Partícula carregada em campo uniforme A C Tort∗
29 de março de 2016
O problema O estudo do movimento de partículas carregadas, elétrons, prótons, íons, em interação com campos elétricos e magnéticos prescritos é um problema muito importante para a física experimental e teórica. Aceleradores de partículas, espectrômetros de massa, física de plasma, a interação do vento solar com a magnetosfera terrestre são algumas das aplicações. Aqui, estudaremos um problema deste tipo relativamente simples e que servirá de introdução a este tipo de problema. Considere uma partícula carregada de carga q e massa m injetada em uma região do espaço onde um campo ~ uniforme no espaço e constante no tempo permeia toda a região. O problema é determinar o órbita magnético B da partícula nessas condições. Este problema é um problema padrão quando estudamos o comportamento de partículas carregadas em elétricos e magnéticos. A ‘novidade’ aqui será a utilizacão do plano complexo na sua resolução, Embora isto não seja em princípio obrigatório, resolver o problema no plano complexo evitará que tenhamos de tratar com um sistema de equações diferencias lineares de primeira ordem acopladas
Figura 1: O eixo OZ é perpendicular ao plano XY e seu sentido positivo aponta para o leitor. ∗ email:
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A solucão no plano complexo A força que atua sobre a partícula carregada é o setor magnético da força de Lorentz1 . Suponha que o campo ~ = B0 zˆ. Então: magnético uniforme seja constante aponte para a direção positiva do eixo z, isto é: B x zˆ ˆ yˆ ~ = q vx vy vz = qB0 vy x F~ = q ~v × B ˆ − qB0 vx yˆ. (1) 0 0 B0 As equações newtonianas de movimento se escrevem:
mx ¨ = qB0 y˙ , m y¨ = −qB0 x, ˙ m z¨ = 0,
(2)
x ¨ = ω y˙ , y¨ = −ω x, ˙ z¨ = 0,
(3)
x ¨ + i¨ y = −ωi (x˙ + iy) ˙ ,
(4)
z¨ = −ωi z. ˙
(5)
z˙ = −ωi z + c1 ,
(6)
onde, vx ≡ x˙ ≡ dx/dt, etc.. Definindo ω ≡ qB0 /m,
Concentremo-nos nas equações de movimento no plano xy. Multiplicando a equação de movimento em y por √ i = −1, e somando com a equação de movimento para o eixo x temos ou ainda:
Esta equação pode ser imediatamente integrada:
onde c1 é uma constante complexa, c1 = c1x + ic1y , com c1x e c1y são reais. Da Eq, (6) vemos que uma segunda integração os dá a solução do problema: Z i i (7) z(t) ˙ dt − c1 t + c2 . z(t) = ω ω As constantes de integração c1 e c2 devem ser determinadas com as condições iniciais, z(0) = z0 e z(0) ˙ = v˜0 , veja a Figura 1. Como não sabemos a função z(t), ˙ a solução é formal. Para avançar na solução, podemos resolver a equação diferencial linear de primeira ordem: z˙ + iω z = c1 .
(8)
z(t) = zh (t) + zp (t),
(9)
A solução é dada pela combinação linear:
onde zh (t) é a solução da equação homogênea associada e zp (t) é uma solução particular, isto é: z˙h + iω zh = 0,
(10)
z˙p + iω zp = c1 .
(11)
zh (t) = exp (αt) .
(12)
e
A solução da homogênea é trivial:
Substituindo na equação diferencial homogênea: 1A
~ = qE ~ + q~ ~ força de Lorentz completa se escreve: F v × B.
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Portanto,
α + iω = 0, → α = −iω.
(13)
zh (t) = c3 exp (−iωt) ,
(14)
onde c3 é uma constante complexa. A solução particular pode ser inferida examinando a equação diferencial não-homogênea. Não é difícil chegar à conclusão que a solução particular é uma constante: (15)
zp (t) = c4 , onde c4 , naturalmente, é uma constante complexa. Substituindo em (11) vemos que: c1 . ω Portanto, a solução completa do nosso problema se escreve:
(16)
c4 = −i
z(t) = c3 exp (−iωt) − i
c1 . ω
(17)
A velocidade complexa é dada por: v˜(t) = z(t) ˙ = −iωc3 exp (−iωt) .
(18)
Resta agora determinar as constantes complexas c3 e c1 . Como mencionado antes, isto pode ser feito a partir do conhecimento das condições iniciais. De fato, fazendo t = 0 nas equações 17 e 18 temos: z 0 = c3 − i
e
c1 , ω
(19)
(20)
v˜0 = −iω c3 .
Segue que c3 = i v˜0 /ω e c1 = v˜0 + iωz0 . Portanto, a posição no plano complexo é dada por: z(t) = z0 + i
v˜0 [exp (−iω t) − 1] , ω
(21)
e a velocidade por: v˜(t) = z(t) ˙ = v˜0 exp (−iω t) .
(22)
Órbita e constantes de movimento Agora podemos voltar ao problema real igualando as partes complexas e imaginárias das equações acima. Os resultados, após um certo esforço algébrico é v0y (1 − cos ωt) + ω v0x y(t) = y0 − (1 − cos ωt) + ω
x(t) = x0 +
v0x sen ωt, ω v0y sen ωt, ω
(23) (24)
e as velocidades são: vx (t) = x(t) ˙ = v0y sen ωt + v0x cos ωt,
(25)
vy (t) = y(t) ˙ = −v0x sen ωt + v0y cos ωt.
(26)
e
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Uma constante de movimento pode ser obtida facilmente das equações para x(t) e (y(t). Uma simples manipulação algébrica permite escrever: 2 2 h v0x + v0y v0x i2 v2 v0y i2 h + y − y0 − = = 20 x − x0 + 2 ω ω ω ω ,
(27)
onde v02 é o quadrado da velocidade ordinária inicial. Esta é uma das constantes de movimento associadas com este problema. O resultado permite inferir que esta constante corresponde ao raio ao quadrado da órbita circular da partícula no plano xy (ou no plano complexo!): v0 . (28) ω A outra constante de movimento é obtida manipulando algebricamente o segundo par de equações, as equações para vx e vy . O resultado é R=
2 2 vx2 (t) + vy2 = v0x + v0y = v02 .
(29)
Esta constante de movimento está associada com a energia cinética da partícula, bastando para estabelecer essa associação multiplicar este resultado pela massa da partícule e dividir o resultado por 2. Como a parte da força de Lorentz associada com o campo magnético não realiza trabalho, só modifica a órbita da partícula carregada, podemos afirmar que no caso, a energia cinética é uma constante de movimento. Se a partícula ao ser injetada no campo magnético tiver uma componente na direção do eixo (real! não estamos mais falando de números complexos) Z, então, para esse eixo: Z(t) = Z0 + v0z t,
(30)
onde Z(t) é uma função real de t já que Z0 é real. A combinação do movimento circular uniforme no plano XY com um movimento retilíneo uniforme ao longo do eixo Z gera um movimento helicoidal.
Figura 2: A solução no plano XY é um MCU. Na ausência de radiação (teorema de Larmor) , se houver uma componente não-nula de velocidade em Z, a órbita será uma combinação de um MCU com um MRU. Se a intensidade do campo magnético aumentar, o raio da órbita diminui, a órbita ‘afunila’.
No entanto, é preciso ter em mente que de acordo como o teorema de Larmor do eletromagnetismo clássico [1], uma partícula acelerada emite radiação, e portanto perde energia. Aqui não estamos levando isto em consideração.
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As auroras (opcional) O problema discutido aqui pode ser visto como uma introdução ao mecanismo responsável pelas ‘luzes do norte’, a aurora boreal. O campo magnético da Terra tem uma estrutura complexa, mas podemos dizer que em um certo sentido, funciona como uma armadilha que captura as partículas carregadas que chegam do Sol, ‘o vento solar’, e faz com que elas descrevam as órbitas desenhadas na Figura 2. Essas partículas chocam-se com os íons de nitrogênio ou com átomos de nitrogênio e oxigênio na alta a atmosfera (80 km) fazendo com que estes ûltimos primeiramente excitados pelas colisões, decaiam e emitam a radiação no vísivel. Os íons de nitrogênio emitem radiação pela captura de um elétron. Os povos das latitudes árticas atribuiam as luzes avistadas a seres mágicos. Se você viu o belíssimo desenho infantil Irmão Urso entenderá melhor o significado da dança feérica nos céus das latitudes boreais. E nas latitudes austrais? Acontece a mesma coisa? Isto é, existem auroras austrais? Claro que sim, mas não o folclore. As emissões do nitrogênio são predominantemente azuladas (se o átomo decai) ou avermelhadas (se o átomo captura um elétron). As emissões do oxigênio são predominantemente verdes ou marron-avermelhadas, isto dependerá da quantidade de energia absorvida.
Figura 3: À esquerda, luzes do norte, uma aurora boreal sobre a cidade de Calgary. À direita, luzes austrais. (Fotos Wikipeadia)
Figura 4: Estrutura da magnetosfera. (Ilustração Wikipeadia)
Referências [1] David J. Griffths: Introduction to Electrodynamics, 2nd edition. (Prentice Hall: Upper Saddle River) 1989.
