Pensamento Algébrico de professores do 1ºCiclo: algebrização da aritmÉtica
Sofia Rézio
Instituto Superior de Ciências Educativas de Odivelas
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Nome e email do autor para onde toda a correspondência deverá ser enviada:
Ana Sofia Rodrigues Rézio
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Resumo
O Pensamento Algébrico de um aluno no início da sua escolaridade, tem sido investigado nas últimas duas décadas pelo Group for the Psychology of Mathematics Education [PME]. Kieran (2007) fala sobre esta área como sendo uma forma de desenvolver na criança seis tipos de habilidades: generalização, abstração, pensamento analítico, dinâmica de pensamento, modelação e organização. É opinião de Carraher, Earnest, Schliemann e Brizuela (2006) que o Pensamento Aritmético e Algébrico se interligam. Investigou-se como este último tipo de pensamento tem sido abordado por docentes do 1ºCiclo, quanto à algebrização da Aritmética, incluindo operações inversas e padrões numéricos e geométricos, entrevistando-se para o efeito 50 professores. Interrogados quanto à intenção com que colocam problemas simples de juntar e retirar, uma minoria colocou a contagem pelos dedos em primeiro lugar e praticamente um quarto dos professores entrevistados posicionou o cálculo mental antes dos algoritmos face a cerca de outro quarto que optou pelo contrário. Quanto à abordagem de sequências numéricas, a resposta mais frequente relacionou-se com a escrita dos termos seguintes e a menos frequente com atividades de generalização. Em geral, os professores relataram práticas que promovem pelo menos alguns aspetos do Pensamento Algébrico.
Palavras-Chave: Algebrização da Aritmética, 1ºCiclo, Conceções docentes, Pensamento Algébrico.
Abstract
The Algebraic Thinking's student has been investigated over the past two decades by the Group for the Psychology of Mathematics Education [PME]. Kieran (2007) talks about this area as a way to develop six types of skills in children: generalization, abstraction, analytical thinking, dynamic thinking, modeling and organization. Carraher, Earnest, Schliemann and Brizuela (2006) believe that Arithmetic and Algebraic Thinking are related. We investigated how Algebraic Thinking has been approached by teachers of Elementary School, regarding Arithmetic's Algebrization, including inverse operations and numeric and geometric patterns, interviewing 50 teachers. Inquiried about their intent with simple problems to put together and take, a minority put the count on fingers first and almost a quarter of the teachers positioned the mental calculation before the algorithms compared with around another quarter that had chosen otherwise. Regarding the approach of numerical sequences, the most frequent response was related to the writing of the following terms and less frequent with generalization activities. In general, teachers reported practices that can promote at least some aspects of Algebraic Thinking.
KEYWORDS: Arithmetic's Algebrization, Elementary School, Teachers' Conceptions, Algebraic Thinking,.
Introdução
Segundo Kieran (2007) a vantagem de incorporar um quadro de Pensamento Algébrico nos primeiros anos é a de preencher uma desconexão que se tem observado por muito tempo entre os esforços de introduzir o Pensamento Algébrico desde cedo e o grande corpo de pesquisa da Álgebra que se tem dedicado a alunos mais velhos, de 12 ou 13 anos. Segundo Kieran (2006), as habilidades que caracterizam o Pensamento Algébrico podem ser desenvolvidas através de actividades de exploração de propriedades das operações, com números, da análise do significado de igualdades numéricas e da análise de mudanças e padrões e no estabelecimento de relações entre quantidades.
Carraher, Earnest, Schliemann e Brizuela (2006) acreditam que há fortes razões para pensarmos que o Pensamento Aritmético e Algébrico se interligam sendo da opinião de que a Aritmética tem um carácter algébrico intrínseco pois as estruturas podem ser percebidas através de notação algébrica. Para estes autores, o significado algébrico das operações aritméticas não é opcional mas sim um ingrediente essencial que precisa ser olhado como parte integrante da Matemática Elementar – trata-se de algebrizar a Aritmética.
Kieran (2007) acrescenta que os estudantes de níveis elementares podem ser introduzidos ao Pensamento Algébrico, através de expressões numéricas, usando números como quase-variáveis, como por exemplo, através de afirmações como 87-39+39=87, que são verdadeiras qualquer que seja o número que se some e se subtraia de volta.
São algumas as dificuldades que podem surgir na passagem de um para o outro tipo de pensamento. Segundo Cai e Moyer (2008), se alunos e professores rotineiramente passassem os primeiros seis anos do ensino a desenvolver em simultâneo a Aritmética e o Pensamento Algébrico com diferentes ênfases consoante os estádios de aprendizagem, a Aritmética e a Álgebra passariam a ser vistas como indissoluvelmente ligadas. Como tal, o estudo da Álgebra na Escola Secundária seria uma extensão natural e não ameaçadora da Matemática do currículo Pré-Escolar e do Ensino Básico. Assim sendo, a transição entre a Aritmética e a Álgebra é um processo que deve ir sendo feito em paralelo.
Durante este processo, tem relevância o estudo de padroes numéricos e geométricos. O Pensamento Algébrico desenvolve-se melhor a partir da contínua exposição a padrões e relações, começando-se desde logo no Jardim de Infância (Steen, 1998).
Nao menos importante é destacar o desenvolvimento de conceitos como operações inversas. Para Kieran (2004) os alunos que operam numa estrutura aritmética de referência tendem a não ver os aspectos relacionais e as propriedades das operações, focando-se no cálculo. Segundo esta investigadora, para uma transição bem sucedida da Aritmética para a Álgebra é necessário que exista foco nas operações, bem como nas suas inversas, ou seja, na ideia de fazer e desfazer.
Cai e Moyer (2008) apresentam algumas das ideias do Currículo chinês que podem ajudar os alunos a fazer os ajustes necessários ao desenvolvimento de formas algébricas de pensar, nos níveis elementares de escolaridade. A primeira ideia é relacionar operações inversas na resolução de equações. Nas escolas chinesas do 1ºCiclo, a adição e subtracção são introduzidas simultaneamente no primeiro ano, e a operação de subtracção é apresentada como o inverso da adição.
É de fato importante o estudo do desenvolvimento do Pensamento Algébrico nos primeiros anos de escolaridade, pois tal como Schliemann, Carraher e Brizuela (2012) relatam, há resultados benéficos da integração de Álgebra no currículo de Matemática do 1ºCiclo do Ensino Básico. Segundo estes autores, experiências com Álgebra que ocorram desde cedo, promovem uma compreensão da Matemática que vai para além dos números, da contagem ou das simples operações aritméticas.
Todos os fatos referidos até ao momento despertaram o interesse em investigar como o Pensamento Algébrico é concebido e abordado por docentes do 1ºCiclo, nomeadamente no que diz respeito à algebrização da Aritmética, incluindo operações inversas e padrões numéricos e geométricos.
Materiais, Métodos e procedimentos
Para dar inicio à observação houve necessidade de conceber um instrumento capaz de produzir todas as informações necessárias para responder às questões de investigação, um Guião de Entrevista semi-estruturada, a aplicar a docentes do 1ºCiclo. Entrevistaram-se 50 professores do Concelho de Sintra, metade dos quais tinham 10 a 19 anos de experiência docente e a outra metade, menos.
A análise das entrevistas implicou o recurso à análise do seu conteúdo com o objectivo
de tirar partido de um material dito «qualitativo». As respostas às questões colocadas na entrevista foram categorizadas e subcategorizadas tendo-se realizado uma análise frequencista, além de qualitativa, dessas mesmas respostas.
Para avaliar a fiabilidade desta classificação, foi realizada uma segunda análise de conteúdo a 10% do corpus recolhido, isto é, a 5 das 50 entrevistas realizadas, por parte de um segundo investigador. Das 152 classificações atribuídas, houve um acordo em 139, o que corresponde a um nível de concordância bastante aceitável de 0.91.
Resultados e Discussão
A análise estatística incluíu apenas um cálculo de frequências. Ressalva-se que no quadro apresentado com os registos das respostas, as percentagens não somam 100, uma vez que cada participante, muitas vezes, referiu mais do que uma categoria.
Quando inquiridos sobre quando e como julgam adequado introduzir o Pensamento Algébrico, quase três quartos dos professores entrevistados consideraram que a Algebra Inicial pode ser adequadamente trabalhada desde o Pré-Escolar enquanto que as atuais linhas de investigação apontam para os anos de escolaridade do 1º Ciclo.
O significado de Álgebra, para estes docentes, relacionou-se com a aprendizagem dos números, o que aparentemente não considera habilidades como a generalização, modelação ou abstração.
Metade dos inquiridos consideraram ser o foco do Pensamento Algébrico durante o 1º Ciclo, a abordagem das operações como funções enquanto que muitos dos mais recentes projetos investigativos apontam também para todo o trabalho que se pode direcionar para a estrutura da Aritmética assim como a implementação de atividades que permitam trabalhar a generalização do pensamento.
De facto, existem inúmeras ideias que um professor dos primeiros anos de escolaridade pode aplicar na sua sala de aula e que conduzem os seus alunos a pensar em Aritmética de forma a providenciarem um alicerce para a aprendizagem da Álgebra (NCISLA, 2000).
Várias dificuldades foram identificadas durante a passagem do Pensamento Aritmético para o Algébrico, o que nos leva a concluir que este deverá ser um assunto perante o qual os docentes devem dispensar maior atenção com os seus alunos, dada a importância que a investigação lhe tem atribuído no desenvovimento do Pensamento Algébrico. Compreender o enunciado de um problema foi a resposta que registou maior frequência. Também frequente foi a referência à abstração e à utilização de algoritmos que envolvem grandes números. Outras dificuldades identificadas podem observar-se no quadro I, que se segue.
Quadro I. Dificuldades identificadas nos alunos, na passagem da Aritmética à Álgebra.
Categorias
(Temáticas das Dificuldades)
Subcategorias
(Dificuldades)
Valor Absoluto
Valor
Relativo
Números
(N=7)
Efectuar algoritmos com números grandes
12
24%
Ser eficaz no Cálculo mental
8
16%
Compreender Números decimais
7
14%
Compreender as Ordens de um número
4
8%
Fazer estimativas a olho
2
4%
Reconhecer padrões
2
4%
Compreender a divisão
1
2%
Utilizar parêntesis
1
2%
Resolução de Problemas
(N=13)
Compreender o enunciado
22
44%
Verbalizar o raciocínio
12
24%
Descobrir diferentes estratégias de resolução
11
22%
Resolver problemas com mais do que um passo
5
10%
Escrever em linguagem matemática
3
6%
Outras
Abstrair
17
34%
Reduzir (unidades de medida)
2
4%
Generalizar
1
2%
Compreender o conceito de Ângulo
1
2%
Relativamente a abordagem realizada por estes docentes, sobre padroes numéricos e geométricos, nove dos professores mencionaram a escrita ordenada de números como um exemplo para trabalhar sequências numéricas com os seus alunos, embora este tipo de actividade se considere menos relevante para o tema em análise.
A resposta mais frequente, referida por 29 dos professores, teve que ver com a continuação da sequência, escrevendo os termos seguintes. Um professor explica que
"Tínhamos um número inteiro e íam construindo os termos seguintes adicionando um número fraccionário". A segunda resposta mais dada referiu-se às contagens de 2 em 2, 4 em 4,….facto que se encontra presente numa entrevista: "nas tabuadas…na do 2, eles vêm que termina sempre em números pares…".
Quanto a actividades de generalização da sequência numérica, embora com reduzida frequência, estas foram mencionadas por 5 professores, destacando-se aqui o comentário de um deles: "O caso das multiplicações…determinado valor que vai multiplicar por uma décima… que vai multiplicar por uma centésima… que vai multiplicar uma milésima… seguidamente… e depois leva-nos já a uma generalização".
As actividades de continuação de sequências geométricas, referidas por alguns docentes, implicavam por vezes mais do que uma variável, como explanou um deles: "… a cor também varia, além da forma, tem que ver com o ano em que eles estão…quando eles são mais pequeninos o que varia é só a côr… a forma é a mesma".
Quanto à intenção com que colocavam problemas simples de "juntar e retirar", uma minoria, apenas quatro docentes, colocaram a contagem pelos dedos em primeiro lugar. Podemos dizer que praticamente um quarto dos professores entrevistados posicionou o cálculo mental antes dos algoritmos face a cerca de outro quarto que optou pelo contrário.
Ainda de referir, que nas respostas dadas, três das ordenações mais votadas (reunindo
20 votos) têm os exercícios de preenchimento de lacunas referidos em último lugar e a
contagem pelos dedos em segunda posição, e na sua maioria, a subtracção como sendo o inverso da adição aparece em penúltimo lugar, já depois de os algoritmos terem sido referidos.
No que disse respeito a problemas simples de multiplicar e dividir, sete dos professores não mantiveram a sua resposta, face à anterior, optando 43 por não a alterar. Destes sete, quatro professores decidiram trocar o cálculo mental, que tinham referido primeiramente, pelos algoritmos ou pela divisão como sendo o inverso da multiplicação, passando a referi-las antes do cálculo mental, e dois deles optaram por passar a referir o cálculo mental em primeiro lugar.
CONCLUSOES
Os resultados mostraram que os professores concordaram com experiências algébricas nos anos iniciais de escolaridade, contudo observou-se uma distância considerável face à conceção que a atual comunidade científica tem, no que diz respeito às habilidades envolvidas no Pensamento Algébrico e às atividades que concorrem para a sua promoção.
Mais estudos devem ser conduzidos para que melhor se compreenda o que atualmente se faz e o que pode ainda ser feito, quanto ao desenvolvimento do Pensamento Algébrico nos anos iniciais de escolaridade.
Referencias
Cai, J., & Moyer, J. (2008). Developing Algebraic Thinking in Earlier Grades: Some Insights from International Comparative Studies. Reston: NCTM.
Carraher, D., Earnest, D., Schliemann, A., & Brizuela, B. (2006). Arithmetic and Algebra in Early Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education , 37(2) pp. 87-115.
Kieran, C. (2004). Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is It? The Mathematics Educator, 8(1), 139 - 151.
Kieran, C. (2006). Research on the Learning and Teaching of Algebra. A Broadening of Sources of Meaning. In A. Gutièrrez,& P. Boero (Eds.), Handbook of Research on the Psychology of Mathematic Education. Past, Present and Future. (pp. 11-49). Rotterdam: Sense Publishers.
Kieran, C. (2007). What do we know about the Teaching end Learning of Algebra in the Elementary Grades? Reston: NCTM.
National Center for Improving Student Learning and Achievement in Mathematics and Science [NCISLA] (2000). Building a Foudantion for Learning Algebra in the Elementary Grades, 1(2) In www.wcer.wisc.edu/. Acedido em 8 de Outubro de 2012 em http://www.wcer.wisc.edu/ncisla
Schliemann, A. D, Carraher, D. W., & Brizuela, B. M. (2012). Algebra in elementary school. In L. Coulange & J.-P. Drouhard (Eds.) Enseignement de l'algèbre élémentaire: Bilan et perspectives. Special Issue of Recherches en Didactique des Mathématiques, pp. 109-124.
Steen, L. (1998). Obtido em 16 de 02 de 2012, de http://www.stolaf.edu/people/steen/Papers/algebra_mn.pdf
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