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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
TEMA
PRUEBA DE HIPÓTESIS
11.1.INTRODUCCIÓN 11.2.ELEMENTOS DE LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS 11.3.PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL 11.3.1. Caso: muestra grande 11.3.2. Caso: muestra pequeña 11.4.PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES 11.4.1. Muestras independientes 11.4.1.1. Caso de muestras grandes 11.4.1.2. Caso de muestras pequeñas 11.4.2. Muestras apareadas 11.5.PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL 11.5.1. Prueba de hipótesis para un conteo 11.5.2. Prueba de hipótesis para una proporción 11.6.PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES POBLACIONALES
11.1. INTRODUCCIÓN Al iniciar el estudio de los métodos estadísticos (descriptivos e inferenciales) se indicó que a través de la inferencia estadística se podía llegar a generalizaciones respecto de las características de una población, utilizando las observaciones empíricas de una muestra tomada al azar. Una vez introducidas las nociones de distribución de probabilidad de una variable aleatoria y de que los estadígrafos son variables aleatorias y por tanto tienen en el muestreo una distribución de probabilidades, se está en condiciones de desarrollar los métodos de inferencia estadística que permiten resolver dos grandes grupos de problemas relacionados con: a) la estimación de parámetros poblacionales a partir del conocimiento de una muestra y b) probar si un enunciado afirmativo (hipótesis o suposición) acerca de un parámetro poblacional, o más de uno, puede sostenerse o no frente a la evidencia empírica aportada por una o más muestras aleatorias. La gran importancia de la inferencia estadística radica en que proporciona herramientas para actuar, pese a desconocer cuales son las verdaderas características de la población, solamente a costa de tomar conciencia de la existencia de una condición de incertidumbre. Esto ya fue analizado al estimar un parámetro poblacional tanto en forma puntual (error de estimación) como intervalar (nivel de confianza). En este capítulo se introducirán las denominadas pruebas de hipótesis. Como primera idea se dirá que todo el mundo toma decisiones en su vida diaria, algunas son de fundamental importancia y otras son menos significativas. Pero en todos los casos se actúa de acuerdo a un patrón que consiste en ponderar alternativas y optar por alguna de ellas, con base al conocimiento disponible, tras lo cual se suele llevar a la práctica algún tipo de acción, como por ejemplo se emprende un viaje, se hace una compra, se asiste a una reunión y otras. En el campo de las ciencias experimentales, es tan importante el papel que desempeña la Estadística en la toma de decisiones que se la suele definir como la ciencia para el “estudio de las decisiones frente a la incertidumbre". En otras palabras, se puede decir que se llaman decisiones estadísticas a las decisiones que se toman con respecto a las poblaciones, a partir del conocimiento incompleto. Por ejemplo, a partir de los datos del muestreo se puede decidir si una nueva variedad tiene mayor rendimiento que otra de uso tradicional, o si el agregado de un conservante mejora la vida útil de un alimento o si un hábitat es más favorable para la vizcacha que otro, etc. En el campo de la investigación, por lo general los procesos de toma de decisiones comienzan con la identificación de un problema de interés, siguen con el planteo de dos hipótesis que postulan puntos de vista opuestos y, con base a información empírica se concluye con el rechazo de una de ellas y el sostenimiento de la otra. En Estadística las dos hipótesis mutuamente excluyentes reciben el nombre de hipótesis nula e hipótesis alternativa, y se expresan en forma simbólica. Un ejemplo de esto último puede ser, respectivamente: Ho: µ1 = µ2
y
H1: µ1 ≠ µ2
El análisis estadístico de los datos muestrales permitirá discernir con bases probabilísticas, cuál es la hipótesis que encuentra apoyo o sostenibilidad. En el campo científico los investigadores partirán del enunciado de una hipótesis en términos del problema de interés, que es la hipótesis de investigación, hipótesis científica o hipótesis de trabajo y que, por lo general, coincide con la hipótesis estadística alternativa. Las hipótesis son proposiciones provisionales y exploratorias y, por tanto, su valor de veracidad o falsedad depende críticamente de las pruebas empíricas. En este sentido, la concepción de reproducibilidad de los resultados es fundamental para confirmar una hipótesis como explicación de un fenómeno. Así, cuando resulte un valor muestral observado de la media ̅ próximo al de la media poblacional de la correspondiente distribución en el muestreo (valor supuesto o hipotético), 175 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA esto es cuando resulta un valor métrico que responde a la variabilidad esperada por azar, no se podrá contradecir a lo enunciado en la hipótesis nula (hipótesis verosímil) y habrá que tomar una decisión desfavorable a la hipótesis de investigación. Los procedimientos que llevan a sostener o descartar la hipótesis nula, perjudicando o favoreciendo respectivamente el sostenimiento de la hipótesis alternativa, son denominados pruebas de hipótesis. Para la toma de decisión en una prueba de hipótesis existen dos alternativas muy utilizadas, a saber: a) uno tradicional que se basa en utilizar el denominado valor crítico del estadígrafo de la prueba de hipótesis de acuerdo a su distribución de probabilidades en el muestreo y, b) uno más moderno que ha cobrado popularidad a través de los software estadísticos que emplea el valor p, que se refiere a la probabilidad condicional de que el valor tomado por el estadígrafo muestral se deba al azar. Una tercera alternativa es emplear una estimación paramétrica bajo enfoque de prueba de hipótesis. En este capítulo se presentarán las pruebas de hipótesis referidas a las medias y a las proporciones de una o dos poblaciones. En los siguientes capítulos serán tratadas pruebas de hipótesis para resolver otros tipos de problemas.
11.2. ELEMENTOS DE LAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS Las pruebas de hipótesis constituyen un procedimiento estadístico sólido y riguroso para emitir juicios probables acerca de una población y, al mismo tiempo, conocer la magnitud y la probabilidad de los errores en los que se puede incurrir al expresar los correspondientes juicios finales. Por ejemplo, se suele afirmar que el hábito de fumar causa cáncer; aún así, se conocen muchos casos de personas que pese a haber fumado diariamente gran cantidad de cigarrillos jamás padecieron cáncer, llegando a alcanzar edades muy avanzadas, así como hay muchos casos de personas que jamás fumaron y murieron a causa del cáncer. Entonces, ¿hasta qué grado es posible afirmar que el cigarrillo produce cáncer? Para averiguarlo se necesita realizar un experimento bajo la hipótesis de investigación “que los fumadores son más propensos a morir por cáncer que los no fumadores”, y aplicar una prueba de hipótesis a datos de una muestra aleatoria de fumadores y otra de no fumadores, asumiendo a la luz de los resultados o evidencia empírica un cierto margen de riesgo de equivocarse en las conclusiones. Por ejemplo si, sobre la base de datos de una muestra, un ingeniero tiene que tomar una decisión acerca de que un cierto plan de fertilización aumenta el verdadero rendimiento promedio (µ) de un cultivo hortícola al menos en 3000 kg/ha, entonces puede realizar una prueba de hipótesis con una muestra de cultivos para corroborar o desmentir sus sospechas. Lo mismo si un fabricante de una línea de productos alimentarios destinada a lactantes quiere decidir la fabricación de un nuevo producto si se demuestra que el 80% de los lactantes que consuman el nuevo producto aumentan significativamente su peso. O bien si un viticultor que produce uvas para consumo en fresco en una zona inserta en un entorno natural tiene pérdidas importantes a causa de la depredación de los pájaros, insectos y alimañas. En los tres casos los problemas pueden conducir a postular una hipótesis para someterla a prueba, las que respectivamente serían: “el rendimiento medio del cultivo con el plan de fertilización es cuando menos de 3.000 kg/ha superior a cuando el plan no se aplica”, “el 80% de los lactantes que consumen el nuevo producto durante cierto período alcanzan mayor peso que si consumen otro producto”, “las pérdidas de uva por acción de los pájaros, insectos y alimañas superan un cierto nivel económico”. Definición 11.1 Una hipótesis es una aseveración o conjetura con respecto a un problema de interés. Para aplicar una prueba de hipótesis hay que traducir la problemática a dos enunciados complementarios conocidos como hipótesis estadísticas. Definición 11.2 Una hipótesis estadística es una aseveración o conjetura con respecto a una o más poblaciones. En el análisis estadístico es usual el planteo de un par de hipótesis: la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Las hipótesis estadísticas se plantean formalmente en notación simbólica. Definición 11.3. La hipótesis estadística nula, simbolizada como Ho, es la hipótesis que se somete a prueba. Por lo general, es una afirmación acerca de que un parámetro poblacional tiene un valor específico (o bien no se diferencia de un valor referencial). Definición 11.4. La hipótesis estadística alternativa, simbolizada como H1, es una afirmación sobre el mismo parámetro poblacional considerado en la hipótesis nula, que especifica que el mismo tiene un valor diferente, de alguna manera, al postulado en la hipótesis nula. En el contexto de las ciencias experimentales, la hipótesis alternativa concuerda con la hipótesis de investigación, porque representa lo que el investigador espera demostrar como “verdadero”, dado que expresa el enunciado explicativo de su interpretación acerca de un fenómeno aleatorio de interés. La hipótesis de investigación se plantea en términos del problema en cuestión. 176 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA Una hipótesis nula referida a un parámetro poblacional siempre se establecerá de modo que especifique un valor exacto del parámetro, en tanto que la hipótesis alternativa permite la posibilidad de que el parámetro tome varios valores (mayor al especificado, menor al especificado o, bien diferente al especificado). Además la hipótesis alternativa suele ser la afirmación que el experimentador desea demostrar que es verdadera, de modo que el deseo profundo de éste es que la prueba de hipótesis le ayude a demostrar a través de la evidencia muestral que la hipótesis nula no puede sostenerse, lo cual implicará una probable veracidad de la hipótesis alternativa, que enuncia la interpretación o creencia acerca de la realidad. Definición 11.5. Una prueba de hipótesis es un proceso que permite tomar una decisión entre dos hipótesis opuestas: Ho y H1. Estas hipótesis se plantean de modo que una es la negación de la otra (de esta forma una de ellas siempre resulta verdadera y la otra siempre es falsa). En la práctica la hipótesis nula, Ho, se somete a prueba esperando poder demostrar que su ocurrencia es muy improbable, lo cual implicará que la otra hipótesis, H1, es probablemente la verdadera. La idea básica de la prueba de hipótesis es que los hechos (datos muestrales) aporten la evidencia para refutar Ho, o sea que la hipótesis nula es la afirmación que puede resultar refutada por la realidad. El resultado deseado de la persona que realiza la prueba, se expresa en la hipótesis alternativa bajo la convicción de que los hechos demostrarán la factibilidad del enunciado hipotético o “teoría del investigador”, porque demostrarán la improbable veracidad de hipótesis nula. El planteamiento formal de la hipótesis nula está vinculado a una estructura probabilística que hace referencia a la probabilidad de que se tomen decisiones que lleven a una conclusión errónea. Las pruebas estadísticas se aplican bajo el supuesto de que la hipótesis nula es un enunciado verdadero. Frente a la evidencia muestral que proporciona una información incompleta acerca de la población, se puede tomar la decisión de no sostener la hipótesis nula (no aceptar o rechazar Ho) o bien sostenerla (aceptar Ho). Pero los estados de la naturaleza pueden ser: la hipótesis nula realmente es verdadera o bien la hipótesis nula realmente es falsa. Luego la combinación de las dos posibles decisiones con los dos posibles estados de la naturaleza, arrojan cuatro posibles resultados (Tabla 11.1). Tabla 11.1: Cuatro resultados posibles en una prueba de hipótesis Decisión
Hipótesis nula (en la realidad) Verdadera
Falsa
Aceptar H0
Se toma una decisión correcta de tipo A
Se comete un Error tipo II
No aceptar H0
Se comete un Error tipo I
Se toma una decisión correcta de tipo B
Una decisión correcta de tipo A ocurre cuando la hipótesis nula es verdadera y se decide a su favor. Una decisión correcta de tipo B ocurre cuando la hipótesis nula es falsa y la decisión es en oposición a la hipótesis nula. Definición 11.6. Se comete un error de tipo I cuando no se acepta la hipótesis nula Ho, siendo que esta era verdadera, es decir que se toma incorrectamente una decisión contra ella. A la no aceptación de la hipótesis nula cuando es verdadera se lo denomina error de tipo I. Definición 11.7. Se comete un error de tipo II cuando se acepta la hipótesis nula Ho siendo que esta era falsa, es decir que se toma incorrectamente una decisión a favor de ella. La aceptación de la hipótesis nula cuando no es verdadera se llama error de tipo II. Por ejemplo, se sospecha que un detergente de primera marca es mejor que otro de segunda marca y se desea probar ambos productos, porque de no ser así se tomaría la decisión de comprar el detergente más barato. La idea “el detergente de primera marca es mejor que el detergente de segunda marca” es la razón para realizar la prueba, por lo que se vuelve la hipótesis del investigador (hipótesis estadística alternativa). De este modo las hipótesis en términos del problema son: H0: “No hay diferencia en el desempeño de los detergentes”. H1: “el detergente de primera marca es mejor que el detergente de segunda marca” Los cuatro posibles resultados y las acciones consiguientes serán:
177 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA Tabla 11.2: Cuatro posibles resultados y las acciones resultantes del ejemplo Condición del estado de la naturaleza Decisión
Aceptar H0
No aceptar H0
La hipótesis nula es verdadera Veracidad de la situación: no hay diferencia entre los detergentes Decisión correcta de tipo A
La hipótesis nula es falsa Veracidad de la situación: el detergente de primera marca es mejor. Decisión incorrecta: Error tipo II
• Conclusión: se determinó que no hay • Conclusión: se determinó que no hay diferencia entre los detergentes. diferencia. • Acción: el consumidor compra el • Acción: el consumidor compra el detergente de segunda marca, ahorra detergente de segunda marca, ahorra dinero y obtiene los mismos resultados. dinero pero obtiene peores resultados. Decisión incorrecta: Error tipo I Decisión correcta de tipo B • Conclusión: se determinó que el • Conclusión: se determinó que el detergente de primera marca es mejor. detergente de primera marca es mejor. • Acción: el consumidor compra el • Acción: el consumidor compra el detergente de 1º marca, gasta dinero detergente de 1º marca y, aunque gasta extra sin obtener mejores resultados. más, obtiene mejores resultados.
La verdad o falsedad de una hipótesis estadística nunca se sabe con absoluta certidumbre a menos que se examinara a toda la población, situación poco práctica en la mayoría de los casos, además de onerosa y de requerir mayores tiempos. En su lugar se toma una muestra aleatoria de la población de interés, y los datos observados se usan para proporcionar evidencia que puede resultar directamente a favor o no de la hipótesis nula Ho, e indirectamente con relación a la hipótesis planteada por el investigador. En otras palabras, la evidencia de la muestra que es consistente con la hipótesis Ho conduce al rechazo de la hipótesis del investigador, mientras que la evidencia que resulta inconsistente con la hipótesis Ho lleva al apoyo de la hipótesis del investigador. La aceptación de una hipótesis nula Ho simplemente implica que los datos observados no dan suficiente evidencia para rechazarla. Puesto de otra forma, la aceptación significa que hay una alta probabilidad de obtener la información muestral observada bajo el hecho de que la hipótesis Ho es verdadera. En tanto que la no aceptación de una hipótesis nula Ho implica que hay suficiente evidencia muestral para refutarla. Recuerde: En una prueba de hipótesis nunca se tiene la certeza de haber tomado una decisión correcta. A la luz de lo que acontece interesa controlar la probabilidad de cometer un error al tomar decisiones basadas en pruebas de hipótesis. Las probabilidades asociadas a los diferentes tipos de errores en las pruebas de hipótesis son las denominadas probabilidades α (con relación a un error de tipo I) y β (con relación a un error de tipo II). Cuadro 11.3. Probabilidades asignadas a los errores tipo I y II. Hipótesis nula Decisión Es verdadera Es falsa No rechazar H0 Rechazar H0
Decisión correcta de tipo A Probabilidad(A) = 1 − α
P(Error tipo II)=
P(Error tipo I)= “Nivel de significancia”
Decisión correcta de tipo B = 1 − “Potencia de una prueba”
Por convención, los valores de probabilidad de mayor uso para α y β son 0.01 y 0.05. La probabilidad asignada a cada error depende de la gravedad de éstos. Mientras más grave es un error, menos se desea que ocurra; en consecuencia, se le asigna una menor probabilidad. ¿Cómo se controlan los errores? α y β son probabilidades de errores, cada una bajo condiciones separadas, y no pueden combinarse. Así, no es posible determinar una sola probabilidad para tomar una decisión incorrecta. De manera semejante, las dos decisiones correctas son distintas y ajenas, y cada una tiene su propia probabilidad; 1 − α es la probabilidad de tomar la decisión correcta cuando la hipótesis nula es verdadera, y 1 − β es la probabilidad de tomar la decisión correcta cuando la hipótesis nula es falsa. La forma de controlar en forma simultánea ambos errores, esto es reducir la probabilidad de cometerlos, es aumentando el tamaño muestral. Definición 11.8. A 1 − β se le denomina potencia de la prueba estadística, ya que mide la capacidad de una prueba de hipótesis para rechazar una hipótesis nula falsa, lo que es una característica muy importante La decisión de rechazar o no rechazar la H0 se basa en la información que contiene una muestra extraída de la población de interés. Esta información toma la forma de estadígrafo de prueba o valor-p. 178 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA ¿Cómo se decide entre rechazar o no rechazar la H0? El conjunto entero de valores que el estadígrafo de prueba puede asumir se divide en dos regiones: - un conjunto consta de los valores que apoyan la hipótesis alternativa y conducen al rechazo de la hipótesis nula, ésta es la región de rechazo; - el otro está constituido por valores que apoyan la hipótesis nula y se designa con el nombre de región de aceptación. De esta manera se establece una regla de decisión. Tal regla especifica los criterios para rechazar o no rechazar la H0, y se sustenta en tres elementos: 1. El nivel de significancia 2. La distribución de probabilidad de un estadígrafo de prueba 3. El valor crítico del estadígrafo de prueba que define las dos regiones. Región de aceptación
Región de rechazo
(Acepto H0)
(Rechazo H0) Valor crítico
Definición 11.9. En forma general, el valor crítico es el “primer” valor límite” de la región crítica (o región de rechazo). Definición 11.11 El estadígrafo de prueba es la variable aleatoria cuyo valor se calcula a partir de los datos muestrales y que se utiliza para tomar la decisión de “no rechazo” o “rechazo” de la H0 cuando se observa en qué región se encuentra su valor. La regla de decisión debe establecerse antes de recolectar los datos. Una vez tomada la muestra, se calcula el valor muestral del estadígrafo de prueba (evidencia aportada por los datos muestrales) y se lo compara con el valor crítico, tomando finalmente la decisión estadística. La toma de decisión será en base a lo siguiente: a) si el estadígrafo de prueba cae dentro de la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula. b) si el estadígrafo de prueba está en la región de aceptación, no se rechaza de hipótesis nula. La comparación del valor calculado del estadígrafo de prueba con el valor crítico para tomar la decisión de rechazar o aceptar la hipótesis nula nos lleva a una dificultad relacionada a los distintos niveles de significancia que la prueba de hipótesis puede tomar. Los diferentes investigadores pueden fijar distintos niveles de significancia arribando a conclusiones diferentes (por ejemplo, para la misma prueba de hipótesis puede rechazarse la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0,05 pero aceptarla con un nivel de significancia de 0,01). Además, el valor del estadígrafo de prueba no nos da suficiente información contra la hipótesis nula. Por esto es que muchos investigadores utilizan el valor de probabilidad observado o valor p, para evitar ambigüedades. Definición 11.12 El valor-p o valor observado de probabilidad de una prueba estadística, es el valor más pequeño al cual H0 sería rechazada cuando se utiliza un procedimiento de prueba especificado con un conjunto de datos dado. Una vez que se ha determinado el valor p, la toma de decisión a un nivel particular de significancia resulta de comparar el valor p con : 1. ≤ ⇒ ℎ ! " #$"% "
2. > ⇒ " ℎ ! " #$"% "
Un valor p pequeño indica que el valor observado del estadígrafo de prueba está lejos del valor hipotético. Esto es una fuerte evidencia de que H0 es falsa y debe rechazarse. Si los valores p son grandes, entonces significa que el estadígrafo de prueba observado no está lejos del valor hipotético y no apoya el rechazo de H0. Se acostumbra llamar a los datos significativos cuando ! es rechazada y no significativos, de lo contrario. El valor p es entonces el nivel más pequeño al cual los datos son significativos. Para completar una prueba de hipótesis es necesario escribir una conclusión que describa cuidadosamente el significado de la decisión relativa al propósito de la misma. La conclusión en términos estadísticos será: a) si la decisión es “rechazar la H0”, entonces la conclusión debe verbalizarse más o menos como “la muestra aporta suficiente evidencia al nivel de significancia α para demostrar que… (se completa con la expresión estadística correspondiente a la hipótesis alternativa)” b) si la decisión es “no rechazar la H0”, entonces la conclusión debe verbalizarse más o menos como “la muestra no aporta suficiente evidencia al nivel de significancia α para demostrar que … (se completa con la expresión estadística correspondiente a la hipótesis alternativa)” 179 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA Al escribir la decisión y la conclusión recuerde que: 1) la decisión se toma sobre H0, 2) conclusión es una afirmación acerca de la confirmación, o no, del argumento de H1. Esto es consistente con la “actitud” de todo el procedimiento de la prueba de hipótesis. La hipótesis nula es la afirmación que está “en juicio”, y por tanto la decisión debe versar sobre ella. El argumento de la hipótesis alternativa es el pensamiento que ocasionó hacer la prueba (hipótesis de investigación o de trabajo). En consecuencia, al escribir la conclusión debe contestarse la cuestión que condujo a la hipótesis alternativa. PASOS DE LA PRUEBA DE HIPÓTESIS Paso 1:
Paso 2:
Paso 3: Paso 4: Paso 5:
Plantear el problema a. Identificar el parámetro poblacional de interés b. Establecer la hipótesis científica c. Establecer las hipótesis estadísticas (hipótesis nula H0 e hipótesis alternativa H1) Especificar los criterio de prueba a. Comprobar los supuestos de la prueba b. Elegir el nivel de significancia c. Identificar la distribución de probabilidad y elegir el estadígrafo de prueba a utilizar d. Determinar la regla de decisión: valor(es) crítico(s) y las regiones de aceptación y de rechazo Recolectar y presentar la evidencia muestral a. Recolectar la información muestral b. Calcular el valor del estadígrafo de prueba muestral Tomar la decisión a. Comparar el valor crítico con el valor muestral b. Tomar la decisión estadística Dar las conclusiones a. Escribir la conclusión estadística. b. Escribir la conclusión en términos del problema.
Finalmente, antes de entrar en las diferentes aplicaciones de pruebas de hipótesis, complementaremos la descripción de las hipótesis: 1. La hipótesis nula especifica un valor particular de un parámetro de la población. Por ejemplo, el parámetro proporción, H0: π = 0,5. 2. La hipótesis alternativa puede asumir tres formas. Cada una de ellas determinará una ubicación específica de la(s) región(es) crítica(s), como se muestra en el cuadro 11.3. 3. Para muchas pruebas de hipótesis, el signo de H1 “apunta” en la dirección que está localizada la región crítica. (Piense en el signo de desigualdad como si fuese al mismo tiempo menor que y mayor que, apuntando así ambas direcciones.) Cuadro 11.4: Clases de pruebas de hipótesis de acuerdo a en la hipótesis alternativa
H 1 : π < 0.5 Región Crítica
Diagrama ilustrativo de las áreas de la distribución de probabilidad del estadígrafo en el muestreo
H 1 : π ≠ 0.5
Dos regiones, la mitad de Una región del lado cada lado izquierdo Prueba de una cola o Prueba de dos colas o bilateral unilateral a la izquierda
α
1−α
α /2
1−α
α /2
H 1 : π > 0.5 Una región del lado derecho Prueba de una cola o unilateral a la derecha
1−α
α
180 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
11.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA POBLACIONAL 11.3.1.
Caso: muestra grande
Podemos aplicar la prueba para muestras grandes para una hipótesis acerca de una media poblacional. El parámetro θ que se desea probar es µ , cuyo estimador puntual θˆ es la media muestral
x , y la desviación estándar σ θˆ de la distribución muestral de x es σ
n . Se indica un resumen de
los primeros pasos de la prueba en el siguiente sigu recuadro Prueba estadística para µ en una muestra grande 1. 1. Planteo de Hipótesis a) Hipótesis científica b) Hipótesis estadísticas Hipótesis nula: H 0 : µ = µ 0 Hipótesis Alternativa: Prueba de una cola H1 : µ > µ0
Prueba de dos colas H1 : µ ≠ µ 0
(o H1 : µ < µ0 ) 2. Nivel de significancia:
α
3.. Estadígrafo de prueba:
z=
x − µ0
σx
=
x − µ0
σ
n
Supuesto: Las as n observaciones en la muestra se seleccionaron al azar de la población y n es grande, es decir n ≥ 30 . 4. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
H1 : µ < µ0 )
O cuando el valor p < α
%
%
Ejemplo 11.1. Una planta química local ha producido un promedio diario de 880 toneladas de un producto químico durante los últimos años. A la gerente de control de calidad le gustaría saber si este promedio ha cambiado en los meses recientes. recientes. Selecciona al azar 50 días de la base de datos y calcula el promedio y desviación estándar de los n=50 producciones con x = 871t y s=21t, respectivamente. Pruebe la hipótesis apropiada con α = 0,05 . Solución 1º) Hipótesis estadísticas: estadísticas ! : ( = 880 + : ( , 880 2º) Nivel de significancia = 0,05 3ª) Estadígrafo de prueba: La estimación puntual para µ es ̅̅ . Entonces,
z=
x − µ0
σx
=
x − µ0
σ
n
Como se desconoce la varianza poblacional, la desviación estándar poblacional se estima con la desviación estándar muestral con buena aproximación, ya que " 5 30. 4º) Regla de decisión %
Valor crítico de z !,!/0 = −1,96 y !,340 = 1 1,96 Se rechaza la hipótesis nula si !,!/0 7 7 !,340
5º) Cálculo: Al usar s para aproximar σ , se obtiene 181 Cátedra de Cálculo culo Estadístico y Biometría – Facultad de Cien iencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
z=
x − µ0 s
n
=
871 − 880 21 50
= −3.03
6º) Decisión Para α = 0,05 , la región de rechazo se compone de los valores de z>1.96 y z< z µ0
(o H1 : µ < µ0 ) 2. Nivel de significancia:
Prueba de dos colas H1 : µ ≠ µ0
α
3. Estadígrafo de prueba:
t=
x − µ0 s
n
Supuesto:: la muestra es seleccionada al azar de una población normalmente distribuida. 4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola t > tα (o bien t < −tα cuando
Prueba de dos colas
t > t α/2 o bien t < −t α/2
H1 : µ < µ0 )
O cuando el valor de p < α
Los valores críticos de t,
%:
%::
tα y tα / 2 se basa en (n-1) 1) grados de libertad. Estos valores tabulados se encuentran
en la tabla de distribución de Student.
Ejemplo 11.2. Un nuevo proceso para producir diamantes sintéticos sólo puede funcionar a un nivel rentable si el peso promedio de los diamantes que se obtengan obtengan es mayor que 0,5 quilates. Para evaluar la rentabilidad del proceso se generan seis diamantes cuyos pesos son 0,46 0,46; 0,61; 0,52; 0,48; 0,57 y 0,54 quilates. ¿Las as seis mediciones proporcionan suficiente evidencia de que el peso promedio de los diamantes que ue se obtienen con este proceso sobrepasa los 0,5 quilates? 1º) Hipótesis estadísticas: ! : ( = 0,5 89 : # + : ( > 0,5 89 : # 2º) Nivel de significancia = 0,05 3º) º) Estadígrafo de prueba: Se supone que la población de la cual provienen los pesos de los diamantes sigue una distribución normal y se desconoce la desviación desviación estándar poblacional. Entonces :=
̅ − ( #⁄√"
↝ >:; 0; 1; " − 1 1
Donde n -1 = 5 grados de libertad 182 Cátedra de Cálculo Es Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias ias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA 4º) Regla de decisión %:
2,015
Valor crítico de t :!,340;0@A = 2,015 Se rechaza la hipótesis nula si : 7 :!,340;0@A
5º) Cálculos Y el estadígrafo stadígrafo de prueba es un estadístico t con (n (n-1) = (6-1) = 5 grados de libertad. Con su calculadora usted puede verificar que la media y la desviación estándar de los seis pesos del diamante son 0,53 y 0,0559, respectivamente. El valor calculado del estadígrafo estadígrafo de prueba es entonces
t=
x − µ0 s
n
=
0.53 − 0.5 0.0559
6
= 1,32
6º) Decisión Al igual que con las pruebas para muestras grandes, el estadígrafo de prueba proporciona la evidencia para rechazar o aceptar H0 dependiendo de qué tan lejos quede t del centro de la distr distribución. ibución. Si se elige un nivel de significancia de 5% ( α =0,05), debe utilizar los valores críticos de t de la tabla de distribución de Student para determinar la región de rechazo en la cola derecha. Como el valor muestral del estadígrafo fo de prueba (1,32), no cae en la región de rechazo (Gráfico 11.3),, no se puede rechazar la H0. Los datos no proporcionan evidencia suficiente de que el peso promedio de los diamantes sea mayor que 0,5 quilates. %:
Gráfico 11.3: Región de Rechazo de la hipótesis hipótesis nula para el ejemplo 11.2.
“Bajo un nivel de significancia del 5% no se rechaza la hipótesis nula por ser : = 1,32 7 :!,340;0@A .” 7º) Conclusión La muestra no aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,05, para decir que el peso promedio de los diamantes obtenidos por el nuevo procedimiento es mayor que 0,05 quilates. Ejemplo 11.3. Se diseñó un nuevo sistema para el control del inventario de un pequeño fabricante, con el propósito de reducir el mismo a menos de 3000 motores motores por día. Se llevó a cabo un muestreo del inventario en reserva al final de cada uno de ocho días, seleccionados aleatoriamente; los resultados se muestran en la siguiente tabla. ¿Con los datos hay evidencia suficiente que señale que el promedio del número ro diario de motores en el inventario es menor que 3000? Número de motores 2905 2895 2725 3005 2835 2835 3065 2605 1º) Hipótesis estadísticas
H 0 : µ = 3000 H 1 : µ < 3000 2º) Nivel de significancia α = 0,05 x−µ t= 3º) Estadígrafo de prueba s n 4º) Regla de decisión %:
0,05
Si tenemos un α = 0,05 y se coloca 0,05 en la cola inferior de la distribución t, obtenemos el valor crítico para n=8 mediciones (o bien n – 1 =7 grados de libertad) como t c = −1,895 . Por lo tanto se rechazará la H0 si t m < −1.895 .
tc=-1,895
5º) Cálculos Puede verificarse que la media y la desviación estándar muestral para las n=8 mediciones de la tabla, son µ = 2858 .75 y s = 146.77 . Sustituyendo los valores en el estadígrafo de prueba, obtenemos:
t=
x−µ s
n
=
2858.75 − 3000 146.77
8
= −2.72 183
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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA 6º) Decisión Ya que el valor observado de t muestral se localiza en la región de rechazo, hay evidencia suficiente para rechazar la H0. 7º) Conclusión La muestra aporta suficiente evidencia, con on un nivel de significancia de 0,05 0,05, para decir que el nuevo sistema de control de inventario reduce el número promedio de motores en existencia por día, hasta menos de 3000. Además, habrá confianza razonable en haber tomado la decisión correcta. valor-p aparecería en el Ahora, si los resultados de este ejemplo se quieren dar a conocer, ¿qué valor informe? El valor-p para esta prueba, es la probabilidad de observar un valor del estadígrafo t por lo menos tan contradictorio a la hipótesis nula como el valor observado observado para este conjunto de datos, a saber, un valor de t ≤ −2.72 . A diferencia de la tabla de las áreas bajo la curva normal, la tabla para la distribución de t no da las áreas correspondientes a varios valores de tt, sino que proporciona los s valores correspondientes a las áreas de la cola inferior,, iguales a 0,10; 0,05; 0,025.
Valor-p -2,72
Gráfico 11.4. Valor p para la prueba del ejemplo 11.3
11.4. PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES 11.4.1. Muestras independientes Prueba estadística para CE − CF con muestras grandes 3. 1. Planteo de Hipótesis a) Hipótesis científica b) Hipótesis estadísticas Hipótesis ótesis nula: ! : CE − CF = N Hipótesis Alternativa: Prueba de una cola Prueba de dos colas
− CF > 0 + : CE − CF 7 0 + : CE
o 2. Nivel de significancia: α 3. Estadígrafo de prueba:
=
E + : C
− CF , N
̅+ − ̅/ − DCE − CF G ̅ +̅ − ̅/ − 0 = HI̅J KI̅L H/ H/ M + O / "+ "/
Supuesto: las muestras aleatorias e independientes se seleccionan de dos poblaciones y "+ 5 30 y "/ 5 30 4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
H1 : ( µ1 − µ2 ) < D0 )
O cuando el valor- p < α
11.4.1.1. Caso de muestras grandes En el recuadro se plantean plantea los pasos para la a prueba de hipótesis de la diferencia de medias de muestras grandes independientes. Los datos los conformarán dos muestras, una para cada población. 184 Cátedra de Cálculo Es Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias ias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA La idea básica es simple. Se calculará la diferencia diferencia de las medias muestrales. Si la diferencia se encuentra alejada de 0, se concluirá que las medias poblacionales son diferentes. Si la diferencia se aproxima a 0, se concluirá que las medias poblacionales podrían ser iguales. Estas características se analizarán en el ejemplo 11.4. Ejemplo 11.4. Una compañía desea comparar las expectativas salariales anuales de su personal de ventas femenino y masculino, según su nuevo plan de compensaciones de ventas más comisión. Se pidió a n1=40 vendedoras y n2=40 vendedores, muestreados al azar, predijeran sus ingresos anuales bajo el nuevo plan. Las medias muestrales y las desviaciones muestrales resultaron
x1 = $31083
x 2 = $29745
s1 = $2312
s 2 = $2569
¿Proporcionan los datos evidencia que indique una diferencia en el promedio del ingreso anual esperado entre vendedores y vendedoras? Realice la prueba con α=0.05 5. Solución 1º) Hipótesis Hipótesis científica: El ingreso anual entre las vendedoras y los vendedores es diferente. Hipótesis estadísticas: s: H 0 : µ1 = µ 2 , es decir, µ1 − µ 2 = D0 = 0
H 1 : µ1 ≠ µ 2 ,
es decir, D0 ≠ 0.
2º) Nivel de significancia: = 0,05 3º) Estadígrafo de prueba: Bajo el supuesto de normalidad de ambas poblaciones y que las muestras son aleatorias, grandes e independientes, independientes, se estiman las varianzas poblacionales con las varianzas varia / / muestrales #+ y #/ . El estadígrafo de prueba tiene distribución normal con ( = 0 y H = 1: ( x − x 2 ) − D0 z= 1
σ 12 n1
%
+
σ 22 n2
4º) Regla de decisión Valor crítico de z !,!/0 = −1,96 y !,340 = 1 1,96 Se rechaza la hipótesis nula si !,!/0 7 7 !,340
5º) Cálculo:
z=
( x1 − x 2 ) − D0
σ
2 1
n1
+
σ
2 2
n2
=
(31083 − 29745) − 0 2312 2 2569 2 + 40 40
= 2,45
6º) Decisión Para α = 0,05 , la región de rechazo se compone de los valores de z>1.96 y z< z 0 : C − CF 7 0 + E + : CE
o 2. Nivel de significancia: α 3. Estadígrafo de prueba:
:=
Donde
E + : C
̅+ − ̅/ − DCE − CF G 1 1 #P Q" O " + /
=
− CF , N
̅ + − ̅/ − 0 1 1 #P Q" O " + /
"+ − 1#+/ O "/ − 1#// #P = M "+ O "/ − 2
Supuesto: las muestras aleatorias e independientes se seleccionan de dos poblaciones normalmente distribuidas. Las varianzas poblacionales son iguales.
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola t > tα
Prueba de dos colas
(o bien t < −tα cuando
t > t α/2 o bien t < −t α/2
H1 : ( µ1 − µ2 ) < D0 )
O cuando el valor de p < α
" O " − 2comparar el desgaste de abrasivos de dos Ejemplo 11.5. Se lleva a cabo un experimento para materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 y 10 piezas del material 2 exponiéndolas a una máquina para medir el desgaste. La muestra del del material 1 da un desgaste promedio codificado de 85 unidades con una desviación estándar muestral de 4; en tanto que la muestra del material 2 tiene un desgaste promedio de 81 y una desviación estándar muestral de 5. ¿Podríamos concluir, con un nivel de significancia de 0,05, que el desgaste abrasivo del material 1 excede al del material 2? Suponga que las poblaciones son aproximadamente normales y con varianzas iguales.
Solución 1º) Hipótesis Hipótesis científica: “El El material laminado 1 tiene un desga desgaste ste abrasivo mayor que el del material laminado 2” Hipótesis estadísticas: H 0 : µ1 = µ 2 , es decir, µ1 − µ 2 = D0 = 0
H 1 : µ1 > µ 2 ,
es decir, D0 > 0.
2º) Nivel de significancia: = 0,05 3º) Estadígrafo de prueba
Siendo:
:=
̅+ − ̅/ − DCE − CF G 1 1 #P Q" O " + /
=
̅ + − ̅/ − 0 1 1 #P Q" O " + /
"+ − 1#+/ O "/ − 1#// #P = M "+ O "/ − 2
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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA 4º) Regla de decisión %:
05 y "+ O "/ − 2 = 12 O 10 − 2 = 20 Valor crítico de t, para = 0,05 :!,30;/! = 1,725 Se rechaza la hipótesis nula si : 7 :!,30;/! 1,725
5º) Cálculos #P = M
:=
"+ − 1#+/ O "/ − 1#// 12 − 14/ O 10 − 15/ 1116 O 9 925 401 =M =M =M = Z20,05 = [, [\ "+ O "/ − 2 12 O 10 − 2 20 20
̅+ − ̅/ − DCE − CF G #P Q
1 1 O "+ "/
=
− 81 − 0 85
1 1 4,48Q O 4 12 10
=
4
11 4,48Q 60
=
4 4 = = F, N] 4,480,43 1,926
6º) Decisión hipótesis s nula de que las medias del desgaste Con un nivel de significancia de 0,05, se rechaza la hipótesi abrasivo de los dos materiales son iguales. 7º) Conclusión La muestra aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,05, para decir que el desgaste desg abrasivo medio del material laminado 1 es mayor que el del material laminado 2 2.
11.4.2. Muestras pareadas Los procedimientos mencionados precedentemente para comparar dos medias poblacionales se basan en la relación que hay entre dos conjuntos de datos muestrales, provenientes cada uno de poblaciones distintas. Cuando Cuando están implicadas muestras apareadas implica que los datos pueden parearse como resultado de la aplicación de estudios denominados “antes y después”, de una misma unidad de análisis o de la correspondencia efectuada entre dos objetos semejantes entre sí sí, a fin de obtener “pares correspondientes”. Los datos que integran las parejas se comparan directamente entre sí, usando la diferencia de sus valores numéricos. La diferencia resultante se denomina diferencia pareada S = TE − TF . El inicio de la l prueba se e resume en el cuadro siguiente
Prueba estadística para CS con muestras pequeñas 5. 1. Planteo de Hipótesis a) Hipótesis científica b) Hipótesis estadísticas Hipótesis nula: ! : (V = N Hipótesis Alternativa: Prueba de una cola
o
2. Nivel de significancia: α 3.. Estadígrafo de prueba:
+ : CS > 0 + : CS 7 0
:=
Prueba de dos colas + : CS
,N
̅ − (V ̅ − (V ̅ = # =# V V #VW X X √" √"
Donde n es el número de diferencias por parejas y #VW es el error típico de la variable promedio de la diferencia. Supuesto:: se seleccionan aleatoriamente las n diferencias por parejas de una población con distribución normal. 4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola t > tα
Prueba de dos colas
(o bien t < −tα cuando
t > t α/2 o bien t < −t α/2
H1 : ( µ1 − µ2 ) < D0 ) O cuando el valor de p < α
%:
% %:
Los valores críticos de t, :Y y :Y⁄/ se basa en " − 1 grados de libertad. Estos valores tabulados se encuentran en la tabla de distribución de Student.
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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA Ejemplo 11.6. Un fabricante quiere comparar la resistencia al desgaste de dos tipos diferentes de neumáticos, A y B, para los automóviles. Para hacer la comparación, se asign asignaron aron aleatoriamente un neumático de tipo A y el otro tipo B a 6 automóviles y se montaron las ruedas traseras de dichos vehículos. Luego de un número especificado de kilómetros se registró el grado de desgaste para cada par de neumáticos. Estas mediciones se encuentran en la tabla 11.3. ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar una diferencia en el desgaste promedio de los dos tipos de neumáticos? Tabla 11.3. Datos de desgaste de los neumáticos Automóvil Neumático A Neumático B 1 125 133 2 64 65 3 94 103 4 38 37 5 90 102 6 106 115
Debido a que los automóviles, conductores y condiciones son los mismos para cada neumático de un conjunto de datos pareados, tiene sentido utilizar una tercera variable, la diferencia pareada S. Las dos muestras ras dependientes de datos se combinarán en un conjunto de valores , donde = − b. =−b 8 1 9 -1 12 9
Automóvil 1 2 3 4 5 6
1º) Hipótesis Hipótesis científica: “No hay diferencia en el desgaste de los neumáticos A y B” Hipótesis estadística: ca: ! : (V = N + : CS , N 2º) Nivel de significancia = 0,05 3º) Estadígrafo de prueba
̅ − (V ̅ − (V ̅ − 0 = # =# V V #VW X X √" √"
Valor crítico de t para ⁄2 = 0,025 025 y c = 6 − 1 = 5 :!,!/0 = −2,571 y :!,340 = 2,571 Se rechaza la hipótesis nula si :!!,!/0 7 : 7 :!,340
4º) Regla de decisión %:
-2,571
:=
2,571
5º) Cálculo del estadígrafo de prueba Los estadígrafos muestrales necesarios son: la media de las diferencias y la desviación estándar de las diferencias. Entonces: ∑ 38 ̅ = = = 6,33 " 6 ∑D_ − ̅G #V = M = Z26,27 = 5,13 "−1 /
El estadígrafo de prueba resulta
̅ − (V 6,33 − 0 := # = = a, NF V 5,13 X ` √" √6
6º) Decisión Con un nivel de significancia = 0,05, se rechaza aza la hipótesis nula. 7º) Conclusión La muestra aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,05, para decir que los neumáticos A y B tienen desgastes diferentes bajo las mismas condiciones de uso.
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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA
11.5. PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA PROPORCIÓN POBLACIONAL Varios de los métodos utilizados en la inspección muestral, en el control de la calidad y en la verificación de confiabilidad se fundamentan en pruebas de la hipótesis nula de que una proporción es igual a una constante determinada. Pueden aplicarse pruebas exactas con base en la distribución binomial, pero se considerarán aquí las pruebas aproximadas para grandes muestras que se basan en la aproximación normal a la distribución binomial.
11.5.1. Prueba de hipótesis para un conteo (x) Se probará la hipótesis nula π = π 0 contra una de las alternativas π < π 0 , π > π 0 o π ≠ π 0 mediante la aplicación del estadígrafo, que es un valor de una variable aleatoria, y tiene aproximadamente una distribución normal estándar:
z=
x−µ
→ z =
σ
x − cπ cπ (1 − π )
Ejemplo 11.7. Suponga que un nutricionista afirma que al menos el 75% de los niños de preescolar de cierto país tienen dietas deficientes en proteínas y que un estudio de muestra revela que esto es cierto en 206 niños de una muestra de 300 niños de preescolar. Demuestre la afirmación para el nivel de significancia 0,05. 1º) Hipótesis Hipótesis científica Hipótesis estadísticas:
H 0 : π = 0,75
H 1 : π < 0,75 2º) Nivel de significancia: α = 0,05 3º) Estadígrafo de prueba:
x − cπ
z=
cπ (1 − π )
4º) Regla de decisión %
Se rechaza la hipótesis nula si z m < −1.645 , obteniendo el valor de la tabla de F(z).
0,05 zc= -1,645
5º) Cálculos
z=
x − cπ cπ (1 − π )
=
206 − [300(0,75)] 300(0,75)(0,25)
= −2.53
6º) Decisión Como zm=-2.53 es menor que zc=-1.645, se debe rechazar la hipótesis nula. 7º) Conclusión Los datos muestrales aportan evidencia suficiente, a un nivel de significancia de 0,05, para decir que por lo menos el 75% de los niños de preescolar de un país dado tienen dietas deficientes en proteínas.
11.5.2.
Prueba de hipótesis para una proporción
(π )
Cuando se extrae una muestra aleatoria de n ensayos idénticos de una población binomial, la proporción muestral de tiene una distribución aproximadamente normal si n es grande, con media (fg = d y error típico
d1 − d La hipótesis respecto a que la proporción en la población posee un cierto atributo d, se prueba según la forma general y se formula como: Hfg = M
H 0 :π = π 0 Contra una alternativa de una o de dos colas
H a : π > π 0 o bien,
H a : π < π 0 o bien,
Ha :π ≠ π 0 189
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UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA El estadígrafo de prueba se construye usando p , el mejor estimador de la proporción poblacional verdadera π . La a proporción muestral p se estandariza, por medio de la media y el error estándar hipotéticos, para formar un estadígrafo estadí de prueba z. A continuación se resume esta prueba para una muestra grande. Prueba estadística para π en una muestra grande 6. 1. Planteo de Hipótesis a) Hipótesis científica b) Hipótesis estadísticas Hipótesis nula: H 0 : π = π 0 Hipótesis Alternativa: Prueba de una cola H1 : π > π 0
Prueba de dos colas
H1 : π ≠ π 0
(o H1 : π < π 0 ) 2. Nivel de significancia:
α
3. Estadígrafo de prueba:
i=
I h
de − d
Zd1 − d⁄
donde de = Supuesto:: El muestreo satisface los supuestos de un experimento binomial y n es bastante grande para que la distribución muestral de d e se puede aproximar mediante una distribución normal ( cπ 0 > 5 y c(1 − π 0 ) > 5 ).
4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
Ha : π < π 0 ) O cuando el valor de p < α %
%
Ejemplo 11.7. Según información reciente, reciente la obesidad es un problema creciente en el país en grupos de todas las edades. En el año 2002 se reportó que 1276 de una muestra de 4115 adultos fueron encontrados obesos (índice corporal mayor a 30). Una encuesta realizada 4 años antes reveló que el 20% de los adultos encuestados se se consideraron obesos. ¿Sugieren los datos más recientes que la proporción verdadera de adultos obesos es más de 1,5 veces el porcentaje de la encuesta? Tome en cuenta un nivel de significancia de 0,10. 1º) Hipótesis Hipótesis científica ísticas: Hipótesis estadísticas:
H 0 : π = 0,30
H 1 : π > 0,30 2º) Nivel de significancia: α = 0,10 3º) Estadígrafo de prueba:
4º) Regla de decisión % 0,05 zc= -1,645
i=
de − d
Zd1 − d⁄
Se rechaza la hipótesis nula si z m > 1,28 , obteniendo el valor de la tabla de F(z). 0,10 zc= 1,28
190 Cátedra de Cálculo Es Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias ias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA 5º) Cálculos 1276 de = = = 0,31 " 4115 =
de − d
Zd1 − d⁄
=
0,31 − 0,30
Q0,300,70 4115
=
0,010 = E, [N 0,0071
6º) Decisión Como zm=1,40 es mayor a 1,28 se rechaza la hipótesis nula. 7º) Conclusión Los datos muestrales aportan evidencia suficiente, a un nivel de significancia de 0,10, para decir que la proporción de obesos adultos que resultó en el informe es mayor al 30%, es decir que ha aumentado más de 1,5 veces la proporción con respecto a los encuestados 4 años antes.
11.6. PRUEBAS DE POBLACIONALES
HIPÓTESIS
PARA
DOS
PROPORCIONES
Existen muchos problemas en los cuales debemos decidir si una diferencia observada entre dos proporciones de muestra se puede atribuir a la oportunidad o si esto es indicativo de que las proporciones verdaderas correspondientes son desiguales. Por ejemplo, quizás queramos decidir sobre la base de los datos de muestras si en realidad existe una diferencia entre las proporciones de personas a quienes se les aplican vacunas contra la influenza y a quienes no se les aplican, quienes en realidad contraen la enfermedad, o quizás deseemos verificar sobre la base de muestras si dos fabricantes de equipo electrónico envían a las distribuidoras las mismas proporciones de aparatos defectuosos. El método que se aplicará para demostrar si una diferencia observada entre dos proporciones de una muestra se puede atribuir a la oportunidad o si es estadísticamente significativa, se basa en la teoría siguiente: si x1 y x2 son los números de aciertos obtenidos en n1 ensayos de un tipo y n2 de otro, todos los ensayos son independientes y las probabilidades correspondientes de lograr un acierto son, respectivamente, π 1 y π 2 , entonces la distribución de muestreo de desviación estándar
π 1 (1 − π 1 ) π 2 (1 − π 2 ) c1
+
c2
x1 x2 tiene la media π 1 − π 2 y la − n1 n2
Es costumbre referirnos a esta desviación estándar
como el error típico de la diferencia entre dos proporciones. Cuando se demuestra la hipótesis nula π 1 = π 2 = π , contra una hipótesis alternativa adecuada, la media de la distribución de muestreo de la diferencia entre las dos proporciones de muestra es
π 1 − π 2 =0 y su desviación estándar puede escribirse como estimarse combinando los datos y sustituyendo por π
πˆ =
1 1 + donde π suele c1 c 2
π (1 − π )
la proporción de muestra combinada
x1 + x 2 . Siendo así con relación a muestras grandes, la distribución de muestreo de la diferencia c1 + c 2
entre dos proporciones se puede calcular muy aproximadamente con una distribución normal, con base en el estadígrafo
z=
x1 x 2 − c1 c 2 1 1 + c1 c 2
πˆ (1 − πˆ )
con πˆ =
x1 + x 2 c1 + c 2
191 Cátedra de Cálculo Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA Prueba estadística para π 1 − π 2 de dos muestras grandes 7. 1. Planteo de Hipótesis a) Hipótesis científica b) Hipótesis estadísticas Hipótesis nula: H 0 : π 2 = π 1 o equivalente H 0 Hipótesis Alternativa: Alterna Prueba de una cola H1 : (π1 − π 2 ) > 0
: (π 1 − π 2 ) = 0
Prueba de dos colas H1 : (π 1 − π 2 ) ≠ 0
(o H1 : (π1 − π 2 ) < 0) 2.. Nivel de significancia: α = 3.. Estadígrafo de prueba:
z=
(πˆ1 − πˆ 2 ) − 0 π 1 (1 − π 1 ) π 2 (1 − π 2 ) c1
Donde
+
πˆ1 = x1 / c1
y
=
(πˆ1 − πˆ 2 ) π (1 − π ) π (1 − π ) +
c1
c2
=
x1 x 2 − c1 c 2 1 1 + c1 c 2
πˆ (1 − πˆ )
c2
πˆ 2 = x2 / c2 . Puestoo que no se conoce el valor común de π 1 = π 2 = π
(utilizado en el error estándar), se estima por
πˆ =
x1 + x 2 c1 + c 2
Supuesto:: las muestras se seleccionan de una manera aleatoria e independiente en las dos poblaciones binomiales, y n1 y n2 son n lo suficientemente grandes para que la distribución de muestreo de ( p1 − p2 ) pueda ser aproximada mediante una distribución normal. Es decir, n1 p1 ,
n1 q1 , n 2 p 2 y n 2 q 2 deben ser mayores a 5. 4.. Regla de decisión: rechazo la H0 cuando Prueba de una cola z > zα
Prueba de dos colas
(o bien z < − zα cuando
z > z α/2 o bien z < − z α/2
H a : (π 1 − π 2 ) < 0)
O cuando el valor de
π π 2 2º) Nivel de significancia: α = 0,01 3º) Estadígrafo de prueba:
z=
x1 x 2 − c1 c 2 1 1 + c1 c 2
πˆ (1 − πˆ )
192 Cátedra de Cálculo Es Estadístico y Biometría – Facultad de Ciencias ias Agrarias – UNCUYO / Ciclo 2015
UNIDAD III:INFERENCIA ESTADÍSTICA 4º) Regla de decisión %
Se rechaza la hipótesis nula si z m > 2,33 , obtenido el valor de la tabla de F(z). 0, 0,01
0,05 zc= -1,645
zc= 2,33
5º) Cálculo del valor muestral del estadígrafo de prueba Al sustituir en la fórmula p =
x1 + x 2 56 + 38 los valores correspondientes se obtiene p = = 0.5875 n1 + n 2 80 + 80
Reemplazando en el estadígrafo de prueba obtenemos obtenemos el valor muestral de z
z=
x1 x 2 − c1 c 2 1 1 πˆ (1 − πˆ ) + c1 c 2
=
56 38 − 80 80 = 22.89 1 1 (0.5875)(0.4125) + 80 80
6º) Decisión Como zm=2.89 excede a zc=2.33, se debe rechazar la hipótesis nula. 7º) Conclusión La muestra aporta evidencia suficiente, con un nivel de significancia de 0,01, para decir que existe una diferencia entre los grupos de pacientes frente al efecto benéfico de la droga.
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