PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIA

PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIA

Caetano Soares Fajardo ∴

Trabalho sobre planejamento de trajetória elaborado para disciplina de robótica do curso de engenharia de controle e automação da CEFET-RJ Uned Ni.

Docente: Fabricio Lopes e Silva Ms.c. Dicente: Caetano Soares Fajardo∴

Nova Iguaçu Julho de 2016

Sumário Metodologia .................................................................................................................................4 Problema Proposto ..................................................................................................................4 Objetivos ..................................................................................................................................4 Como o problema será resolvido .............................................................................................5 Exemplo de resolução de um problema aplicado a trajetória polinomial de terceiro grau no espaço articular ........................................................................................................................5 Resolução do problema................................................................................................................8 Cinemática inversa do manipulador .......................................................................................11 Planejamento de trajetória polinomial de terceiro grau ........................................................12 Resultados obtidos .................................................................................................................15 Conclusão ...................................................................................................................................18 Bibliografia .................................................................................................................................20

Figura 1 Plano inclinado parametrizado. Extraído e adaptado de Pinto e Morgado (2000). .....................................................................................................................................................4 Figura 2 Gráfico da reta y+3z=6. Extraído e adaptado de Pinto e Morgado (2000). ............5 Figura 3 Trajetória polinomial de terceiro grau no espaço articular. ....................................7 Figura 4 Trajetória polinomial de terceiro grau com ponto de instabilidade localizado ......7 Figura 5 Gráfico do plano inclinado .........................................................................................9 Figura 6 Gráfico do plano inclinado com os pontos da letra Z obtidos. ...............................10 Figura 7 Gráfico do plano inclinado com a letra Z escrita. ...................................................11 Figura 8 Tabela de Pontos (Px, Py, Pz) em que a ferramenta do manipulador do manipulador desenhou no plano. ............................................................................................11 Figura 9 Ângulos obtidos por cinemática inversa da tarefa do desenho da letra Z no plano inclinado....................................................................................................................................13 Figura 10 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 1 do manipulador. ............................................................................................................................15 Figura 11 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 1 exigidas na tarefa. ........................................................................................................................................16 Figura 12 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 2 do manipulador. ............................................................................................................................16 Figura 13 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 2 exigidas na tarefa. ........................................................................................................................................17

Figura 14 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 3 do manipulador. ............................................................................................................................17 Figura 15 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 3 exigidas na tarefa.. .......................................................................................................................................18

Metodologia Problema Proposto

O problema proposto refere-se ao de desenhar com uma ferramenta do manipulador antropomórfico com 6 graus de liberdade, projetado e implementado nos trabalhos de cinemática direta e inversa, a letra z em um plano inclinado parametrizado mostrado na figura 1.

Figura 1 Plano inclinado parametrizado. Extraído e adaptado de Pinto e Morgado (2000).

Objetivos



Com o planejamento de trajetória, obter funções polinomiais de grau 2 ou grau 3 para lidar com as seguintes condições de instabilidade:



Singularidades localizadas em “bicos” ou regiões semelhantes da curva de  t  ,

e 

 2 t  ; t 2

Regiões de instabilidades localizadas em declividades que comprometam as características dinâmicas do projeto do manipulador.

 t  , t



Com o programa implementado, obter valores numéricos para as funções de  t  ,

 t  ,  t  com os dados obtidos do desenho da letra z no plano inclinado parametrizado, ̇

̈

inseridos na cinemática inversa.

Como o problema será resolvido

Pinto e Morgado (2000)

descrevem o vetor normal da equação y  3 z  6 como

N  0,1,3 , cujo vetor ortogonal é 1,0,0 . Esta equação tem como plano perpendicular o plano yz e o traço de seu gráfico neste plano é a reta y  3 z  6 , no plano xz é a reta z=2, que é paralela ao eixo x , e o traço no plano xy é a reta y  6 , que é paralela ao eixo x . Na figura 2, é mostrado o gráfico da equação y  3 z  6 .

Figura 2 Gráfico da reta y+3z=6. Extraído e adaptado de Pinto e Morgado (2000).

Exemplo de resolução de um problema aplicado a trajetória polinomial de terceiro grau no espaço articular

É desejável que a primeira articulação de um robô articulado de 6 eixos vá de um ângulo inicial de 50º para um ângulo final de 80º em 3 segundos. Calcule os coeficientes de uma trajetória polinomial de terceiro grau no espaço articular. Determine pos ângulos, as velocidades, e as acelerações articulares em 1, 2 e 3 segundos. Supõe-se que o robô começa no seu repouso e para no seu destino. Segundo (Niku, 2013), a solução é descrita nas equações 𝜃(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 + 𝑐3 𝑡 3

(1)

̇ = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑡 + 3𝑐3 𝑡 2 𝜃(𝑡)

(2)

Substituindo as condições de fronteira obtém-se 𝜃𝑖 = 50 = 𝑐0 + 0

(3)

̇ = c1 + 0 θ(i)

(4)

θf = 80 = 50 + 9c2 + 27c3

(5)

θḟ = 0 = 6c2 + 27c3

(6)

Resolvendo as variáveis 𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 e 𝑐3 pelo sistema de equações lineares formado pelas equações 3, 4, 5, 6, obtém-se 𝑐0 = 5, 𝑐1 = 0, 𝑐2 = 10, 𝑐3 = −2,22. 𝜃(𝑡) = 50 + 10𝑡 − 2,22𝑡 2

(7)

̇ = 20 − 6,66𝑡 2 𝜃(𝑡)

(8)

̈ = 20 − 13,33𝑡 𝜃(𝑡)

(9)

Os gráficos gerados com os dados das equações 7, 8 e 9 são mostrados na figura 3.

Figura 3 Trajetória polinomial de terceiro grau no espaço articular.

Figura 4 Trajetória polinomial de terceiro grau com ponto de instabilidade localizado

Na figura 4 foi localizado um ponto de instabilidade na trajetória polinomial de terceiro grau do problema enunciado. Para solucionar este problema, calcula-se um polinômio de ordem diferente a fim de adotar outros pontos na trajetória polinomial para que não haja problemas como singularidades e outros tipos de instabilidades. Esta trajetória polinomial de terceiro grau seria viável por esta análise até 27 segundos. Depois dos 27 segundos, adotar-se-ia outro polinômio de trajetória.

Resolução do problema Para geração do plano inclinado com a letra Z escrita, foi estudado e programado um código baseado na elaboração de planos tridimensionais descritos por (Pinto & Morgado, 2000). A equação que tem como vetor normal N  3,3,4 é mostrada na equação 10.

3 x  3 y  4 z  12

(10)

A equação da reta no plano xy é mostrada na equação 11, no plano yz é mostrada na equação 12, e no plano xz é mostrada na equação 13.

3 x  3 y  12

(11)

3 y  4 z  12

(12)

3x  4z  12

(13)

Os pontos em que as respectivas retas interceptam os eixos x, y, e z são (0,0,4), (0,0,4), e (0,0,3). Na figura 5 é mostrado gráfico obtido.

Figura 5 Gráfico do plano inclinado

O desenho da linha Z foi feito através de interpolação e os pontos (Px, Py, Pz) foram computados para a cinemática inversa. Nas figura 6 e 7 são mostrados os gráfico do plano inclinado com a letra Z escrita.

Figura 6 Gráfico do plano inclinado com os pontos da letra Z obtidos.

Figura 7 Gráfico do plano inclinado com a letra Z escrita.

Px

Py

Pz

1

0

2.25

1

1

1.75

1

2

0.75

2

1

0.75

3

0

0.75

3

1

0

3

2

-0.75

Figura 8 Tabela de Pontos (Px, Py, Pz) em que a ferramenta do manipulador do manipulador desenhou no plano.

Cinemática inversa do manipulador

A cinemática inversa do manipulador por geometria para as 3 primeiras juntas rotacionais é descrita nas equações

1  a tan 2Py , Px 

cos 3 

(14)

Px2  Py2  Pz2  l 22  l32

(15)

2l 2 l3

 3  a tan 2 1  cos 3 2 , cos 3  



(16)





 2  a tan 2 Pz , Px2  Py2  a tan 2l3 sin 3 , l 2  l3 cos 3 

(17)

Planejamento de trajetória polinomial de terceiro grau

Primeira articulação vai de um ângulo inicial de 0º e vai até um ângulo final de 30º em 3 segundos. Segundo o método descrito por (Niku, 2013):

 i  0  C0

(18)

𝜃𝑖 = 0 =̇ 𝐶1 + 0

(19)

𝜃𝑓 = 30 = 0 + 9𝐶2 + 27𝐶3

(20)

𝜃𝐹̇ = 0 = 6𝐶2 + 27𝐶3

(21)

𝜃𝑡 = 10𝑡 2 − 2.22𝑡 3

(22)

Segunda articulação vai de um ângulo inicial de 30º e vai até um ângulo final de 60º em 3 segundos. Segundo o método descrito por (Niku, 2013):

 i  30  C 0

(23)

𝜃𝑖 = 0 =̇ 𝐶1 + 0

(24)

𝜃𝑓 = 60 = 0 + 9𝐶2 + 27𝐶3

(25)

𝜃𝐹̇ = 0 = 6𝐶2 + 27𝐶3

(26)

𝜃𝑡 = 30 + 20𝑡 2 − 4.44𝑡 3

(27)

Terceira articulação vai de um ângulo inicial de 60º e vai até um ângulo final de 90º em 3 segundos. Segundo o método descrito por (Niku, 2013):

 i  60  C 0

(28)

𝜃𝑖 = 0 =̇ 𝐶1 + 0

(29)

𝜃𝑓 = 90 = 0 + 9𝐶2 + 27𝐶3

(30)

𝜃𝐹̇ = 0 = 6𝐶2 + 27𝐶3

(31)

𝜃𝑡 = 60 + 30𝑡 2 − 6.67𝑡 3

(32)

Na tabela são mostrados os dados dos ângulos obtidos por cinemática inversa do manipulador para os dados de posição relativos ao desenho da letra Z no plano inclinado. 𝜃1 [º]

𝜃2 [º]

𝜃3 [º]

0

-90.6541

44.9901

45.0000

-71.3208

44.9925

63.4349

-43.1643

44.9909

26.5651

-43.1643

44.9909

0

-38.5781

44.9801

18.4349

-24.5249

44.9779

33.6901

-12.3720

44.9280

Figura 9 Ângulos obtidos por cinemática inversa da tarefa do desenho da letra Z no plano inclinado.

Para os três ângulos descritos na tabela 9, repete-se o procedimento para obtenção dos polinômios. Para 𝜃1 , têm-se as seguintes equações:

 i  0  C0

(33)

𝜃𝑖̇ = 0 =̇ 𝐶1 + 0

(34)

𝜃𝑓 = 33,69 = 0 + 9𝐶2 + 27𝐶3

(35)

𝜃𝑓̇ = 0 = 6𝐶2 + 27𝐶3

(36)

𝜃𝑡 = 11,23𝑡 2 − 2,50𝑡 3

(37)

Para 𝜃2 , têm-se as seguintes equações:

 i  90,65  C 0

(38)

𝜃𝑖̇ = 0 = 𝐶1 + 0

(39)

𝜃𝑓 = −12,37 = 0 + 9𝐶2 + 27𝐶3

(40)

𝜃𝑓̇ = 0 = 6𝐶2 + 27𝐶3

(41)

𝜃𝑡 = −90,65 + 4,1233𝑡 2 − 0,9163𝑡 3

(42)

Para 𝜃3 , têm-se as seguintes equações:

 i  44,99  C 0

(43)

𝜃𝑖̇ = 0 =̇ 𝐶1 + 0

(44)

𝜃𝑓 = 44,93 = 0 + 9𝐶2 + 27𝐶3

(45)

𝜃𝑓̇ = 0 = 6𝐶2 + 27𝐶3

(46)

𝜃𝑡 = 44,99 − 0,02𝑡 2 + 0,0044𝑡 3

(47)

Resultados obtidos

Figura 10 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 1 do manipulador.

Figura 11 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 1 exigidas na tarefa.

Figura 12 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 2 do manipulador.

Figura 13 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 2 exigidas na tarefa.

Figura 14 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 3 do manipulador.

Figura 15 Curvas de posição, velocidade e aceleração características da junta 3 exigidas na tarefa..

Conforme os resultados mostrados e comparados nas figuras 10, 11, 12, 13, 14, e 15 podese concluir que as especificações exigidas na tarefa foram satisfeitas pelas características técnicas do manipulador. Polinômios de trajetórias de ordem maior podem ser usados para suavizar as curvas de aceleração da tarefa.

Conclusão Conclui-se que os resultados satisfatórios foram alcançados pela programação correta da cinemática inversa para este manipulador. A cinemática inversa num projeto da estrutura do manipulador, no planejamento de trajetórias e na detecção de singularidades e outras instabilidades, é de extrema importância. Neste trabalho, pode-se compreender e aprimorar a programação e a interpretação da cinemática inversa ligada ao planejamento de trajetória. Polinômios de ordem maior podem suavizar efeitos indesejáveis encontrados na velocidade e na aceleração no planejamento de trajetórias. O planejamento de trajetórias constitui uma das partes

mais importantes de um projeto na atividade que um manipulador venha a exercer de acordo com a tarefa requerida.

Bibliografia Craig, J. J. (2005). Introduction to robotics mechanics and control. Saddle River, NJ, United States of America: Pearson Education International. Niku, S. B. (2013). Introdução a robótica. Rio de Janeiro: LTC. Pinto, D., & Morgado, M. (2000). Cálculo diferencial e integral de funções de várias variáveis. Rio de Janeiro: UFRJ.