Os enigmas da expansão do Universo: discussão e análise dos conceitos e preconceitos de uma grande descoberta

2 artigo geral VOL.

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Os enigmas da expansão do Universo: discussão e análise dos conceitos e preconceitos de uma grande descoberta Paulo Aguiar1, 2 e Paulo Crawford2 1

Universidade Lusada do Porto, Rua Dr. Lopo de Carvalho, 4369-006 Porto

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Centro de Astronomia e Astrofsica da Universidade de Lisboa, Campo Grande, Ed. C8; 1749-016 Lisboa

Resumo A expansão do Universo é uma das maiores descobertas do século XX. É talvez o facto mais relevante descoberto pelo homem acerca das suas origens. Por outro lado, até à identicação da radiação cósmica de fundo no domínio das micro-ondas, por Arnio Penzias e Robert Wilson em 1965, o reconhecimento de que a recessão das galáxias distantes aumenta com a distância foi a observação astronómica que mais estimulou o nascimento da cosmologia moderna. Este resultado observacional esta sobretudo associado ao astrónomo americano Edwin Hubble (1889-1953), que por essa razão é frequentemente identicado como o astrónomo que descobriu a expansão do Universo, na medida em que a descoberta da recessão das galáxias distantes foi entendida como uma prova da expansão do Universo. Neste contexto, é o seu artigo de 1929 que é habitualmente citado sempre que a expansão do Universo e atribuída a Hubble. Contudo, em nenhuma dessas páginas Hubble alguma vez se refere à expansão do Universo. Veremos, aliás, que o processo que conduz a este resultado é um caminho longo e complexo, no qual intervieram vários astrónomos e físicos teóricos, e cuja interpretação é ainda hoje alvo de debates acalorados. Vamos aqui recordar alguns dos autores e respectivos trabalhos que mais contribuíram para a ideia da expansão do Universo, bem como analisar alguns dos seus pressupostos. Discutiremos depois a possibilidade de existirem variantes do modelo padrão compatíveis com as observações actuais, tendo em conta a existência provável de heterogeneidades na distribuição da matéria numa época muito primitiva da História do Universo.

Para os físicos e amigos da física.

w w w . g a z e t a d E f i s i c a . s p f. p t

1. Introdução

O americano Edwin Hubble (1889-1953) é frequentemente identificado como o astrónomo que descobriu a expansão do Universo. Foi ele que liderou a equipa que observou o deslocamento para o vermelho das riscas de absorção dos espectros das galáxias distantes, tendo verificado que esse afastamento é tanto maior quanto maior for a distância às galáxias. Esta observação foi mais tarde interpretada como uma prova da descoberta da recessão das galáxias distantes, ou seja, como uma verificação da expansão do Universo. Ora, sempre que a expansão do universo é atribuída a Hubble, é o seu artigo de 1929 que é habitualmente citado [1]. Contudo, em nenhuma parte dessa publicação a expansão do Universo é referida. Kragh & Smith (2003) analisaram historicamente o tema da descoberta da expansão e concluíram que só nos anos 50’s do século XX o conceito de ‘Lei de Hubble’ e a referência a ‘Hubble como o astrónomo que descobriu a expansão do Universo’ se tornou habitual na literatura científica [2]. A preocupação destes historiadores da ciência “não é desacreditar Hubble ou discutir prioridades, mas sobretudo discutir o próprio processo da descoberta da universo em expansão”. Porém, de uma forma muita clara, acrescentam que Hubble não pode ser creditado com o único a contribuir para essa descoberta. Citando Stephen Brush [3], que os autores assumem ter produzido uma afirmação muito mais sensata sobre este tema do que é habitual na literatura científica: “Podemos dizer que Hubble ‘descobriu o universo em expansão’ no mesmo sentido em que Max Planck ‘descobriu os quanta’: pois estabeleceu uma fórmula empírica que parecia implicar e

na verdade levou outros a adoptá-la (e mais tarde a Bang, produziram anisotropias que, em grandes escalas que, em grandes angulares (maiores do que θ ϑ  2º) 2◦ ),1, poderiam enquadradas no assumir que ele próprio deve tê-la adoptado) – e no escalas angulares (para ângulos poderiamserser enquadradas contexto de alguns modelos espacialmente homog´ e neos mas opicos, quehomogénen˜ao diferem entanto ele recuou na sua adopção explícita como no contexto de alguns modelos anisotr´ espacialmente significativamente no ˆambito deque geometrias especialmente homog´eneas e uma afirmação verdadeira acerca do mundo, e em das consideradas os mas anisotrópicos, não diferem significativamente isotr´ o picas, conhecidas por solu¸ c ˜ o es ou modelos de Friedmann-Lemaˆ ıtre-Robertson-Walker algumas situações chegou mesmo a sugerir que se das consideradas no âmbito de geometrias especialmente (FLRW). Para os modelos anisotr´opicos que vamos considerar, a marca deixada na radia¸c˜ao tratava de uma afirmação falsa. ”Será este um comhomogéneas e isotrópicas, conhecidas por soluções ou c´osmica de fundo pelas flutua¸c˜oes na densidade primordial, sob a forma de uma varia¸c˜ao portamento típico dos cientistas que participaram modelos decFriedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). fraccional da temperatura desta radia¸ ˜ao, ´e regida pela mesma express˜ao que ´e usada para em descobertas que levaram algum tempo a serem Para os modelos anisotrópicos que vamos considerar, a os modelos FLRW. Mais precisamente, sob condi¸c˜oes iniciais adiab´aticas, o chamado efeito assimiladas? Realmente o caso de Max Planck, deixada namais radiação de fundo pelas de Sachs-Wolfe cl´assico, marca que explicaremos adiante,cósmica ´e recuperado, desde que flutuaa anisoreferido por Brush, é exemplar. ções densidade primordial, sob a forma dedispers˜ uma avariação tropia da expans˜ao global sejana pequena na ´epoca da u ´ltima superf´ ıcie de o. Esta conclus˜ao est´a de acordofraccional com trabalhos anteriores sobre os mesmos modelos anisotr´ da temperatura desta radiação, é regida pelaopicos Quando um cientista propõe empiricamente uma onde estes passam por ummesma processoexpressão de ‘isotropiza¸ ca˜o’ e ao ponto as observa¸ c˜oes s˜ao que é at´ usada para em os que modelos FLRW. fórmula, que é entretanto adoptada pela comuniincapazes de distingui-losMais dos modelos FLRW, se os dois parˆ a metros de Hubble ao longo precisamente, sob condições iniciais adiabáticas, odas dade, sem que tenha havido uma clara construção direc¸ c˜oes ortogonais forem assumidos comode aproximadamente iguais naque ´epoca atual. Conchamado efeito Sachs-Wolfe clássico, explicaremos teórica baseada nos princípios e teorias adoptados sider´ amos limites superiores para os valores actuais dos parˆametros anisotr´opicos impostos mais adiante, é recuperado, desde que a anisotropia da pelas fundaobserva¸c˜oes realizados no ˆambito do sat´elite COBE. até então, ficando a faltar uma explicação expansão global seja pequena na época da última superfície mentada, coloca-se imediatamente a questão da de dispersão. Esta conclusão está de acordo com trabalhos interpretação dessa fórmula, o que poderá dar 2 Friedmann eanteriores Lemaˆsobre ıtre os mesmos modelos anisotrópicos onde lugar a uma longa discussão até que a fórmula seja estes passam por um processo de ‘isotropização’ até ao realmente entendida; só então o novoAlexander conceitoFriedmann é (1922) foi o primeiro a publicar [6] solu¸co˜es cosmol´ogicas n˜ao est´aticas ponto em que as observações são incapazes de distinguiequa¸c˜oes da relatividade geral, a teoria de Einstein da gravita¸c˜ao. Contudo, n˜ao relaciorealmente incorporado e devidamentedas assimilado. los dos modelos os dois parâmetros nouhá estes resultados te´oricos com observa¸ c˜oesFLRW, astron´ose micas. Cinco anos depois,de umHubble trabalho Isto é particularmente relevante quando uma ao longo das direcções ortogonais forem assumidos de Georges Lemaˆıtre (1927) ´e publicado num jornal local belga, mas como permamudança de paradigma, que acarretafundamental por via de reaproximadamente época Consideríamos desconhecido do p´ ublico cient´ıfico em iguais geral. na Mais tarde,atual. Sir Arthur S. Eddington, gra um debate prolongado no seio daneceu comunidade limites paraeste os as valores actuais dos parâmetros antigo supervisor de Lemaˆ ıtre, aosuperiores comentar com dificuldades que estava a encontrar científica. Mas em geral, o que caracteriza uma boa na an´alise da instabilidade do modelo est´aimpostos tico de Einstein, toma finalmenterealizados conhecimento anisotrópicos pelas observações no do teoria científica é que ela revela e explica aspectos artigo de Lemaˆıtre [7], e âmbito nele encontra a solu¸cCOBE. ˜ao para o seu pr´oprio problema. Procurando do satélite desconhecidos da realidade, como é reabilitar-se o caso da teaos olhos de Lemaˆıtre por n˜ao ter dado aten¸c˜ao ao artigo em devido tempo, oria da relatividade geral que recorre ao conceito de Eddington diligencia para que o trabalho do seu antigo aluno tenha a difus˜ao que merece, 2. Friedmann e Lemaître curvatura do espaço-tempo para explicar o avanço e consegue que um resumo desse trabalho seja publicado em inglˆes na prestigiada revista Friedmann (1922) foi o publica¸ primeiro a publicar [6] a Monthly Notices Society (1931). Lemaˆıtre [8], nessa ca˜o, deu a conhecer do periélio de Mercúrio. Não admira, portanto, que of RoyalAlexander soluções cosmológicas não estáticas das equações da resua solu¸ c˜ao dinˆ em a história de uma descoberta seja muitas vezes umamica das equa¸co˜es de Einstein com aplica¸c˜ao ao Universo, e extrai tamb´ latividade geral, a teoria de Einstein da gravitação. Contudo, umaerela¸ c˜aomuilinear entre as velocidades de recess˜ao das gal´axias e as respectivas distˆancias: processo longo, com avanços e recuos, com relacionou estes resultados teóricos com observações d, onde de proporcionalidade, H0 , ´e a conhecida constante de Hubble’ mev = H0em tas contribuições, mesmo naqueles casos que a constantenão dida no instante actual. Combinando as velocidades radiais de 42 nebulosas extragal´ acticas astronómicas. Cinco anos depois, um trabalho fundamental é possível atribuir uma data e um criador, como foi [9] publicadas por Str¨omberg (1925) –Lemaître que as obteve naé sua maioria num das observa¸ co˜es dos de Georges (1927) publicado jornal local o caso da descoberta em 1905 da teoria da relativideslocamentos para o vermelho (redshifts) de Vesto Slipher (1917) [10] e as distˆacientífico ncias obmas permaneceu desconhecido do– público dade restrita por Albert Einstein. Em que medida as (1926),belga, tidas por Hubble Lemaˆ ıtre calculou a taxa de expans˜ a o do Universo (constante de em geral. Mais tarde, Sir Arthur S. Eddington, antigo supercontribuições de H. A. Lorentz e de H.Hubble) Poincaré não (625 km/s)/Mpc e obteve ou (575 km/s)/Mpc, dependendo da forma como agruvisor de Lemaître, ao comentar com este as dificuldades foram determinantes na construção de A. os Einstein? pava dados; vale a pena comparar estes valores com o valor favorito obtido por Hubble queEm estava a encontrar na análise instabilidade doemmodeMas não vamos aqui discutir estas questões em 1929:que (500 km/s)/Mpc. resumo, contrariamente ao queda fizeram Friedmann 1922 lo estático de Einstein, toma finalmente conhecimento Hubble em 1929, Lemaˆıtre em 1927 relaciona a sua solu¸ca˜o dinˆamica das equa¸c˜odo es de nos afastariam dos nossos objectivosouneste artigo. artigo de Lemaître [7], e nelenaencontra a solução o seua com as observa¸ co˜es astron´ omicas conhecidas altura, sendo assim opara primeiro Recentemente, com a publicação de Einstein, dois livros próprio problema. Procurando reabilitar-se aos olhos de Lesugerir, sem qualquer equ´ ıvoco, um universo em expans˜ a o. sobre a questão da descoberta da expansão do Num artigo publicadomaître na revista Nature em 1931,atenção Lemaˆıtreao [11]artigo substitui adevido singularidade por não ter dado em tempo, universo [4, 5], por H. Nussbaumer e L. Bieri (2009), do instante t = 0 por um u ´nico ´atomo contendo toda a mat´ eria e energia. Eddington diligencia para que o trabalho do seuNesse antigoartigo, alue M. Bartusiak (2010), respectivamente, foram leno tenha a difusão que merece, e consegue que um resumo vantadas dúvidas fundamentadas acerca da prio3 publicado em inglês na prestigiada desse trabalho seja ridade de Hubble como autor dessa descoberta, e revista Monthly Notices of Royal Society (1931). Lemaître [8], simultaneamente feita alguma clarificação no próprio nessa publicação, deu a conhecer a sua solução dinâmica processo de descoberta. Tendo por base algumas das equações de Einstein com aplicação ao Universo, e das fontes primárias mais relevantes e estas outras extrai também uma relação linear entre as velocidades de fontes secundárias, iremos revisitar brevemente o recessão das galáxias e as respectivas distâncias: v = H0d, percurso seguido por alguns dos autores determionde a constante de proporcionalidade, H0, é a conhecida nantes no processo que conduziu à descoberta constante de Hubble’ medida no instante actual. Combinandesta concepção tão basilar para a compreensão do as velocidades radiais de 42 nebulosas extragalácticas da cosmologia moderna. [9] publicadas por Strömberg (1925) – que as obteve na Neste trabalho mostramos também como as hesua maioria das observações dos deslocamentos para o terogeneidades na distribuição da matéria, produvermelho (redshifts) de Vesto Slipher (1917) [10] – e as diszidas até à época da última superfície de scattetâncias obtidas por Hubble (1926), Lemaître calculou a taxa ring (dispersão), quando o Universo tinha apenas algumas centenas de milhares de anos após o Big 1 O ângulo θ representa a separação angular entre dois pontos no céu.

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de expansão do Universo (constante de Hubble) e obteve (625 km/s)/Mpc ou (575 km/s)/Mpc, dependendo da forma como agrupava os dados; vale a pena comparar estes valores com o valor favorito obtido por Hubble em 1929: (500 km/s)/Mpc. Em resumo, contrariamente ao que fizeram Friedmann em 1922 ou Hubble em 1929, Lemaître em 1927 relaciona a sua solução dinâmica das equações de Einstein, com as observações astronómicas conhecidas na altura, sendo assim o primeiro a sugerir, sem qualquer equívoco, um universo em expansão.

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pelo próprio Einstein, logo seguido por Hermann Weyl e Kornel Lanczos, e mais tarde por Eddington e Howard P. Robertson. Qualquer destas soluções das equações de Einstein, incluindo os modelos de Friedmann e Lemaître, conhecidos mais tarde, pertencem a uma família de soluções, actualmente conhecidas por métricas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). No caso geral as soluções das equações de Einstein não têm que possuir simetrias especiais. Porém, para descrever o universo a grande escala consideramos soluções especialmente homogéneas e isotrópicas, sendo neste caso usual separar o espaço-tempo quadri-dimensional num volume tridimensional e uma direção temporal. Além disso, admitimos o princípio de Copérnico, que se traduz em supôr que “nossa posição no Universo não é especial” e, por conseguinte devemos generalizar as observações de modo a satisfazer homogeneidade espacial e isotropia.

Num artigo publicado na revista Nature em 1931, Lemaître [11] substitui a singularidade do instante t = 0 por um único átomo contendo toda a matéria e energia. Nesse artigo, Lemaître via a evolução cósmica, depois do decaimento do átomo primordial, como o resultado do desequilíbrio entre duas forças cósmicas opostas: a gravitação e a energia escura (para usar uma denominação moderna), que estava materializada na constante cosmológica Λ, e que Lemaître associava com a energia do vácuo. Note-se que, mesmo depois de Einstein ter abandonado a constante cosmológica em 1931, Eddington e Lemaître continuaram a acreditar Robertson foi o primeiro a reconhecer que estas na sua importância. Durante uma conferência da União condições implicam simetrias nas soluções das Astronómica Internacional em Cambridge (Massachusetequações de Einstein aplicadas ao Universo, e ts), em 1932, Eddington deu uma lição sobre “O Universo como tal foi o primeiro a olhar explicitamente para em expansão”, que daria origem a um livro com o mesmo as soluções das equações de Einstein que satisfanome [12], publicado em 1933, em cujo prefácio Eddington zem estes requerimentos físicos. chama a Λ a “mão escondida” na história da expansão. Mas Para estas soluções as equações tomam a forma Eddington e Lemaître tinham diferentes pontos de vista em estas solu¸c˜oes asseguinte: equa¸c˜oes tomam a forma seguinte: relação ao início do Universo: Eddington e seusPara colaboradores insistiam numa expansão a partir de um estado estático Para estas solu¸c˜oes as equa¸c˜oes tomam a forma seguinte: 8πG ¨ + R˙ 2 + kc2 − c2 ΛR2 = − 2RR pR2 (1) instável, enquanto Lemaître favorecia um início explosivo. 2 c 8πG ) ( 2 2 2 2 2 ¨ + R˙ + kc − c ΛR = − 2 pR 2RR 3 R˙ 2 + kc2 − c2 ΛR2 = 8πρR c2 . ( ) 3. Os Primeiros Modelos Cosmológicos 2 2 2 2 (2) 3 R˙ + kc − c ΛR = 8πρR2 ., Antes dos trabalhos fundamentais de Friedmann e Leonde R(t) ´e o ‘factor de escala’, que representa o raio de curvatura do espa¸co tri-dime maître, eram conhecidos dois modelos cosmológicos: o ρ(t) eR(t) p(t) representam densidade de massa-energia e que acurvatura press˜ ao dodofluido smico, r de aescala’, representa o raio de espa¸ ootri-dime R(t) éque o ‘factor de escala’, representa o cc´ modelo espacialmente esférico de Einstein [13],onde publicado´e o ‘factor onde vamente, e Λ a misteriosa constante cosmol´ o gica, respons´ a vel por uma for¸ c a repulsiv estas solu¸c˜oes as equa¸ c˜oes tomam a forma tri-dimensional, seguinte: ρ(t)Para e p(t) representam a de densidade de massa-energia e a press˜ao do ρ fluido raio curvatura do espaço (t) e c´osmico, em 1917, contendo matéria distribuída homogeneamente de se opor ` a atra¸ c ˜ a o grav´ ıtica, introduzida por Einstein para garantir um modelo est´a vamente, Λ a misteriosa constante cosmol´ ogica, respons´ avel por uma for¸ p(t) representam a densidade de massa-energia e ca repulsi tipo-poeira, isto é, caracterizada por uma densidade dadee Einstein, 8πG , representa o raio do Universo, ´ e uma constante e p =a modelo R = R 2 2 2 2 2 E ¨do de se opor `a atra¸c˜ao grav´ ıtica, por−Einstein para est´ 2Rintroduzida R + fluido R˙ + kc c ΛRrespectivamente, = −garantir pRume modelo a pressão cósmico, Λ matéria só dependente do tempo, ρ(t), e uma pressão nula, 2 de mat´ c que se sup˜ o e haver uma distribui¸ c a ˜ o espacialmente homog´ e nea e ria e admit (constante o )raio do Universo,responsável ´e uma constante e p = modelo de Einstein, a R misteriosa = RE , representa cosmológica, em equilíbrio com um termo cosmológico, representado 2 2 Nestas 2˜ as part´ ıculas da mat´ eria distribui¸ n˜ao interatuam cde o.es,mat´ aseequa¸ ˜oes an ˙ o2 + kcentre ΛR2homog´ =secondi¸ 8πρR −capaz csi. 3 cR que se sup˜ o e haver uma a ˜ espacialmente e nea ria ecadmit por uma força repulsiva de opor à atração por Λ, que desempenha o papel uma força anti-gravítica, permitem concluir que part´ıculas da mat´ eria n˜ao interatuam si. Nestas condi¸ c˜oes, as gravítica, introduzidaentre por Einstein para garantir umequa¸c˜oes an isto é, uma força de repulsão em vez de ser de as atração, c2 k de 2 o raio onde R(t) ´e o ‘factor de escala’, que representa curvatura do,espa¸co tri-d permitem concluir que = , 4πGρ = Λc modelo estático. No modelo de Einstein, R = R 2 capaz por isso de anular a atracção gravítica da matéria; e o R c2Ek e a press˜ao do Efluido c´osmic ρ(t) e p(t) representam a densidade de representa o raio domassa-energia Universo, uma constante e , 4πGρ = Λc2 = é modelo de De Sitter [14], publicado no mesmo ano, que não 2 vamente, e Λvem a misteriosa constante cosmol´otem gica,curvatura avel por uma for¸ca repu e como Λ > 0, kp==1,0,pelo que o universo espacial positiva. Rrespons´ E uma distribuição visto que se supõe haver continha matéria mas simplesmente um termo cosmológide se opor ` a atra¸ c ˜ a o grav´ ıtica, introduzida por Einstein para garantir um modelocom e Pode-se perguntar, at´ e que ponto seria este modelo do universo visto como e como Λ > 0, vem kespacialmente = 1, pelo que ohomogénea universo temdecurvatura positiva. matéria eespacial admite-se co. Nesse tempo, ambos os modelos eram considerados , representa o raio do Universo, ´ e uma constante e p de Einstein, R = R commodelo os dados astron´ o micos da e poca? Em 1926, Hubble empregou a equa¸ c a ˜ o anter E´ Pode-se perguntar, at´as e que ponto seria este modelo do universoentre visto como 3com que partículas da matéria não interatuam estáticos. E foram então estes dois modelos as calcular, grandes −31si. que se sup˜ o e haver uma distribui¸ c a ˜ o espacialmente homog´ e nea de mat´ e ria e adm g/cm , o a partir da sua determina¸ c a ˜ o da densidade m´ e dia ρ = 1.5 × 10 com os dados astron´oNestas micos da ´epoca? Em Hubble empregoupermitem a equa¸c˜ao anter condições, as1926, equações anteriores referências até ao final dos anos 1920’s. as part´ n˜ao interatuam entre si. m´ Nestas condi¸ as equa¸ Universo, tendo obtido g/cmc3˜o,eso calcular, aıculas partirda damat´ suaeria determina¸ c˜aoc da densidade edia ρ = 1.5 cטoes, 10−31 concluir que 10 permitem concluir que √ R = = 2.7 × 10 parsec. Apesar dos modelos de Friedmann e de Lemaître terem Universo, tendo obtido 4πGρ c2 k c 2 sido publicados nessa década, eram porém desconhecidos. = 10 parsec. , R = √ 4πGρ == 2.7Λc× 10 2 RE Ora, mesmo as mais recentes observa¸ c˜oes cosmol´ogicas, que sugerem uma densidad 4πGρ Assim, as primeiras tentativas de descrever o universo e (incluindo mat´ bari´ onica e mat´ eria sugerem escura) como sendo ap atual dadas mat´ ria, ρvem m,0recentes e como Λ e> 0,mais kcomo = 1, Λ pelo queecria curvatura espacial interpretar as observações astronómicas dos redshifts Ora, mesmo as observa¸ ˜oesuniverso cosmol´ otem gicas, que umapositiva. densidad −3> 0, vem k = 1, pelo que o universo tem e−27 26 ≈ 3×10 kg m , apontam para um factor de escala R ≈ 2×10 m≈ damente ρ m,0 eria, 0como Pode-se perguntar, at´e quemat´ ponto seria doescura) universo visto como (incluindo eriapositiva. bari´oeste nica modelo e mat´eria sendo ap atual da mat´ ρm,0curvatura nebulosas extragalácticas serão feitas em função destes espacial −3 parsec, valor mais do que suficiente para que uma geometria espacial contenha tod −27 26 com osρm,0 dados astron´omicos ´epoca? Em 1926, Hubbledeempregou c˜ao m≈ an ≈ 3×10 kg m da, apontam para um factor escala R0 a≈equa¸ 2×10 damente modelos, sendo o universo de De Sitter o que despertou −31 perfei verso observ´avel. Por maioria de raz˜ aco, valor deponto R obtido g/cm calcular, partir suasuficiente determina¸ ˜aooda densidade m´ edia por ρeste = Hubble 1.5 ×contenha 10era Pode-se perguntar, até que seria modelo parsec, doda que para que uma geometria espacial tod maior interesse entre os astrónomos, mas também pro-valora mais 2 = 2.5 10−5 compat´ ıvel com as observa¸ c ˜ o es da ´ e poca. E por outro lado, Λ = 1/R 0 Universo, obtido domaioria universo compatível compor os Hubble dados era×perfei verso observ´atendo vel. Por de visto raz˜ao,como o valor de R obtido vocou um maior debate sobre a sua interpretação. Vários c qualquer perturba¸ suficientemente para o produzir noemprec´ 2alculo das obs −5 10 Hubble ıvel com pequeno as observa¸ c˜oesn˜ada ´eda poca. E por outro lado, Λc˜a=o 1/R astronómicos 1926, √época? R = = Em 2.7 × 10 parsec. foram os físicos teóricos ou matemáticos que secompat´ manifesta0 = 2.5 × 10 experimentais ao n´ ıvel do Sistema Solar. 4πGρ pequeno n˜ao produzir qualquer perturba¸ ˜ao no da c´alculo gou para a equação anterior para calcular, acpartir sua das obs ram nesse debate sobre o modelo de De Sitter, suficientemente a começar Na descri¸ c˜aao oasde umdo modelo cosmol´ ocgico ´e importante (ver uma [15], densid por e Ora, mesmo mais recentes observa¸ ˜oes cosmol´ ogicas, elucidar que sugerem experimentais n´ ıvel Sistema Solar. queatual estedescri¸ s´o mat´ ´e cparticularizado depois de oespecificado dos sendo obsee (incluindo mat´ egico ria bari´ onicao e4-vector mat´ eriavelocidade escura) da ρm,0modelo Na ˜aoeria, de um cosmol´ ´e importante elucidar (vercomo [15], por −3 −27 fundamentais (que est˜ a o a descrever o Universo) ou as correspondentes linhas do26 ≈ 3×10 kgdepois m , apontam para um de velocidade escala R0 ≈dos 2×10 quedamente este s´o ρ´em,0 particularizado de especificado o factor 4-vector obse , que carateriza a geometria do espa¸ c o-tempo. associadas, bem como a m´ e trica g ab o para parsec, valor(que mais do suficiente que uma geometria espacial linhas contenha fundamentais est˜ ao que a descrever Universo) ou as correspondentes do Para os físicos e amigos da física. locamentos para o vermelho (redshifts) observadores aoera deter verso observ´ avel. Por maioria amedidos o,carateriza o valorpor dea estes R obtido por Hubble per que geometria do espa¸ cs˜ o-tempo. associadas, bem como a m´ etrica gde w w w . g a z e t a d E f i s i c a . s p f. p t ab , raz˜ por ) estes ( × 10 compat´ıvel como as observa¸c(redshifts) ˜oes da ´epoca. E porpor outro lado, Λ = 1/R02 = locamentos para vermelho medidos observadores s˜a2.5 o deter

concluir que

2 −53 m−2 , ´e compat´ıvel com as observa¸ 8πG c˜o2es da ´epoca. E por outro lado, Λ = 1/R0 = 2.5 × 10 2 c2 k ¨ + R˙ 2 +suficientemente 2RR kc2 − c2 ΛR =pequeno − 2 para pR n˜ao produzir qualquer(1) 2 perturba¸c˜ao no c´alculo das observa¸c˜oes 4πGρ = Λc = 2 , c ) ( Rao experimentais ıvel do Sistema Solar. E n´ 2 2 2 2 2 ΛR c˜a= . (2) − cdescri¸ 3 R˙ + kc Na o de8πρR um espacial modelo cosmol´ ogico ´e importante elucidar (ver [15], por exemplo) > 0, vem k = 1, pelo que o universo tem curvatura positiva. que este s´ o ´ e particularizado depois de especificado o 4-vector velocidade dos observadores perguntar, at´e que ponto seria este modelo do universo visto como compat´ıvel ´e o ‘factor deseguinte: escala’, que representa o raio(que de curvatura do espa¸cootri-dimensional, am a forma fundamentais est˜ a o a descrever Universo) ou as correspondentes linhas do universo dos astron´ omicos da ´epoca? Em 1926,média Hubble empregou equa¸c˜ao anterior para de Robertson-Walker −31 = 1,5ao×do 10afluido determinação dade densidade em evolução com k = 0, +1, ou −1, aforma densidade massa-energia e como aρ press˜ c´oque smico, −31 3 respecti˜orepresentam es tomam a seguinte: , carateriza a geometria do espa¸ c o-tempo. Os desassociadas, bem a m´ e trica g ab g/cm , o raio do partir da sua3 determina¸ ˜ao da densidade m´edia ρ = 1.5 × 10 g/cm raio 8πG docUniverso, tendo obtido bem como soluções de espaço-tempo folheadas por superΛ a cosmol´ o gica, respons´ a vel por uma for¸ c a repulsiva capaz 2 misteriosa 2 2 , oconstante 2 locamentos para o vermelho +endo kc − c ΛR = − 2 pR (1) (redshifts) medidos por estes observadores s˜ao determinados obtido omam aoforma seguinte: 8πG fícies 3-dimensionais anisotrópicas. No modelo estático, c ` a atra¸ c ˜ a grav´ ıtica, introduzida por Einstein para garantir um modelo est´ a tico. No c 2 2 2 2 2 ¨ +)R˙ + kc − c ΛR 10 R − 2= pR (1) (as linhas ) √2 por , × 10 parsec. == 2.7 2 2 R = 2 RE ,R do universo fundamentais são não-geodésicas, representa o raio do Universo, ´ e uma constante e p = 0, visto Einstein, c − c kc ΛR = 8πρR . (2) ˙ 4πGρ ) ( R δλ 8πG 2 a 2 ˙ e2 + 2 kc2 − 2 c2 ΛR 2 2 c 2 u ˙ e + dℓ (3) = ˜ o haver uma distribui¸ a ˜ o espacialmente homog´ e nea de mat´ e ria e admite-se que ≠ 0, e por isso são observados redshifts (de acordo com R = − pR (1) ˙ a − c ΛR + kc recentes = cc28πρR . (2)λ densidade m´eRdia 3o as R mais observa¸ ˜oes cosmol´ ogicas, que sugerem uma )Ora, as da mat´ eria n˜ ao curvatura interatuam entre si. Nestas condi¸ccosmo˜oes, as equa¸c˜oesa anteriores mesmo as mais recentes observações fórmula (3)). A existência desta aceleração, resultante da epresenta o raio de do espa¸ c o tri-dimensional, 2at´ 2 2 2 bari´ mat´ eria onica e mat´eria escura) aproximam,0 +eria, kc2 ρlógicas, ΛRque =sugerem 8πρR . uma (2)como sendo − −27 c(incluindo concluir que densidade média atual presença cosmológica Λ, era referida na altura onde δλ ´ e a varia¸ c ˜ a o do comprimento de da radia¸ a ˜ o emitida com o comprimento de −3 26onda 9da cconstante e massa-energia e a press˜ a o do fluido c´ o smico, respectia’, que representa o raio de curvatura do espa¸ c o tri-dimensional, kg m , apontam para um cfactor de escala R0 ≈ 2×10 m≈ 6×10 2 m,0 ≈ 3×10 kpelos 2cafluido onda λ, medido observadores fundamentais a uma distˆ a ncia dℓ ao longo do caminho de da matéria, ρ (incluindo matéria bariónica e como o “efeito de De Sitter”. Embora na formulação original, cosmol´ o gica, respons´ a vel por uma for¸ repulsiva capaz sidade de massa-energia e a press˜ a o do c´ o smico, respectim,0 4πGρ = geometria , = Λcuma or representa mais do que suficiente para que espacial contenha todo o uni2tri-dimensional, ue o raio de curvatura domodelo espa¸ cR oE ˙ ´ e a acelera¸ c a ˜ o dos observadores fundamentais, R(t) ´ e a taxa de varia¸ c ˜ a o um raio luminoso, u ˙ matéria escura) como sendo aproximadamente o modelo tenha sido considerado estático, uma vez colocaa uzida por Einstein para garantir um est´ a tico. No nstante cosmol´ o gica, respons´ a vel por uma for¸ c repulsiva capaz rv´ vel.massa-energia Por maioria edea raz˜ ao,aoo do valor de c´ Rosmico, obtidorespectipor Hubble era aperfeitamente deade fluido −27 press˜ −3 tempo dire¸ o ,de´epartículas observa¸c˜a(ou o. Como o universo de neste De universo no do factor de escala R(t), 2 positiva. −53 c ρobserva¸ ≈ por 3×10 kg´e´epoca. , apontam para factor de duas dois observadores) enta o as raio Universo, uma constante e modelo plado, =um 0, Λvisto > 0, vem k do = 1, pelo que om universo tem curvatura espacial , com introduzida Einstein para garantir um est´ a1/R tico. No e e a das m˜a−2 c ˜ o es da E por outro =capaz m,0 0 = 2.5 × 10 nte cosmol´ ogica, respons´ avel por uma cadmite-se acrepulsiva 26Sitter 9for¸ ´eeste um espa¸ o-tempo de curvatura constante, n˜ aıvel oesexiste uma escolha u ´ nicaapara as linhas as linhas do escala R ≈ 2×10 m≈ 6×10 parsec, valor mais a uma certa distância, de modo descreverem e nea de mat´ e ria e que e, espacialmente perguntar, ehomog´ que ponto seria modelo do universo visto como compat´ representa oat´ raio do Universo, ´ e uma constante e p = 0, visto mente pequeno para n˜ a o produzir qualquer perturba¸ c ˜ a o no c´ a lculo das observa¸ c o ˜ 0 roduzida por Einstein para garantir um modelo est´atico. No tal, este universo do fundamentais; como pode ser escrito verificar-se-ia de muitas formas uam si. Nestas condi¸ c˜oEm es, as equa¸ c˜ogeometria es do suficiente para que uma espacial universo fundamentais, um como afastamento aceledos astron´ oque micos da ´epoca? 1926, Hubble empregou a equa¸ para ribui¸ centre ˜aon´ espacialmente homog´ euniverso nea de mat´ eriaanteriores e admite-se que c˜ao anterior ais ao ıvel do Sistema Solar. resenta o raio do Universo, ´e uma constante e p = 0, visto −31 3 contenha todo oc˜auniverso observável. rado, que g/cm , exemplo) o raio dose traduziria na observação de um redshift. partir da suaentre determina¸ o da densidade ediaPor ρ˜oes =maioria 1.5 ×(ver 10de[15], interatuam si. cosmol´ Nestas condi¸ c˜oimportante es, asm´ equa¸ celucidar anteriores cri¸ c ˜ a o de um modelo o gico ´ e por i¸c˜ao espacialmente homog´enea de mat´eria e admite-se que c2 kvalor tendo obtido razão, de Rdeobtido por Hubble era perfeita2 ´e particularizado depois especificado o 4-vector velocidade dos observadores =o , πGρ = Λc eratuam entre si. Nestas oes anteriores Foi5 Lemaître (1925) que primeiro descobriu a natureza c c˜oes, as equa¸ 2 condi¸ 2 10c˜ k com mente compatível as observações da época. E 2R =c √ = 2.7 × 10 parsec. ais (que4πGρ est˜ao=R aΛc o Universo) ou as correspondentes linhas do universo Edescrever = 2 4πGρ , estacionária (e não estática) da solução inicial de De Sitter, 2 −53 −2 R portem outro lado, Λ = 1/R = 2,5 × 10 m , é sufi2 , que carateriza a geometria do espa¸ c o-tempo. Os desbem como a m´ etrica g E universo curvatura espacial positiva. ab 0 ck por intermédio de uma escolha adequada de coordenadas 2 = tem ,curvatura 4πGρ = Λc mo as recentes observa¸ c˜oesmedidos cosmol´ opor gicas, queobservadores sugerem umas˜adensidade m´edia para não produzir qualquer oeste vermelho estes o determinados olopara seria modelo do universo visto como compat´ ıvel 2pequeno quemais ocientemente universo espacial positiva. R(redshifts) [17]. Na sequência do trabalho que lhe permitiu obter as E mat´ (incluindo eria onica e) mat´ eria para escura) como aproximaat´ ria, 1926, ρperturbação m,0 no cálculo observações experimen? eEm Hubble empregou adas equa¸ c˜aovisto anterior ue ponto seria este −3 modelo do(bari´ universo como compat´ ıvel sendo novas coordenadas, Lemaître percebeu que o modelo que −27 26 9 ue o universo espacial −31positiva. 3 3×10 kg m ,ρapontam para um factor escala m,0 0 ≈ 2×10 m≈ 6×10 taisEm aotem nível do Sistema Solar. , co˜ade do Rpara o da densidade m´ ecurvatura dia = × 10 δλ1.5empregou da ´e≈ poca? 1926, Hubble aR˙ equa¸ oraio anterior a g/cm procurava não podia ser estacionário, e deveria ter um raio + geometria dℓ compat´ (3) = u˙ a e uma onto seria este modelo dopara universo visto como ıvel or mais suficiente todo o uni−31 3 g/cmespacial , o raio contenha do rmina¸ c˜aododaque densidade m´ edia ρque = 1.5 ×R10 λum Na descrição de modelo cosmológico é imporcrescente. O seu objectivo era obter algo que se situava c poca? Em 1926, Hubble empregou a equa¸ c˜aoobtido anterior rv´avel.= Por maioria de raz˜ ao, o valor de R porpara Hubble era perfeitamente 2.7 × 1010 parsec. −31 3 2 −53 −2 tante elucidar (ver [15], por exemplo) que este só é entre os modelos de Einstein e De Sitter; para isso Lemaître g/cm , o raio do na¸ c a ˜ o da densidade m´ e dia ρ = 1.5 × 10 co do comprimento acom varia¸ de onda radia¸ c˜ao emitida o comprimento 4πGρ × 10 m de , ´e asc˜aobserva¸ c˜oes da ´e10poca. E porda outro lado, Λ = 1/Rcom 0 = 2.5 R = √particularizado = 2.7 × 10 parsec. depois de especificado o 4-vector ajustou as constantes de integração aos seus valores na sodido observadores fundamentais a uma distˆam´ ncia longodas do observa¸ caminhoc˜ode mente pequeno para n˜ ao produzir qualquer perturba¸ ˜ao dℓ no ao c´alculo es 4πGρ a¸ c˜oescpelos cosmol´ ogicas, que sugerem uma densidade ecdia 10 observadores fundamentais (que ˙ velocidade dos eslução estática de Einstein, e obteve uma solução, mais tarde ´ e a acelera¸ c a ˜ o dos observadores fundamentais, R(t) ´ e a taxa de varia¸ c ˜ a o minoso, u ˙ √ ao n´ıvel do Sistema Solar. =stais = 10 oeria parsec. t´eobserva¸ ria4πGρ bari´ e× mat´ escura) como sendo coaNa
descrição
de
um
modelo
cosmológico
é
importante
elucidar
(ver
[15],
por
exemplo)
 ˜onica es2.7 cosmol´ gicas, que sugerem umaaproximadensidade m´edia a tão a descrever o Universo) ou as correspondentes conhecida por modelo do universo de Eddington-Lemaître, que
este
só
é
particularizado
depois
de
especificado
o
4-vector
velocidade
dos
 a dire¸ c a ˜ o de observa¸ c a ˜ o. Como o universo de De do factor de escala R(t), e e 26 9 cri¸ c˜aomat´ deeria um modelo cosmol´ gico importante elucidar (ver [15], por exemplo) ontam para um factor R0escura) ≈´e 2×10 m≈ 6×10 ndo bari´ onicade e escala mat´eoria como sendo aproximaobservadores
fundamentais
(que
estão
a
descrever
o
Universo)
ou
as
correspondentes
 erva¸ cque ˜oo-tempo es cosmol´ que sugerem uma edia u espa¸ deogicas, curvatura constante, n˜ abem odensidade uma escolha ´9nica as linhas linhas do universo associadas, como am´ métrica o qual descreve um universo em expansão com uma densi−3 ´opara ´e particularizado depois de especificado oexiste 4-vector velocidade dospara observadores 26uniuma geometria espacial contenha todo o m , capontam para um factor de escala R ≈ 2×10 m≈ 6×10 0 linhas
do
universo
associadas,
bem
como
a
métrica
g ab,
que
carateriza
a
geometria
do
 mat´ e ria bari´ o nica e mat´ e ria escura) como sendo aproximao fundamentais; como tal, este universo pode ser escrito de muitas formas como , que carateriza a geometria do espaço-tempo. g dade de matéria não nula, que se aproxima assintoticamenais (que est˜ a o a descrever o Universo) ou as correspondentes linhas do universo z˜ ao, o valor de R uma obtido por Hubble era perfeitamente abespaço-tempo.
Os
deslocamentos
para
o
vermelho
(redshifts)
medidos
por
estes
 ficiente para que geometria espacial contenha todo o9 uni26 apontam para um factor de escala R ≈ 2×10 m≈ 6×10 2 −53 −2 0 , que carateriza a geometria do espa¸ c o-tempo. Os desbem como a m´ e trica g Os deslocamentos para o vermelho (redshifts) medite do universo estático de Einstein, à medida que o tempo observadores
são
determinados
por
 ab obtido = 2.5 × 10 eramperfeitamente , ´e E por Λ = 1/R0por aoca. de raz˜ ao, outro o valorlado, de R Hubble nte para que uma geometria espacial contenha todo o unisoduzir para o vermelho (redshifts) medidos por estes observadores s˜ a o determinados 2 −53 −2 dos por estes observadores são determinados por vai para menos infinito. perturba¸ o no Λ c´a= lculo das=observa¸ c˜oes m , ´e 2.5 × 10 es da ´equalquer poca. E por outroc˜alado, 5 1/R !"0era# perfeitamente R! & raz˜ a o, o valor de R obtido por Hubble a ! olar. uae das + observa¸ dl 
 c˜ ( c˜ao 2no c´a=) a n˜ao produzir qualquer perturba¸ lculo oes Numa publicação muito recente de J. P. Luminet (2011) R '(m−2 , ´ $%× 10−53 ="R 2.5 e a ´eopoca. por outro lado, 1/R0[15], ˙ por δλ Λ =(ver mol´ gico ´eEimportante elucidar exemplo) tema Solar. a encontramos = uno ˙ a ec´a+ dℓ observa¸c˜oes (3) (3) uma afirmação muito clara acerca da prioriode produzir qualquer perturba¸ c ˜ a o lculo das λ velocidade R observadores elo especificado cosmol´ ogico o´e 4-vector importante elucidardos (ver [15], por exemplo) onde
δλ
é
a
variação
do
comprimento
de
onda
da
radiação
emitida
com
o
comprimento
 dade da descoberta da expansão do universo a propósito aoSolar. Universo) ou as correspondentes linhas do dos universo depois dede
onda
λ,
medido
pelos
observadores
fundamentais
a
uma
distância
dl
ao
longo
do
 especificado o 4-vector velocidade observadores do artigode de Lemaître de 1927, “Un univers homogène de a varia¸ ˜ao do comprimentoelucidar de onda(ver da [15], radia¸ c˜ao exemplo) emitida com o comprimento cosmol´ ocgico ´e importante por que carateriza a geometria do espa¸ Os des
é
o
4-vector
aceleração
dos
observadores
 u!cao-tempo. escrever ocaminho
de
um
raio
luminoso,
 Universo) ou as correspondentes linhas do universo onde δλ é aovariação do comprimento de onda massea constante et de rayon croissant, rendant compte edido pelos observadores fundamentais a uma distˆ ancia dℓ da ao longo do caminho de ois de especificado 4-vector velocidade dos observadores fts) por estesR(t s˜aoespa¸ determinados !observadores carateriza a )geometria do co-tempo. Os˙ desrica medidos gab , que 
é
a
taxa
de
variação
no
tempo
do
factor
de
escala
R(t),
e
e 
é
o
4´e a acelera¸ c˜aocorrespondentes dos observadores fundamentais, R(t) ´ e a taxa de varia¸ c ˜ a o minoso, u˙ afundamentais,
 radiação emitida com o comprimento de onda λ, de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques”, o ever o Universo) ou as linhas do universo 2 (redshifts) medidos por estes s˜ao determinados vector
da
direção
de
observação. 
Em
geral,
nos
modelos
cosmológicos
de
Big
Bang
os
 a observadores ) ( a dire¸ c a ˜ o de observa¸ c a ˜ o. Como o universo de De do de escala R(t), e e pelos observadores fundamentais a uma que não é habitual na literatura científica. Nesse artigo [18] quemedido carateriza a geometria do espa¸ c o-tempo. Os desgab ,factor observadores
fundamentais
são
geodésicos,
pelo
que
nesse
caso
 u! = 0 ,
mas
como
o
 R˙ λ ) espa¸ o-tempo curvatura constante, n˜as˜ oaexiste uma escolha u ´ nicaa para as linhas dshifts) estes observadores o determinados ao longo do caminho de um raio lumiLuminet afirma que a expansão é interpretada por Lemaître eauniverso
de
De
Sitter
é
um
espaço-tempo
de
curvatura
constante,
não
existe
uma
 +( depor dℓ (3) = cu ˙ distância amedidos δλ R a R˙tal, este universo pode ser escrito de muitas formas como λo fundamentais; noso, é+ a aceleração dos observadores funda- (3) como uma consequência da recessão das galáxias: Segundℓ = u˙ a ecomo ) (escolha
única
para
as
linhas
do
universo
fundamentais;
como
tal,
este
universo
pode
 R a taxa de variação no tempo do λmentais, ser
escrito
de
muitas
formas
como
modelo
cosmológico;
ou
seja,
há
várias
formas
de
 do Luminet, “a grande novidade era que Lemaître fornecia R˙ c(t) δλ onda o de da radia¸ ˜aoéemitida com o comprimento de dℓ (3) 2 = folhear
o
espaço-tempo,
com
M
=
S
×
R,
sendo
a
variedade
3-dimensional
S,
aqui
um
 u˙ a ea + a de escala R(t), e e a direção de observação . a primeira interpretação dos redshifts cosmológicos em ndamentais a uma distˆ a ncia dℓ ao longo do caminho de R λ factor primento de onda da radia¸ c a ˜ o emitida com o comprimento de 5 espaço
de
curvatura
constante.
Note-se
que
o
universo
de
De
Sitter
também
pode
ser
 Como ofundamentais, universo De Sitter éaoum termos da expansão do próprio espaço, em vez de ser um os observadores R(t) ´e dℓ a taxa deespaço-tempo varia¸ c˜ao adores fundamentais a umade distˆ a˙ ncia longo do caminho de folheado
por
hipersuperfícies
espaciais
anisotrópicas,
como
no
caso
do
modelo
de
 mento c˜aoc˜aemitida com o comprimento deúni˙universo Bianch
III,
como
se
mostra
em
[16].
Na
verdade,
a
solução
de
De
Sitter
pode
ser
escrita
 dire¸ ccurvatura ˜ao da de radia¸ observa¸ o. Como oR(t) de Devaria¸ e eca˜aaode deonda constante, não existe escolha movimento real das galáxias: o espaço estava constanteera¸ dos observadores fundamentais, ´euma a taxa de c˜ao es fundamentais aexiste uma distˆ ancia dℓ ao longo doas caminho de como
um
modelo
estático
–
a
forma
inicialmente
obtida
por
De
Sitter
–
ou
como
 a n˜ constante, oas uma escolha ´o.nica para linhascomo ca para do universo fundamentais; mente1,
bem
 a expandir-se e por conseguinte as separações apaa adire¸ clinhas ˜ao de observa¸ c˜a˙u Como o universo de De aa R(t), e equalquer
dos
universos
em
evolução
de
Robertson-Walker
com
k
=
0,
+1,
ou
 ˜aoeste dosuniverso observadores fundamentais, R(t) ´e a formas taxa decomo varia¸c˜ao ser de curvatura constante, n˜aoescrito existe escolha de u ´ nica para as linhas estepode universo podeuma sermuitas escrito muitas formas rentes entre galáxias cresciam”. Nele, Lemaître calculava as atal,como
soluções
de
espaço-tempo
folheadas
por
superfícies
3-dimensionais
 dire¸c˜ao de observa¸c˜ao. Como o universo de De t), e e a anisotrópicas.
No
modelo
estático,
as
linhas
do
universo
fundamentais
são
nãoomo tal,como este universo pode ser escritooudeseja, muitas formasforcomo modelo cosmológico; há várias soluções exatas das equações de Einstein assumindo um atura constante, n˜ao existe uma escolha u ´ nica para as linhas ,
e
por
isso
são
observados
redshifts
(de
acordo
com
a
fórmula
(3)).
 u!a !o0espaço-tempo, geodésicas,
 mas de folhear com M = S × R, espaço com curvatura positiva (e topologia elíptica), densital, este 5universo pode ser escrito de muitas formas como A
existência
desta
aceleração,
resultante
da
presença
da
constante
cosmológica
Λ,
era
 sendo a 5variedade 3-dimensional S aqui um espaço dade de matéria e pressão variáveis no tempo, e uma consreferida
na
altura
como
o
“efeito
de
De
Sitter”.
Embora
na
formulação
original,
o
modelo
 detenha
sido
considerado
estático,
uma
vez
colocadas
duas
partículas
(ou
dois
 curvatura constante. Note-se que o universo de tante cosmológica não nula. Isto levou-o a obter um modelo 5 Deobservadores)
neste
universo
a
uma
certa
distância,
de
modo
a
descreverem
as
linhas
 Sitter também pode ser folheado por hipersucom uma expansão continuamente acelerada, no qual ajusdo
universo
fundamentais,
verificar-se-ia
um
afastamento
acelerado
entre
essas
duas
 perfícies espaciais anisotrópicas, como no caso do tou o valor da constante cosmológica de modo que o raio partículas,
que
se
traduziria
na
observação
de
um
redshift.
 modelo de Bianch III, como se mostra em [16]. Na R(t) do espaço, uma híper-esfera S3, cresce constantemente Foi
Lemaître
(1925)
que
primeiro
descobriu
a
natureza
estacionária
(e
não
estática)
da
 verdade, a solução de De Sitter pode ser escrita a partir do valor do raio da híper-esfera estática de Einstein, solução
inicial
de
De
Sitter,
por
intermédio
de
uma
escolha
adequada
de
coordenadas
 como um modelo estático – a forma inicialmente obRE, para t = −∞. Desta forma eliminava a singularidade no [17].
Na
sequência
do
trabalho
que
lhe
permitiu
obter
as
novas
coordenadas,
Lemaître
 tida por De Sitter – ou como qualquer dos universos passado e resolvia o problema da idade do Universo. percebeu
que
o
modelo
que
procurava
não
podia
ser
estacionário,
e
deveria
ter
um
raio
 2

crescente.
O
seu
objectivo
era
obter
algo
que
se
situava
entre
os
modelos
de
Einstein
e
 De
Sitter;
para
isso
Lemaître
ajustou
as
constantes
de
integração
aos
seus
valores
na
 Na Eq. (3) estamos a usar c = 1 e, como é habitual no cálculo tensorial, a convenção de soma de Einstein segundo a qual 







































 














 
 2um índice covariante e outro contravariante repetidos indi
Na
Eq.
(3)
estamos
a
usar,
como
é
habitual
no
cálculo
tensorial,
a
convenção de soma de
Einstein
 cam uma soma em toda a gama de variação dos respectivos segundo
a
qual
um
índice
covariante
e
outro
contravariante
repetidos
indicam
uma
soma
em
toda
a
gama
 de
variação
dos
respectivos
índices;
assim,
no
caso
do
espaço-tempo,
temos
 índices; assim, no caso do espaço-tempo, temos u!ae a = u!0e 0 + u!1e 1 + u!2e 2 + u! 3e 3 .
 


Para os físicos e amigos da física. w w w . g a z e t a d E f i s i c a . s p f. p t

5

4. Modelos anisotrópicos compatíveis com as observações mais recentes

do universo em relação a um modelo isotópico FLRW recorrendo ao tensor de cisalhamento ou shear, σab, do fluido cósmico e ao tensor de curva4.1 Introdução tura de Weyl, Cabcd, que é aquela parte do tensor de A tarefa de provar a homogeneidade e isotropia do Univercurvatura, Rabcd, que não depende das distribuições so em grandes escalas não é simples. É consensualmente de matéria ou energia, os quais se anulam nos aceite que o Universo é espacialmente homogéneo como modelos FLRW. O shear descreve a anisotropia da consequência de uma hipótese de simetria a que chamaexpansão global do universo e o tensor de curvatura mos princípio de Copérnico, ou princípio cosmológico, isto de Weyl, que representa o campo gravitacional puro é, a suposição de que vivemos num lugar típico do cosmos. independente das fontes, descreve, por exemplo, Como consequência desta hipótese, as soluções cosmoas forças de maré. Mas não basta exigir que estas lógicas que descrevem bem o Universo real devem ter o quantidades sejam pequenas numa cosmologia animesmo aspecto em todos os pontos do espaço, em cada sotrópica em expansão, uma vez que estas quantiinstante, e em todas as direções. Por outras palavras, as dades têm dimensões físicas não nulas. Além disso soluções cosmológicas aceitáveis devem ser espacialmente o shear, por exemplo, tendo para zero com o tempo homogéneas e isotrópicas. Todos os modelos referidos anindependentemente do modelo isotropizar ou não. teriormente assumem estas hipóteses de simetria. Porém, As quantidades apropriadas sem dimensões físicas tˆem dimens˜oes f´ısicas n˜ao nulas. Al´em disso o shear, por exemplo, tendo para z no que se segue vamos deixar cair a isotropia espacial podem obter-se dividindo por potências apropriadas o tempo independentemente do modelo isotropizar ou3 n˜ao. As quantidades apro exacta e vamos admitir modelos com ligeira anisotropia da constante de Hubble H média . É assim habitual sem dimens˜oes f´ısicas podem obter-se dividindo por potˆencias apropriadas da const compatível com as observações, quando consideramos o definir-se uma métrica como ‘próxima’ de um mo´ Hubble H m´edia. E assim habitual definir-se uma m´etrica como ‘pr´oxima’ de um Universo a grande escala, como explicaremos adiante. FLRW quando ambos os parâmetros FLRW quando ambosdelo os parˆ ametros

Ora, atendendo à homogeneidade espacial, que vamos σab σ ab Eab E ab + Hab H ab continuar a assumir, devemos ter em conta um resultado Σ2 = , W2 = , (4) 2 6H 6H 4 fundamental que decorre do princípio de que se a tempetˆem dimens˜oes f´ısicas n˜ao nulas. Al´em disso o shear, por exemplo, tendo para ze o quase nulos, embora geralmente o primeiro escalar mais aten¸c˜ao que o ratura da Radiação Cósmica de Fundo (RCF) fosse exactaos˜atempo independentemente do modelo isotropizar ou receba n˜ao. As quantidades apro na espaçoliteratura. o tensor de cisalhamento shear, que mede o mente isotrópica em relação a qualquer ponto sem no ab representa são quase nulos, embora geralmente primeiro es-da dimens˜oes Aqui, f´ısicasσ podem obter-se dividindo por potˆenciasoou apropriadas const anisotropia da expans˜ ao, Hreceba ´e a constante de Hubble m´ dia (estamos aoliteraadmitirdeque ´ assim tempo, o Universo deveria seguir exactamente Hubble um modelo calar mais atenção que segundo H m´ edia. E habitual definir-se uma m´ eoetrica como na ‘pr´ xima’ uma expans˜ aquando o doe espa¸ co n˜ aos o ´eparˆ aAqui, mesma todas as direc¸ c˜oes),de e oscisalhamento tensores Eab e Hab s˜ao de FLRW. Isto foi provado por Ehlers, Geren e Sachs [19] FLRW ambos ametros representa o tensor tura. σabem el´ectrica e magn´eticaou doshear, tensorque de Weyl, que representam a parte ınseca da cu é conhecido como o teorema EGS. As observações indicam mede o grau de anisotropia daintr´ expanab ab ab σ E σ E + H H do espa¸ c o-tempo que n˜ a o depende diretamente das fontes (energia e campos), s˜ao d ab ab ab 2 Hubble média (estamos a que a temperatura da RCF é isotrópica a um nível consisão, , Wde = , Σ2H=é a constante 2 4 pelas rela¸ c o ˜ es 6H 6H derável. Estas observações, em conjunto com o princípio admitir que a taxa de expansão não é a 1 do espaço d b d de Copérnico, levam ao consenso generalizados˜ade que onulos, embora Cabcd uob uprimeiro ,as direcções), Hac = ϵ..ef C u u , aten¸ Egeralmente o quase escalar receba mais mesma todas e os tensores Eabc˜aeo que o s ab =em ef cd 2 ab Universo pode ser descrito com precisão por um na modelo literatura. Aqui, σ representa o tensor de cisalhamento ou shear, que H são a parte eléctrica e magnética do tensor de mede o g ab onde ua representa a ab 4-velocidade do fluido c´osmico. A literatura refere-se a Σ espacialmente homogéneo e isotrópico em escalas suficienanisotropia da expans˜ ao, H4,´eoaqual constante de Hubble m´edia (estamos admitir que a Weyl representa a parte intrínseca daa curparˆametro de cisalhamento e W como o parˆametro de Weyl. expans˜ ao do espa¸co n˜ao ´e a mesma em todas as direc¸c˜onão es), depende e os tensores Eab e Hab s˜ao temente grandes, reduzindo assim drasticamente o espaço dodeespaço-tempo diretaNote-se que, para vatura modelos fluidos perfeitosque espacialmente homog´ eneos n˜ao-env el´ectrica do tensor de Weyl,(energia que representam a são partedefinidos intr´ınseca da cu de soluções das equações de Einstein e do número de e magn´etica mente das fontes e campos), isto ´e, em que as linhas do Universo das part´ıculas do fluido c´osmico fluem ortogonalm do espa¸co-tempo que pelas n˜ao depende diretamente das fontes (energia e campos), s˜ao d modelos cosmológicos possíveis. relações superf´ıcies t = const., um valor nulo para o tensor de cisalhamento implica que a cu pelas rela¸c˜oes tensor de os modelos de FL No entanto, o teorema EGS não é directamentedo aplicável ao Weyl tamb´em ´e nula be destes factos caracterizam 1 b d Cabcd u urestringindo , Hac =Σ aϵ..ef Cefvalor , ab =entanto, cd u ubaixo, abum Σ = 0 ⇒ W = 0.ENo n˜a(5) o garante Universo real porque a temperatura da RCF nãoseja, é exacta2 seja pequeno, pois o tensor de curvatura Weyl est´ a relacionado com derivadas a mente isotrópica. Este facto pode explicar porque é que, onde u representa a 4-velocidade do fluido c´osmico. A literatura refere-se aemΣo tempo tensor de cisalhamento e estas n˜ o necessitam apesar do elevado nível de isotropia da temperatura dadoRCF, parˆ ametro de cisalhamento e W como o parˆ aametro de Weyl.de ser pequenas em com 2 ´ assim, muito onde importante ua representa a 4-velocidade doEGS fluidopode cósmi. E, notar que o teorema ser estendid com H alguns autores têm trabalhado em modelos espacialmente Note-se que, para modelos de fluidos perfeitos espacialmente homog´eneos n˜ao-envi co. A literatura refere-se a Σ como o parâmetro de foi mostrado em Stoeger et al (1995), feitas algumas suposi¸ c o ˜ es razo´ a substit homogéneos, mas anisotrópicos para avaliar seisto eles podem ´e, em que as linhas do Universo das part´ıculas do fluido c´osmico fluemveis, ortogonalm cisalhamento e W como ao obten¸ parâmetro de Weyl. palavra ‘exactamente’ por ‘quase’, resultando c a ˜ o de um ‘quase’ teorema E ser compatíveis com as observações actuais, em particular superf´ıcies t = const., um valor nulo para o tensor de cisalhamento implica que a cu Por outras palavras, os autores mostraram, dadas certas suposi¸ c o ˜ es, que se a tempera do tensor de Weyl tamb´ em ´e que, nula para e estes factos de caracterizam os modelos de FLR com aqueles modelos que podem ser considerados como Note-se modelos fluidos perfeitos RCFΣfor=medida quase isotr´ opica numa regi˜ ao valor do espa¸ co-tempo de um u 0 ⇒ Wcomo = espacialmente 0. sendo No entanto, restringindo Σ a um baixo, n˜ao garante ‘próximos’ de FLRW. Vale a pena recordar queseja, Stoeger, Mahomogéneos não-enviesados, isto em expans˜ a o, ent˜ a o esse universo est´ a perto de um modelo FLRW nessa regi˜ ao. seja pequeno, curvatura est´a relacionado com derivadas emEm or artens, & Ellis (1995) fizeram o que se pode considerar uma pois o tensor é, em de que as linhasWeyl do Universo das partículas do dos parˆ a metros da anisotropia atr´ a s introduzidos, a condi¸ c a ˜ o para o universo estar p de cisalhamento e estas n˜ a o necessitam de ser pequenas em comp hipótese razoável ao estender os resultados detempo Ehlersdo et tensor al. fluido cósmico fluempelas ortogonalmente às superfícies um modelo de FLRW pode ser traduzida desigualdades 2 ´ . E, assim, muito importante notar quepara o teorema EGS pode ser estendido com H assim substituindo o “exactamente” por “quase”, e obtendo t = const., um valor nulo o tensor de cisalhamostrado em Stoeger et al (1995), feitas algumas suposi¸ c o ˜ es aveis, substitu o que se considera um teorema “quase” EGS. foi Concretamento implica que Weyl Σ ≪a1,curvatura W ≪ 1.do tensor derazo´ palavra ‘exactamente’também por ‘quase’, resultando a obten¸ c a ˜ o de um ‘quase’ teorema EG mente, mostraram que se a temperatura da RCF é medida é nula e estes factos caracterizam os moPor Deve outrassalientar-se, palavras, os entretanto, autores mostraram, dadas suposi¸ co˜es,[22] queque se aexistem tempera que W.C. Limcertas (2001) mostra como sendo quase isotrópica numa região do espaço-temRCF forogicos medida como sendo quase isotr´ opica numa regi˜ ao do espa¸cda o-tempo de um u cosmol´ espacialmente homog´ e neos tais que a temperatura RCF ´e medid po de um universo em expansão, então é possível descrever 3 Note-se que num modelo anisotrópico, em geral, podem em expans˜ aoo,pica ent˜ ao esse universo est´ a perto de um modelo FLRW nessa regi˜ a o. Em por todos os observadores fundamentais sendo isotr´ em determinado momento t 0 o universo nessa região por um modelo próximo de FLRW. existir três constantes de Hubble distintas, segundo cada dos parˆ a metros da anisotropia atr´ a s introduzidos, a condi¸ c a ˜ o para o universo estar da expans˜ao total do universo altamente anisotr´opica em t0 , onde t0 representap uma dasser direcções espaciais. Para dar um significado preciso do que se entende por umde FLRW pode 4 um modelo ser traduzida pelas desigualdades actual. O tensor de Weyl é um tensor de quarta ordem que pode ser em dois tensores de forem segunda ordem, deao modo “modelo próximo de FLRW” seguimos a abordagem Pordeoutro lado, se os decomposto testes cl´assicos de cosmologia aplicados modelo de K semelhante ao Σ que acontece com o tensor electromagnético ≪ 1,queW ≪obtidos 1. Wainwright & Ellis (1997, § 2.4) [21], mas tendoSachs comoefoco os resultados comparados com os s˜ a o para o modelo ao, t Fab que contém dois campos vectoriais: o campo eléctrico Epadr˜ a questão da anisotropia. Para isso, quantificamos o desvio mostrou A. Henriques (1996), as observa¸ c o ˜ es n˜ a o s˜ a o capazes de distinguir este mom e o campo magnético B. Deve salientar-se, entretanto, que W.C. Lim (2001) mostra [22] que existem de FLRW, se os parˆ a metros de Hubble ao longo das direc¸ c o ˜ es ortogonais forem as cosmol´ogicos espacialmente homog´eneos tais que a temperatura da RCF ´e medid , isto ´ e , se Σ ≈ 0. Seguindo o mesmo ra como aproximadamente iguais [23] em t 0 sendo isotr´opica em determinado momento t por todos os observadores fundamentais, 0

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da expans˜ao total do universo ser altamente anisotr´opica em t0 , onde t0 representa o 8 actual. Por outro lado, se os testes cl´assicos de cosmologia forem aplicados ao modelo de Ka

Σ2 =

σab σ ab , 6H 2

W2 =

Eab E ab + Hab H ab , 6H 4

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nulos, embora geralmente o primeiro escalar receba mais aten¸c˜ao que o segundo ra. Aqui, σab representa o tensor de cisalhamento ou shear, que mede o grau de a da expans˜ao, H ´e a constante de Hubble m´edia (estamos a admitir que a taxa de s˜anão o a parte o espa¸cdelos o n˜ao ´ede a mesma as=direc¸ es),= e0.osNo tensores são capazes de distinguir estes modelos do modelo FLRW, em ou todas seja, Σ 0 ⇒c˜oW entan-Eab e Hab já magn´etica do tensor de Weyl, que representam a parte intr´ ınseca da curvatura padrão, com excepção do modelo de Kantowski-Sachs (Ωk0 to, restringindo Σ a um valor baixo, não garante que tempo que n˜ao pequeno, depende diretamente dasde fontes (energia e campos), s˜a 0) com ΩΛ0 menor do ˜oes está relacionado com derivadas em ordem ao temque um certo valor crítico ΩΛM [24]. A partir desta análise, 1 ..ef b d b d ϵab Cnão u , Hac = u , (5) que estes modelos são bons candidatos para a po doEtensor cisalhamento e estas necessiconcluímos ab = Cde abcd u ef cd u 2 [24] de trˆes solu¸c˜oes axialmente sim´etricas, conhecidas por fizemos um estudo qualitativo tam de ser pequenas em comparação com H2. É, descrição do Universo observado, desde que os parâmetros epresenta a 4-velocidade fluido c´osmico. Bianchi A literatura refere-se Σ como o m´etricas dedoKantowski-Sachs, I e Bianchi III,acom constante cosmol´ogica e poeira, assim, muito importante notar que o teorema EGS de Hubble sejam aproximadamente iguais a partir da época fizemos um qualitativo de cisalhamento eW como oquais parˆametro de Weyl. para analisar os modelos que eram fisicamente permitidos, se estudo considerarmos um [24] ele- de trˆes solu¸c˜oes axialmente sim´etricas, pode ser estendido, como foi mostrado em Stoeger da última dispersão. m´ e tricas de Kantowski-Sachs, Bianchi I e Bianchi III, com constante cosm que, para modelos fluidos perfeitos espacialmente homog´ n˜aao-enviesados, vado de grau de isotropia, do ponto de vista daeneos expans˜ o total. Mais especificamente, apesar et al (1995), feitas algumas suposições razoáveis, para analisar quais os modelos que eram fisicamente permitidos, se consid que as linhas dodas Universo das part´ ıculasmodelos do fluidodescreverem c´osmico fluem ortogonalmente `as palavras, geometrias destes campos cosmol´ ogicos anisotr´opicos, poderiam Por outras valores baixos do primeiro parâmetro, substituindo a palavra ‘exactamente’ por ‘quase’, vado grau de isotropia, do ponto de vista da expans˜ao total. Mais especifi t = const., umser valor nulo para como o tensor de cisalhamento quevista aΣ,curvatura considerados ‘quase’ de FLRW doimplica ponto de da sua expans˜apara o global, uma vezum comportamento são suficientes assegurar semeobtenção defactos um ‘quase’ teorema dasmenos geometrias modelos descreverem campos cosmol´ogicos anisotr´o de Weylresultando tamb´eque m ´eoa nula estes caracterizam osquase modelos FLRW, tensore de cisalhamento (shear) era nulo,depelo desdeedestes oa tempo da u ´de ltima lhante a ou FLRW afirmação que a expansão altamente ser considerados ‘quase’ FLRW do ponto de vista da sua expans˜ao 0 ⇒ WEGS = 0.[20]. No entanto, Σ a umo valor baixo, n˜aoapenas garante que Wsignifica superf´ ıcie derestringindo dispers˜ao, quando Universo tinha uma centena decomo milhares de de anos isotrópica que Σ « 1. que o tensor de cisalhamento (shear) no, poisPor o tensor de curvatura Weyl est´ a relacionado com derivadas em ordem ao ap´ospalavras, o Big Bang. Descobrimos que estes modelos sofrem uma ‘isotropiza¸c˜ao’ at´e ao ponto era quase nulo, pelo menos desde o t outras os autores mostraram, dadas superf´ ıcie dispers˜ ao,padr˜ quando o Universo tinha àapenas uma centena de m Historicamente, a detecção RCF tem levado imposição tensor de cisalhamento e estas n˜ a o necessitam de ser pequenas compara¸ c˜ao dedo em que as observa¸ ˜oesa j´ a n˜ao s˜ao capazes de distinguir modelos modelo ada o, com certas suposições, que cse temperatura da RCF for em estes ap´ o s o Big Bang. Descobrimos que estes modelos sofrem ´ assim, muitoexcep¸ de modelo restrições modelos no campo da cosmo-uma ‘isotropiza¸c˜a E, importante notar que oKantowski-Sachs teoremanuma EGSregião pode estendido, como de em < 0) e do Bianchi III (Ωteóricos c˜aosendo do modelo de (Ωk0 ser k0 > 0) medida como quase isotrópica em que as observa¸ c ˜ o es j´ a n˜ a o s˜ a o capazes deCom distinguir favorecendo doımos Big Bang. efeito,estes foi modelos do mod do em Stoeger et alΩ(1995), algumas suposi¸ c˜oescr´ razo´ adesta an´asoluções do universo que um certo valor ıticoaveis, ΩΛM substituindo [24].logia, A partir lise, conclu´ com Λ0 menor do espaço-tempo defeitas um em expansão, < 0) e do modelo de Bianc excep¸ c ˜ a o do modelo de Kantowski-Sachs (Ω k 0 da RCF, denível de isotropia daostemperatura xactamente’ porque ‘quase’, modelos resultandooabons obten¸ c˜ao de umpara ‘quase’ teoremaobservado EGS [20]. oobservado, Universo desde que então esseestes universo estás˜aperto decandidatos um modelo a descri¸c˜ao do menor do que um certo valor cr´ ıtico Ω [24]. A partir desta an´a com Ω Λ Λ 0´ M que tem por Penzias palavras, os autores mostraram, dadassejam certas suposi¸c˜oes, que seiguais a temperatura da parˆametros de Hubble aproximadamente a tectada partir dainicialmente epoca da u ´ltima dispers˜a& o. Wilson (1965), FLRW nessa região. Em termos dos parâmetros da que estes modelos s˜ a o bons candidatos para a descri¸ c a ˜ o do Universo observa sido considerada comopara oferecendo edida como sendo opica numa regi˜ ao do do espa¸ co-tempo de um universo Por quase outrasisotr´ palavras, valores baixos primeiro parˆ ametro, Σ, s˜ao suficientes assegu- a melhor evidência para anisotropia atrás introduzidos, a condição para o parˆ a metros de Hubble sejam aproximadamente iguais a partir da ´ e poca da u ´ ˜ao, ent˜ao esse universo est´a perto de umsemelhante modelo FLRW nessaeregi˜ ao. aEm isotropia doaUniverso larga escala e ainda é o argurar um comportamento a FLRW a afirma¸ c˜aotermos de que expans˜aoem altamente universo estar perto de um modelo de FLRW pode Por outras palavras, valores baixos do primeiro parˆ a metro, Σ, s˜ a o suficien etros da anisotropia atr´assignifica introduzidos, pertomais de forte em favor de uma expansão isotrópica do isotr´opica que Σa≪condi¸ 1. c˜ao para o universo estar mento ser traduzida pelas desigualdades rar um semelhante a FLRW emais a afirma¸ c˜ao de que a expa o de FLRW pode ser traduzida pelas desigualdades Historicamente, a detec¸ c˜ao da RCF tem levado `a Universo imposi¸ c˜aocomportamento de restri¸ c˜oes em modelos [25]. Posteriormente as experiências precisas isotr´ o pica significa que Σ ≪ 1. te´oricos no campo da cosmologia, favorecendo solu¸c˜oesprovaram do Big Bang. Com efeito, foi que esta radiação temobflutuações de temperatura, (6)RCF, detectada Historicamente, apor detec¸ c˜ao da&RCF tem levado `a imposi¸c˜ao de restri¸c Σ ≪de1,isotropia W ≪ 1.da temperatura da (6) servado o n´ıvel inicialmente Penzias ou anisotropias. Pensa-se que estas pequenas anisotrote´oaricos no evidˆ campo dapara cosmologia, solu¸c˜oes do Big Bang. Com Wilson (1965), que tem sido considerada como oferecendo melhor encia a isotro-favorecendo piasmodelos estão na origem das estruturas do Universo em larga alientar-se, entretanto, que W.C. Lim (2001) mostra [22] que existem servado o n´ ıvel de isotropia da temperatura da RCF, detectada inicialment Deve salientar-se, entretanto, que W. C. Lim (2001) pia homog´ do Universo larga e ainda ´e da o argumento mais forte em favor de uma expans˜ade o galáxias, etc. que escala, como galáxias, enxames hoje os espacialmente eneos em tais que escala a temperatura RCF ´e medida como Wilson (1965), que tem sido considerada como oferecendo a melhor evidˆenc mostraisotr´ [22]oque existem modelos cosmológicos pica do Universo [25]. Posteriormente asfundamentais, experiˆencias mais precisas provaram que esta observamos. por todos os observadores apesar ´opica em determinado momento t 0 pia do Universo em larga escala e ainda ´ e o argumento mais forte em favor d espacialmente homogéneos tais que a temperaradia¸cser ˜ao altamente tem flutua¸canisotr´ ˜oes de otemperatura, ou anisotropias. Pensa-se que estas pequenas anisot0 representa o1992, tempo ˜ao total tura do universo picaisotrópica em t0 , onde isotr´ o pica do Universo [25]. Posteriormente as experiˆ e ncias mais precisas pr datropias RCF é est˜ medida como sendo em Em o satélite COBE (Cosmic Background Explorer) ao na origem das estruturas do Universo em larga escala, como gal´axias, enxames radia¸ c ˜ a o tem flutua¸ c o ˜ es de temperatura, ou anisotropias. Pensa-se que estas determinado momento t por todos os observadores [26, 27] observou a RCF com uma precisão sem precedende gal´ aaxias, que hoje observamos. 0 ro lado, se os testes cl´ ssicosetc. de cosmologia forem aplicados ao modelo detropias Kantowskiest˜ a o na origem das estruturas do Universo em larga escala, como ga fundamentais, apesar da expansão total do universo tes, revelado pela primeira vez que o nível das flutuações de Em 1992, elites˜aCOBE (Cosmic Explorer) [26, 27] observou a RCF com resultados comparados comoossat´ que o obtidos para oBackground modelo padr˜ ao,detalgal´ como a xias, etc. que hoje observamos. ser altamente anisotrópica em t , onde t representa temperatura da RCF em grandes escalas é da ordem uma as precis˜ ao sem revelado pela primeira vez que o n´ıvel das flutua¸c˜oes de 0 de distinguir . Henriques (1996), observa¸ c˜oesprecedentes, n˜ao s˜a0 o capazes este modelo dos elite COBE (Cosmic Background Explorer) ∆T Em 1992, −5 [28, o tempo actual. 29]. Após foram efectuadas muitas [26, 27] obser ≃ 10 [28,o sat´ 29]. Ap´ os o o COBE COBE temperatura da RCF em grandes escalas ´ e da ordem T se os parˆametros de Hubble ao longo das direc¸c˜oes ortogonais forem uma assumidos precis˜ a o sem precedentes, revelado pela primeira vez que o n´ıvel da experiências em terra e de foram [23] efectuadas outras encias em terra eoutras de bal˜ ao [30], com maior resolu¸ c˜aobalão [30], com maior ∆T , muitas isto ´eclássicos , se Σ ≈ experiˆ 0. cosmologia Seguindo o mesmo racioc´ ınio, ximadamente iguais Por outro lado, seem ost0testes de ≃ 10−5 [28, 29]. temperatura da RCF em grandes escalas ´ e da ordem T angular, que confirmaram este resultado e que permitiu investigarangular, o n´ıvel que das confirmaram anisotropias este resultado e que resolução forem aplicados ao modelo de Kantowski-Sachs e foram efectuadas muitas outras experiˆencias em terra e de bal˜ao [30], com numa grande variedade de escalas angulares. permitiu investigar o nível das anisotropias numa grande 8 com os que são obtidos os resultados comparados angular, confirmaram este resultado e que permitiu investigar o n´ıvel ), s˜ a oque dominados pelo chamado Em grandes escalas angulares, as anisotropias da RCF ( ∆T variedade de escalas angulares. T para o efeito modelo padrão, tal como mostrou A. Henrinuma grande variedade de escalas angulares. de Sachs-Wolfe, proposto por Rainer Sachs e o seu aluno Arthur Wolfe que descobriram ), s˜ao dominad Em grandes escalas angulares, anisotropias da ques (1996), as observações não são capazes de Em grandes escalas angulares, asasanisotropias da RCF RCF ( ∆T T , [31] que a RFC seria influenciada pelo colapso gravitacional da mat´eria do universo. Desta efeito de Sachs-Wolfe, proposto por Rainer Sachs e o seu aluno Arthur Wolfe distinguir este modelo dos de FLRW, se os parâmesão dominados pelo chamado efeito de Sachs-Wolfe, forma, as flutua¸c˜oes de densidade primordiais deveriam deixar a sua marca na RCF sob [31] que a RFC seria influenciada pelo colapso gravitacional da mat´eria do tros deaHubble ao longo das direcções ortogonais proposto por Rainer Sachs e o seu aluno Arthur Wolfe que forma de pequenas varia¸c˜oes na temperatura da sua radia¸c˜ao em diferentes direc¸c˜oes do forma, as flutua¸ c o ˜ es de densidade primordiais deveriam deixar a sua mar forem assumidos aproximadamente iguais descobriram [31] que a RFC seria influenciada pelo colap´ poiscomo c´eu. E um efeito de origem essencialmente gravitacional. Esse fen´ omeno, deduzido a forma de pequenas varia¸ c ˜ o es na temperatura da sua radia¸ c ˜ a o em diferen [23] emteoricamente t0, isto é, sepor Σ ≈Sachs 0. Seguindo mesmo universo. Desta forma, as & Wolfe,o foi usado para calcularsoasgravitacional perturba¸c˜oesda dematéria primeirado ordem ´ pois um efeito de origem essencialmente gravitacional. Esse fen´o c´ e u. E raciocínio, estudocom qualitativo [24] de preenchido flutuações densidade numfizemos universoum de FLRW um espa¸ co plano, quer com de poeira quer porprimordiais radia¸c˜ao. deveriam deixar a sua teoricamente por Sachs &h´aWolfe, foi usadovariações para calcular as perturba¸c˜oes de três soluções axialmente conhecidas por marca na RCF sob a forma de pequenas na temEsta ´e apenas uma simétricas, das v´arias fontes poss´ıveis de anisotropia, que ocorre quando falta de num universo de FLRW com um espa¸ c o plano, preenchido quer métricas de Kantowski-Sachs, Bianchi e Bianchi III, a u´ltima peratura dade sua radiação empodem diferentes direcções do céu. É com poeira qu homogeneidade na distribui¸ c˜ao de Imat´ eria sobre superf´ıcie dispers˜ ao, que Esta ´ e apenas uma das v´ a rias fontes poss´ ıveis de anisotropia, com constante e poeira, para pois produzir cosmológica anisotropias pelo red-shift ou analisar blue-shift dos fot˜ oes. um efeito de origem essencialmente gravitacional. Esseque ocorre qu homogeneidade na distribui¸ c˜aoopicos de mat´ sobre&aWolfe, u ´ltimafoi superf´ıcie de dispe Nesta abordagem amos opermitidos, efeito de Sachs-Wolfe para dois modelos anisotr´ quais os modelos que eram calcul´ fisicamente fenómeno, deduzido teoricamente poreria Sachs produzir anisotropias pelo red-shift ou blue-shift dos fot˜ o es. mas homog´eum neoselevado (Kantowski-Sachs e Bianchi III) queusado tamb´em s˜aocalcular localmente rotacional- de primeira ordem num se considerarmos grau de isotropia, para as perturbações Nesta calcul´ amos o efeito de Sachs-Wolfe para dois model amos uma ≃abordagem Hb0 (consider´ mente sim´etricos (LRS) e descobrimos que sob o pressuposto Ha0de do ponto de vista da expansão total. Mais especiuniverso FLRW com um espaço plano, preenchido quer mas homog´eneos (Kantowski-Sachs e Bianchi III) que tamb´em s˜ao localm ficamente, apesar das geometrias destes modelos com poeira quer por radiação. mente sim´etricos (LRS) e descobrimos que sob o pressuposto Ha0 ≃ Hb0 (co descreverem campos cosmológicos anisotrópicos, 9 Esta é apenas uma das várias fontes possíveis de anisotropoderiam ser considerados como ‘quase’ de FLRW pia, que ocorre quando há falta de homogeneidade na disdo ponto de vista da sua expansão global, uma vez 9 tribuição de matéria sobre a última superfície de dispersão, que o tensor de cisalhamento (shear) era quase que podem produzir anisotropias pelo red-shift ou blue-shift nulo, pelo menos desde o tempo da última superdos fotões. fície de dispersão, quando o Universo tinha apenas uma centena de milhares de anos após o Big Nesta abordagem calculámos o efeito de Sachs-Wolfe para Bang. Descobrimos que estes modelos sofrem uma dois modelos anisotrópicos mas homogéneos (Kantowski‘isotropização’ até ao ponto em que as observações Sachs e Bianchi III) que também são localmente rotacional-

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trabalho contabiliz´ amos os ‘efeitos pela propaga¸ c˜ao ada radia¸ ˜ao livrecinem´ desdeaticos’ ou ´ltimo scattering, num univers contabiliz´ mos os c‘efeitos sofridos pela propaga¸ c˜ao o para calcular as perturba¸ c˜oes de primeira ordem cinem´aticos’ sofridostrabalho desdecom ou ´ltimo numc˜auniverso perturbado, e os ‘efeitos intr´ınsecos’ originados por o conjunto de processos f´ısicos e ınseco micro desde ou ´ltimo scattering, num universo perturbado, e os ‘efeitos intr´ ano, preenchido quer poeirascattering, quer por radia¸ o. o conjunto de processos f´aısicos microf´ısicos relacionados com as perturba¸ c˜oes de densidade durante u ´ltima superf´ ıcie as de perturba¸ dispers˜aoc o conjunto de processos f´ısicos e microf´ ısicos relacionados com ´veis de anisotropia, que ocorre quando h´ faltaede durante ´ltima superf´ dispers˜ao. durante u ´ltima superf´ıcie de dispers˜ao. Ap´os algum trabalho matem´atico e a sobre a u ´ltima superf´ ıcieu de dispers˜ ao,ıcie quedepodem f´oısicas e cosmol´ ogicas obtemos aoconsidera¸ do efeitoc˜ode Ap´ s algum trabalho matem´ aticoae express˜ diversas es Sachs-Wolfe f´ısicas e cosm e-shift dos fot˜oes. Ap´os algum trabalho matem´atico e diversas considera¸c˜oes express˜ ao modelos do efeito anisotr´ de Sachs-Wolfe a express˜ao do efeito de Sachs-Wolfe de Sachs-Wolfea para dois opicos δTr (LRS) e rotacionaldescobrimos que sob o∫pressuon de Ψe é uma perturbação escalarr constante no anchi III) quemente tamb´esimétricos m s˜ao localmente r ∫ = 1 ∂Ψ δTrpequena amos uma e sob o pressuposto posto Ha0 ≃ Hb0 (consider´ (considerámos uma anisotropia momento da emissão fotões e o segundo termo Tr 1 ∂Ψ δTdos r = Ψe + 2 dw, (8) = Ψe + 2 dw, compatível com as observações doTCOBE) é chamado de efeito Tde integrado. 3 esses modelos ∂η 3 ∂η r r Sachs-Wolfe e e permitem-nos recuperar o efeito clássico Sachs-Wolfe obEsta expressão para o efeito dee ´eSachs-Wolfe éca uma perturba¸ ˜ao escalar co on de Ψ 9 tidoonpara de FLRW. Este é um resultado interesmesma que a que é obtida para a universos de ´ e uma perturba¸ c a ˜ o escalar constante no momento da emiss˜ a o dos fot˜ o es e o segundo de Ψuniversos termo ´ e chamado de efeito de Sachs-W ´ e uma perturba¸ c a ˜ o escalar constante no momento da emiss˜ ao dos f on de Ψ e e sante, que nos diz que as observações da RCF em grandes a de mesma ordem para termo ´e chamado de efeito de Sachs-Wolfe integrado. Esta express˜ aoFLRW, parade opara efeito Wolfe de ´e a aproximação mesmaEsta que express˜ a eque ´eaoobtida termo ´e chamado efeito de SachsSachs-Wolfe integrado. para o escalas capazes de para distinguir estes Wolfe condições adiabáticas. imposWolfeangulares ´e a mesmanão quesão a que ´e obtida a universos de FLRW, para a que mesma ordem de aproxima¸ c˜arestrições o e parade condi¸ c˜oes iniciais ´e a mesma ainiciais que ´e obtida para aAs universos FLRW, para a am 5 modelos anisotrópicos doscmodelos deAs FLRW. foram aproxima¸ c˜ao e para condi¸ ˜oes iniciaisisotrópicos adiab´aticas. restri¸ c˜oes impostas foram |ΩcM˜o0es+Ω 3.6 × 10−9 ≃ 10a−9 e HAs aproxima¸ c˜aotas e para condi¸ iniciais adiab´ ticas. restri¸ c˜o1es±impostas fo. Λ0 − 1| b0 = a0 /H −9 −9 −9 −9 3.6 × 10construir . e Ha0 /Hbque 1| ≃ 10no entanto, Note-se, possível outra classe , × 10 . 1| ≃ 10 e Ha0 /Hb0 = 1 ± 3.6 0 = 1é± pequena anisotropia compat´ıvel com as observa¸c˜oes do COBE) esses modelos permitemde modelos anisotrópicos, que se aproximam assimptoticarecuperar o efeito Sachs-Wolfe obtido para universos de FLRW. Este ´e um resulta mente da isotropia, de modo que os correspondentes efei- cl´assico 4.3 Conclusões finais sobre os mointeressante, que nos diz que as observa¸c˜oes da RCF em grandes escalas angulares n˜ao tos cinemáticos sobre a radiação observada sejam evitados, 10 de distinguir estesdelos anisotrópicos 10 isotr´opicos de FLRW. Note capazes anisotr´ opicosodos modelos 4.3 Conclus˜ oes finais sobre os modelos modelos anisotr´ picos como é demonstrado em [32]. Destacamos mais uma vez que devemos ter preno entanto, que ´e poss´ıvel construir outra classe de modelos anisotr´ opicos, que se aproxim Destacamos mais assimptoticamente uma vez que devemos ter sente presente que o pressuposto Ha ≃ Hb n˜ aoefeitos implica que o pressuposto não implica por da isotropia, de modo que os correspondentes cinem´ aticos sobr uena anisotropia compat´ıvel com as observa¸c˜oes do COBE) esses modelos permitem-nos 4.2compat´ O método por csi˜oes s´o do uma m´etrica isotr´ oobservada pica oupermitem-nos mesmo uma m´ etrica quase isotr´ opica, tal como ´e expresso si só uma métrica isotrópica ou mesmo uma métrica uena anisotropia ıvel com as observa¸ COBE) esses modelos radia¸ c ˜ a o sejam evitados, como ´ e demonstrado em [32]. perar o efeito cl´assico Sachs-Wolfe obtido para universos de FLRW. Este ´e um resultado Como Collins e Hawking [33] bem assinalaram, o núpelomuito crescimento doFLRW. Weyl nas Equa¸ c˜oresultado es (4), quando recuamos no tempo at´e `a ´epoca da uperar o efeito cl´assico Sachs-Wolfe obtido universos de ´e um ressante, que nos diz que as observa¸ c˜oes dapara RCF em grandes escalasEste angulares n˜aoquase s˜ao isotrópica, tal como é expresso pelo crescimero de soluções cosmológicas que demonstram isotropia u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ a o. Embora Σ possua valor desde(4), a ´equando poca actual Weyl nasbaixo Equações recuaeressante, que nosestes diz que as observa¸ c˜ooes da dos RCFmodelos em grandes n˜aomento s˜ao doum azes de distinguir modelos anisotr´ picos isotr´ oescalas picos deangulares FLRW. Note-se, 4.2 O m´ e todo −9 ∼ −3.6 × 10 ) at´ e ao instante da u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ a o (Σ ∼ −4.4 × 10−5 ), de (Σ exacta bem depois da origem do Big Bang é uma pequena 0 dos modelos isotr´ ls última superfície mos no tempo até à época da azes de distinguir estes modelos anisotr´ o picos o picos de FLRW. Note-se, ntanto, que ´e poss´ıvel construir outra classe de modelos anisotr´opicos, que se aproximam −10 −1 ∼ aproximam 2 × 10 no instante actual para W 3.8solu¸ × 10 o termo de Weyl, cresce de equaW conjunto de que soluções admissíveis para as ls ∼ Como e0 Hawking [33] assinalaram, o n´ uum mero de c˜oesdesde cosmol´ogicas q dispersão. Embora Σ possua valor baixo entanto, que ´efracção poss´ ıveldo construir outra classe de modelos anisotr´ oCollins picos, que mptoticamente da isotropia, de modo os correspondentes efeitos cinem´ ase ticos sobre amuito bem noosinstante da u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ o.abem Issodepois mostra acter opico destes ções Einstein. por´eque conseguinte, prudente levar acinem´ sério demonstram isotropia exacta da do Big−9)Bang ´e uma pequena mptoticamente da de isotropia, deÉ, modo correspondentes efeitos aticos sobre aaépoca actual (Σo0origem ∼car´ −3,6 × anisotr´ 10 até ao instante da frac¸c˜ao a¸ c˜ao observada sejam evitados, como demonstrado em [32]. ´−4,4 W ∼cresce cerca modelos possa no passado. cresceúltima cercasuperfície de 1.2 × de 10c4˜o,dispersão −5 a possibilidade de que aResumindo, expandirconjunto de solu¸c˜oΣ es admiss´ ıveis para as equa¸ esenquanto de Einstein. E, por conseguinte, prude ia¸c˜ao observada sejam evitados, comoo´eUniverso demonstrado emestar [32]. (Σ × 10 ), o ls quando recuamos no tempo (t Mesmo que de se imponha elevado de 1.9 ×não 109 , muito 0 → ls se compat´ de forma anisotrópica, embora acentuada, e levar amodelos s´erio a possibilidade de quetde o).Universo possa estar de instante forma anisotr´opi termo Weyl, cresce W0a∼expandir-se 2 × um 10−10 no enaO anisotropia ıvel com as observa¸ c ˜ o es do COBE) esses permitem-nos m´ etodo de isotropia noter presente, o comportamento destes modelos acabar´ porúltima seter na distribui −1 investigar o efeito que essagrau expansão possa nan˜ distribuiao muito e anisotr´ investigar o∼efeito essa aoapossa 3,8 ×que 10 noexpans˜ instante da actual para oWpico cl´assico Sachs-Wolfe obtido para universos deembora FLRW. Este ´e umacentuada, resultado 2erarOo efeito m´ etodo ls evidenciar quando se recua suficientemente no tempo. No entanto, a varia¸ c a ˜ o do termo W angular da radia¸ c a ˜ o de fundo. Neste trabalho mostramos que, para grandes ção angular da radiação de fundo. Neste trabalho mostramo Collins e Hawking [33] as muito bemc˜oassinalaram, o n´ ugrandes mero deescalas solu¸c˜oes cosmol´ogicas que superfície de dispersão. Isso mostra o carácterescalas angula essante, que nos diz que observa¸ es da RCF em angulares n˜ao s˜ ao ◦oc˜ . n˜ a o afecta decisivamente c´ a lculo de primeira ordem de δTmas r /Tranisotr´ mo Collins e Hawking [33] muito bem assinalaram, o n´ u mero de solu¸ o es cosmol´ o gicas que (ϑ  2 ), existem modelos homog´ e neos opicos, onde os fot˜ oes que viajam mos que, para grandes escalas angulares onstram isotropia exacta bem anisotr´ depoisoda origem do Big Bang umade pequena c˜aoanisotrópico do destes modelos no passado. Resuminzes de distinguir estes modelos picos dos modelos isotr´o´epicos FLRW.frac¸ Note-se, Uma an´ a lise menos cuidadosa destes resultados poderia levar-nos aencontram concluir a precis˜ a˜ooes na m´etrica q monstram isotropia exacta bem depois da origem do Big Bang ´ e uma pequena frac¸ c a ˜ o do ´ 4 que u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ a o para um observador perturba¸ c existem modelos homogéneos mas anisotrópicos, onde os unto de solu¸ c o ˜ es admiss´ ıveis para as equa¸ c o ˜ es de Einstein. E, por conseguinte, prudente do, Σ cresce cerca de 1,2 × 10 , enquanto W cresce tanto, que ´e poss´ıvel construir outra classe de modelos anisotr´ que se aproximam ´ opicos, Hb )FLRW. na fixa¸ c˜aoEinstein. dos valores dosde parˆ ametros de e dos acontece parˆametros Hubble (Ha e de deasolu¸ c˜oda es isotropia, admiss´ equa¸ csuperfície ˜ocorrespondentes es estar de E, por prudente o levam aconseguinte, mudar a sua frequˆ no de caso de modelos fotões quedeıveis viajam daas última dispersão para rjunto a s´erio possibilidade que omodo Universo possa ade expandir-se forma anisotr´ odensidade pica, cerca de como 1,9 × 109, quando recuamos no tempo ptoticamente de para que os efeitos cinem´ a ticos sobre aencia, era t˜ a o grande que esses modelos se ‘transformavam’ em modelos isotr´ o picos e, portanto, ar eario a possibilidade deeque ocomo Universo possa aexpans˜ expandir-se de forma anisotr´ o(t pica, m´ etricas anisotr´ opicas aqui s˜ao as de um observador encontram perturbações na métrica que n˜ o muito acentuada, investigar efeito queestar essaem aAs o possa ter ona distribui¸ c˜a→ o que tls).consideramos Mesmo que se imponha umKantowski-Sachs elevado grau e Bian ¸cora ˜aao s´ observada sejam evitados, ´eodemonstrado [32]. 0 sem interesse de estudo. Ocom comportamento dos W e Σ e osuas derivadas temporais borada n˜aradia¸ o muito e investigar o efeito que essa expans˜ agrandes o possa ter na distribui¸ c˜acom oescalares III LRS, fluido perfeito, press˜ a o anisotr´ pica nula, dadas por anisoular clevam ˜aoacentuada, de fundo. Neste trabalho mostramos que, para escalas angulares a mudar a sua frequência, como acontece no caso de isotropia no presente, comportamento confirmar que, de estes modelos podem apresentaroum n´ıvel elevado de radia¸de c˜aomodelos de fundo. Neste trabalho mostramos que,onde para os grandes escalas angulares homog´ eneos maspermitiram anisotr´opicos, fot˜ oesfacto, que viajam da ular 2◦ ),daexistem modelos de FLRW. modelos 2 2 acabará 2 2por se2 evidenciar ◦ m´ eıcie todo isotropia durante um per´ dena tempo suficientemente elevado e Σ possam =da −dt2 destes + a2 (t)dr + bdesde (t)(dθque + fW (θ)dϕ ), d˜ s2 trópico ), existem neos mas anisotr´ opicos, onde os ıodo fot˜ que O 2superf´ ma de modelos dispers˜aohomog´ para eum observador encontram perturba¸ c˜ooeses m´eviajam trica que quando se recua suficientemente no tempo. No permanecer com valores pr´ o ximos de zero. Mas recuando suficientemente no tempo (para As métricas anisotrópicas que consideramos aqui são as de ma superf´ ıcie de dispers˜ a o para um observador encontram perturba¸ c o ˜ es na m´ e trica que vam a mudar a sua frequˆ encia,bem comoassinalaram, acontece noo caso de modelos o Collins e Hawking [33] muito n´ umero de solu¸c˜ode es FLRW. cosmol´ogicas que entanto, a variação do termo W não afecta decisivaonde { estes escalares tendem para o infinito, ´epocas anteriores `a Kantowski-Sachs u ´ltima superf´ ıcie edeBianchi dispers˜ao), Kantowski-Sachs e Bianchi III LRS, com fluido perfeito, com vam mudar a sua frequˆ eque ncia, como no caso de FLRW. As m´eatricas anisotr´ opicas consideramos aqui ao as demodelos nstram isotropia exacta bem depois daacontece origem do s˜ Big Bang ´e uma de pequena frac¸c˜ao mente do sin Kantowski-Sachs o cálculo de primeira ordeme de δTr/Tr. independentemente da precis˜ a o que escolhamos para os θparˆapara metros do Hubble densidade, pressão anisotrópica nula, dadas por f (θ) = As m´ e tricas anisotr´ o picas que consideramos aqui s˜ a o as de Kantowski-Sachs e Bianchi ´ LRS, com fluido perfeito, com press˜ o anisotr´ opica nula, dadas nto de solu¸ c˜oes admiss´ ıveis para as aequa¸ c˜oes de Einstein. E, porpor conseguinte, prudente sinh θ para Bianchi III o que mostra a natureza anisotr´ o pica desses modelos. LRS, fluido perfeito, com press˜ao anisotr´ opicaanula, dadas por Uma análise menos cuidadosa destes resultados a s´eriocom a possibilidade de que o Universo possa2 estar expandir-se de forma anisotr´opica, 2 2 2 2 2 que2aCalcul´ 2 amos Uma vez express˜ ao obtida (para o efeito de Sachs-Wolfe) nos modelos de Kantowskio efeito de Sachs-Wolfe [31, 34], assumindo pequenas perturba¸ (7) d˜ s = −dt + a (t)dr + b (t)(dθ + f (θ)dϕ ), levar-nos a concluir que a precisão nac˜oes nas m´etri ra n˜ao muito acentuada, e investigar o efeito que essa2 expans˜ ter na distribui¸cpoderia ˜a(7) o 2 ao possa e Bianchi ´e a2mesma que ´e dada para o modelo plano de FLRW, podemos concluir + b2 (t)(dθ + fIII, (θ)dϕ ), (7) d˜ s2 = −dt2 + a2 (t)dr2Sachs acima consideradas e depois integrando as equa¸ c ˜ o es das geod´ e sicas para os fot˜oes fixação dos valores dos parâmetros de densidade e da RCF ar da radia¸c˜ao de fundo. Neste trabalho mostramos que, para grandes escalas angulares que, estes modelos anisotr´ o picos s˜ a o tamb´ e m bons candidatos para a descri¸ c a ˜ o do Universo e ◦ longo dos seus caminhos, a partir da u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ a o para o observador. Ne { onde eneos anisotr´ opicos, onde os fot˜oes que viajam dos da parâmetros de Hubble (Ha e Hb) era tão grande sin θ mas para Kantowski-Sachs de2 ), existem modelos homog´ { ≃ H (tendo em conta o limite superior para observado desde que possamos supor que H trabalho contabiliz´ a mos os ‘efeitos cinem´ a ticos’ sofridos pela propaga¸ c a ˜ o da radia¸ c a ˜ o li a b 0 0 fa(θ) = um que esses modelos se ‘transformavam’ em modelos a superf´ıcie de dispers˜ o para encontram perturba¸c˜oes na m´etrica que sinobservador θθ para para Kantowski-Sachs sinh Bianchi IIIdo desde o valor actual escalaro u de Σ, imposto pornum observa¸ c˜oes do COBE) e efa¸ camos umaintr´ escolha ´ltimo scattering, universo perturbado, os ‘efeitos ınsecos’ originados p f (θ) = isotrópicos e, portanto, sem interesse de estudo. O am a mudar a sua frequˆencia, como no caso III de modelos de FLRW. sinhacontece θ para Bianchi + ΩΛ0 e≃microf´ 1. Este ´e mais um passocom dadoasno mesmoc˜oes de densida dos parˆametros de densidade: Ω0ef´ o conjunto dec˜oprocessos ısicos ısicos relacionados perturba¸ cul´ amos o efeito deoSachs-Wolfe [31, 34], especial assumindo perturba¸ es nas m´ tricas s m´ etricas anisotr´ picas que consideramos aqui s˜aopequenas as de Kantowski-Sachs e Bianchi comportamento dos escalares W e Σ e suas derivasentido do trabalho [24], citado De resto cul´ amos o efeitoe de Sachs-Wolfe [31,as34], assumindo pequenas perturba¸ c˜oanteriormente. es nas m´etricas durante u ´ltima superf´ ıcie deaodispers˜ ao. este estudo tamb´em est´a de acordo ma consideradas depois integrando equa¸ c o ˜ es das geod´ e sicas para os fot˜ o es da RCF RS, com fluido perfeito, com press˜ao anisotr´opica nula, dadas por dasıvel temporais permitiram confirmar que, dedos facto, comc˜ooutro anterior [23]: n˜ada o ´eRCF poss´ o modelo Kantowski-Sachs ma consideradas e depois integrando equa¸ es das geod´ esicas para fot˜ oes ao adistinguir Ap´ os algum trabalho matem´ tico e diversas considera¸ c˜oes f´ısicas e cosmol´ogicas obtem o dos seus caminhos, a partir da u ´ ltima superf´ ıcie deresultado dispers˜ aoassumindo para oosobservador. Neste Calculámos o efeito deasSachs-Wolfe [31, 34], estes modelos podem apresentar um nível elevado modelos cl´assicos de Cosmologia, se os parˆametros do Hubble ao 2 da 2u 2 sofridos 2deFLRW, 2 apropaga¸ 2o para go doscontabiliz´ seus caminhos, partir ´(t)dr ltima superf´ ıciede acom observador. Neste express˜ do alho amos ‘efeitos a2nas ticos’ pela ca˜aoootestes da efeito radia¸ cde ˜aoSachs-Wolfe livre =a −dt + acinem´ + bmétricas (t)(dθ +acima fdispers˜ (θ)dϕ ), os (7) d˜ s2 os pequenas perturbações consideradas de isotropia durante um período longo das direc¸ c ˜ o es ortogonais forem considerados aproximadamente iguais. de tempo suficienbalho contabiliz´ a mos os ‘efeitos cinem´ a ticos’ sofridos pela propaga¸ c a ˜ o da radia¸ c a ˜ o livre de o u ´ltimo scattering, universo e os geodésicas ‘efeitos intr´ınsecos’ por r que W e Σ possam permae depois num integrando asperturbado, equações das para osoriginados temente ∫ elevado desde Esta discuss˜ ao as poderia ter sidooriginados realizada usando de ou ´ltimo scattering, nume{universo perturbado, e oscom ‘efeitos intr´ınsecos’ por δTdados 1mais recentes ∂Ψ como os do sat´elite njunto de processos f´ısicos ısicos relacionados r fotões da RCF microf´ aosinlongo dos seus caminhos, aperturba¸ partir dac˜oes de densidade necer comproporcionam valores de zero. Mas recuando = Ψe +próximos 2 muito dw, θ para Kantowski-Sachs Plank [35] e o interfer´ o metro AMIBA [36], cujos dados onjunto de processos f´ ısicos e microf´ ısicos relacionados com as perturba¸ c ˜ o es de densidade ante u ´ltima superf´ ıcie de dispers˜ ao.dispersão para o observador. Neste traTr 3 ∂η melhor resolu¸c˜ao, f (θ) = última superfície de suficientemente no tempo (para épocas anteriores à sinh para Bianchi IIIcexigiriam e Sachs-Wolfe mas tamb´em ae considera¸ c˜ao de outros termos como o efeito integrado. ante u ´ltima trabalho superf´ıciematem´ de dispers˜ aeo.θdiversas Ap´ os algum atico considera¸ ˜oes f´ısicas cosmol´ ogicas obtemos balho contabilizámos os ‘efeitos cinemáticos’ sofridos pela última superfície de dispersão), estes escalares tenPor´econsidera¸ m, cremos quef´ısicas n˜ ao mudariam no m´ essencial as considera¸c˜oes aqui feitas. Ap´ osaalgum trabalho matem´atico diversas c˜oes e cosmol´ onas gicas press˜ oodo efeito Sachs-Wolfe ul´ amos efeito de de Sachs-Wolfe [31,e34], assumindo pequenas perturba¸ c˜oes eobtemos tricas perturba¸ c˜adem o escalar constante no momento da emiss˜aoda dos fot˜oes e o segun on scattering, de Ψe ´e uma propagação da radiação livre desde o último num para o infinito, independentemente precisão conclus˜ o, a observa¸ ˜aoodo patamar do efeito de Sachs-Wolfe n˜ao nos permite disao do efeito de Sachs-Wolfe axpress˜ consideradas e depois integrando as c˜oEm esrdas geod´easicas para os cfot˜ es de da RCF ao termo ´e chamado efeito de Sachs-Wolfe integrado. Esta express˜ ao Hubble para o efeito de Sac universo perturbado, e equa¸ os tinguir ‘efeitos intrínsecos’ originados por ∫ entre que escolhamos os parâmetros os modelos de FLRW e os modelos anisotr´opicospara de Kantowski-Sachs edo Bianchi e 1 δT dos seus caminhos, a partir da u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ a o para o observador. Neste r ∂Ψ r Wolfe ´ e a mesma que a que ´ e obtida para a universos de FLRW, para a mesma ordem ∫ o conjunto de processos e ∂Ψ microfísicos = 1Ψefísicos + 2 Para dw, (8) o que mostra a natureza anisotrópica III. responder arelacionados esta indefini¸ c˜aoc˜aser´ adensidade, necess´ario considerar e processar os dados dos δT r lho contabiliz´ a mos os ‘efeitos cinem´ a ticos’ sofridos pela propaga¸ c a ˜ o da radia¸ o livre T 3 ∂η aproxima¸ c ˜ a o e para condi¸ c o ˜ es iniciais adiab´ a ticas. As restri¸ c o ˜ es impostas foram |ΩM0 +ΩΛ r dw, [35] (8) modelos. com as perturbações=deΨdensidade durante última superfíe+2 desses Planck e ınsecos’ AMIBA [36] para considerar regi˜ e e∂η −9 oes menores do que as do horizonte −9 Tr perturbado, 3 projectos ou ´ltimo scattering, num universo os ‘efeitos intr´ originados por = 1 ± 3.6 × 10 . e H /H 1| ≃ 10 a b ◦ 0 0 cie de dispersão. e na u ´ ltima superf´ ıcie de dispers˜ aode (ℓ densidade > 100, ϑ < 1 ). Dentro desta regi˜ao de multipolos, as junto processos f´ısicos e microf´ ısicos relacionados com as perturba¸ ˜oes Uma vez que a expressão obtida (para o efeito de uma perturba¸ c˜ao escalar constante no momento da emiss˜ ao doscfot˜ oesmodelo. e o segundo e Ψe ´ede perturba¸ c o ˜ es s˜ a o dependentes do S´o com esta informa¸c˜ao se poder´a concluir se o nte ´chamado superf´ de ao. Após algum trabalho matemático eEsta diversas considerações ´e uma perturba¸ c˜ade odispers˜ escalar constante no momento da emiss˜ aopara dos ofot˜ oes e de o segundo de ´eΨu Sachs-Wolfe) nos modelos de Kantowski-Sachs e eltima mo de ıcie efeito Sachs-Wolfe integrado. express˜ a o efeito Sachsnosso Universo pode ser modelado por um destes modelos anisotr´opicos, ou se eles ficar˜ao p´os´e´ealgum trabalho tico e diversas considera¸ c˜oesFLRW, f´ısicas eefeito obtemos físicas eque cosmológicas obtemos a expressão doapara de mo de efeito de´e aSachs-Wolfe Esta express˜ ocosmol´ para oogicas efeitoordem de Sachsfe achamado mesma que a matem´ obtida para aintegrado. universos de a mesma de 5 definitivamente exclu´ ıdos. As densidades ΩM0 10 e ΩΛ0 são obtidas a partir da introdução ress˜ de aSachs-Wolfe Sachs-Wolfe lfe ´eaoac˜ado mesma que e obtidaadiab´ paraaticas. a universos dec˜oFLRW, para foram a mesma de +ΩΛ0 − oxima¸ o eefeito para condi¸ cque ˜oes ´iniciais As restri¸ es impostas |ΩM0ordem dos modelos Kantowski-Sachs e Bianchi III nas equações de − oxima¸ o ae0 para es iniciais As restri¸c˜oes impostas foram |ΩM0 +ΩΛ0Einstein e integrando de seguida. Para as restrições preten/Hb0 condi¸ = 1 ±c˜o3.6 × 10−9 .adiab´aticas. 10−9 ce˜aH ∫r −9 didas ΩM0 representa a densidade de matéria bariónica e ΩΛ0 .1 ≃ 10−9 e Ha0 /Hb0 = 1 ± 3.6 × δT10 ∂Ψ r dw, = Ψe + 2 (8) (8) 11a densidade associada à constante cosmológica. Para mais Tr 3 ∂η detalhes ver [24]. e

10 Ψe ´e uma perturba¸c˜ao escalar constante no 10momento da emiss˜ao dos fot˜oes e o segundo o ´e chamado de efeito de Sachs-Wolfe integrado. Esta express˜ao para o efeito de Sachsfísicos e amigos e ´e a mesma Para que aosque ´e obtida paradaa física. universos de FLRW, para a mesma ordem de 8 w w w . g a z e t a d E f i s i c a . s p f. p t xima¸c˜ao e para condi¸c˜oes iniciais adiab´aticas. As restri¸c˜oes impostas foram |ΩM0 +ΩΛ0 − −9

−9

se de estudo. O comportamento dos escalares W e(HΣa ee suas Hb ) derivadas temporais metros de densidade e dos parˆametros de Hubble mlosconfirmar que, de facto, modelos se ‘transformavam’ em estes modelos isotr´opodem picos e,apresentar portanto, um n´ıvel elevado de urante um per´ de tempo elevado desde que W e Σ possam portamento dosıodo escalares W e suficientemente Σ e suas derivadas temporais racto, com estes valores pr´oximos de zero. Mas recuando no tempo (para modelos podem apresentar um n´ıvel suficientemente elevado de eriores `a u ´suficientemente ltima superf´ıcieelevado de dispers˜ ao),que estes tendem para o infinito, e tempo desde W escalares e Σ possam ntemente da precis˜ ao que escolhamos para osnoparˆ ametros do Hubble e densidade, mos de zero. Mas recuando suficientemente tempo (para Bianchi III, é a mesma que é dada para o modelo ra a natureza anisotr´ o pica desses modelos. erf´ıcie de dispers˜ao), estes escalares tendem para o infinito, 4. Nussbaumer, H and Bieri, L. (2009). Discovering the de FLRW, podemos concluir que, estesnos mozque queescolhamos a plano express˜ aopara obtida o efeito Sachs-Wolfe) modelos de KantowskiExpanding Universe, Cambridge Universe Press, os (para parˆ ametros dodeHubble e densidade, delos anisotrópicos sãopara também bons candidatos Cambridge. anchi ´e a mesma que ´e dada o modelo plano de FLRW, podemos concluir r´opicaIII, desses modelos. 5. Bartusiak, M. (2009). The Day We Found the Universe, para a descrição Universo observado desde modelos anisotr´ opicos s˜ao do tamb´ emnos bons candidatos para aque descri¸c˜ao do Universo ida (para o efeito de Sachs-Wolfe) modelos de KantowskiBooks, New York. ≃ Hb0 (tendo (tendo emconcluir conta para possamos supor que em contaoolimite superiorPantheon desde que possamos suporplano que H que ´e dada para o modelo dea0 FLRW, podemos 6. Friedmann, A. (1922). “ Über die Krümmung des escalar de Σ,candidatos imposto observa¸ c˜odo es e fa¸camos uma escolha limite para o por valor actual de Σ, sual s˜aodotamb´ emsuperior bons para a descri¸ c˜aescalar ododoCOBE) Universo Raumes”, Zeitschrift für Physik, 10, 377. Ωdo Esteesuperior ´efaçamos mais um passo dado no7.mesmo s parˆaque metros densidade: imposto COBE) uma 0 +conta Λ0 ≃ ≃ por Hb0 observações (tendo Ω em o 1. limite para supor Ha0de Lemaître, G. (1927). “Un univers homogène de masse trabalho [24],observa¸ citado De resto estudo tamb´em est´a de acordo escolha especial parâmetros de este densidade: imposto por canteriormente. ˜oes dos do COBE) e fa¸ camos uma escolha constante et de rayon croissant, rendant compte de resultado anterior n˜ao´eé´emais poss´ ıvel distinguir onomodelo Kantowski-Sachs dos ΩΛ0 ≃ [23]: 1. Este um dado mesmo idade: Ω0 + Este mais umpasso passo dado no meslavitesse radiale des nébuleuses extragalactiques”, eanteriormente. FLRW, com os testes cl´ a ssicos de Cosmologia, se os parˆ a metros do Hubble ao de la Societ e Scientique de Bruxelles, série A, Annals De resto este estudo emanteriormente. est´a de acordo mo sentido do trabalho [24],tamb´ citado vol. 47, p.49. direc¸ ca˜ooesDe forem considerados aproximadamente iguais. 3]: n˜ ´eortogonais poss´ ıveleste distinguir otambém modelo Kantowski-Sachs dos resto estudo está de acordo com 8.sat´ Lemaître, G. (1931a). “A Homogeneous Universe of scuss˜ aossicos poderia ter sido realizada usando dados mais recentes como os do elite es cl´ de Cosmologia, se os parˆ a metros do Hubble ao outro resultado anterior [23]: não é possível distinguir Constant Mass and Increasing Radius accounting for eorem o interfer´ ometro AMIBA [36], cujos dados proporcionam muito melhor resolu¸c˜ao, considerados aproximadamente iguais. o modelo Kantowski-Sachs dos modelos de FLRW, the Radial Velocity of Extragalactic Nebulae”, Monthly m considera¸ c˜ao mais de outros termos como o efeito Sachs-Wolfe integrado. doexigiriam realizada usando dados recentes como os do sat´ lite com aos testes clássicos de Cosmologia, se osepaNotices of the Royal Astronomical Society 91, 483. mos que n˜ a o mudariam no essencial as considera¸ c o ˜ es aqui feitas. MIBA [36], cujos dados proporcionam muito melhor resolu¸ c a ˜ o, 9. Strömberg, G. (1925). “Analysis of Radial Velocities râmetros do Hubble ao longo das direcções ortogonclus˜ a outros observa¸ c˜ao docomo patamar do Sachs-Wolfe efeito de Sachs-Wolfe era¸ca˜aoo,de termos o efeito integrado. ofdisGlobular Clusters and Non-Galactic Nebulae”, nais forem considerados aproximadamente iguais.n˜ao nos permite re osnomodelos deasFLRW e oscmodelos Astrophys. J. 61, 353. am essencial considera¸ ˜oes aqui anisotr´ feitas. opicos de Kantowski-Sachs e Bianchi Esta discussão poderia sidon˜ usando 10. Slipher, esponder a esta c˜aSachs-Wolfe o ser´ater necess´ aarealizada rio considerar edisprocessar os dados dos V. M. (1917). “Nebulae”, Proceedings of the do patamar do indefini¸ efeito de o nos permite American Philosophical Society, vol. 56, p. 403 Planck [35] e AMIBA [36] para considerar regi˜ o es menores do que as do horizonte dados mais recentes como os do satélite Plank [35] RW e os modelos anisotr´opicos de Kantowski-Sachs e Bianchi ◦ 11. Lemaître, G. (1931b), “The beginning of the world from ). Dentro desta regi˜ a o de multipolos, as superf´ ıcie de dispers˜ a o (ℓ > 100, ϑ < 1 e o interferómetro AMIBA [36], cujos dados proporfini¸c˜ao ser´a necess´ario considerar e processar os dados dos of view of quantum theory”, Nature 127, 706. es s˜apara o dependentes do modelo. S´o com esta informa¸ c˜aoexigise poder´a concluirthe sepoint o cionam muito melhor resolução, masas também [36] considerar regi˜ oes menores do que do horizonte 12. Eddington, A. S. (1933). The Expanding Universe. ◦ modelado por de um destes anisotr´ picos, ou se eles ficar˜ ao outros termos como o oefeito desta regi˜ amodelos o de multipolos, as ˜aerso o (ℓ pode > riam 100,seraϑ consideração < 1 ). Dentro Cambridge. Cambridge University Press. ente exclu´ ıdos. do modelo. S´o com esta informa¸ c˜ao se poder´ a concluir se o Sachs-Wolfe integrado. Porém, cremos que não 13. Einstein, A. (1917). Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. ado pormudariam um destesno modelos anisotr´ opicos, ou se eles ficar˜ ao p. 142. essencial as considerações aqui feitas.

Em conclusão, a observação 11 do patamar do efeito de Sachs-Wolfe não nos permite distinguir entre os modelos de FLRW e os modelos anisotrópicos de 11 Kantowski-Sachs e Bianchi III. Para responder a esta indefinição será necessário considerar e processar os dados dos projectos Planck [35] e AMIBA [36] para considerar regiões menores do que as do horizonte na última superfície de dispersão (ℓ > 100, ϑ < 1º). Dentro desta região de multipolos, as perturbações são dependentes do modelo. Só com esta informação se poderá concluir se o nosso Universo pode ser modelado por um destes modelos anisotrópicos, ou se eles ficarão definitivamente excluídos. Finalmente, não podemos terminar sem agradecer as sugestões de alguns colegas, em particular de José Pedro Mimoso, com quem um dos autores (PC) colaborou na realização de algumas publicações que abordaram temas aqui discutidos, e ao anónimo referee da Gazeta de Física que colocou algumas questões no intuito de melhorar a apresentação e o conteúdo do artigo. Referências 1. Hubble, E. (1929) ‘A Relation between Distance and Radial Velocity among Extra-Galactic Nebulae’, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of American, Vol. 15, Issue 3, p.168. 2. Kragh, H. and Smith, R.W. (2003). “Who Discovered the Expanding Universe”, History of Science, 41, 141-162. 3. Brush, S. G. (2001). “Is the Earth too old? The impact of geochronology on cosmology, 1929-1952”, in The age of the Earth: From 4004 BC to AD 2002, ed. by C.L.E. Lewis and S.J. Knell (London), 157-75, p. 62.

14. De Sitter, W. (1917). Proc. Akad. Wetench. Amsterdam, vol. 19, 1217. 15. Ellis, G. F.R. (1971). Relativistic Cosmology. In General Relativity and Cosmology, ed. R. K. Sachs (Enrico Fermi School XLVIII). New York: Academic Press, 104-182. 16. P. Crawford and P. Vargas Moniz (1993), Int. J. Theo. Phys., 32, 841-848. 17. Lemaître, G. (1925). “Note on de Sitter’s universe”. Physical Review, 25, Ser. II, 903. 18. Luminet, J.P. (2011). “Editorial note to ‘The beginning of the world from the point of view of quantum theory’”, Gen.Rel.Grav. 43, 2911-2928. 19. Ehlers, J., Geren, P e Sachs, R.K. (1968) J. Math. Phys. 9, 1344. 20. Stoeger, W. R., Maartens R. e Ellis, G. F. R. (1995), Astrophys. J. 443 1 (1995). 21. Wainwright, J., & Ellis, G. F. R. 1997, Dynamical Systems in Cosmology (Cambridge: Cambridge Univ. Press) 22. W. C. Lim et. al., Class. Quantum Grav. 18, 5583 (2001). 23. A. Henriques, Astrophysics and Space Science 235 129 (1996). 24. P. Aguiar and P. Crawford, Phys. Rev. D 62 123511 (2000). 25. A. A. Penzias and R. W. Wilson, Astrophys. J. 142 419 (1965). 26. G. F. Smoot, Astrophys. J. 396 L1 (1992). 27. P. Coles and F. Lucchin, Cosmology – The Origin and Evolution of Cosmic Structure (Wiley, Chichester, England 1995), p. 185. 28. J. C. Mather et. al., Astrophys. J. 420 439 (1994). 29. R. B. Partridge, Class. Quant. Grav. 11 A153 (1994). 30. R. B. Partridge, Rep. Prog. Phys. 51 647 (1988). 31. R. K. Sachs and A. M. Wolfe, Astrophys. J. 147 73 (1967). 32. José P. Mimoso and Paulo Crawford, “Shear-free Anisotropic Cosmological Models”, Class.Quantum Grav., 10 315-326 (1993) 33. C. B. Collins and S. W. Hawking, Mon. Not. Astron. Soc. 162 307 (1973). 34. M. White et. al., Ann. Rev. Astron. & Astrophys. 32 319 (1994). 35. http://www.esa.int/SPECIALS/Planck/index.html 36. http://amiba.asiaa.sinica.edu.tw/

Para os físicos e amigos da física. w w w . g a z e t a d E f i s i c a . s p f. p t

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Paulo Aguiar é Licenciado em Físi-

ca/Matemática Aplicada (Ramo Astronomia) pela Fac. Ciências da Universidade do Porto em 1991. É Mestre em “Altas Energias e Gravitação” pela Fac. Ciências da Univ. Lisboa em 1994, onde também obteve o doutoramento em Cosmologia em 2004. É membro do Centro de Astronomia e Astrofísica da Universidade de Lisboa, integrado no Instituto de Astrofísica e Ciências do Espaço. Actualmente é professor na Universidade Lusíada do Porto.

Paulo Crawford é Professor

Agregado Aposentado da Universidade de Lisboa, docente no Departamento de Física, onde leccionou e desempenhou diversos cargos pedagógicos e directivos. Tem desenvolvido investigação em Gravitação e Cosmologia em vários centros de investigação da FCUL e é actualmente membro do Instituto de Astrofísica e Ciências do Espaço da Universidade de Lisboa. Tem publicado extensivamente, desde o final dos anos 80, sobre Buracos Negros, Wormholes e Estrutura Causal, Cosmologia Relativista, Teoria da Relatividade e Soluções Exactas das Equações de Einstein. Interessa-se, igualmente, pela História da Relatividade, tendo já publicado sobre o eclipse de 1919 e recepção da relatividade em Portugal e desenvolve uma forte actividade de divulgação destes tópicos para o grande público.

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Para os físicos e amigos da física.

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