Possibilidades e limites do Laboratório de Ensino da Matemática no Ensino Médio

FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO – PEDAGÓGICA TURMA – PDE /2014 TÍTULO: Possibilidades e limites do Laboratório de Ensino da Matemática no Ensino Médio Autor Luciana Kelnihar Disciplina/Área (ingresso no PDE) Matemática Escola de Núcleo Regional de Educação de Pitanga implementação do Pitanga/PR projeto e sua localização Município da escola Pitanga/PR Núcleo Regional de Pitanga/PR Educação Orientador Profª. Ms. Maria Regina Carvalho Macieira Lopes Instituição de Ensino UNICENTRO Superior Guarapuava/PR Produção DidáticoUnidade Didática Pedagógica Público alvo Professores de Matemática Localização Núcleo Regional de Educação de Pitanga Apresentação A presente produção didática tem como principal objetivo mostrar aos professores da rede estadual de ensino a importância, possibilidades e limites do uso do Laboratório de Ensino da Matemática no Ensino Médio. Pretende-se desenvolver com os docentes, atividades de construção e a elaboração de materiais didáticos como sólidos, figuras, quebra-cabeças, jogos, textos, imagens, entre outros. Espera-se que os professores avaliem a utilização do laboratório como uma possibilidade pedagógica de desenvolver no aluno a curiosidade e o gosto de aprender matemática, além de estimular a compreensão de conceitos por meio da investigação matemática. Palavras-chave

Laboratório de Matemática; Investigação Matemática.

Ensino

Médio;

APRESENTAÇÃO

Esta Unidade Didática está sendo desenvolvida para cumprir uma das exigências do Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que busca a reflexão e estudo dos professores da Rede Estadual de Ensino do Paraná, cumprindo assim com as Diretrizes Curriculares da Educação Básica de Matemática (2008) que propõe, ―um professor interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir sobre sua prática para tornar-se um educador matemático e um pesquisador em contínua formação‖. Considerando o argumento acima e, tendo em vista que no ensino da matemática, observa-se que os alunos apresentam dificuldades em entender e relacionar os conteúdos estudados em sala de aula com seu contexto de vida surge à necessidade de buscar novas alternativas. Portanto, o presente trabalho propõe mostrar a importância do uso do Laboratório de Ensino de Matemática no Ensino Médio – suas possibilidades e seus limites. O laboratório deve ser um lugar próprio, uma sala com todos os materiais necessários que podem ser utilizados por alunos e professores. É o professor que deverá escolher qual o ambiente é mais adequado ao que pretende por em prática. Com tudo isso, não é necessário estabelecer um único padrão para todas as escolas. Cada uma pode adotar o seu próprio esquema, segundo as suas condições, mantendo a idéia básica de transformar o laboratório na continuação da sala de aula. O espaço físico para a realização das atividades deste laboratório, portanto, é definido como: Uma sala-ambiente para estruturar, organizar, planejar e fazer acontecer o pensar matemático, é um espaço para facilitar, tanto ao aluno

como

ao

professor,

questionar,

conjecturar,

procurar,

experimentar, analisar e concluir, enfim, aprender e principalmente aprender a aprender (LORENZATO, 2006, p.7).

A implementação da unidade didática será realizada junto aos professores da rede estadual do município de Pitanga, ato o qual acontecerá com a construção e utilização de materiais didáticos para Ensino Médio. O objetivo é construir e aprender a utilizar materiais didáticos no Ensino Médio

visando explorar os conteúdos: Função Exponencial, Sequências, Progressão Aritmética e Geométrica, Geometria Fractal e não-euclidiana, entre outros conteúdos. Para a apresentação dos materiais, teremos a explanação dos objetivos do uso de cada um, acompanhado de seus conteúdos e seu correto manuseio e aplicabilidade. Isto será muito importante para que o professor participante não seja um mero ouvinte, e sim participe de todo o processo. Acredita-se que o assunto abordado nesta proposta será de grande valia para os professores, e que, a aplicação de algumas das possibilidades que o Laboratório de Ensino de Matemática pode oferecer, ajudará muito nas aulas. Observa-se ainda que a construção do LEM não é objetivo a ser atingido a curto prazo, ou seja, ele exigirá constante complementação, bem como, exigirá que o professor mantenha-se sempre atualizado. Enfatiza-se que essa unidade didática está sendo elaborado com objetivo de auxiliar os professores da Rede de Ensino do Estado do Paraná a trabalharem com o Laboratório de Ensino da Matemática como uma alternativa pedagógica.

Temática 1

Torre de Hanói aplicada na Matemática do Ensino Médio Conteúdo Estruturante: Funções Conteúdo Básico: Função Exponencial Progressão Geométrica Objetivos: 

Utilizar o jogo de estratégia para explorar o raciocínio lógico e a resolução de problemas;



Encontrar a relação algébrica que fornece o menor número de jogadas necessárias para resolver o jogo;



Explorar os conceitos matemáticos relativos a Progressões Geométricas e Funções Exponenciais, que estão intimamente ligadas às regras do jogo, proporcionando um contato inicial com os mesmos;



Induzir os alunos a perceberem as leis matemáticas.

Série: 1º ano – Ensino Médio Um pouco de história

O jogo Torre de Hanói foi inventado em 1883 pelo matemático francês Edouard Lucas, que se inspirou em uma lenda sobre a Torre de Brahma. O nome Torres de Hanói foi inspirado na torre, que é um dos símbolos da cidade de Hanói, no Vietnã.

Figura 1 http://thumbs.dreamstime.com/x/embandeire-torre-hanoi-vietnam-28745303.jpg

Existem várias lendas que dizem respeito às Torres de Brahma. Uma delas, segundo (FERRERO, 1991; MACHADO, 1992), conta que:

“No tempo de Benares, cidade santa da Índia, sob a cúpula que marcavam o centro do mundo, existia uma bandeja de bronze com três agulhas de diamantes, cada uma de um palmo de altura e da grossura do corpo de uma abelha. Durante a Criação, Deus colocou 64 discos de ouro puro em uma das agulhas, o maior deles imediatamente acima da bandeja e os demais, cada vez menores, por cima. Esta torre foi chamada de Torre de Brahma. Dia e noite os sacerdotes trocavam os discos de uma agulha para outra, de acordo com as leis imutáveis de Brahma. Essa lei dizia que o sacerdote do turno não poderia mover mais de um disco por vez, e que o disco fosse colocado na outra agulha, de maneira que o debaixo nunca fosse menor do que o de cima. Quando todos os 64 discos tivessem sido transferidos da agulha colocada por Deus no dia da Criação para outra agulha, o mundo deixaria de existir. Dizem os sábios que o mundo foi criado há 4 bilhões de anos aproximadamente e os monges, desde a criação, estão movendo os discos na razão de 1 disco por segundo”. Será que veremos o mundo acabar?

Fonte: http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf

Curiosidades... 

A lenda do jogo xadrez é super interessante quando se faz o uso do jogo Torre de Hanói em sala de aula para abordar conceitos matemáticos relativos a Progressões Geométricas e Funções Exponenciais:

A lenda do jogo de Xadrez “Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou a seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro. Conta-se que o imperador ficou estupefato, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante! Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...”. Quanto grão de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez? Resolução:

S64 = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 262 + 263 S64 = 1 + 2 (1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 262) ora, 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 262 = S64 - 263

onde,

S64 = 1 + 2 (S64 - 263) ↔ S64 = 1 + 2 S64 - 264 ↔ S64 = 264 - 1 ou seja: 18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!! Fonte: WWW.casadasciencias.org/.../v2_Progressões%20geométricas.pptx

Fonte: http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOSTA.pdf

Você sabia que ...???

 ... a função exponencial é uma das funções matemáticas mais úteis e poderosas em estudos ambientais? Ela é aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações e das suas necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas como a acumulação de poluentes e ainda no crescimento financeiro e suas ações.  ... os psicólogos desenvolveram uma fórmula chamada modelo de aprendizagem? Esse modelo relaciona o número n de símbolos que uma pessoa pode memorizar num determinado tempo t (em minutos). O gráfico da função obtida com a aplicação dessa fórmula é chamada de Curva de Gompertz, expressa por N= C. Akt , em que A, C e K são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de organizações.  ... no decaimento radioativo,

utilizamos uma função do tipo

exponencial? A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis em geral são grandes e, por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo na qual metade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para um mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P a quantidade de material radioativo reduz-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo com a quantidade inicial por meio de uma função do tipo exponencial: N(t) =N0 .

, em que N 0 é a quantidade inicial de material radioativo, t é o tempo decorrido e P é o valor da meia-vida do material radioativo considerado.  ... que a exponencial permite aos cientistas determinarem a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo de madeira? O carbono 14 (14C) forma-se no ar atmosférico quando nêutrons de raios cósmicos colidem com núcleos de nitrogênio. O carbono 14 reage com o oxigênio do ar formando gás carbônico radioativo (CO 2), que é absorvido pelos vegetais por meio da fotossíntese, e pelos animais da através da ingestão direta ou indireta de vegetais. Dessa forma, a quantidade de carbono 14 existente nos tecidos vegetais e animais vivos é praticamente constante. Ao mesmo tempo em que o carbono é absorvido pela alimentação, ele também diminui devido à sua desintegração. Assim, quando um ser morre, a quantidade de carbono 14 nele contida começa a diminuir, a medida que o ser não mais o absorve e ele vai se desintegrando. O período de meia vida do carbono 14 (tempo necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por essa substância) é de aproximadamente 5730 anos. Os cientistas conseguem determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo de madeira (com idade inferior a 40000 anos) a partir da relação entre a quantidade de

14

C restante e a quantidade existente numa

espécie semelhante atual. Para o cálculo de períodos maiores, o melhor é o urânio 238, que desintegra muito devagar, transformando-se em chumbo 206. As rochas mais antigas são as que contém maiores proporções de chumbo. De maneira geral, supondo um corpo de massa M0 formado por uma substância radioativa cuja taxa de desintegração é α, sua massa M, após um tempo t (em anos) de desintegração, é dada por: M = M0. e-αt Em que α = ln2/t0 e t0 é a meia vida da substância. Fonte: Matemática completa, Vol. 1, pág. 277

Estou em dúvida...

O que é exatamente a Torre de Hanói?

É um jogo individual, que consiste em uma base normalmente de madeira com três pinos alinhados e na vertical. A Torre é formada por discos (varia a quantidade), sendo o da base o maior e o tamanho decresce a cada novo disco.

Figura 2

Atividades

1.1 Confeccionando a torre

Desenvolvimento da atividade A ideia central dessa proposta é tratar do estudo de padrões algébricos que regem o jogo, propondo ao professor desenvolver junto ao seu aluno argumentações referentes à validação desses padrões. Isso permitirá ao docente facilitar a participação dos alunos na construção do conhecimento. Porquanto este experimento, então, propicia a oportunidade de tratar esse assunto, o que pretendemos desenvolver sem muito formalismo e construir um ambiente favorável para uma aprendizagem prazerosa e desafiadora.  Material necessário: Placa de isopor de 15 mm; placa de isopor de 20 mm; compasso; estilete; varetas de churrasco; tinta guache de várias cores; cola; régua.

 Procedimento:  Com o isopor de 15 mm, construir 5 discos, de raios 3,0 cm, 3,5 cm, 4,0 cm, 4,5 cm e 5,0 cm. Depois, devem pintá-los de cores diferentes.  Fazer uma placa de 40 cm x 12 cm com o isopor de 20 mm e fixar nela, de maneira alinhada, as três varetas de churrasco.  Encaixar os discos no primeiro pino, em ordem decrescente de tamanho.

Figura 3

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Divida a classe em grupos de no máximo 3 alunos para realizar a atividade. Regra do jogo Alguns discos formam uma torre no primeiro pino (discos maiores ficam sob os menores). O jogo consiste em transferir toda essa torre para o último pino utilizando o do meio como auxiliar, movendo apenas um disco de cada vez e nunca colocando um disco maior sobre um menor. Dica: Deixar que explorem bem o jogo e aos poucos introduzir idéias matemáticas.

Obviamente

terão

dificuldade

em

jogar,

principalmente se nunca tiverem tido contato com esse jogo, sugerir, portanto

que

gradualmente.

iniciem

Colocando em prática...

com

menos

peças

e

vão

aumentando

Atividade 1 – Progressão Geométrica

Deve-se construir uma tabela auxiliar relacionando o número de peças como número mínimo de movimentos necessários para o transporte. Primeiro com uma peça, pedir qual o número mínimo de movimentos necessários para transportar a torre para o terceiro pino. Fazer o mesmo com duas peças, depois com três e quatro. Um dos participantes pode contar os movimentos e observar as regras enquanto o outro joga e inverter os papéis a cada peça adicionada. Eles podem encontrar o menor número de movimentos para transferir a torre de um pino a outro, bem como uma regularidade entre as jogadas, obtendo uma solução para um número qualquer de discos.

Quantidade de discos das torres 1

Quantidade de movimentos de cada peça

Total de movimentos

Pç 1

Pç 2

Pç 3

Pç 4

Pç 5

Pç 6

1

0

0

0

0

0

1

2

2

1

0

0

0

0

3

3

4

2

1

0

0

0

7

4

8

4

2

1

0

0

15

5

16

8

4

2

1

0

31

6

32

16

8

4

2

1

63

Tabela 1



Questionamentos:

a) O número de movimentos é alterado quando a torre é transportada para o outro pino? b) Se na tabela acrescentamos mais uma peça à torre (agora serão 7), em quanto aumentará o número de movimentos? c) Existe alguma relação matemática entre o número mínimo de jogadas necessárias para transportar uma torre, e o número necessário para transportar a torre acrescida de uma peça? d) Existe alguma relação entre estes números e o que ocorre no jogo?

e) Você utiliza alguma idéia matemática para escolher suas jogadas? Em caso afirmativo, qual, ou quais? Como você mobiliza essas idéias? OBS.: Nessa altura os discentes já deverão ter percebido algumas estratégias para se vencer com o mínimo de movimentos possíveis. Se não tiverem percebido fazer com que observem por qual pino se deve começar quando o número de peças é par e quando o número de peças é impar, questioná-los quanto a esse fato.



Estratégia de vitória

Descrever a estratégia de vitória em termos de estabelecer uma seqüência de transporte de modo que para se retirar cada peça da torre original, possa montar a subtorre acima dela em um único pino para então deslocar a referida peça para o outro pino.

Figura 7

Sugerir que os alunos observem a tabela em especial às colunas Pç 1, Pç 2, Pç 3, Pç 4, Pç 6, e questioná-los: o que podemos notar nessas colunas em seguida nas linhas? É evidente que os termos das linhas estão decrescendo em razão dois (q = 2). Podemos dizer que o termo seguinte é a metade do anterior. Notamos também que o total mínimo de movimentos para cada quantidade de peças é a soma dos termos das respectivas linhas (soma de P.G.).

Dessa forma introduz-se o conceito de Progressão Geométrica:

e também o de soma dos termos de uma P.G.:

Atentar para o fato de que toda seqüência que tiver essa lei de formação será denominada progressão geométrica.

Formalizando: Progressão geométrica é uma seqüencia de números não nulos em que cada termo posterior, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo chamado razão da progressão.

OBS.: A quantidade mínima de movimentos das torres com n discos é igual à soma de uma P.G. finita de razão 2, 1º termo igual a 1 e com nº de termos igual ao nº de discos da torre. O nº de movimentos de uma torre com n discos é igual ao dobro de movimentos da torre com (n-1) discos, acrescido de 1 movimento.



Questionamentos:

a) Se ao invés de 6 peças tivermos 7 ou então 9, como é mais comum nesse jogo, qual seria o nº mínimo de movimentos necessários para transportar a torre? b) E se aumentarmos o n° de pinos, por exemplo, mais um pino ou então mais dois, o que muda no jogo? c) Desafiar os alunos a calcular o n° mínimo de movimentos com 64 peças como no problema original de Édouard Lucas. O público alvo desta atividade são alunos do ensino médio, mas outras atividades podem ser adaptadas ao jogo para trabalhos com alunos do fundamental.

Atividade 2 – Função Exponencial Iniciar a atividade fazendo o registro das jogadas nas tabelas.

A tabela 1 relaciona o número de discos na primeira torre com o número de movimentos para finalizar o jogo. Por exemplo, poderiam ser obtidos os seguintes resultados, sendo a 1ª coluna (n) é o número de discos, a última é o número mínimo de movimentos (Jn) que os grupos encontraram, e as demais o número de jogada que cada grupo conseguiu com determinados número de discos: n

Grupo 1

Grupo 2

...

Grupo x

Número mínimo de movimentos Jn

1

1

1

...

1

1

2

3

8

...

5

3

3

9

15

...

9

7

4

27

18

...

15

15

5

47

56

...

62

31

...

...

...

...

...

...

Tabela 1

A tabela 2 deve ser feita na lousa e conter o registro dos grupos, para socialização dos resultados. n

Jn

1

1

2

3

3

7

4

15

5

31

6

...

....

....

Tabela 2: Primeira e ultimas colunas da Tabela 1

Não deixar de fazer uma análise desses resultados, pois, nesta etapa, o objetivo é a alcançar a solução do desafio utilizando o número mínimo de movimentos para cada número de discos escolhidos, ou seja, encontrar uma relação algébrica entre o número mínimo de jogadas e o número de discos em cada jogada, e esta que seja válida para qualquer quantidade de discos. Incentivar os grupos a tentarem encontrar essa relação, analisando a tabela na

lousa e levantado discussões a respeito dela. Caso o objetivo não seja atingido após o tempo determinado para a tarefa, oriente-os com questionamentos e sugestões.  Questionamentos: a) Qual será o próximo número mínimo? b) Como determinar uma lei que relacione os termos e o número mínimo de movimentos, para qualquer número natural?

Mas e ai ...

Como resolver o problema com discos?

Finalmente, o desafio é encontrar uma relação entre o número de discos e o número mínimo de movimentos necessários para se transferir todos os discos do primeiro pino para o último, obedecendo às regras básicas já mencionadas. Observando a tabela 2, podemos notar que na última coluna estão os números mínimos de movimentos necessários em cada jogada. Ou seja, aparecem os primeiros termos da seqüência (Jn) de números naturais 1, 3, 7, 15, 31, ... . Pelo experimento, analisando as jogadas detalhadamente, chegamos à seguinte relação: Jn = 2. Jn-1 + 1. Essa expressão, como o nome sugere, relaciona o n-ésimo termo Jn da sequência com o seu antecessor Jn-1 . Na ilustração a seguir, a situação está representada em um gráfico n x Jn para os primeiros números naturais.

Fig. 3 Gráfico contendo os 5 primeiros pares da sequência. Observamos que x

este gráfico pode ser visto como a restrição, aos números naturais, da função exponencial f(x) = 2 – 1.

O objetivo agora que os grupos cheguem à relação: Jn = 2n – 1 por meio de análise da tabela, pela observação da sequência numérica (Jn) resultada ou

até mesmo pela relação encontrada anteriormente. Se necessário, sugira aos grupos que considerem a sequência na qual cada um de seus termos é dado pelo termo correspondente da sequência (Jn) mais o número 1 , ou seja, 2, 4, 8, 16, 32, ... e escrevam cada um de seus termos como uma potência de 2. Feito isso, peça que escrevam cada um dos termos da sequência (Jn) como uma potência de menos, chegando a escrever os primeiros termos como: 20 – 1, 21 – 1, 22 – 1, 23 – 1, 24 – 1, 25 – 1. Com isso, esperamos que os grupos consigam observar e conjecturar que o n-ésimo termo da sequência é dado por Jn = 2 n – 1 . Diante disso questionamos: ―Será que de fato o número mínimo de movimentos necessários para finalizar o jogo com uma torre de 105 discos é Jn = 2105 – 1? E com 1000 discos, quantos movimentos são necessários?‖ Na impossibilidade de realizar o experimento e verificar que é válido para cada um dos números naturais de modo direto, precisamos de um método para argumentar e mostrar que a fórmula Jn = 2n – 1 é válida para todo número natural n, ou seja, precisamos validar essa conjectura utilizando algum método de demonstração. Neste caso é apropriado utilizar o Princípio de Indução Matemática: Princípio da Indução Matemática Dado um subconjunto S do conjunto dos números naturais N, tal que 1pertence a S e, sempre que um número n pertence a S, seu sucessor n+1 também pertence a S, temos que S = N, ou seja, todo número natural pertence a S.

Pelo Diagrama de Venn:

N S

.1 3. .2

Esse princípio fornece uma poderosa técnica de demonstração em matemática: a demonstração por indução. Com ele, podemos demonstrar que

o número mínimo de movimentos necessários para finalizar o jogo com uma torre de n discos é Jn = 2n – 1 . De fato, considerando S o conjunto dos números naturais N para os quais Jn = 2n – 1, temos:  1 ϵ S, pois J1 = 1 = 21 – 1;  Supondo que n ϵ S, isto é, que Jn = 2n – 1, vamos provar que n + 1 ϵ S, ou seja, que Jn+1 = 2n+1 – 1.

1. J1 = 21 – 1= 1 2. Jn = 2n – 1 3. Jn+1 = 2n+1 – 1 4. Jn+1 = 2 . J n + 1 5. Da relação anterior trocar: Jn por 2n – 1 (relação 2) Jn+1 = 2 . J n + 1 Jn+1 = 2 . ( 2n – 1) + 1 resolvendo: Jn+1 = 2 . 2n – 2 + 1 Jn+1 = 2 . 2n – 1 Aplicando a propriedade da multiplicação de potência de mesma base, portanto:

Jn+1 = 2n+1 – 1

Logo, Jn+1 = 2n+1 – 1, isto é, n + 1 ϵ S. Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática, S = N, ou seja, a fórmula Jn = 2n – 1 é válida para todo número natural n.

Sobre a sequência: 2n – 1 Variando o número de discos n = 1, 2, 3, 4, 5, ..., obtemos o número mínimo de movimentos em cada jogada Jn = 1, 3, 7, 15, 31, ..., respectivamente, ou seja, obtemos a seqüência (Jn) = (2n – 1). Observe que é uma sequência que pode ser vista como sendo consequência da sequência (2n), da qual subtraímos 1 de cada um de seus termos. Assim, o conhecimento da seqüência (2n), que é uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 20 = 1, razão 2 e termo geral igual a 2n, pode auxiliar na interpretação e

entendimento do que acontece com o número mínimo de jogadas quando aumentamos o número de discos. Desse modo, esse experimento pode ser visto como uma motivação para o estudo de progressões geométricas. Também, os números mínimos de movimentos 1, 3, 7, 15, 31, ... são os valores assumidos nos números naturais pela função

f(x) = 2x – 1, cujo

domínio é o conjunto dos números reais. Assim, o conhecimento do comportamento e do gráfico da função exponencial 2x, ou seja, f(x) = 2x– 1, fornece informações importantes para uma interpretação do que acontece com o número mínimo de movimentos necessários quando aumentamos cada vez mais o número de discos na torre. Da mesma forma, observamos que progressões geométricas podem ser vistas como restrições de funções exponenciais em que o domínio é o conjunto dos números naturais. Assim, é pertinente olhar esse experimento como uma motivação para abordar características e comportamentos de gráficos de funções exponenciais.

Saiba um pouco mais

Vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=egDMknOIK7g

Referências: BAIRRAL, Marcelo Almeida. Movendo discos, construindo torres e matematizando com futuros professores. Publicado no Boletim GEPEM n. 38, pp. 95-110, fev/2001 http://www.m3.ime.unicamp.br/dl/1JgeTyTA0_MDA_d2999_ 12/09/2014

Acessado

em

http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/2ALEXANDREDACOST A.pdf Acessado em 15/09/2014 http://www.casadasciencias.org/.../v2_Progressões%20geométricas.pptx Acessado em 16/10/2014 https://joaquimprofessor.files.wordpress.com/2011/05/04-func3a7c3a3oexponencial2.pdf Acessado em 05/10/2014 LORENZATO, S. Laboratório de Ensino de matemática e materiais manipuláveis. In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de professores) Bonjorno, José Roberto, José Ruy Giovanni. Matemática completa. – 2. Ed.

renov. – São Paulo: FTD, 2005. – (Coleção matemática completa) PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008

Temática 2

Sequência Numérica Conteúdo Estruturante: Funções Conteúdo Básico: Sequências numéricas Objetivos: 

Identificar regularidades em seqüência e expressá-las por meio da linguagem algébrica;



Estimular o raciocínio lógico;



Formular conjecturas, levantar hipóteses e realizar testes;



Conheça os conceitos básicos da Geometria dos Fractais;



Compreenda a necessidade das geometrias não-euclediana para o avanço das teorias científicas.

Série: 1º ano – Ensino Médio

Contextualizando...

Ao longo da vida estamos o tempo todo rodeados de fenômenos da natureza e, se prestarmos atenção, vamos nos surpreender com sua regularidade. Sendo objeto da matemática justamente o estudo dessa regularidade, à medida que se constata a ver um padrão de comportamento comum a diferenças situações fenomênicas, a pesquisa é desenvolvida e as descobertas ampliadas.

Assim, esses padrões são transformados em

representações numéricas, que são a expressão da Matemática. Os babilônios observavam os fenômenos da natureza e eram capazes de registrarem suas observações sobre a movimentação das estrelas, de modo que puderam estabelecer técnicas de plantio que decorreram dessas observações. Estudando as formas encontradas na natureza o homem percebeu padrões de regularidades com as abelhas, por exemplo, e compreendeu que o formato dos favos de mel é muito bom para guardar objetos com grande economia de espaço.

Observe, por exemplo, o formato das flores, a quantidade de pétalas que elas contêm o desenho que aparece nas frutas quando são cobertas transversal ou longitudinalmente, ou os gomos da casca do abacaxi elementos da natureza que estão à nossa volta. Você perceberá, no mínimo, que há uma disposição tão perfeitamente simétrica que não conseguirá ficar indiferente. Há outros exemplos de sequência presentes em diversos fenômenos da natureza, por exemplo: no crescimento das plantas, nas ondas do oceano, nas espirais das galáxias, nas carapaças de caracóis, nos chifres dos animais e no número de descendentes numa família de coelhos, entre outros. As sequência numéricas podem se apresentar por meio de formações diferentes, e muitas delas são tão familiares ao nosso raciocínio que intuitivamente as determinamos. Fonte: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. pg 292 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005.

Curiosidades... Sequência de Lucas Quando se estuda a organização dos ―seres vivos‖, em algumas áreas da Biologia, como a botânica e a zoologia, percebe-se que é comum a forma pentagonal. Nas flores, por exemplo, observa-se que os números de pétalas, na maioria das vezes, correspondem a um dos termos da sequência de Fibonacci que é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...; no entanto, o Lírio apresenta 6 pétalas sendo uma exceção à regra. Por outro lado, a Fúcsia que apresenta 4 pétalas e o famoso Trevo da Sorte que tem 4 folhas, podem ser inseridos em outra sequência, a de Lucas: 1, 3, 4, 7, 11, ... François Edouard Anatole Lucas (1842 – 1891), matemático francês, conhecido pelos seus resultados na Teoria dos Números, em particular estudou a sucessão de Fibonacci e a associada sucessão de Lucas, assim nomeada em sua honra. Lucas também criou métodos para testar a primalidade de números. Fonte: A beleza das formas, Daisy Maria Rodrigues , pg. 138– SEED

Filotaxia

O padrão de distribuição das folhas ao longo do caule das plantas é chamado filotaxia. De acordo com esse padrão, os ramos e as folhas das plantas distribuem-se buscando sempre receber o máximo de luz. Essa distribuição é um dos inúmeros fenômenos que apresentam o padrão conhecido como sequência de Fibonacci. Fibonacci é um nome pelo qual o matemático Leonardo Pisano ( ou Leonardo de Pisa) ficou conhecido. Nascido em Pisa (famoso por sua torre inclinada, na Itália) viveu na Idade Média (1170 – 1250) e contribuiu para o desenvolvimento da matemática com diversas pesquisas, como a sistematização dos algarismos arábicos em substituição à numeração romana, a publicação do Liber Abaci (Livro do Ábaco) e a descoberta da sequência referida acima. Mágicas utilizando cartas e o conhecimento matemático A utilização de jogos e materiais lúdicos nas aulas de matemática tem se mostrado bastante útil na fixação e compreensão de conteúdos, além de torná-las mais atrativas. Partindo desse contexto, podemos pensar nas mágicas com cartas de baralho como uma ferramenta para instigar a curiosidade dos nossos alunos na descoberta de como é possível a realização de tal feito e onde está a matemática nesse universo. Grandes números das mágicas são feitas com cartas utilizam propriedades e padrões matemáticos. Para saber mais acesse: http:// educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/magicas-utilizandocartas-conhecimento-matematico.htm

Fractais e a natureza Os fractais naturais também são conhecidos como pseudo–fractais. Possuem estrutura auto-similar ao longo de um prolongamento finito, ou seja, uma pequena parte de um fractal natural é semelhante ao todo, mas não é idêntica... São considerados pseudo-fractais as árvores, samambaias, brócolis, couve-flor, raios. Deve – se lembrar que os fractais naturais são considerados falsos por apresentarem dimensão limitada.

Figura 8

Figura 9

Fontes: - texto: http://tcconline.utp.br/wp-content/uploads/2012/07/FRACTAIS-NA-SALA-DE-AULA.pdf

- couve-flor: http://pixabay.com/static/uploads/photo/2010/12/16/01/46/romanesko-3469_640.jpg - raios: http://www.cosmoconsultoria.com.br/servicos/para-raios/imagens/para-raios.jpg

A lenda do quadrado mágico Chamamos de quadrado mágico toda tabela de forma quadrada, contendo sequência de números, dispostos de tal forma que a soma dos elementos de uma linha, coluna ou diagonal seja constante. Existe uma lenda chinesa que diz o seguinte:

Figura 10

“Na China, vivia o imperador Yu, que governava o reinado de “Flowery”. Um dia, quando caminhava próximo ao rio Amarelo, o imperador viu uma tartaruga em seu caminho e começou a examinar o seu casco. Observou que este era dividido de tal maneira a formar linhas e colunas, e cada “casa” formada continha pontos. Ele começou a contar os pontos: primeiro aqueles da coluna da direita, os próximos foram os da coluna do centro, e por último os da esquerda. Todas as colunas continham o mesmo número de pontos! Fez o mesmo com as linhas e as diagonais. Qual foi o seu espanto quando observou que a soma era a mesma! As notícias da tartaruga saíram da corte do imperador, chegando às terras além do seu reinado. Maravilhados, concluíram que este arranjamento de pontos tinha um significado místico. Então o Io-shu, como foi chamado o quadrado mágico, começou a aparecer em pedras mágicas com formas parecidas com as figuras.” Fonte: http://www.educacaopublica.rj.gov.br/oficinas/matematica/quadrado/04.html. Acessado em 20/11/2014

Você sabia que ...???



...a aranha constrói sua teia utilizando padrões matemáticos? A teia de aranha, utilizada como meio de ataque e defesa possui

formatos padronizados. Esses formatos são determinados pela herança genética, sendo a mais comum a espiral. A construção começa com a moldura. Nela são presos os fios que se cruzam no centro. Sobre esses fios, que são a base dessa construção, é traçada uma espiral provisória de dentro para fora, em seguida, substituída por uma espiral viscosa, de fora para dentro. Fonte: A beleza das formas, Daisy Maria Rodrigues , pg. 136 – SEED



...nas ciências médicas e biológicas podemos encontrar a geometria

fractal? Encontramos diversos exemplos que podem ser modelados através da geometria fractal. Como exemplo, na fisiologia animal, as ramificações pulmonares, veias e artérias seguem padrões de ramificações, que são bem representados por fractais. Um ritmo cardíaco, apesar de aparentemente constante, tem variações aleatórias, porém, identificaram-se padrões fractais nessas variações em diferentes escalas. A análise de imagens no diagnóstico precoce de câncer e do Mal de Alzheimer pode ser feita através de modelagem utilizando-se os fractais. 

... a estética dos dentes está associada a razão áurea? Um exemplo curioso em relação à aplicação da razão áurea está na

estética odontológica. A razão áurea é utilizada como base para dentes esteticamente perfeitos. Uma de várias aplicações da razão áurea consiste em, os dentes estarem inscritos em um retângulo áureo. Assim, dada a largura ou a altura dos dentes podem-se fazer cortes para alinhar a gengiva ou por meio de aparelhos

ortodônticos aproximarem os dentes a fim de inscrevê-los em um retângulo áureo. Fonte: http://bit.profmatsbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/538/2011_00439_NATALIA_DE_CARVAL HO_DE_AZEVEDO.pdf?sequence=1. Acessado em 25/11/2014

Atividades

1. Sequências

Em muitas situações da vida diária aparece a ideia de sequência ou sucessão. Assim, por exemplo, temos sequência dos:  dias de semana;  meses do ano;  números naturais;  anos a partir de 1990, nas quais a copa do Mundo de Futebol é realizada. Em todas essas situações observamos certa ordem nos elementos da sequência. Esses elementos são também chamados termos da sequência ou sucessão.

Estou em dúvida... Mas qual a definição de sequência?

Uma sequência finita de n termos é uma função cujo domínio é o conjunto numérico {1, 2, 3,..., n}. Uma sequência infinita é uma função f cujo domínio é IN* = {1, 2, 3,..., n,...}. Fonte: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. pg 135 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005.

Sugestão 1: Investigando os padrões

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Grupos de 4 alunos.  Materiais: 60 Cubos de madeira 3 cm x 3cm x 3cm (pode ser utilizado os cubos do material dourado), tinta guache vermelha, verde, amarela e azul, pincel, folha de atividade (fig. 5);  Procedimentos: 

Pintar os cubos com a tinta guache (fig.4);

Figura 11

Colocando em prática... 

Com o auxílio dos cubos disponíveis, dobre e triplique todas as dimensões (comprimento, largura e altura). Faça o desenho da figura ―montada‖ e calcule: a) Perímetro do topo (vista superior) b) área do topo (vista superior) c) área da superfície d) volume

Figura 12

O objetivo dessa atividade é demonstrar através de uma investigação, que há uma regularidade no perímetro, área e volume das figuras. O uso de cubinhos unitários permite a participação ativa dos alunos pela manipulação dos objetos. Além disso, o modelo concreto auxilia o desenvolvimento do raciocínio espacial, uma vez que seu uso aproxima significativamente o modelo representativo do espaço tridimensional propriamente dito.

Figura 13

Figura

14

Figura 15

Figura 16

Explicando.... ... o perímetro do topo dobra e triplica, à medida que a figura for dobrada e triplicada, respectivamente.

Dica: Após a realização de cálculos dos perímetros do topo e dos volumes das diferentes figuras, percebe-se: a área do topo da figura era multiplicada por 22, quando as dimensões da figura foram dobradas, e multiplicadas por 32, quando as dimensões da figura eram triplicadas. No caso do volume, este era multiplicado por 23, quando as dimensões da figura eram dobradas, e multiplicadas por 33, quando as dimensões da figura eram triplicadas.



Dando prosseguimento a investigação de sequência, propomos a realização das seguintes atividades.

1. Os 4 primeiros termos de uma sequência está representado a seguir:

Figura 17

a) Preencha a tabela: Número da figura

Número de pontos

1 2 3 4 5 6 n Tabela 1

Dica: Partir para a generalização, obtendo a relação existente entre número da figura e o número de pontos, encontrando a lei de formação da sequência.

b) Explique como são marcados os pontos em cada elemento da sequência a partir do terceiro;

c) Quantos pontos terá a figura 35?

d) Sabendo que a figura tem 439 pontos, qual seu número? 2 - Enem - Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria

fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares. O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos: 1. Comece com um triângulo equilátero – figura 1; 2. Construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias; 3. Posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2; 4. Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 11).

Figura 18

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da seqüência apresentada acima é:

Figura 19

Fonte: http://vestibular.brasilescola.com/enem/prova-amarelaquestao-54.htm.

Acessado em 25/11/2014

3 – Observe as três primeiras figuras de uma sequência

Figura 20

Se as figuras são formadas com palitos de fósforos e seguem a mesma lei de formação, quantos deles são necessários para construir, ao mesmo tempo, as 50 primeiras figuras dessa sequência? 4 – (Unifor – CE – 2008) A sucessão de figuras abaixo apresenta a disposição das árvores frutíferas plantadas no pomar do sítio de Dona Zefa, observada nos meses de dezembro dos anos indicados.

Figura 21

1989

1990

1991

Se foi mantido o padrão na disposição do plantio das árvores, então Dona Zefa atingiu a meta de ter 272 árvores plantadas em seu pomar em dezembro de: (A) 2006

(B) 2005

(C) 2004

(D) 2003

(E) 2002

5- Observe a ―serpente‖ abaixo, formada por semicircunferências. O raio de cada semicircunferência, a partir da segunda, é a metade do raio da anterior.

Figura 22

a) Qual será o comprimento dessa ―serpente‖ quando ela tiver 8 semicircunferências? b) Se a ―serpente‖ tiver infinitas semicircunferências, qual será o seu comprimento? c) Qual a importância dessa figura nesse problema? Sugestão 2: Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci, consiste em uma sequência de números que começa por 1 e 1, sendo, daí por diante, cada número determinado pela soma dos dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ... Essa sequência recebe esse nome por ter sido elaborada pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci (1175 – 1250), também conhecido como Leonardo de Pisa. Diversos fenômenos da natureza, como número de segmentos da superfície de uma pinha e de sementes que formam o miolo de um girassol, podem ser representados por esses números. Uma propriedade interessante dessa sequência é que a partir do segundo termo, ao dividirmos um termo qualquer pelo imediatamente anterior a ele, obtemos valores aproximados para o número irracional ɸ, sendo ɸ = 1, 611803... Em 1202, Fibonacci apresentou em seu livro Liber Abaci o problema que o consagrou. Ele considerou, no período de um ano, um cenário hipotético para a reprodução de coelhos, demonstrando que tal situação ficava esclarecida por uma sequência, como mostraremos na atividade a seguir.

Fonte: Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática/ Joamir Roberto de Souza. - - 1. ed. - - São Paulo: FTD, 2010. - - (Coleção novo olhar; v. 1) pg. 35 (texto adaptado)

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Grupos de 4 alunos.  Materiais: Papel cartão, lápis de cor, tesoura, cola, modelo em de coelhos ( anexo 1);  Procedimentos: 

Propor aos alunos que confeccionem casais de coelho, conforme modelo em anexo:

Figura 23

Figura 24

 realizar a experimentação a seguir para comprovar o problema relacionado abaixo. Colocando em prática... 1- No século XIII, o matemático Leonardo de Pisa, cujo apelido era Fibonacci, visitou uma fazenda onde havia uma criação de coelhos e pôs-se a refletir sobre a reprodução rápida desses animais:

Admitindo-se que cada casal de coelhos só procrie pela primeira vez aos dois meses, exatamente após o seu nascimento e que a partir de então gere um casal a cada mês, quantos casais haverá ao final de doze meses, partindo-se de um único casal de coelhos recém nascidos?

Figura 25



Supondo que não ocorreriam mortes, complete a tabela abaixo:

Mês Número de casais

1°

2°

3°

4°

5°

6°

7°

tabela 2

Dica: Para preencher essa tabela o professor, juntamente com seus alunos, deverá ir fixando na lousa os coelhos confeccionados a fim de comprovarem a veracidade dos fatos.

Explicando... ...esses números que representam a quantidade de casais formam uma sequência que é denominada a Sequência de Fibonacci.



Agora, determine quantos casais existiram no 12° mês.

Sugestão 3: Número de ouro O ―número de ouro‖ dos gregos, símbolo da harmonia e da beleza, é um dos mais famosos exemplares desse novo tipo de número. Representado por , corresponde, na forma decimal, ao número 1,61803398... . Está presente em diversos elementos da Natureza – forma de crescimento das plantas e dos demais seres vivos, presas dos elefantes, escamas dos peixes, cauda do pavão, corpo humano – e em vários campos do conhecimento – Arte, Arquitetura, Música, Literatura. Podemos citar alguns exemplos:

 A fachada do templo grego Parthenon é toda organizada segundo a razão áurea.  Na grande pirâmide de Gizé, no Egito, o quociente entre altura de uma face e a metade do lado da base vale quase 1, 618.  A obra Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, apresenta razão áurea em várias partes.  A proporção entre fêmeas e machos na população das abelhas, em qualquer colméia é áurea.  O pentagrama – estrela regular de cinco pontas – contém uma inumerável quantidade de relações douradas.  O caramujo Nautilus Marinho apresenta a razão áurea em seu corpo segmentado em forma de espiral, chamada espiral de ouro. Pode-se construí-la a partir de retângulos cujos lados estão na razão áurea.

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: fita métrica, tabela 3 (impressa);  Procedimentos: 

Cada dupla deverá fazer as devidas medições a fim de completar a tabela.

Colocando em prática...  Complete a tabela abaixo:

Número de Ouro cm A altura do seu corpo O tamanho de um dedo A medida do ombro à ponta do dedo médio A medida do seu quadril ao chão A medida do cotovelo até a ponta do dedo médio Largura da boca

Razão entre as medidas A medida do umbigo até o chão E a medida da ponta desse dedo até a dobra central E a medida do cotovelo até a ponta desse dedo. E a medida do seu joelho até o chão E a medida do seu pé E uma extremidade

cm

Razão entre as medidas

Altura do seu rosto, desde a ponta do queixo até a raiz dos cabelos Extremidade das sobrancelhas

até a segunda ondulação do lado superior E a altura que vai do arco supraciliar (sobre as sobrancelhas) até a ponta do queixo. E uma extremidade da sobrancelha até a ponta da outra.

Tabela 3



Observe a sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... Ela é chamada de sequência de Fibonacci e é associada ao Número de Ouro. a) Descubra o padrão de formação dessa sequência; b) Efetue sucessivas divisões entre o número da sequência a partir do quinto, e o que o antecede. O que você observa? c) São dados: o corte da concha de um Nautilus, no qual se vêem as câmaras formando a espiral de ouro, e a sequência de retângulos áureos que dão origem a essa espiral. Que relação existe entre a sequência de retângulos e a de Fibonacci?

Explicando: ...se dividirmos cada termo dessa sequência a partir do 21, pelo seu precedente obtemos aproximadamente 1,618, o ―número de ouro‖ dos gregos: 21 : 13 = 1,61538; 34 : 21 = 1,61904; 55 : 34 = 1,61764; ... , etc.

figura 26 Fonte: http://pt.slideshare.net/jordigarrigosa/geometria-sagrada-slides-geometria-sagrada

figura 27

figura 28

Figura 20 -http://ksros.blogspot.com.br/2009/07/o-numero-de-ouro-sequencia-de-fibonacci.html Figura 21- https://aquaticscaper.wordpress.com/2010/04/06/geometria/

Video Fibonacci  http://www.youtube.com/watch?v=QpdlHOGjSaQ  http://www.youtube.com/watch?v=nbF4bw_hpWc

Sugestão 4: Fractal

Estou em dúvida... O que são os Fractais?

Os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas. A origem do termo fractal, nomeado por Mandelbrot, está no radical fractus, proveniente do verbo latino frangere, que quer dizer quebrar, produzir pedaços irregulares; vem da mesma raiz a palavra fragmentar, em português (MOREIRA, 2003). As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os conjuntos fractais são:  Auto-similaridade, que pode ser exata ou estatística, ou seja, mantém a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele);

 Complexidade infinita, isto é, qualquer que seja o número de amplificações de um objeto fractal, nunca obteremos a ―imagem final‖, uma vez que ela poderá continuar a ser infinitamente ampliada.  Irregularidade,

no

sentido

de

rugosidade

(não-suavidade)

ou

fragmentação;  Possuir em geral, dimensão não-inteira. A dimensão fractal quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.

Práticas

4.1. Quebra-cabeça

A construção do quebra-cabeça de uma figura fractal tem como objetivo despertar interesse, motivando o aluno para o assunto. Na realização dessa atividade pretende-se ainda levar ao conhecimento do aluno, alguns tipos de fractais.

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: Papel cartão, papel adesivo transparente, imagem de fractal (anexo 2), cola de bastão, tesoura;  Procedimentos: 

Colar a imagem do fractal sobre o papel cartão;



Colar o papel adesivo transparente sobre a imagem (exemplo foto abaixo);

Figura 29

 Riscar no verso da imagem, sobre o papel cartão, variadas formas de quebra cabeça;  Recortar as peças. Ficará por exemplo, como no modelo abaixo:

Figura 30

Colocando em prática... 

Propor a troca dos quebra cabeça entre os grupos, para que todos tomem conhecimento de outros tipos de fractais.



Questionamentos: a) Quem conhece essas figuras? b) Qual a relação destas figuras com a Matemática? c) Esses

modelos

apresentados

propriedades dos fractais?

4.2. Cartão fractal

4.2.1 Cartão fractal de degraus

Desenvolvimento da atividade

obedecem

às

principais

 Participantes: Grupos de 2 alunos.  Materiais: Papel cartão, cola de bastão, tesoura, papel color set colorido, régua;  Procedimentos: 

Recortar os papéis cartão e color set com dimensões de 20 cm x 16 cm;



Quadricular o papel color set de 1 cm x 1 cm;

figura 31

figura 32



Dobrar a folha ao meio ao longo de sua altura;



Com a folha dobrada ao meio, corte a 4 cm da margem inferior e superior, avançando 5 cm;



figura 33

Dobre um dos retângulos formados para cima, fazendo um vinco na dobra;

ou figura 34

figura 35



Com o papel ainda dobrado, cortar 2 cm da dobra inferior e superior, avançando 2,5 cm;



Dobre um dos retângulos formados para cima, fazendo um vinco na dobra;

figura 36



Com o papel ainda dobrado, cortar 1 cm da dobra inferior e superior, avançando 1,5 cm;



Dobre um dos retângulos formados para cima, fazendo um vinco na dobra;

figura 37

ou

figura 38



Volte o retângulo dobrado para a posição inicial e puxe o centro das figuras em relevo. Neste momento, temos a primeira, a segunda e a terceira iteração do cartão fractal.

figura 39

figura 41

figura 40

figura 42

figura 43

figura 44

figura 45



Para obter mais iterações, repita esse processo enquanto for possível realizar os cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida. Por fim, desdobre os recortes e puxe as figuras em relevo.

Colocando em prática...  Questionamentos: a) Que propriedades dos fractais podemos visualizar no cartão fractal construído? b) Que formas geométricas resultaram dos cortes e dobraduras? c) O que acontece após cada iteração realizada? d) Qual o volume do paralelepípedo da primeira iteração? e) Complete a tabela:

Iteração

Números de paralelepípedos novos

1 2 3 4 ... n Tabela 4

Explicando... ... note que a cada iteração, o número de novos paralelepípedos dobra, porém, em escala menor (paralelepípedos menores). Com isso, podemos concluir que o processo de n construção dos paralelepípedos em cada iteração é descrito pela lei de potência 2 ,

onde n = 0, 1, 2, 3,... é o número da iterações. Identificamos que a cada nova iteração temos um paralelepípedo cercado por 2 novos paralelepípedos. Este valor será denominado fator multiplicador

f) Esse tipo de cartão fractal as propriedades dos fractais? Qual(is)? Justifique.

Explicando... O cartão possui auto-similaridade, ou seja, ele mantém a mesma forma e estrutura sob uma transformação de escala e complexidade infinita. Se fosse possível continuar infinitamente o processo de corte e dobradura no papel, nunca obteríamos o “cartão final”, uma vez que a lei que define o processo de construção poderá continuar a ser aplicada infinitamente Adaptado: www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Poster/.../PO00995663033R.doc

4.2.2 Cartão fractal triângulo de Sierpinski Outro cartão que pode ser explorado é o cartão Triângulo de Sierpinski. Sua estrutura triangular pode ser comparada ao conjunto fractal que leva o mesmo nome. Uma curiosidade que pode ser levantada com os alunos é que a estrutura do Triângulo de Sierpinski possui uma conexão com os números ímpares do Triângulo de Pascal. A ideia de triângulo equilátero e ponto médio estarão presentes durante a realização de todo processo.

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: Papel cartão, cola de bastão, tesoura, papel color set colorido, régua;  Procedimentos: 

Recortar os papéis cartão e color set com tamanhos iguais;



Dobre as folhas ao meio, ao longo de sua altura;



Com a folha color set dobrada ao meio, marque o ponto médio na parte dobrada de largura x e faça um corte vertical de altura y qualquer;



Dobre um dos retângulos formados para cima, fazendo um vinco na dobra;

 As gerações seguintes serão obtidas nos dois retângulos formados no cartão, aplicando a mesma regra do passo anterior. Note que os retângulos possuem x/2 de base, logo os cortes verticais em seus pontos médios devem ter altura igual a y/2.  Para obter mais iterações, repita esse processo enquanto for possível realizar os cortes e as dobraduras no papel, sempre usando a regra de corte estabelecida. Por fim, desdobre os recortes e puxe as figuras em relevo

figura 46

Colocando em prática.. 1 - Preencha a tabela: Nível

0

1

2

3

4

...

...

n

n

Tabela 5

Nº de

Comprimento

triângulos

de lado

Perimetro de cada triângulo

Perimetro total

Área de cada triângulo

Área total



Questionamentos: a) O que você observa que acontece com perímetro total à medida que aumentam as iterações? Esse valor tende a quê? b) Se considerarmos que o triângulo inicial possui área , cada novo triângulo gerado na primeira iteração terá que área? c) E após a segunda iteração cada novo triângulo terá qual área? d) Qual será a área de cada novo triângulo após a terceira iteração? e) O que você observa que acontece com a área total à medida que aumentam as iterações? Esse valor tende a quê?

...com base no diagrama da planificação (figura 33), percebemos que a cada iteração temos um paralelepípedo cercado por três novos paralelepípedos, porém em escala menor, que serão os paralelepípedos obtidos na próxima iteração. Podemos assim concluir previamente que este cartão possui um fator multiplicador igual a 3.

Figura 47

Como a cada iteração triplica-se o número de novos paralelepípedos, podemos verificar que o número de paralelepípedos gerados em cada iteração é descrito pela lei de potência 3 n , onde n = 0, 1, 2, 3, ... é o número da iteração.

Adaptado: https://www.univates.br/ppgece/media/pdf/Construcao-de-fractais-com-uso-do-softwaregeogebra.pdf

Finalizando:

Figura 48

Referências: Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. pg 292 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005. http:// educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/magicas-utilizando-cartasconhecimento-matematico.htm. Acessado em 20/11/2014 http://tcconline.utp.br/wp-content/uploads/2012/07/FRACTAIS-NA-SALA-DEAULA.pdf. Acessado em 20/11/2014 http://www.educacaopublica.rj.gov.br/oficinas/matematica/quadrado/04.html. Acessado em 20/11/2014

http://bit.profmatsbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/538/2011_00439 _NATALIA_DE_CARVALHO_DE_AZEVEDO.pdf?sequence=1. Acessado em 25/11/2014 http://vestibular.brasilescola.com/enem/prova-amarelaquestao-54.htm. Acessado em 25/11/2014 http://ksros.blogspot.com.br/2009/07/o-numero-de-ouro-sequencia-defibonacci.html. Acessado em 23/11/2014 https://aquaticscaper.wordpress.com/2010/04/06/geometria/Acessado 24/11/2014

em

http://pt.slideshare.net/jordigarrigosa/geometria-sagrada-slides-geometriasagrada. acessado em 24/11/2014 http:// www.sbembrasil.org.br/files/ix_enem/Poster/.../PO00995663033R.doc. Acessado em 24/11/2014 https://www.univates.br/ppgece/media/pdf/Construcao-de-fractais-com-uso-dosoftware-geogebra.pdf. Acessado em 25/11/2014 LORENZATO, S. Laboratório de Ensino de matemática e materiais manipuláveis. In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de professores)

PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008 Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática/ Joamir Roberto de Souza. - - 1. ed. - - São Paulo: FTD, 2010. - - (Coleção novo olhar; v. 1)

Anexos: 1. Modelo do Coelho

2. Fractais

Temática 1

Geometria Espacial de Posição Conteúdo Estruturante: Geometrias Conteúdo Básico: Geometria plana e Geometria não-euclidiana Objetivos: 

Estudar linhas de simetria com espelhos;



Relacionar o ângulo formado por dois espelhos e o número de imagens obtidas;



Reconhecer diferentes elementos geométricos em uma representação em perspectiva;



Ampliar o conhecimento e pensamento geométrico;



Perceber a necessidade das geometrias não-eucledianas para a compreensão de conceitos geométricos, quando analisados em planos diferentes do plano de Euclides.

Série: 2º ano – Ensino Médio

Um pouco de história

A Geometria é uma das mais belas partes da Matemática. O prefixo geo significa terra, mas a Geometria está presente em todo o universo, desde o microcosmo até o macrocosmo. Além de nos ajudar na compreensão das coisas do mundo concreto, a Geometria abre-nos a possibilidade de criar imagens ilusórias e de imaginar mundos abstratos, frutos da fantástica capacidade de criação do cérebro humano. Ela surgiu da necessidade dos seres humanos de medir terras e demarcar propriedades, mas, atualmente, está voltada para o estudo das figuras, de suas propriedades e relações. Ao estudarmos uma figura, preocupamo-nos com sua posição, sua forma e seu tamanho.

A Geometria é parte do conhecimento desenvolvido na tentativa humana de compreender certos aspectos do mundo em que vive, pois este universo é repleto de objetos, coisas e entes de várias formas e tamanhos que ocupam as mais variadas posições. Medir, examinar formas, comparar e analisar posições de objetos são algumas das preocupações do dia a dia do ser humano. Por estar presente à nossa volta, a Geometria representa o aspecto mais concreto da Matemática se comparada a Álgebra, mais abstrata; por isso seus conceitos são também mais fáceis de ser aprendidos, chegando algumas vezes a ser intuitivos. Fonte: Smole, Katia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 3/ Katia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva , 2010. Pg. 32

Geometrias

As ideias geométricas abstraídas das formas da natureza, que aparecem tanto na vida inanimada como na vida orgânica e nos objetos produzidos pelas diversas culturas, influenciaram muito o desenvolvimento humano. Em torno dos anos 300 a.C., Euclides sistematizou o conhecimento geométrico, na obra já citada Elementos. Seus registros formalizaram o conhecimento geométrico da época e deram cientificidade à Matemática. Nessa obra, o conhecimento geométrico é organizado com coesão lógica e concisão de forma, constituindo a Geometria Euclidiana que engloba tanto a geometria plana quanto a espacial. Pela maneira como são postas suas bases e pelo rigor das demonstrações, a geometria euclidiana se caracteriza como modelo lógico para as outras ciências físicas. A obra de Euclides tem uma importância excepcional na história da Matemática e exerce influência até os dias atuais, inclusive no âmbito escolar. Na primeira metade do século XVII, o conhecimento geométrico recebeu nova abordagem com a geometria analítica que trouxe uma dinâmica diferente à Matemática. A Europa vivia uma transição política e econômica e o modo de produção capitalista, emergente, requeria das ciências novos conhecimentos. Buscavam-se conhecimentos mais avançados no campo da astronomia e da mecânica. Era preciso que a Matemática resolvesse cálculos como, por exemplo, de distância entre pontos, coordenadas de ponto que divide um

segmento conforme uma razão dada, determinação de pontos de intersecção de curvas, discussão de curvas, etc. (ALEKSANDRO, 19767, p.225). Por meio da geometria analítica, tais problemas eram solucionados. O conhecimento geométrico ganhou mais uma face no final do século XVIII e inicio do século XIX, com os estudos de Bolyai, Lobachevsky, Riemann e Gauss. Surgiam as geometrias não-euclidianas, que trouxeram uma nova maneira de ver e conceber o conhecimento geométrico. Fonte: PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008, pág. 55

Curiosidades...

Templo de Ártemis e a geometria É instigante imaginar o conhecimento dos sábios da Antiguidade sobre a Geometria. Um ótimo exemplo é o templo de Ártemis: é impossível ficar indiferente diante da beleza desse templo, uma das sete maravilhas do mundo antigo. O paralelismo de suas 127 colunas de mármore com mais de 20 metros de altura cada uma – como terá sido possível construí-las em tempos tão remotos? A simetria de suas formas, a perfeita disposição das águas de telhado (planos que contém o telhado) e o perpendicularismo de suas pilastras revelam grande conhecimento dessa área da Matemática, tão antiga e tão considerada pelos filósofos. Chersiphron, o arquiteto que projetou o templo de Ártemis, o fez bem antes da época de Euclides e certamente se apoiou nos conhecimentos de Geometria que as civilizações anteriores à grega já dispunham. Fonte: Dante, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações/ Luiz Roberto Dante. - - 1. ed. - São Paulo: Ática, 2010. Pg. 174

Geometria – Urbanismo O Urbanismo é o estudo sistematizado que visa à construção, ao melhoramento e ao embelezamento das cidades.

A Geometria é um instrumento muito importante para o planejamento das áreas urbanas. Se analisarmos os mapas de algumas cidades, poderemos identificar as que cresceram sem um planejamento inicial e as que já nasceram planejadas – um exemplo muito conhecido é o Plano Piloto, de Brasília. Fonte: Smole, Katia Cristina Stocco. Matemática: ensino médio: volume 2/ Katia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz. – 6. ed. – São Paulo: Saraiva , 2010. Pg. 220

Euclides (c. 330 a. C. - 260 a. C.) nasceu na Síria e estudou em Atenas. Foi um dos primeiros geômetras e é reconhecido como um dos matemáticos mais importantes da Grécia Clássica e de todos os tempos. Muito pouco se sabe da sua vida. Sabe-se que foi chamado para ensinar Matemática na escola criada por Ptolomeu Soter (306 a. C. - 283 a. C.), em Alexandria, mais conhecida por "Museu". Aí alcançou grande prestígio pela forma brilhante como ensinava Geometria e Álgebra, conseguindo atrair para as suas lições um grande número de discípulos. Diz-se que tinha grande capacidade e habilidade de exposição e algumas lendas caracterizam-no como um bondoso velho. Conta-se que, um dia, o rei lhe perguntou se não existia um método mais simples para aprender geometria e que Euclides respondeu: "Não existem estradas reais para se chegar à geometria". Outro episódio sobre Euclides refere-se a um dos seus discípulos, o qual, resolvendo ser espirituoso, depois de aprender a primeira proposição de geometria lhe perguntou qual o lucro que lhe poderia advir do estudo da geometria. Nesse momento, Euclides - para quem a geometria era coisa séria - chamou um escravo, passou-lhe algumas moedas e ordenou que as entregasse ao aluno: "já que deve obter um lucro de tudo o que aprende". Euclides é exemplo do "Puro Homem da Ciência", que se dedica à especulação pelo gosto do saber, independentemente das suas aplicações materiais.

Você sabia que...???

 ... a geometria está presente no balé? Também podemos encontrar emprego da Geometria em campos incomuns, como no balé de Rudolf Laban, que considerou o movimento corporal como uma expressão mecânica ao longo de três eixos que definem três planos, denominados sagital, horizontal e frontal. Rudolf Lacan foi um dançarino e coreógrafo à sistematização da linguagem da dança. Para o estudo do movimento corporal, ele utilizou os poliedros de Platão. Mas uma vez, as formas geométricas harmônicas serviram de inspiração e modelo para criação. Fonte: Dante, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações/ Luiz Roberto Dante. pg 175 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2010.

 ... a existência ou ausência de simetrias geométricas pode revelar características fundamentais dos objetos? Os mamíferos de terra seca, por exemplo, têm simetria lateral, mas não têm simetria entre a parte de cima e a parte de baixo, pois a gravidade impõe uma diferença na direção vertical. Os mamíferos não têm, tampouco, simetria entre a parte dorsal e ventral, o que pode ser entendido pela especialização ou vantagem no deslocamento em um sentido mais que o outro. Em geral, seres imóveis como as árvores não apresentam essa diferença entre dorsal e frontal. O tronco de uma árvore tem simetria próxima à simetria do círculo, ou seja, não é possível identificar o lado direito e esquerdo ou da frente e de trás de uma árvore. Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1012. Acessado em 30/11/2014

Atividades

1. Simetrias A origem da palavra ―simetria‖ é grega e está associada a objetos ou coisas proporcionais, harmoniosas. Vamos nos concentrar na simetria geométrica, isto é, na semelhança da forma em torno de uma linha reta ou de um plano e, mais especificamente, na simetria de reflexão ou lateral em relação a um segmento de reta. Assim, nesta atividade, vamos tratar apenas de simetrias no plano. Aproveitamos também o uso de dois espelhos para mostrar uma relação entre dois conjuntos, a saber, o conjunto dos ângulos entre 0° e 180° e o conjunto do número de imagens vistas nos espelhos combinados. Um objeto tridimensional pode ter um eixo de simetria em torno do qual qualquer rotação rígida não altera sua aparência, isto é, a geometria do objeto não varia se ele girar em torno de seu eixo de simetria. Outro objeto tridimensional pode ter um plano de simetria que o separa em duas partes idênticas. É comum a obtenção de figuras planas a partir de cortes em corpos tridimensionais e, nos casos em que o corte incluir o eixo de simetria ou for perpendicular ao plano de simetria do objeto, teremos uma figura plana com uma linha de simetria. É bom lembrar que a imagem em um espelho plano mantém os comprimentos e os ângulos dos objetos refletidos, isto é, mantém a forma geométrica, mas inverte a lateralidade. Assim, o direito e o esquerdo ficam trocados em uma reflexão. Contudo, se forem permitidas duas ou um número par de reflexões, a imagem final mantém a lateralidade original.

Estou em dúvida... Mas o que é simetria?

Linha de simetria é um segmento de reta que divide uma figura plana finita em duas partes que têm formas geométricas iguais. A igualdade se refere aos comprimentos e ângulos, pois vemos que a reflexão inverte os lados de uma figura.

Sugestão 1: Simetrias com um espelho

Desenvolvimento da atividade  Participantes: duplas.  Materiais: Um espelho pequeno para cada dupla, livro didático, folha em anexo;  Procedimentos:  Os alunos devem procurar em um livro didático uma figura qualquer. Colocando em prática... Partindo da figura encontrada no livro: 

Questionamento: a) O que é linha de simetria? b) A figura escolhida possui alguma linha de simetria?

 Inicie neste momento o uso do espelho.  Questionamento: Colocando o espelho em alguma parte da figura escolhida, seria possível obter a imagem toda olhando para ele?

Figura 49

 Entregar uma folha com figuras para cada dupla (anexo1);  Peça aos alunos que descubram se as figuras dadas na folha em anexo têm alguma linha de simetria; e, se têm, quantas são. Os

alunos devem desenhar com a régua todas as linhas de simetria encontradas.

Explicando...  ... os polígonos regulares tem linhas de simetria iguais ao número de lados (de  mesmos tamanhos). Assim o triângulo tem três, o quadrado tem quatro, o pentágono cinco e o hexágono seis. O triângulo (imagem 6) e o quadrado (imagem 7) não tem linhas de simetria. As imagens planas de frente, parte anterior e parte posterior (frontal e dorsal) do homem ou da mulher são quase simétricas. E a circunferência tem infinitas linhas de simetria.

Figura 50

Obs.: 

Mostrar aos alunos que não há nenhuma posição de espelhos nas imagens 6 e 7(triângulo e quadrilátero) que consiga reproduzir as imagens originais, isto é, elas não tem linhas de simetria.



É importante mostrar aos alunos que qualquer reta que passe pelo centro de uma circunferência é uma linha de simetria. Ou seja, a circunferência possui infinitas linhas de simetria.

Sugestão 2: Imagens com dois espelhos

Desenvolvimento da atividade

 Participantes: Em duplas.  Materiais: Dois espelhos pequenos de mesmo tamanho para cada dupla, papel sulfite, canetinha, régua, transferidor.  Procedimentos:  Entregar para cada dupla dois espelhos;  Eles deverão posicionar os espelhos de maneira a formar entre eles um ângulo entre 90° e 180°, sobre uma folha de papel sulfite, conforme foto abaixo;

Figura 51

 Entre os espelhos, no papel sulfite, deve ser desenhado um ponto de caneta, próximo à junção dos mesmos;

Figura 52

Variando a abertura (ângulo), entre os espelhos é possível observar imagens do ponto. Cada angulação formará uma quantidade diferente de imagens.

 O aluno deverá construir uma tabela (conforme modelo abaixo) e registrar o número de imagens observadas (n) e o ângulo referente entre os espelhos (α). Obs.: É importante observar que não só os objetos, mas o ambiente todo em torno dele deve ser refletido.

n

Ângulo (α)

Tabela 1

DICAS:  Quando começar a surgir uma nova imagem, diminuir a abertura entre os espelhos até que a imagem suma novamente, medir então o ângulo;  Obtenha os valores dos ângulos traçando uma abertura dos espelhos e medir com o transferidor.

 Terminadas as medições,

escrever

na lousa

os valores

encontrados por seus alunos. Monte uma tabela como a do exemplo anterior, com os ângulos que deveriam ser encontrados para cada quantidade de imagem;

Obs.: Os valores dos ângulos medidos devem ser sempre frações de 360, isto é, quocientes cujos denominadores são iguais a 360 e denominadores inteiros maiores que 1. Os alunos provavelmente irão medir aproximações desses valores, por exemplo, um sétimo de 360:

Explicando.... ... a tabela a ser reproduzida no quadro será: n Ângulo (α) 2 120° 3 90° 4 72° 5 60° 6 51,4° 7 45° 8 40° 9 36° 10 32,7° Tabela 2

Sugestão 3: Qual é o polígono formado?

Desenvolvimento da atividade

𝟑𝟔𝟎 𝟕

≈ 51,4 .

 Participantes: Em duplas.  Materiais: Dois espelhos pequenos de mesmo tamanho para cada dupla, papal sulfite, canetinha, régua, compasso e transferidor.  Procedimentos:  Para cada ângulo utilizado na atividade da sugestão 2, os alunos devem desenhar um segmento de reta em frente aos espelhos e descobrir qual é o polígono regular formado para cada um;  Deve ser feita uma tabela no caderno que associe o ângulo entre os espelhos ao polígono encontrado. Essa tabela pode ser uma continuação da utilizada na atividade anterior. Colocando em prática...  Desenhar o ângulo;

Figura 53

 Colocar o espelho em cima do ângulo formado;

Figura 54

 Traçar um segmento de reta ligando as extremidades das folhas do espelho;

Figura 55

 Para cada ângulo entre os espelhos, verificar qual é o polígono formado pelas imagens com as reflexões e anotar na tabela.

Explicando.... ... os alunos deveram constatar que o polígono observado é regular pois o triângulo formado pelas abas dos espelhos e o segmento de reta traçado é isóscele, e isso se deve ao fato dos espelhos terem o mesmo tamanho.

Figura 56

a tabela a ser reproduzida no quadro será: N Ângulo (α) polígono 10 32,7° Undecágono 9 36° Decágono 8 40° Eneágono 7 45° Octógono 6 51,4° Heptágono 5 60° Hexágono 4 72° Pentágono 3 90° Quadrado 2 120° Triângulo

Nº de lados 11 10 9 8 7 6 5 4 3

Tabela 3

DICAS:  Estimular os alunos a encontrar um padrão após observar os resultados das sugestões 2 e 3. Faça com que notem que, para cada ângulo, há uma relação entre a quantidade de imagens e o polígono formado.

O objetivo é que eles encontrem uma fórmula geral que forneça o número de imagens ou o número de lados do polígono, de acordo com o ângulo entre os espelhos.

A fórmula geral que relaciona o ângulo entre os espelhos e a quantidade de imagens formadas é: 𝒏 =

𝟑𝟔𝟎° 𝜶

− 𝟏 onde, n é a

quantidade de imagens e α é o ângulo em graus entre os espelhos. E a fórmula geral que relaciona o ângulo α entre os espelhos e o número l de lados do polígono é: 𝒍 =

𝟑𝟔𝟎° 𝜶

.

Observe ainda com os alunos que l = n – 1.

 Para finalizar a atividade Simetrias, inicie com os alunos uma discussão sobre as linhas de simetria. Na sugestão 3, os polígonos formados eram regulares. Comparando com a sugestão 1, todos os polígonos regulares da atividade tinham linhas de simetria.  Questionamentos: a) A relação acima citada é aplicável na formação do polígono com espelho? b) Foi usada alguma linha de simetria na formação do polígono com espelhos? c) Nos polígonos regulares dados na sugestão 1, existe alguma maneira de posicionar dois espelhos sobre as linhas de simetria traçadas para que a imagem obtida seja o próprio polígono?

Explicando.... ... é possível verificar que sempre existem duas linhas que formam entre si o ângulo correspondente àquele polígono, como na tabela 3. A figura 9 mostra as linhas onde devem ser dispostos os espelhos, e a figura 10, a imagem formada no espelho. Note que, para a circunferência, qualquer ângulo fornece a imagem completa: basta posicionar os espelhos sobre quaisquer raios.

Figura 57

Figura 58

2. Geometria Projetiva

A Geometria Projetiva é o ramo da matemática que estuda as propriedades geométricas invariantes de uma projeção. Ela surge no século XVII na tentativa de compreender matematicamente as técnicas de desenho em perspectiva empregadas pelos artistas da Renascença. Podemos afirmar que enquanto a geometria euclidiana se preocupa com o mundo em que vivemos a geometria projetiva lida com o mundo que vemos. A geometria projetiva dialoga com o desenho artístico através das regras de perspectiva, utiliza elementos ideais no infinito, onde há uma simetria notável entre pontos e retas. São encontradas muitas atividades com este foco, tais como as que mostraremos em algumas sugestões abaixo, buscando que o aluno consiga desenhar corretamente a aparência de objetos tridimensionais. Fonte: http://bit.profmatsbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/851/2011_00627_TIAGO_DA_SILVA_GONCALVES

Obs.: 

Esse conteúdo deveria ser trabalhado no 9º ano, mas sabemos que isto não é possível, então sugerimos que seja trabalhado no 2º ano do EM, quando são abordadas as noções da Geometria de Posição Intuitiva.

Sugestão 1: Perspectiva na lixa

Desenvolvimento da atividade

 Participantes: Individual  Materiais: lixa, giz de cera, régua, texto: ―Noções de Geometria Projetiva (anexo 2);  Procedimentos: 

Entregar uma lixa para cada aluno;



Solicitar aos alunos que façam um desenho livre, mas que neste apareça uma estrada;

Colocando em prática...  Depois de confeccionados os desenhos, o professor explica os principais conceitos de Geometria Projetiva com auxilio do texto: ―Noções de Geometria Projetiva‖;

Figura 59

 Entregar outra lixa aos alunos e orientar para que confeccionem um novo desenho com estrada, agora utilizando as noções de perspectiva que aprenderam.

Figura 60

Explicando.... ... observe que as linhas paralelas do objeto real, quando transferidas para um plano, perdem a noção de paralelas e os alunos conseguem entender e mostrar por meio de imagens que na Geometria Projetiva as linhas paralelas nem sempre existem.

DICA: Poderá ser realizada uma exposição com os trabalhos dos alunos.

Sugestão 2: Análise de gravuras 2.1. Desenho “Nossas histórias, nossas marcas”

Desenvolvimento da atividade  Participantes: duplas de alunos.  Materiais: folha com o desenho ―Nossas histórias, nossas marcas‖ (anexo 3).  Procedimentos:  Fornecer a cada dupla uma folha com o desenho (sugerimos também o projete no data show);

Figura 61

Esse desenho é de autoria do aluno Gabriel Camargo e foi retirado da capa do livro “Nossas histórias, nossas marcas” (2013). O livro em questão foi editado mediante uma iniciativa do Colégio Estadual do Campo João Cionek – EFMP em conjunto com alunos, professores, agentes educacionais e equipe pedagógica, com objetivo de divulgar os trabalhos realizados em sala de aula.

Colocando em prática... 

Solicitar a cada dupla fazer a análise do desenho;



Questionamentos: a) O autor do desenho demonstrou ter conhecimento das noções da Geometria Projetiva? b) Você encontra nesse desenho os elementos de perspectiva: linha do horizonte, ponto de vista, ponto de fuga e linha de fuga? c) Caso existam os elementos de perspectiva, em que local do desenho aparecem?

Obs.: Após a análise realizada pelas duplas, o professor deverá intervir e proceder com comentários e proporcionando momento coletivo de reflexões sobre a atividade realizada.

Sugerimos o vídeo a ser explora sobre Geometria Projetiva:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10463 2.2. Imagens

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: folha com as imagens diferentes para cada grupo (anexo 4).  Procedimentos:  Entregar uma imagem diferente para cada grupo;  Solicitar a cada dupla fazer a análise da imagem; Colocando em prática... 

Questionamentos: a) Você encontra nesse desenho, os elementos de perspectiva: linha do horizonte e ponto de vista? Caso existam os elementos de perspectiva, em que local do desenho aparecem. b) Quantos pontos de fuga são possíveis identificar na imagem? Onde se situam esses pontos? c) Existem retas paralelas (linhas de fuga) que convergem para esse ponto de fuga? Quais? d) Solicitar as duplas que apresentem à classe as conclusões obtidas.

Sugestão 3: Paralelismo

Desenvolvimento da atividade

 Participantes: Duplas.  Materiais: Um cubo de vidro ou de acrílico, mesa com tampo de vidro, fita adesiva colorida ou palito de sorvete.  Procedimentos:  Sobre a mesa com tampo de vidro, coloque o cubo de vidro e em cima deste cole dois pedaços de fita adesiva colorida, ou palitos de sorvetes, paralelas entre si; Obs.: Realizar essa atividade em sala bem iluminada ou na área externa num dia ensolarado (necessidade de sombra).

Colocando em prática...  Mantendo o paralelismo entre as fitas adesivas coloridas ou palitos, coloque-os em diferentes posições, como na figura abaixo.

Figura 62

 Para

cada

posição

observe

e

compare

os

segmentos

correspondentes às sombras das fitas adesivas ou dos palitos, verificando se os segmentos correspondentes às sombras dos palitos são paralelos.  Questionamento: De que forma você fez esta verificação? Justifique.

Explicando.... ... o objetivo desta atividade é fazer com que os alunos percebam se existe conservação do paralelismo mesmo ao mudar a posição das fitas adesivas ou dos palitos. Desta forma, estabelece-se a relação entre o conceito de retas paralelas e plano de projeção.

Figura 63



Na

sequência

Figura 64

realize

o

mesmo

procedimento

enunciado

anteriormente, porém as fitas adesivas coloridas ficarão fixadas na lateral do cubo, cuja superfície não é paralela ao plano de projeção (mesa de vidro).

Figura 65



Questionamento: E nesse caso, as sombras das fitas adesivas ou dos palitos são paralelas?

Explicando.... ... sim o paralelismo se mantém.

Figura 66

Sugestão 4: Perspectiva Cavaleira

Desenvolvimento da atividade  Participantes: duplas.  Materiais: peças poligonais planas de vidro ou de acrílico (quadrado triângulo e hexágono regular), fita adesiva colorida, placa de isopor;  Procedimentos:  Cada grupo deve receber uma peça poligonal plana de acrílico e passar a fita adesiva colorida nas arestas da peça;  Colocar a peça de forma que um dos seus lados fique paralelo a placa de isopor (plano horizontal); Colocando em prática...  Ao realizar o procedimento acima, disponha os materiais de tal forma que sejam projetados sombras.  Questionamento: O que se pode observar com as sombras das peças poligonais em relação a projeção cavaleira?

Explicando.... ... espera-se dessa atividade que os alunos notem que a projeção cavaleira de um quadrado é um paralelogramo, de um hexágono regular, a projeção é um hexágono que pode não ser regular e a projeção do triângulo equilátero, um triângulo que pode ser escaleno. Esta atividade propicia a conexão entre o conteúdo estudado e a Geometria Plana.

Figura 67

Sugestão 5: Ilusão de Ótica

O termo Ilusão de óptica aplica-se a imagens que "enganam" fazendo ver qualquer coisa que não está presente ou permitindo vê-la de um modo errôneo. As ilusões de óptica podem surgir naturalmente ou serem criadas por astúcias visuais específicas gerando imagens com impressionantes efeitos de ilusões, com notável qualidade técnica e estética, tudo isto, respeitando as regras geométricas do desenho e da perspectiva. Fonte: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2192-8.pdf Acessado em 05/12/2014

5.1 Um novo olhar

Desenvolvimento da atividade  Participantes: duplas.  Materiais: imagens diversas de ilusão de ótica ( anexo 5)  Procedimentos: 

Distribuir as imagens aos grupos;

Colocando em prática...  Fazer com que circule na sala de aula todas as imagens, proporcionando a todos os grupos um contato com as mesmas;



De posse de cada imagem, o grupo deverá anotar o que percebe visualmente em relação ao que já foi apresentado;



Concluída a análise de todas imagens por todos os grupos, o professor deverá mostrar cada imagem no data show e tecer comentários a fim de que os grupos verifiquem suas possíveis observaçõe.

Explicando.... ... os alunos deverão compreender que o distanciamento das imagens faz com que os objetos pareçam diferentes do que eram na realidade, modificando suas dimensões. Este fenômeno é denominado perspectiva, no sentido mais elementar. As atividades com imagens de ilusão de ótica onde aparecem a sobreposição e mudança de dimensão se faz necessária para que o aluno tenha a compreensão da imagem em profundidade.

5.2 Uso das tecnologias na ilusão de ótica

A ideia principal para esta atividade é: quanto mais distante está um objeto do olho do seu observador, menor é o ângulo de visão e, consequentemente, menor é a imagem projetada. De maneira ánaloga, quanto mais próximo está um objeto de quem o observa, maior será a imagem projetada. Este fenômeno físico nos ajuda a compreender como nossa visão processa imagens, como da figura 20. Evidentemente nessa foto percebemos que o Sol jamais caberia na mão da moça.

Figura 68

Fonte:arquivos de fotos de Luciana Kelnihar

Essas ilusões de ótica se devem ao fato da imagem projetada ser inversamente proporcional a distância entre o observador e o objeto. Desenvolvimento da atividade  Participantes: duplas.  Materiais: máquina fotográfica (dispositivo fotográfico), pendrive, data show;  Procedimentos: 

Questionar os alunos a respeito do fenômeno em que a visão cria percepções que não refletem necessariamente a realidade sobre uma situação ou objeto.



Após iniciar a conversa inicial, reproduzir o vídeo do canal do youtube

Manual

do

Mundo

(http://www.youtube.com/watch?v=9JBs4T-sd6E) , que explica o principio da câmara escura de Kepler; Obs.: A idéia aqui é que os alunos percebam matematicamente a relação inversamente proporcional que existe entre o tamanho da imagem de um objeto e sua distância em relação ao observador, e como este fato nos ajuda a entender a convergência de retas paralelas.



Na

sequência

exibir

o

vídeo

Incredible

Shade

Illusion

(http://www.youtube.com/watch?v=z9Sen1HTu5o&feature=player _embedded), o qual reproduz uma ilusão de ótica criada pelo cientista Edward H. Adelson. Na ilusão que surge no vídeo, dois quadrados de mesma cor simulam colorações diferentes, dependendo de sua disposição sobre um tabuleiro de damas. Observa-se que quadros (casas do tabuleiro) de mesmas dimensões assumem tamanhos diferentes em função da distância em relação ao observador, o que pode ser explicado pelo Princípio da Câmara Escura.



Reproduzir

o

vídeo

do

artista

Edgar

Mueller

(http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3S NYtd0Ayt0), um making of da obra The Crevasse; Na

internet é

muito

difundido

os trabalhos de

artistas

contemporâneos, chamados Streetart, trabalhos esses relacionados a ilusão de ótica onde são utilizados desenhos em perspectiva.

Figura 69

Waterfall de Edgar Mueller. Fonte - Imagem extraída do site Edgar Mueller – Street Artist.

Edgar Mueller, artista alemão considerado um dos maiores expoentes desse gênero de pintura. Suas obras realísticas executadas no chão empregam a perspectiva e criam ilusões de ótica incríveis.

Colocando em prática...  Projetar uma imagem, como a da figura 20, e pedir que tentem fazer algo similar; DICA: Propor que utilizem as ideias já apresentadas, ou seja, a medida que nos distanciamos de um objeto, sua imagem fica cada vez menor possibilitando a ilusão de ótica.



Solicitar a cada dupla, reproduzir as fotos obtidas, em plenária, utilizando o data show;



A dupla deverá explicar quais as noções da Geometria Projetiva que criaram o efeito ilusório na foto.

Obs.: 

Pode ser alguns alunos tenham a idéia de fazer um Sleevface, porém atentar para o fato de que nem todas produzem ilusão de ótica, algumas são apenas sobreposições de imagens.



Lembrando que Sleevface é uma prática de fotografia muito difundida na internet, que consiste em criar uma cena inusitada usando uma capa de disco ou revista para cobrir o rosto.

Figura 70

Fonte: www.sleevface.com.br

5.3 Ilusão do buraco misterioso

Desenvolvimento da atividade  Participantes: Duplas.  Materiais: folha color set colorida, tesoura, régua, moldes de base e polígono (anexo 6);  Procedimentos: 

Reproduzir na folha color set a base e recortar;



Reproduzir os polígonos em folha color set (cor diferente da usada na base) e recortar.

Colocando em prática... 

Na base recortada, sobreponha os polígonos;

Figura 71



Dê dois giros nos polígonos em sentido horário, de forma que eles continuem contidos dentro da base;

Figura 72

Obs.: Nesta nova disposição dos polígonos, surgirá no centro “um buraco misteriosos”.

Figura 73



Questionamentos: a) Qual a idéia contida nesse resultado? b) Matematicamente isso estaria correto? Por quê?

Explicando.... ... medir o lado do “buraco”, o lado da base e calcular as suas respectivas áreas. De posse desses dados, efetuar o cálculo: Abase = 16 . 16 = 256 cm² Aburaco = 1,4 . 1,4 = 1,96 cm² Calcular a área onde os polígonos estão contidos: Apolígonos = Abase + Aburaco sendo: Apolígonos = x . x temos: x . x = 256 + 1,96 x² = 257,96 x = √257,96 x = 16,061 Com esses resultados, prova-se o segredo, observe Diminuindo o lado de Apolígonos com o lado de Abase temos: Apolígonos - Abase = 16,061 – 16 = 0,061 Portanto, encontramos que a nova área terá 0,061 cm² a mais quando os polígonos foram dispostos dessa forma, gerando com isso o “buraco misterioso”. ESTAMOS DE OLHO!!!

os alunos deverão compreender que o distanciamento das imagens faz com que os objetos pareçam diferentes do que eram na realidade, modificando suas dimensões. Este fenômeno é denominado perspectiva, no sentido mais elementar. As atividades com imagens de ilusão de ótica onde aparecem a sobreposição e mudança de dimensão se faz necessária para que o aluno tenha a compreensão da imagem em profundidade.

Referências:

Dante, Luiz Roberto. Matemática, volume único: livro do professor/ Luiz Roberto Dante. pg. 292 - - 1. ed. - - São Paulo: Ática, 2005. Gonçalves, Tiago da Silva. Uma introdução à Geometria Projetiva para o Ensino Fundamental.

http://www.youtube.com/watch?v=9JBs4T-sd6E

http://www.youtube.com/watch?v=z9Sen1HTu5o&feature=player_embedded

http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3SNYtd0Ayt0

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1012. Acessado em 30/11/2014

http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/handle/123456789/851

http://www.sobrearte.com.br/desenho/perspectiva/formas_geometricas.php. Acessado em 11/12/2014

http://www.ppgecm.ufpr.br/Disserta%C3%A7%C3%B5es/005_KeilaCristinaArsi eCamargo.pdf. Acessado em 09/12/2014 LORENZATO, S. Laboratório de Ensino de matemática e materiais manipuláveis. In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. (Coleção formação de professores) PARANÁ, Secretária de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática. Paraná, 2008

Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática/ Joamir Roberto de Souza. - - 1. ed. - - São Paulo: FTD, 2010. - - (Coleção novo olhar; v. 1)

Anexos: 1.

Figura 74

2. Texto complementar sobre Noções de Geometria Projetiva Noções de Geometria Projetiva A Geometria Projetiva é o ramo da matemática que estuda as propriedades geométricas invariantes de uma projeção. Ela surge no século XVII na tentativa de compreender matematicamente as técnicas de desenho em perspectiva empregadas pelos artistas da Renascença. Podemos afirmar que enquanto a geometria euclidiana se preocupa com o mundo em que vivemos a geometria projetiva lida com o mundo que vemos. A geometria projetiva dialoga com o desenho artístico através das regras de perspectiva, utiliza elementos ideais no infinito, onde há uma simetria notável entre pontos e retas.

São encontradas muitas atividades com este foco, tais como as

que

mostraremos em algumas sugestões abaixo, buscando que o aluno consiga desenhar corretamente a aparência de objetos tridimensionais. Perspectiva O conhecimento sobre perspectiva de observação, também denominada de cônica ou linear, é indispensável para quem pretende desenhar corretamente a aparência de volume dos objetos, profundidade e espaço de ambientes ou paisagens. A perspectiva pode ser definida como um recurso gráfico que utiliza o efeito visual de linhas convergentes para criar a ilusão de tridimensionalidade do espaço e das formas quando estas são representadas sobre uma superfície plana. Elementos da perspectiva

Linha do horizonte, ponto de vista, ponto de fuga e linhas de fuga são os quatro elementos da perspectiva que determinam o nível e o ângulo visual do espectador no contexto do desenho. Para um estudo mesmo básico sobre perspectiva é necessário conhecê-los e saber o modo correto de sua aplicação.

Linha do horizonte É o elemento da construção em perspectiva que representa o nível dos olhos do observador (linha horizontal pontilhada LH).

Numa paisagem é a linha do horizonte que separa o Céu e a Terra. Vista ao longe, ela está na base das montanhas e risca horizontalmente o nível do mar.

Ponto de vista Na representação gráfica da perspectiva é comum o ponto de vista ser identificado por uma linha vertical perpendicular a linha do horizonte (PV). O ponto de vista revela-se exatamente no cruzamento dessas duas linhas.

Dependendo do ângulo visual de observação do motivo, a linha vertical que localiza o ponto de vista pode situar-se centralizada na cena compositiva ou um de seus lados, esquerdo ou direito.

Ponto de fuga É o ponto localizado na linha do horizonte, pra onde todas as linhas paralelas convergem, quando vistas em perspectiva (PF).

Em alguns tipos de perspectiva são necessários dois ou mais pontos de fuga. Em situações como estas poderão ter pontos tanto na linha do horizonte

quanto na linha vertical do ponto de vista. Em alguns casos é possível o ponto ficar fora tanto da linha do horizonte quanto do ponto de vista.

Linhas de fuga São as linhas imaginárias que descrevem o efeito da perspectiva convergindo para o ponto de fuga (linhas convergentes pontilhadas). É o afunilamento dessas linhas em direção ao ponto que geram a sensação visual de profundidade das faces em escorço dos objetos em perspectiva.

O uso dos elementos da perspectiva, em conjunto, permite a elaboração de esquemas gráficos necessários para desenhar objetos contextualizados em ambientes ou paisagens sem distorção estrutural. Veremos a base destes recursos gráficos conhecendo sobre os diferentes tipos de visualização em perspectiva.

Fonte: http://www.sobrearte.com.br/desenho/perspectiva/formas_geometricas.php. Acessado em 11/12/2014

3. Desenho ―Nossas histórias, nossas marcas‖ (atividade 2, sugestão 2, 2.1)

Figura 75

4. Imagens (atividade 2, sugestão 2, 2.2)

Figura 76

Fonte:http://2.bp.blogspot.com/-R9Kn_aYZnaE/Tn_JRBdD7fI/AAAAAAAAAW0/ZTfQeV8htY/s1600/Imagem5.jpg

Figura 77

Fonte: http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2012/03/santa-ceia.jpg

Figura 78

Fonte:http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/galerias/imagem/0000001018/md.00000118 89.jpg

Figura 79

Fonte; http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:xwTQwqcBXb_seM:http://1.bp.blogspot.com/_COnznlVzzvM/TB 72O83tC-I/AAAAAAAABAQ/YLcG7SJDK30/s1600/trilho.jpg&t=1

Figura 80

Fonte: http://www.mcescher.com/Gallery/back-bmp/LW346.jpg

Figura 81

Fonte: http://www.mcescher.com/Gallery/back-bmp/LW334.jpg

Figura 82

Fonte: http://og.infg.com.br/in/8370381-2e1-af9/FT1500A/550/2013-6121163102013051141930.jpg_20130511.jpg

Figura 83

Fonte: http://www.uniblog.com.br/img/posts/imagem9/99686.jpg

5. Ilusão de ótica (atividade 2, Sugestão 5, 5.1)

Figura 84

Fonte: http://hypescience.com/wp-content/uploads/2008/04/3-cafe-wall.png

Figura 85

Fonte: http://www.fottus.com/wp-content/uploads/676%20%20rob%20gonsalves/rob%20gonsalves%20(3).jpg

Figura 86

Fonte:http://www.fottus.com/wp-content/uploads/676%20%20rob%20gonsalves/rob%20gonsalves%20(4).jpg

Figura 87

Fonte:http://www.fottus.com/wp-content/uploads/676%20%20rob%20gonsalves/rob%20gonsalves%20(10).jpg

Figura 88

Fonte:http://www.fottus.com/wp-content/uploads/676%20%20rob%20gonsalves/rob%20gonsalves%20(13).jpg

Figura 89

Fonte:http://www.fottus.com/wp-content/uploads/676%20%20rob%20gonsalves/rob%20gonsalves%20(18).jpg

Figura 90

Fonte:http://www.fottus.com/wp-content/uploads/676%20%20rob%20gonsalves/rob%20gonsalves%20(31).jpg

Figura 91

Fonte: http://3.bp.blogspot.com/JCYD9QErG2U/UUi99z6kh0I/AAAAAAAAAJo/gerDH9Bju_s/s1600/JOGO.jpg

Figura 92

Fonte: http://www.forumcpu.com/download/file.php?id=24826&t=1

6. Buraco Misterioso (atividade 2, sugestão 5, 5.3) a) base

Figura 93

b) polígonos

Figura 94