares • Tensao X Deformação

1 1 U     E 2 2 Deformação X Tensão

1  1     ???? 2  2  6

TERMODINÂMICA • 1a Lei: Balanço de Energia

 Q   W  dU

• 2a Lei: Entropia

Q  0  dS  0 Total  T

• 3a Lei: Calor Específico

dQ lim 0 T  0 dT 7

Grandezas Termodinâmicas • Extensivas: dependem do tamanho ou extensão do sistema • Ex: Energia, Entropia, Numero de Partículas • Intensivas: • Não dependem do tamanho ou extensão do sistema • Ex: Temperatura, Pressão, Potencial Químico

U , S ,V , N

T , P,  8

Teorema de Euler para as Funções Homogêneas em Escala n

lo

F dF  X k    dX k k 1 X k Lo lo     lo Lo n

Lo Condição de Homogeneidade

F F  X k     Xk k 1 X k n

F F dM M ~   ; X k X x dV V

dU U  dV V

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Equação de Euler e Equação Gibbs-Duheim • Formalismo da Energia • Formalismo da Entropia • Equação de GibbsDuheim

U ( S ,V , N )  TS  PV   N

1 P  S (U , V , N )  U  V  N T T T

SdT  VdP  Nd   0 10

Espaço Dual e Grandezas Complementares • Formalismo da Energia

U S T

• Formalismo da Energia

F  U  TS

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Motivação para o Surgimento dos Potenciais Termodinâmicos • Ciclo de Carnot: Maximização da Eficiência – Duas Isotermas e Duas Adiabáticas no Diagrama PV Maximização do Trabalho Energia Útil 12

Potenciais Termodinâmicos ou Energias Livres de: • Helmholtz • Entalpia • Gibbs

F  U  TS   PV   N

H  U  PV  TS   N

G  U  TS  PV   N G  H  TS 13

Transformada de Legendre Descreve os Fenômenos utilizando as derivadas das Funçõe Extensivas o que equivale as Grandezas Intensivas U U S T  ; V P S V 14

Grandezas Uteis na Descrição de Processos Termodinâmicos • Helmholtz: Processo Isotérmico • Entalpia: Processo Isobárico • Gibbs: Isotérmico e Isobárico – Mudanças de Estado

U F U  S S U H U  V V U U G U  S V S V 15

MECÂNICA ESTATÍSTICA    N  p  mv  p   mi vi i 1

 dp  N dp i F F  dt i 1 dt N ~ 1015  1023 particulas

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Mecânica das Particulas X Termodinâmica Como relacionar as Grandezas Termodinâmicas com as Leis Fundamentais da Mecânica das Particulas?

Discreto X Contínuo

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Micro e o Macro Cosmo • Densidade de Estados X Entropia

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Entropia X Densidade de Estados • Relação de Boltzmann-Planck

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Microscópico para Macroscópico • Termodinâmica : Transformada de Legendre

U F U  S S

U H U  V V

• Mecânica Estatistica Transformada de Laplace

pe

 E / KT

Z  e

 F / KT

S  k ln Z ou U   Ee

 E / KT

d 20

Espaço de Fase • Uma Partícula

• Sistema de Partículas

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Espaço de Fase • Uma particula

• Sistema de Partículas

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Fractais Matemáticos no Espaço das Fases

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Definição de Fractais • FRACTAIS:

são objetos geométricos autoinvariantes por transformação de escala que possuem dimensão fracionária

• Invariância por Transformação de Escala - (partes semelhantes ao todo).  = lo/Lo (fator de escala) que pode ser por: AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE.

(Ex. um Pinheiro)

(Ex. uma Trinca)

• A Extensão do Objeto, Md, depende do tamanho da régua de medida utilizada, Lo, isto é, Md() = Mdod-D se D = d  Md() = Mdo. 24

Invariância por Transformação de Escala Def: Partes Semelhantes ao Todo • Exemplo: Pinus Outros Exemplos: Nuvens, Trincas, Cristais de Gelo, Rochas, Rios, Cidades, etc (Niveis Hierárquicos de Estruturas) 25

Estrutura Fractal

Caracteristicas: •Apresenta vazios na Estrutura • Dimensão Fracionária • Invariância por Transformação de Escala 26

Comparação entre Geometrias •

Euclidiana de Formas Regular

•

Fractal de Formas Irregulares

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Dimensões de Excesso e de Falta • Excede a um Ponto mas não é uma Reta • Excede a uma Reta mas não é um Plano • Excede a um Plano mas não é um Sólido d  D  d 1

Perspectivas de Visualização D

falta

 D  (d  1)

D excesso  D  d 28

Para que servem na Prática? • Servem para se Descrever Matematicamente Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos Básicos: Ponto, Reta, Plano e Espaço não é capaz Modelagem Geométrica

Geometria Regular

Geometria Irregular 29

Fenômenos Fractais

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Relaçõe Matemáticas Fractais • Tudo sai da Modelagem Geométrica da Estrutura Fractal •Probabilidade local ou peso estatístico

pe

 q   q 

•Função de Partição

 q   e

•Expoente de Massa Fractal

  q   f    q 31

Relação Fractais e Termodinâmica • Termodinâmica Fractal

• Termodinâmica Clássica

• Funções Geométricas Fractais

• Funções e Potenciais Termodinâmicas 32

Padrões de Dissipação Encontrados na Natureza

Geometrias Otimizadas para os Processos de Dissipação 33

Fractais Naturais

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Conclusão • Visto que há uma relação direta entre as Grandezas Fractais e os Potencias Termodinâmicos. • Portanto, a modelagem e a caracterização geométrica fractal podem fornecem informações importantes a serem utilizados nos modelos de Remodelação Óssea, Osseointegração, Fratura Óssea, etc. • Todas as grandezas Extensivas e Intensivas que dependem da geometria Óssea podem utilizar a relação de Volume Ósseo nos Modelos • Fenômenos de Evolução DInâmica podem utilizar a Derivada do Volume no tempo 35

Agradecimentos Muito Obrigado a Todos! Vamos Trabalhar e Trabalhar Medir, Calcular, Modelar para para Publicar Tem muito pano para Manga 36

Referências Bibliográficas

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