Dinámica de Gases. Flujo de Rayleigh y Flujo Isotérmico en ductos de sección transversal constante.
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Asignación. Dinámica de Gases. Desarrollo de flujo de Rayleigh y Flujo Iséntropico.
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INTRODUCCIÓN
En el siguiente artículo explica sobre los modelos matemáticos que se utilizan en el estudio y desarrollo de flujo isentrópico o bien llamado flujo de Rayleigh, así como también de flujo isotérmico en ductos donde la sección tranversal del mismo es constante.
El artículo expone la necesidad, propósito y las aplicaciones que tiene el estudio de estos dos tipos de flujos.
DESARROLLO
Desarrollo de flujo de Rayleigh.
Biografía: John William Strutt Rayleigh.
Tercer barón de Rayleigh (1842 - 1919). Fue un físico británico. Educado en el Trinity College de Cambridge, se licenció allí en 1865. En 1873 fue elegido miembro de la Real Sociedad de Londres, de la que fue secretario de 1887 a 1896 y presidente de 1905 a 1908.
Fue un teórico de rara capacidad en el uso de los recursos del análisis, experimentador de no común habilidad, estudioso de los problemas metafísicos, John Rayleigh ejerció una poderosa influencia en la formación del pensamiento científico de su época. Sus excepcionales cualidades de tratadista claro y experto se manifestaron en su Teoría del sonido, publicada en dos volúmenes en 1877-78; no constituye solamente un tratado de acústica, sino un tratado general de la dinámica de los fenómenos ondulatorios, en estrecha conexión con las ondulaciones ópticas y eléctricas.
En 1895, tras tres años de pacientes investigaciones experimentales, ayudado en los últimos tiempos por el físico W. Ramsay (1852-1916), llegó John Rayleigh a su mayor descubrimiento, el argón, el primer gas raro encontrado en la atmósfera: por este descubrimiento recibió el premio Nobel en 1904.
Entre los muchos cargos académicos desempeñados hay que recordar el de presidente del Comité consultivo para la Aeronáutica, que le permitió contribuir eficazmente al estudio del problema de la resistencia aérea, desarrollando la teoría dimensional y los principios de experimentación sobre modelos, ya empleados para las naves especialmente por O. Reynolds.
Fig 1. Strutt Rayleigh
B. Fenómenos
1) Aumento de entropía: debido a que las pérdidas por rozamiento son nulas (calentamiento y enfriamiento simples), la entropía solo puede aumentar cuando se aporta calor de exterior. Las propiedades del gas varían a lo largo de la línea de Rayleigh al aportar calor, hacia el punto de entropía máxima.
2) Estrangulamiento: al aportar calor al flujo subsónico se logra aumento del número de Mach hasta lograr M=1. Un exceso calor origina un estrangulamiento, y se produce un reajuste con disminución del flujo másico aguas arriba.
3) Aumento de la presión de estancamiento: a medida que se aporta más calor al fluido, la presión de estancamiento tiende a disminuir, por lo tanto una medida de la cantidad de calor que se ha aportado es la disminución en la presión de estancamiento.
4) Variación de la temperatura de estancamiento: en comparación con los flujos adiabáticos, en el caso de flujo de Rayleigh la temperatura de estancamiento es variable a medida que se suministra más calor al flujo. Además, por ser gases (la entalpia es función de la temperatura) la entalpia, también es variable.
C. Modelos Matemáticos
Se denomina Flujo de Rayleigh al flujo de un gas perfecto compresible, isentrópico (s = cte.) y no adiabático (Q = 0) en un ducto de sección constante como el de la Fig 2. La ecuación de cantidad de movimiento aplica al volumen de control es
p1A1 + ṁ V1 = p2A2 + ṁV2 (1)
Donde p+ (ρV)2ρ=cte. (2)
Fig 2. Volumen de control.
Utilizando la ecuación de estado PV=mRT (3), para gases ideales la ecuación (1) se puede escribir como:
p+(ρV)2RTp=cte. (4)
Como el producto _V es constante para el flujo de Rayleigh la ecuación anterior relaciona, para un flujo dado (R), la presión con la temperatura. Combinando ´esta relación con la segunda ecuación vista anteriormente para la entropía se puede graficar el desarrollo del flujo en un diagrama T s obteniéndose curvas como la que se muestran en la Fig (3).
Fig 3. Diagrama T-s, línea de Rayleigh
Diferenciando la ecuación (2) y utilizando la forma diferencial de la ecuación de estado, la ecuación de continuidad y la segunda de las ecuaciones para T ds la ecuación anterior se puede escribir como:
dsdT=CpT+VT1T(TV-VR) (5)
Para el punto (a) de la curva se cumple que dsdT=0 de donde:
Va=RTak (6)
Lo que indica que el número de Mach en el punto a es uno, es decir, Ma = 1. Para el punto b se cumple que dsdT=0 de donde:
Mb=1k (7)
Dado que k > 1 para todos los gases, el flujo en el punto b debe ser subsónico. La ecuación de conservación de la energía para el volumen de control es:
ṁ(h2-h1+V222-V122+gz2-z1=Q+W (8)
Como W = 0 para el flujo de Rayleigh y despreciando z2-z1 la ecuación anterior, en forma diferencial, se escribe de la siguiente manera:
dh+V dv= ɤq=Qṁ (9)
Utilizando dh=Cp dT (10), la ecuación para la velocidad del sonido, el número de Mach, la ecuación de continuidad y la ecuación de estado, la ecuación anterior se escriben como:
dVV=ɤqCpT1(1-M2) (10)
De la ecuación anterior se puede ver que para un flujo subsónico (M < 1) un calentamiento del flujo (q > 0) produce una aceleración del flujo (dV > 0) y que un enfriamiento (q < 0) produce una desaceleración del flujo (dV < 0). Para el caso supersónico se verifica un comportamiento inverso, es decir, (q > 0) dV < 0 y (q < 0) dV > 0. Este comportamiento se puede determinar también a partir de la gráfica para las líneas de Rayleigh ya que para un flujo sin roce la entropía aumenta si q > 0 y disminuye si q < 0. Cabe hacer notar además que entre el punto b y a de la curva de Rayleigh que al calentar el flujo (q > 0) se produce un descenso en la temperatura de este. Utilizando las expresiones anteriores se obtuvo:
p1p2=1+kM221+kM12 (11)
T1T2=(M1M21+kM221+kM12)2 (12)
ρo1(ρ0)2=(p1p21+k-12M121+ k-12M22)kk-1 (13)
Utilizando el punto a, donde Ma = 1 como referencia se obtiene (donde las propiedades *, se refieren a las propiedades críticas donde M=1):
pp*= 1+k1+kM2 (14)
TT*=M 1+k1+kM22 (15)
popo*=1+k1+kM2 21+k1+k-12M2kk-1 (16)
ToTo*=2k+1M21+k-12M21+kM22 (17)
ρ*ρ=VV*=M21+k1+kM2 (18)
D. Flujo isotérmico en tuberías largas de sección transversal constante.
En el análisis del flujo isotérmico de un gas perfecto a través de tuberías largas, no se pueden aplicar las ecuaciones de las líneas de Fanno (que se aplican al flujo adiabático), ni las de Rayleigh, (que se aplican al flujo sin rozamiento), por lo que hay que desarrollar un método que permita encontrar el sentido de la variación de las propiedades con el número de Mach.
Las ecuaciones a considerar son:
Cantidad de movimiento:
dpP+γ2dρc2Pdx+ρcPdc=0 (19)
Ecuación de estado:
pV=ctte ; Pρ=ctte dPP=dρρ (20)
Ecuación de continuidad:
ρc=ctte dpρ=-dcc (21)
Ecuación de la energía:
T0=T1+γ-12M2 (22)
Presión de estancamiento:
P0=P1+γ-12M2γγ-1 (23)
Siendo:
T0: La temperatura isentrópica de estancamiento en la sección donde la temperatura constante de la corriente libre es T y el número de Mach es M.
P0: La presión en la sección de p y M, reduciendo isentrópicamente a cero la velocidad.
De todo ello se deduce que:
c=csM=kRTM dcc=dMM=dM22M2 (24)
ρ c dcP=c dcRT=cs2RTM dM=γM dM ρc2P=c2M2RT=γM2(25)
dpP=dρρ=-dcc=-dM22M2=γM21-γM2γ dx2 d (26)
Como dx es positivo en la dirección aguas abajo, se saca la conclusión que las propiedades varían según que M sea menor o mayor que 1γ
Para M1γ, se invierten los sentidos, por lo que el nº de Mach tiende siempre a 1γ en lugar de a la unidad, que es el valor a que tiende en el flujo isotérmico en tuberías.
Para determinar la dirección del intercambio térmico, se diferencia respecto T0 la ecuación:
T0=T1+γ-12M2 (27)
Y se divide por ella misma, teniendo en cuenta que T es constante, obteniéndose:
dT0T0=γ-12+γ-1M2dM2=γγ-1M41-γM22+γ-1M2γ dxd (28)
Que muestra que la temperatura isentrópica de estancamiento aumenta cuando M1γ, el intercambio de calor es desde el fluido.
Teniéndose en cuenta las ecuaciones P0=P1+γ-12M2γγ-1dpP=γM21-γM2γ dx2 d (29), se obtiene:
dP0P0=2-γ+1M22+γ-1M2γM2γM2-1γ dx2 d (30)
γd0Lmaxdx=-1γM1γ1-γM2M2dM2 πLmaxd=1-γM2γM2+lnγM2 (31)
En la que Lmax representa la máxima longitud de la tubería; para longitudes mayores se produce estrangulamiento y disminuye el flujo másico.
La variación de presión, en la que M y P representan los valores en cualquier sección aguas arriba, es:
0Pt*dPP=-12M1γdM2M2 ; Pt*P=Mγ (32)
En la que el superíndice t* indica las condiciones en M=1γ.
E. Aplicaciones
1) Flujos de Rayleigh: El modelo del flujo de Rayleigh tiene una gran variedad de aplicaciones para el diseño y estudio de sistemas donde se encuentra implícito un flujo de gas a través de un ducto. Un ejemplo de esto son las cámaras de combustión dentro de los motores de turborreactor, las cuales generalmente poseen un área constante y la adición de la masa del combustible es insignificante, por lo tanto el modelo del flujo de Rayleigh es aplicable para la adición del calor a la combustión. Producir una onda expansiva dentro de la cámara de combustión del motor debido al estrangulamiento es muy indeseable ya que conlleva a la disminución del caudal y del empuje total. Por lo tanto, el modelo del flujo de Rayleigh es crítico para un diseño inicial de la geometría del conducto y de la temperatura de la combustión para un motor.
De esta misma manera se utiliza el modelo de flujo de Rayleigh en el diseño de sistemas de combustión en grandes plantas termoeléctricas para estudiar el comportamiento del flujo con la adición de calor, de esta manera se determina el diseño de algunos elementos como conductos, logrando que no se produzcan fenómenos indeseables como estrangulamiento del fluido.
2) Flujo Isotérmico: Considere el siguiente arreglo, el flujo es adiabático y con fricción solo en los ductos 1-2, 4-5 de área constante donde f=0,025, En el ducto 5-6 existe transferencia de calor (no adiabático) y con fricción f hallar:
Presión de estancamiento en 2
Flujo másico
El número de Mach y la presión en 5
Fig 4.Arreglo de ductos.
Datos:
D1=2,97cm Aire: k=1,4R=287.JKg.K
D2=1,5cm
Dcho=1,7cm
D5=3cm
P3=10kPa
T03=300K
Con los diámetros se calcula el área de cada sección:
A=π4d2 , entonces:
A1=6,928x10-4m2
A3=1,767x10-4m2
Ach=2,27x10-4m2
A5=7,069x10-4m2
Como existe choque en la parte divergente de la tobera quiere decir que se alcanza Mach 1 en la garganta de la misma (sección 3):
En T.F.I con M3=1 P3P03=0,528T3T03=0,833
de la relación: P3P03, P03=18,939 kPa
Como el flujo es isoentropico antes del choque
P03=P02=18.939 kPa y como el flujo alcanza Ma=1 en la garganta este se encuentra estrangulado por lo tanto el flujo másico que pasa por la tobera es el flujo máximo:
mmax=0,6847A3*P03RT03
mmax=0,68471,767x10-4m218939 Pa287Jkg K300 K
mmax=7,809x10-3kgs
P03=P0x=18,939 kPa
AxA*=AchA3=1,285. T.F.I Mx=1,64PxP0x=0,221 Px=4,1855 kPaTxT0x=0,65 Tx=195 K
Mx=1,64. T.C.N My=0,65PyPx=2,979 Py=12,47 kPaTyTx=1,417 Ty=276,32 K
De la relación de choque P0yAy*=P0xAx*
Ay*=P0xAx*P0y=2x10-4m2
Con A4=A5=A6=7,69x10-4m2
A4Ay*=7,69x10-4m22x10-4m2=3,98. T.F.I M4=0,166P4P04=0,981
M4=0,166. T.F.F:
fLmax4D=22,28
P4Pf*=6,8291
fLmax5D=fLmax4D-fL4-5D
fL4-5D=4*0,0025*0,53x10-2=1,666
fLmax5D=fLmax4D-fL4-5D=20,614
Con fLmax5D=20,614
M5=0,172
Propósito
Demostrar el comportamiento del flujo de gases a través de tuberías se sección constante, despreciando la rugosidad de la misma, teniendo en cuenta un cambio de flujo de calor; bien sea adición o extracción del mismo. Con la línea de Rayleigh es posible determinar relaciones de las propiedades del fluido compresible, para determinar cualquier estado desconocido del mismo. De la misma forma ocurre con el flujo isotérmico.
Conclusiones
El modelo de Rayleigh es una herramienta primordial para el cálculo en un proceso donde existe la adición o extracción de calor, en un flujo de gas.
Es importante para la industria ya que el modelo de Rayleigh permite el cálculo de intercambiadores de calor y cámaras de combustión, para los procesos industriales.
Se puede utilizar para cualquier gas incompresible, solamente variando el calor específico de las relaciones desarrolladas anteriormente, lo que agiliza el proceso de cálculo para los procesos.
En el análisis del flujo isotérmico de un gas ideal a través de conductos largos, no se pueden aplicar las líneas de Fanno o de Rayleigh, ya que la línea de Fanno se aplica en casos de flujo adiabático y la línea de Rayleigh a los casos de flujo sin fricción.
Referencias
[1] García Oliver, José Maria. "Problemas de flujo compresible y turbomáquinas térmicas". Editorial: Universidad politécnica de Valencia. España. 2007.
[2] Bruce R. Munson, Donald F. Young. "Fundamentos de mecánica de fluidos". Editorial: Limusa (Noriega Editores - México). 2005.
[3] Rodolfo Matinéz. Teoría De Los Motores Térmicos Dinámica De Gases. Editorial Nueva Granada. 1999.
