Pendulo Invertido com Lógica Fuzzy

UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP Engenharia de Controle e Automação Industrial

Cesar Umberto Modesti David Luna Santos João Claudio dos Santos Thiago Henrique Marques Silva

SISTEMA COM PENDULO INVERTIDO UTILIZANDO LÓGICA FUZZY

SÃO PAULO 2013

UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia (ICET) Engenharia de Controle e Automação Industrial

Cesar Umberto Modesti David Luna Santos João Claudio dos Santos Thiago Henrique Marques Silva

SISTEMA COM PENDULO INVERTIDO UTILIZANDO LÓGICA FUZZY

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto de Ciências Exatas e Tecnologia da Universidade Paulista – UNIP, como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro de Controle e Automação Industrial.

Orientador: Prof. MSc. Hugo Magalhães Martins Co-orientador: Prof. MSc. Rafael Bachega

SÃO PAULO 2013

Sistema com pendulo invertido utilizando lógica Fuzzy / Cesar Humberto Modesti ... [et al.]. – 2013. 175 f. : il. color. Trabalho de Conclusão de Curso (graduação) – Universidade Paulista, Instituto de Ciências e Tecnologia, 2013. Orientação: Prof. Hugo Martins Magalhães Co-Orientação: Prof. Rafael Bachega 1. MICROCONTROLADOR. 2. SISTEMAS DE CONTROLE. 3. SISTEMAS NÃO LINEARES. I. Modesti, Cesar Humberto. II. Magalhães, Hugo Martins, orient. II. Bachega, Rafael, co-orient.

CESAR UMBERTO MODESTI DAVID LUNA SANTOS JOÃO CLAUDIO DOS SANTOS THIAGO HENRIQUE MARQUES SILVA

SISTEMA COM PENDULO INVERTIDO UTILIZANDO LÓGICA FUZZY

Trabalho de Conclusão apresentado ao Instituto Exatas e Tecnologia da Paulista – UNIP, para a título de Engenheiro de Automação Industrial.

de Curso de Ciências Universidade obtenção do Controle e

BANCA EXAMINADORA Aprovado em: ______/______/______ ______________________________________________________ Prof. Diogo Ferreira L. Filho Universidade Paulista - UNIP ______________________________________________________ Prof. Marcos Rosa Universidade Paulista - UNIP ______________________________________________________ Prof. Hugo M. Martins Universidade Paulista - UNIP

DEDICATÓRIA

Aos nossos pais, os primeiros e maiores amores de nossas vidas a quem dedicamos todas as nossas vitórias. As nossas esposas, namoradas e filhos, a quem negamos o precioso tempo na dedicação de esforços para este trabalho. Aos nossos amigos, pessoas especiais que nos motivam diariamente.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos primeiramente a Deus por nos proporcionar o dom da vida e nos permitir adquirir conhecimento em todos estes dias. A nossas famílias, pelo amor e apoio, estando ao nosso lado mesmo diante de todas as dificuldades. Ao nosso orientador, Prof. MSc. Hugo Magalhães Martins, pela competência com que conduziu este trabalho e por nos auxiliar em nossas dificuldades, dividindo sua sabedoria e nos instigando a desenvolver novas ideias. Ao nosso co-orientador, Prof. MSc. Rafael Bachega, por nos mostrar a importância dos detalhes e a análise crítica dos conceitos de projeto, propondo uma melhoria contínua nos estudos.

“A natureza do homem comum é ir em frente e fazer o melhor que puder.” (John Prine).

RESUMO

O presente trabalho trata do estudo, construção e controle de um sistema de pendulo invertido utilizando lógica fuzzy embarcada em um microcontrolador de baixo custo. Para esta finalidade foi realizada uma extensa pesquisa sobre o tema onde foram demonstrados conceitos básicos do sistema de pendulo invertido e discutidos alguns modelos de controle, em especial a lógica fuzzy, seu funcionamento e aplicabilidade. Foi construído um protótipo simples para testes iniciais da lógica fuzzy e comportamento de mecanismos, posteriormente foi projetada e construída uma planta maior e mais robusta para os testes de controle. Para realizar o processamento foi utilizado um microcontrolador ATmega 2560 embarcado em um hardware de linguagem aberta, chamado ARDUINO. A programação foi escrita em uma versão da linguagem C própria para este tipo de microcontrolador. A implementação do sistema de controle ao protótipo possibilitou analisar o desempenho do controlador na planta e ajusta-lo de forma a obter a melhor resposta. Simulações computacionais foram utilizadas de forma a auxiliar a construção das funções de pertinência da lógica fuzzy e realizar comparações quando se modificavam as quantidades de regras e pertinências. Uma segunda placa de ARDUINO foi utilizada para realizar aquisição de dados em tempo real da planta em conjunto com o Matlab. Os resultados obtidos foram satisfatórios mostrando que é possível o controle de um problema complexo como é o caso do pendulo invertido, com lógica fuzzy embarcada em microcontrolador mesmo com as limitações de velocidade e armazenamento de informações do mesmo.

Palavras-chave: Pendulo invertido, lógica fuzzy, microcontrolador, sistemas de controle, sistemas não-lineares.

ABSTRACT

The present work deals with the study, construction and control of an inverted pendulum system using fuzzy logic embedded in a low cost microcontroller. To this end, we performed extensive research on the topic where they were shown the basics of inverted pendulum system and discussed some models of control, especially the fuzzy logic operation and applicability. We built a simple prototype for initial testing of fuzzy logic and behavior mechanisms, was later designed and built a larger plant and more robust control tests. To realize the processing, we used a microcontroller ATmega 2560 embarked on an open hardware language called ARDUINO. The program was written in C language version suitable for this type of microcontroller. The implementation of the control system to the prototype possible to analyze the performance of the controller in the plant and set it in order to get the best response. Computer simulations were used in order to assist the construction of the membership functions of fuzzy logic and comparisons were modified when the quantity of rules and pertinence. Arduino a second plate was used to perform data acquisition in real time of the plant in conjunction with Matlab. The results were satisfactory, showing that it is possible to control a complex problem such as inverted pendulum, fuzzy logic in microcontroller embedded with the same speed limits and information storage thereof.

Keywords: Inverted pendulum, fuzzy logic, microcontroller, control systems, nonlinear systems.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Pendulo clássico ....................................................................................... 24 Figura 2 - Corte transversal do Single Pendulum e Triple Pendulum ........................ 27 Figura 3 - Friction Pendulum no Trans-European Motorway Viaduct ........................ 28 Figura 4 - Esquema geométrico de um bípede com seis articulações ...................... 29 Figura 5 - Pendulo Invertido Móvel JOE .................................................................... 30 Figura 6 - Mecanismo de teste com pendulo invertido .............................................. 31 Figura 7 - Modelo de sustentação simples do corpo humano ................................... 32 Figura 8 - Protótipo do pendulo em “T” desenvolvido por Iida ................................... 33 Figura 9 - Diagrama de blocos de um sistema de controle ....................................... 34 Figura 10 - Sistema de controle de Malha Aberta ..................................................... 35 Figura 11 - Sistema de controle com de Malha Fechada .......................................... 35 Figura 12 - Esquema do Pendulo Invertido ............................................................... 36 Figura 13 - Protótipo do pendulo invertido OWIPS.................................................... 41 Figura 14 - Diagrama de blocos representado no espaço de estados. ..................... 42 Figura 15 - Modelo do sistema pêndulo invertido com suspensão veicular. ............. 43 Figura 16 - Comportamento do sistema com suspensão veicular ............................. 44 Figura 17 - Modelo de Rede Neural Artificial ............................................................. 45 Figura 18 - Estrutura com Algoritmos Genéticos, Fuzzy e Redes Neurais ................ 46 Figura 19 - Exemplo de Função de Pertinencia Booleana ........................................ 49 Figura 20 - Exemplo de Função de Pertinencia fuzzy ............................................... 50 Figura 21 - Diagrama de blocos da operação inicial ................................................. 57 Figura 22 - Fluxograma da lógica de controle ........................................................... 58 Figura 23 - Diagrama de blocos da operação inicial revisado ................................... 59 Figura 24 - Vista em perspectiva do Protótipo Planta Menor montado ..................... 60 Figura 25 - Vista frontal do Protótipo Planta Menor................................................... 61 Figura 26 - Detalhe do carro com o eixo de transmissão da Planta Menor ............... 61 Figura 27 - Detalhe do carro com o suporte para o potenciômetro ........................... 62 Figura 28 - Detalhe da correia dentada e mola nas extremidades ............................ 62 Figura 29 - Detalhe do Pendulo Invertido IP01 da Quanser ...................................... 63 Figura 30 - Placa de Teste Pic Board V3.0 ............................................................... 64

Figura 31 - Drive LM298 ............................................................................................ 65 Figura 32 - Placa com circuito do Driver LM298 completo ........................................ 65 Figura 33 - Diagrama de hardware com Pic Board e LM298 .................................... 66 Figura 34 - Parte do equipamento de Análises Clínicas reaproveitado ..................... 67 Figura 35 - Trilho com carros independentes ............................................................ 68 Figura 36 - Detalhe do trilho montado sobre perfil de alumínio ................................. 68 Figura 37 - Detalhe da base do carro com correia dentada ...................................... 69 Figura 38 - Detalhe do carro montado com coroa e cremalheira .............................. 70 Figura 39 - Detalhe do fim de curso e carro montado ............................................... 70 Figura 40 - Perspectiva da planta maior montada ..................................................... 71 Figura 41 - Detalhe do carro montado com o motor .................................................. 71 Figura 42 - Detalhe da redução para o potenciômetro .............................................. 72 Figura 43 - Detalhe da montagem do acoplamento do potenciômetro ...................... 73 Figura 44 - Motor Jhonston Eletric HC785LP-012 ..................................................... 75 Figura 45 - Fonte industrial DC ................................................................................. 76 Figura 46 - Relação entre Corrente máxima e Temperatura do IRF3205 ................. 76 Figura 47 - Diagrama de Hardware da ponte H......................................................... 77 Figura 48 - Diagrama do circuito dobrador de tensão ............................................... 78 Figura 49 - Diagrama de hardware do driver completo ............................................. 79 Figura 50 - Arduino Mega 2560 ................................................................................. 80 Figura 51 - Interface de programação do Arduino ..................................................... 82 Figura 52 - Função de pertinência da entrada Ângulo da Haste ............................... 86 Figura 53 - Função de pertinência da entrada Velocidade Angular........................... 86 Figura 54 - Função de pertinência da variável Tensão do Motor .............................. 87 Figura 55 - Inserção da base de regras no sistema Mandami................................... 87 Figura 56 - Surface.................................................................................................... 88 Figura 57 - Rule Viewer ............................................................................................. 89 Figura 58 - Pertinências para entrada posição 5 regras ............................................ 92 Figura 59 - Pertinências para saída velocidade 5 regras .......................................... 93 Figura 60 - Pertinências para entrada posição 9 regras ............................................ 95 Figura 61 - Pertinências para saída velocidade 9 regras .......................................... 96 Figura 62 - Pertinências para entrada posição 21 regras .......................................... 98 Figura 63 - Pertinências para entrada velocidade haste 21 regras ........................... 98

Figura 64 - Pertinências para saída velocidade motor 21 regras .............................. 99 Figura 65 - Pertinências para entrada posição 54 regras ........................................ 100 Figura 66 - Pertinências para entrada velocidade haste 54 regras ......................... 101 Figura 67 - Pertinências para saída velocidade motor 54 regras ............................ 101 Figura 68 - Pertinências para entrada posição 15 regras ........................................ 103 Figura 69 - Pertinências para entrada velocidade haste 15 regras ......................... 103 Figura 70 - Pertinências para saída velocidade haste 15 regras............................. 104 Figura 71 - Oscilação livre do pendulo com carro livre ............................................ 105 Figura 72 - Oscilação livre do pendulo com carro preso ......................................... 106 Figura 73 – Oscilação do pendulo com carro livre sem ruídos ................................ 107 Figura 74 - Oscilação do pendulo com carro preso sem ruídos .............................. 107 Figura 75 - Estrutura para aquisição de dados em tempo real com Simulink ......... 108 Figura 76 - Teste de aquisição de dados em tempo real com Simulink .................. 109 Figura 77 - Estrutura em Simulink para controlador com 9 regras .......................... 111 Figura 78 - Variação Angular da haste com 9 regras .............................................. 111 Figura 79 - Resposta do controlador com base de 9 regras.................................... 112 Figura 80 - Estrutura em Simulink para controlador com 25 regras ........................ 112 Figura 81 - Variação Angular da haste com 25 regras ............................................ 113 Figura 82 - Resposta do controlador com base de 25 regras.................................. 113 Figura 83 - Estrutura para comparação entre controladores ................................... 114 Figura 84 - Gráfico comparativo entre base 9 regras e 25 regras ........................... 114

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Comparativo entre o Protótipo e equipamento Quanser IP01 .................. 63 Tabela 2 - Comparativo entre a Planta e o equipamento Quanser IP01. .................. 74 Tabela 3 - Características básicas do Arduino Mega 2560 ....................................... 81 Tabela 4 - Parâmetros das Variáveis de Entrada e Saída. ....................................... 85 Tabela 5 - Base de regras do sistema para duas variáveis ....................................... 85 Tabela 6 - Controle de 21 regras............................................................................... 99 Tabela 7 - Controle 54 regras.................................................................................. 102 Tabela 8 - Controle 15 regras.................................................................................. 104 Tabela 9 - Parâmetros da Planta para simulação ................................................... 110 Tabela 10 - Custos do Projeto ................................................................................. 116

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

°C – Celsios A – Amper AC - Corrente alternada CI - Circuito Integrado Ctr – Centro D – Drain DC - Corrente continua DirG - Direita grande DirM - Direita médio DirMP - Direita médio pequeno DirMP - Direita médio pequeno DirP - Direita pequeno EsqG - Esquerda grande EsqM - Esquerda médio EsqMG - Esquerda médio grande EsqMP - Esquerda médio pequeno EsqP - Esquerda pequeno FET - Transistor de efeito de campo G – Gate g – Gramas

Hz – Frequência I/O - Imput output KB - Kilo bytes Kn - Kilo Newtons Kohm - Kilo ohm mA - Mili amper MHz - Mega Hertz mm – Milímetros NpN - Negativo positivo negativo PID - Posicional Integrativo Derivativo PnP - Positivo negativo positivo PWM - Modulador de largura de pulso soQ 1-4 - Componentes utilizados no diagrama rad – Radianos rad/s - Radianos por segundo RPM - Rotações por minuto S – Source SCI - Sistema de controle inteligente TCC - Trabalho de conclusão de curso USB - Universal Serial Bus V – Volt Valta - Velocidade alta Vbaixa - Velocidade baixa

Vmedia - Velocidade media Vmtbaixa - Velocidade muito baixa W - Potencia em Wats

LISTA DE SIMBOLOS

= constante = amplitude do sinal senoidal aplicado ao amplificador = amortecimento combinado do motor e do carro = constante de amortecimento viscoso do carro = constante de amortecimento viscoso do motor = constante de amortecimento viscoso do eixo do servo-potenciômetro = centro de gravidade

= primeira derivada de Xp = segunda derivada de Xp = primeira derivada de Yp = segunda derivada Yp = primeira derivada Xcg = segunda derivada Xcg = primeira derivada Ycg = segunda derivada Ycg

= força contra eletromotriz no motor = erro de estado estacionário = força transmitida a correia de transmissão = aceleração da gravidade = força na direção horizontal = momento de inércia do pendulo (ml2/3 para uma haste uniforme) = corrente de armadura do motor = momento de inércia do motor = inércia combinada do motor e do carro (J = Im + Mr2) = Amplitude máxima do sinal senoidal amortecido obtido no ensaio do pendulo

= ganho constante do amplificador = constante de amortecimento viscoso (Kc =

)

= constante de tensão induzida no motor = constante de torque do motor = constante do transdutor de posição utilizado no ensaio (Volts/m) = metade do comprimento do pendulo M = massa do carro

! = máximo pico da variável a ser controlada " = massa do pendulo

# = ponto de pivotamento do eixo do pendulo $ = raio efetivo do eixo do motor (∆Xp = r∆ϕ) % = resistência de armadura do motor

& = tempo de amostragem do sistema de controle

& = tempo de acomodação da variável a ser controlada '( = torque requerido do motor

' = torque resistente no eixo do motor ' = torque total requerido do motor ) = força na direção vertical

)* = tensão de entrada do amplificador )+ = tensão de saída do amplificador

= coordenada no eixo X do centro de gravidade

= coordenada no eixo X do ponto de pivotamento = coordenada no eixo Y do centro de gravidade = coordenada no eixo Y do ponto de pivotamento

, = ângulo do eixo do motor

- = ângulo do pendulo com relação à linha vertical

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 20 2 MOTIVAÇÃO E CONTEXTO ................................................................................. 21 2.1 JUSTIFICATIVA .................................................................................................... 21 3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................. 23 3.1 O PÊNDULO CLÁSSICO ........................................................................................ 23 3.2 O PENDULO INVERTIDO ....................................................................................... 26 3.3 SISTEMAS DE CONTROLE ..................................................................................... 34 3.4 LÓGICA FUZZY .................................................................................................... 47 3.4.1 Teoria de Conjuntos Fuzzy ........................................................................ 48 3.4.2 Fuzzificação ............................................................................................... 51 3.4.3 Base de Regras ......................................................................................... 51 3.4.4 Inferência e Tomada de Decisões ............................................................. 52 3.4.5 Defuzzificação ........................................................................................... 53 4 PROPOSTA E CONTRIBUIÇÃO ........................................................................... 55 4.1 MÉTODO PROPOSTO ........................................................................................... 55 4.2 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................................................ 57 5 RESULTADOS PRELIMINARES ........................................................................... 60 5.1 PROTÓTIPO MECÂNICO ....................................................................................... 60 5.2 PROTÓTIPO ELÉTRICO: PIC BOARD V3.0 .............................................................. 64 5.3 PROJETO MECÂNICO DA PLANTA .......................................................................... 67 5.4 PROJETO ELÉTRICO ............................................................................................ 74 5.4.1 Hardware: Arduino Mega 2560 .................................................................. 79 5.4.2 Ambiente de desenvolvimento ................................................................... 81 5.4.3 Linguagem de programação ...................................................................... 83 5.5 LÓGICA DE CONTROLE ........................................................................................ 84 6 TESTES E RESULTADOS .................................................................................... 90 6.1 TESTES COM O PROTÓTIPO .................................................................................. 90

6.2 TESTES COM A PLANTA ........................................................................................ 94 6.3 AQUISIÇÃO DE DADOS ....................................................................................... 105 6.4 SIMULAÇÃO DE DESEMPENHO ............................................................................ 109 6.5 DISCUSSÕES .................................................................................................... 115 6.6 CUSTO DO PROJETO: PLANILHA DE CUSTOS ....................................................... 116 7 CONCLUSÃO ...................................................................................................... 117 7.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ........................................................... 118 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................... 120 ANEXO A - DATASHEET POTENCIÔMETRO DE PRECISÃO ............................. 123 ANEXO B - DATASHEET DO MOTOR .................................................................. 124 ANEXO C - DATASHEET DO IRF3205 .................................................................. 126 ANEXO D - DATASHEET DO CI555 ..................................................................... 128 ANEXO E - DATASHEET DO PATIN ..................................................................... 131 APENDICE A - PROGRAMAÇÃO EM C ................................................................ 133 APENDICE B - DIAGRAMA DO DRIVER DE POTÊNCIA ..................................... 147 APENDICE C - PLACA DE POTÊNCIA ................................................................. 148 APENDICE D - DESENHOS DA PLANTA ............................................................. 149

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1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho analisamos o pendulo invertido, que é um mecanismo extremamente dinâmico e complexo, tornando-se de grande valia para o estudo não apenas deste em si, mas também de problemas com uma dinâmica similar. Para entender este problema de uma maneira simples basta compará-lo a uma antiga brincadeira de tentar manter em equilíbrio um cabo de vassoura ou uma caneta na ponta dos dedos, o que é extremamente instável, pois a todo o momento é necessário movimentar a mão para fazer com que o eixo da caneta fique o mais próximo possível da posição vertical ou não caia. Da mesma forma é o pendulo invertido, porem ao invés de termos uma caneta ou um cabo de vassoura temos uma haste ou barra metálica, e em substituição ao dedo temos um carro que se desloca em apenas uma direção, porém nos dois sentidos, sempre buscando manter a haste na posição vertical. A haste á fixada em um eixo preso ao carro, este eixo devera ser um sensor de deslocamento angular, o qual informara o quanto a haste esta deslocada de sua posição desejada, fazendo com que o motor de acionamento do carro se desloque proporcionalmente ao desvio angular da haste. Para controlar este complexo problema optou-se por utilizar um sistema de controle inteligente, neste caso o controlador nebuloso, mais conhecido como fuzzy. Conforme demonstrado por Silva (2009), sistemas de controle baseados em métodos estocásticos apresentam um bom desempenho no controle de problemas não lineares, como é o caso pendulo invertido.

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2 MOTIVAÇÃO E CONTEXTO

Ao analisarmos a aplicação e o desenvolvimento dos sistemas de controle surgiram ideias com relação aos tipos de processadores e seus desempenhos, de acordo com a complexidade da planta, o tempo de resposta exigido e a viabilidade do controlador. Desta forma, a aplicação de um sistema de controle inteligente em uma planta de caráter não linear através de um microcontrolador tornou-se atraente para o estudo possibilitando a análise do desempenho do controlador e a comparação entre técnicas de controle, além da implementação em hardware de baixo custo. Propondo uma solução com desempenho satisfatório no controle da estabilidade do pendulo invertido, o objetivo do trabalho é demonstrar e analisar a adequação de um sistema de controle inteligente em um hardware de baixo custo através do microcontrolador e validar seu funcionamento aplicando-o em dois protótipos de proporções diferentes.

2.1 Justificativa

O pendulo invertido vem sendo estudado durante décadas, inúmeras propostas de controle já foram publicadas, muitas delas utilizando controladores clássicos como o PID e processamento através de circuitos comparadores baseados em amplificadores operacionais conforme demonstrado pelos trabalhos de Abelsson (1996), Grasser (2002) e Silva (2010). A utilização de lógica fuzzy para sistemas não lineares se mostra vantajosa devido a possibilidade de utilizar variáveis linguísticas ao invés de modelagem

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matemática, outra vantagem desta proposta se mostra através da utilização de um microcontrolador de baixo custo, que pode processar as informações em uma velocidade satisfatória.

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3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo, abordaremos o desenvolvimento histórico dos estudos do pendulo, desde as primeiras teorias sobre a dinâmica do pendulo clássico, até a aplicação de sistemas de controle com desempenho avançado no pendulo invertido. Através deste levantamento será possível demonstrar como o pendulo auxiliou no desenvolvimento de alguns dos principais conceitos físicos e como o estudo de seu modelo inverso ainda produz grandes avanços científicos.

3.1 O Pêndulo Clássico

Os primeiros estudos do pendulo datam de 1638, onde Galileu Galilei em seu livro “Two New Sciences” descreve o pendulo como um assunto extremamente árido, dando assim início a um estudo que se delongaria por séculos. Drake (1990) aponta que sem os primeiros estudos do pendulo, muitas das leis da física que conhecemos hoje não existiriam ou teriam levado algum tempo a mais para serem descobertas. Em 1656, Huygens desenvolveu as primeiras definições da utilização do pendulo como meio de obter uma medição acurada de tempo e patenteou o primeiro relógio de pendulo. Suas pesquisas continuaram e uma das utilizações de seu relógio pendular foi a detecção da longitude no mar. Outra citação da importância do pendulo foi feita pelo historiador Westfall (1990), ele descreve a relevância do pendulo demonstrando a influencia deste em um dos principais trabalhos de Newton, intitulado ‘Principia’. Boulos (2005) escreveu sobre a importância que o pendulo representou nos trabalhos de Newton, onde o

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pendulo foi utilizado para demonstrar que os corpos celestes obedecem a leis físicas tanto quanto corpos terrestres. O pendulo se tornou extremamente notável também através do trabalho de Stokes (1851), onde foi deduzida uma série de equações que consideravam os fatores influentes no período do movimento pendular. Outro avanço científico baseado na dinâmica do pendulo foi realizado por Léon Foucault (1878), onde utilizando um pendulo longo e pesado demonstrou a rotação da terra em torno de seu eixo. Segundo Galilei (1638), o pendulo simples ideal consiste de uma partícula que oscila em torno de um ponto fixo, suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível. Este sistema esta em equilíbrio quando o centro de gravidade da partícula esta alinhada verticalmente com o ponto fixo.

Figura 1 - Pendulo clássico

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Quando a partícula é afastada de sua posição de equilíbrio e solta, a ação da gravidade a fará oscilar em um plano vertical, em movimento periódico e oscilatório (Figura 1). Através deste movimento é possível determinar o período do movimento. Conforme demonstrado na figura 1, temos o comprimento do fio dado por L, a massa da partícula dada por m, o peso da partícula dado por mg, a tração no fio dada por T (tempo de um ciclo), o ângulo do fio com a vertical dado por θ, e a decomposição da força atuante dada por mgcosθ (força centrípeta) e mgsenθ (força tangencial). A força centrípeta faz com que a partícula mantenha sua trajetória circular, já a força tangencial atua contrariamente ao aumento do ângulo entre o fio e a vertical, por isso a força tangencial também é tida como força restauradora. O movimento do pendulo não é harmônico simples devido à força restauradora não ser proporcional ao deslocamento angular θ. Porém, caso o deslocamento angular θ for muito pequeno a função senθ resultante será aproximadamente igual a θ, isto torna o deslocamento ao longo do arco

aproximadamente retilíneo tendo . = 01. Considerando a aceleração da gravidade e utilizando a segunda lei de Newton temos:

="

(1.1)

Aplicando o deslocamento angular contrário, temos: = −" 1

(1.2)

Substituindo o deslocamento ao longo do arco em (1.2), resulta em: −" 34 5 = − 3" 4 5 .

(1.3)

A força restauradora será proporcional ao deslocamento quando este for pequeno, tendo porem sentido contrario. Dentro desta condição é possível obter o movimento harmônico simples. É possível ainda fazer uma analogia com a equação da mola, onde

= −6., tendo 6 representando o termo

4

. Tendo formulado as

equações básicas do pendulo, ainda podemos calcular o tempo de um ciclo, denominado período T. O período não depende da massa da partícula conforme pode ser visto em (1.4).

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' = 28 9

" " = 28 : " 6 3 5 0 ' = 28 9

4

(1.4)

3.2 O Pendulo Invertido

O pendulo invertido é um sistema altamente instável e de caráter não linear. Ao contrário do pendulo clássico, onde o amortecimento ocorre pela frequência de oscilação e ação da gravidade, o pendulo invertido desenvolvido neste protótipo obtém o amortecimento através do controle da variação angular e variação da velocidade da haste, isto ocorre por meio do deslocamento linear do ponto de pivotamento da haste. Assim como o pendulo clássico, o pendulo invertido foi e é alvo de estudo de muitos pesquisadores. Contudo, ao longo dos anos surgiram diversos tipos de abordagem sobre o pendulo invertido. Um dos primeiros trabalhos sobre o controle do pendulo foi elaborado por Roberge (1960) que confeccionou um protótipo do pendulo invertido e adicionou a este um controlador PID, observou o desempenho do controlador que se mostrou satisfatório, mas levantou questões, como por exemplo, a interferência causada por fatores físicos que não podem ser previstos com a variação na resposta do sistema e como é realizado o ajuste das constantes do controlador PID. Foram desenvolvidas várias aplicações práticas utilizando os conceitos dos pêndulos. Dentre elas uma de grande importância foi desenvolvida por Zayas (1985), que utilizando a analogia de edifícios submetidos a terremotos e o pendulo invertido criou um sistema de proteção sísmica em estruturas. Patenteado como

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Friction Pendulum, este se tornou uma concepção extremamente aplicável tendo ainda outros avanços, como por exemplo, o pendulo triplo (Figura 2), que para certos casos oferece um amortecimento ainda melhor.

Figura 2 - Corte transversal do Single Pendulum e Triple Pendulum Fonte: Zayas, 2009.

O pendulo de fricção consiste de três partes, sendo elas uma base convexa a qual é fixada no solo ou entre as partes da estrutura, uma base reta com suporte central a qual é fixada na parte móvel (ou que tende a mover-se) da estrutura e uma semiesfera que é colocada entre as bases. Durante um abalo sísmico, a semiesfera se desloca sobre a base convexa, permitindo que haja um movimento linear por parte da base reta que sustenta a parte superior do conjunto. Um exemplo da aplicação deste mecanismo foi a Trans European Motorway (Figura 3). A rodovia estava sendo construída utilizando-se meios convencionais quando a região foi atingida por um terremoto causando danos a partes da estrutura. Como parte do projeto de reestruturação da ponte foi incluída o sistema Friction Pendulum nas quatro principais estruturas do trecho situado em Bolu, Turquia. Após analises da vulnerabilidade da região a abalos sísmicos, este sistema foi tido como o único capaz de atender todas as especificações do projeto. Conforme

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especificações divulgadas, cada um dos componentes instalados contam com uma capacidade de 8.886,44 kN, podendo deslocar-se de entre 700mm e 900mm.

Figura 3 - Friction Pendulum no Trans-European Motorway Viaduct Fonte: Zayas, 2009.

Surgiram também muitos trabalhos na área de robótica, com enfoque na aplicação dos conceitos do pendulo em sistemas de movimentação autônoma. Estes sistemas consideram a posição ereta de um ser humano ao caminhar, o movimento individual das pernas caracteriza o controle de equilíbrio do pendulo, onde há a necessidade de mantê-lo na posição vertical de modo semelhante ao equilíbrio do corpo durante a caminhada. Parseghian (2000) desenvolveu uma modelagem matemática para simulação de um bípede iniciando uma caminhada, mantendo-se na caminha e balançando sem perder o equilíbrio (Figura 4). Para tanto foram levantados parâmetros do funcionamento do pendulo invertido individual e logo após foram somados novos graus de liberdade.

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Com isto foi necessário simular o funcionamento de uma articulação na base igualmente ao tendão de Aquiles, uma segunda articulação ligando o pendulo um ao pendulo dois semelhante ao joelho e por ultimo uma articulação ligando o pêndulo dois a um eixo ligado à outra perna. O desenvolvimento exigiu também as análises de equilíbrio para dois graus de liberdade, já que o corpo do protótipo movia-se independente de um ponto fixo.

Figura 4 - Esquema geométrico de um bípede com seis articulações Fonte: Parseghian, 2000.

Grasser et al (2002) desenvolveram um modelo de um pendulo invertido móvel denominado “JOE”, com o objetivo de ter um mecanismo que se movimenta livremente enquanto corrige sua posição vertical (Figura 5). O mecanismo é composto por duas rodas coaxiais, porém, para cada roda há um motor de corrente contínua e um sistema de controle independente que monitora os deslocamentos tanto nos eixos de rotação quanto no deslocamento angular do pendulo com relação ao plano horizontal.

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Isto possibilita que o mecanismo se movimente livremente ao controlar constantemente as perturbações angulares e ao mesmo tempo restringe o comportamento dos motores para que o conjunto não gire constantemente em torno de seu próprio eixo ou haste.

Figura 5 - Pendulo Invertido Móvel JOE Fonte: Grasser, 2002.

Outra aplicação relevante do pendulo invertido foi desenvolvida por Lakie et al (2003) em uma pesquisa na área de fisiologia. O objetivo do trabalho era demonstrar como é possível manter o equilíbrio do corpo humano com baixa rigidez do tornozelo através da correção de postura e da sustentação dos pés, porém foi levantada a questão do efeito mola das panturrilhas. Para esta demonstração foi montado um mecanismo de pendulo invertido acoplado a um braço através de um fio com mola (Figura 6). O equilíbrio do pendulo

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não se deu por força e rigidez, mas sim por movimentos intermitentes contrários ao movimento do deslocamento angular com auxílio da mola, isto amorteceu a oscilação do pendulo de forma a alcançar o equilíbrio. Os resultados dos experimentos com o pendulo invertido foram extremamente satisfatórios, pois levantaram outras hipóteses com relação à dinâmica dos membros inferiores ao realizarem os controles musculares de correção de equilíbrio.

Figura 6 - Mecanismo de teste com pendulo invertido Fonte: Lakie, 2006.

Seguindo o objetivo de identificar o comportamento de equilíbrio humano através do pendulo invertido, Borg (2003) analisou o desempenho do controle do equilíbrio utilizando um mecanismo com uma mola acoplada à haste do pendulo e sua base (Figura 7), simulando um tendão igual ao de um ser humano.

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Figura 7 - Modelo de sustentação simples do corpo humano Fonte: Borg, 2003.

Este modelo é também chamado de Pendulo Invertido Humano (HIP – Human Inverted Pendulum). O autor destaca a relevância do pendulo na ciência tanto em teoria de controle quanto em modelos biomecânicos, que também são de grande instabilidade. Conforme os sistemas de controle e as pesquisas na área de robótica avançam, novas aplicações dos conceitos do pendulo invertido surgem propondo soluções mais complexas. Estas

soluções

visam

envolver

outras

variáveis

que

aproximam

o

desempenho dos sistemas ao funcionamento real dos mecanismos, podendo utilizar seus resultados em áreas onde se tem ainda grande dependência do envolvimento humano.

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Iida et al (2003) desenvolveram um protótipo de um pendulo invertido em “T” utilizando uma estrutura bípede com quatro pés (Figura 8). A proposta do projeto é a utilização do mecanismo na exploração de terrenos irregulares.

Figura 8 - Protótipo do pendulo em “T” desenvolvido por Iida Fonte: Iida, 2003.

Dentro desta proposta esta a movimentação do robô em linha reta, podendo este também inverter o sentido de sua movimentação e controlar seu raio de giro. O diferencial nesta aplicação é a capacidade de saltar que o robô apresenta juntamente com os dois graus de liberdade no pendulo, com isso é possível, através dos sensores angulares, determinar as inclinações no solo por onde o robô estiver caminhando e assim emitir sinais de controle aos atuadores.

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3.3 Sistemas de Controle

Os sistemas de controle estão presentes não só nas aplicações da ciência moderna como também nos seres vivos, e nestes últimos são os responsáveis pelas tomadas de decisões que regem a sobrevivência. Nise (2011) exemplifica os sistemas de controle que nós, seres humanos possuímos, citando o exemplo de situações em que, sofrendo pressões e havendo necessidade de maior raciocínio e maior velocidade na execução de tarefas, nosso corpo libera adrenalina aumentando os batimentos cardíacos e liberando uma maior quantidade de oxigênio. Este é apenas um exemplo entre muitos outros que ocorrem sem que percebamos ou que possamos interferir. Nise (2011) define que, sistemas de controle são constituídos por processos e subsistemas que leem uma informação, processam e ajustam de forma a obter uma saída nas condições desejadas. Segundo Dorf & Bishop (2009), sistemas de controle são formados por componentes interligados que operam de forma estruturada para produzir uma resposta satisfatória a uma entrada (Figura 9).

Figura 9 - Diagrama de blocos de um sistema de controle

Dentro ainda do conceito de sistemas de controle, pode-se diferenciar os tipos de controle devido sua tratativa com relação à resposta fornecida. Esta tratativa é o que define sistemas de controle de malha aberta e sistemas de controle de malha fechada. Sistemas de controle de malha aberta usam dispositivos para atuar

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de acordo com sua resposta, porem, não verificam se a resposta é satisfatória (Figura 10).

Figura 10 - Sistema de controle de Malha Aberta

Surge então à necessidade de sistemas de controle com realimentação que emitem um sinal de controle, comparam a saída real com a saída desejada e realimentam a entrada com um sinal de erro, deixando de atuar apenas quando alcançam o resultado desejado (Figura 11).

Figura 11 - Sistema de controle com de Malha Fechada

Conforme o avanço nas pesquisas relacionadas às formas de se controlar sistemas, foram surgindo diversos tipos de sistemas de controle, entre eles podemos citar as principais divisões, tais como o controle clássico e o controle moderno que serão discutidos adiante. Dentro do controle clássico estão técnicas de definição de sistemas através de modelagem matemática, esta modelagem estabelece as variáveis físicas do

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sistema que se pretende controlar e equaciona suas variações a fim de obter respostas satisfatórias de acordo com a entrada. O controle clássico é largamente utilizado em processos com sistemas lineares, que produzem uma resposta equivalente à entrada. Segundo Ogata (2010), a obtenção da resposta de um sistema com diversas entradas pode se dar através do tratamento de cada entrada individualmente, somando os resultados. Entre as técnicas que compõem o controle clássico estão o controle proporcional, o controle integrativo, o controle derivativo, o controle PID (Proporcional Integrativo Derivativo), o controle por atraso de fase, controle por avanço de fase e o controle por avanço e atraso de fase. A dinâmica do pendulo invertido caracteriza um sistema não linear devido a quantidade de variáveis de entrada que não podem ser diretamente correlacionadas com a saída, porem sistemas não lineares podem passar por um processo de linearização. Para a simulação é necessário que se obtenha o maior numero de informações a fim de aproximar os resultados ao real comportamento da planta.

Figura 12 - Esquema do Pendulo Invertido Fonte: Ribeiro, 2007.

A fim de simular o comportamento do sistema é necessário obter uma modelagem matemática do mesmo. O modelo matemático apresentado foi desenvolvido por Deley (2006), que levou em consideração no calculo, tanto a posição da haste como a posição do carro, tornando a modelagem mais complexa,

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abrangendo mais variáveis de forma a aproximar ao máximo os resultados obtidos na simulação com a realidade.

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