Practica 4 GGA

Péndulo Físico
CON MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

PRUEBA N° 1 DETERMINACION DEL VALOR EXPERIMENTAL DE
LA GRAVEDAD UTILIZANDO UN PENDULO FISICO

4.1 Objetivos.-
4.1.1 General
- Determinar La Gravedad en Sucre, utilizando péndulo físico.
4.1.2 Específicos
- -Encontrar la relación funcional del periodo del péndulo en función de la distancia desde su centro de masa.
- Determinar el valor experimental de la aceleración de la gravedad.
-Determinar el radio de giro del péndulo.
- Cuantificar e interpretar gráficamente: elongación, velocidad y aceleración en función del tiempo.
- Cuantificar e interpretar gráficamente: energía potencial, cinética y total, en función a su amplitud.
4.2 Equipo y material.-
- Pared de demostración
- Un péndulo físico o compuesto
- Esfera de acero
- Cuchilla
- Un cronometro
- Regla graduada
- Transportador
4.3 Montaje.-












4.4 Procedimiento.-
- Montar el equipo de acuerdo con la imagen.
- Medir la distancia b desde el centro de gravedad (marcado con "0") de la varilla a una del muecas de la varilla (marcado con "I") alejándose de la esfera de acero.
- Sujetar la cuchilla con el tornillo, de modo que la punta coincida con la muesca I. Colocar la cuchilla sobre su soporte para suspender la barra.
- Hacer oscilar el péndulo separándolo un determinado ángulo en vertical. Medir el tiempo para cinco oscilaciones. Calcular el Periodo T de las oscilaciones.
- Repetir los pasos 3,4 y 5 sujetando la cuchilla sobre las muescas 2,3 etc. Medir los periodos respectivos para cada caso



4.5 Tabularios.-
A = 0.182 m m = 1593,5 g
Tabla 4.1.- Determinación experimental de la aceleración de la gravedad

b
(m)


t1
(s)

t2
(s)

t3
(s)

t4
(s)

T
(s)

T2*b (s2m)

b2
(m2)

g
(m/s2)

r
(m)
0.10
15.02
14.64
14.57
14.60
1.47075
0.216
0.01
10.02
0.187
0.20
12.87
12.77
13.24
12.90
1.2945
0.335
0.04


0.30
12.97
13.09
12.96
13.18
1.305
0.392
0.09


0.40
13.94
13.90
14.20
13.89
1.39825
0.782
0.16


0.50
15.15
15.01
14.94
15.03
1.50325
1.130
0.25


0.60
16.04
16.12
16.01
16.07
1.606
1.548
0.36




T = 1.427s
6


Tabla 4.2.- Cálculo del valor de "x"; "v"; "a" en función del tiempo (interpretar gráficamente)

t (s)


0

T/8

T/4

3T/8


T/2

5T/8

3T/4

7T/8

T
x
(cm)
0
12.9
0
-12.9
-18.2
-12.9
0
12.9
18.2
v (cm/s)
0
-56.7
-80.1
-56.7
0
56.7
80.1
56.7
0
a (cm/s2)
-352.8
-249.5
0
249.5
352.8
249.5
0
-249.5
-352.8
Tabla 4.3.- Graficar la energía cinética, potencial y total en función de la elongación (interpretar gráficamente)

t (s)

0

T/8

T/4

3T/8


T/2

5T/8

3T/4

7T/8

T
x
(cm)
0
12.9
0
-12.9
-18.2
-12.9
0
12.9
18.2
EK
(erg)
0
2.558*106
5.116*106
2.558*106
0
2.558*106
5.116*106
2.558*106
0
Ep
(erg)
5.116*106
2.558*106
0
2.558*106
5.116*106
2.558*106
0
2.558*106
5.116*106
Et
(erg)
5.116*106
4.7 Cálculos.-
- Calculo del periodo promedio de los 4 datos tomados en cada 10 oscilaciones
El periodo es el tiempo necesario para realizar una oscilación, por tanto el periodo será el promedio de los tiempos experimentales dividido entre el número de oscilaciones en este caso 10
4.7.1 Cálculos matemáticos
T= ( t/n*10)
- Para b=0.1m
T= t1+t2+t3+t4
40

T= 15.02s+14.64s+14.57s+14.60s
40

T1= 1.47075 s

- Para b=0.2m
T= t1+t2+t3+t4
40

T= 12.87s+12.77s+13.24s+12.90s
40

T2= 1.2945 s

- Para b=0.3m
T= t1+t2+t3+t4
40


T= 12.97s+13.09s+12.96s+13.18s
40

T3= 1.305s
- Para b=0.4m
T= t1+t2+t3+t4
40

T= 13.94s+13.90s+14.20s+13.89s
40

T4= 1.39825s

- Para b=0.5m
T= t1+t2+t3+t4
40

T= 15.15s+15.01s+14.94s+15.03s
40

T5= 1.50325 s

- Para b=0.6m
T= t1+t2+t3+t4
40

T= 16.04s+16.12s+16.01s+16.07s
40

T6= 1.606 s
- Calculando T
T = T1+T2+T3+T4+T5+T6
6

T = 1.47075s+ 1.2945s + 1.305s + 1.39825s + 1.50325s + 1.606s
6
T = 1.427s
T = 1.427s


- Cálculo de T2*b
(1.47075s)2 * 0.1m = 0.216 s2m
(1.2945s)2 * 0.2m = 0.335 s2m
(1.305s)2 * 0.3m = 0.392 s2m
(1.39825s)2 * 0.4m = 0.782 s2m
(1.50325s)2 * 0.5m = 1.130 s2m
(1.606s)2 * 0.6m = 1.548 s2m

- Calculo de "g" y "r" mediante el ajuste de la curva experimental de la gráfica de b2 en función de T2b
b2 = (g/4π2) * T2b – r2
Dónde:
b2 = y
T2b = x
(g/4π2) = B
-r2 = A



- Calculo de "g"

Si B = 0.254 entonces:

(g/4π2) = 0.254
g = 0.254 * 4π2

g = 10.02 m/s2




- Calculo de "r"

-r2 = A
-r2= - 0.035 s2
r= 0.035
r= 0.187m


- Calculo de la elongación
x = A cos(ωt + Ф)
Dónde:
ω = 2π/T Ф = 0 A = 0.182 m
x = A cos[(2π/T)* t]
x1 = 0.182m * cos [(2π/T) * 0]»0
x1 = 0. m
x2 = 0.182m * cos [(2π/T) * T/8]
x2 = 0.182m * cos (π/4)
x2 = 0.129m
x3 = 0.182m * cos [(2π/T) * T /4]
x3 = 0.182m * cos (π/2)
x3 = 0m
x4 = 0.182m * cos [(2π/T) * 3T /8]
x4 = 0.182m * cos (3π/4)
x4 = -0.129m
x5 = 0.182m * cos [(2π/T) * T /2]
x5 = 0.182m * cos (π)
x5 = -0.182m
x6 = 0.182m * cos [(2π/T) * 5T /8]
x6 = 0.182m * cos (5π/4)
x6 = -0.129m
x7 = 0.182m * cos [(2π/T) * 3T /4]
x7 = 0.182m * cos (3π/2)
x7 = 0m

x8 = 0.182m * cos [(2π/T) * 7T /8]
x8 = 0.182m * cos (7π/4)
x8 = 0.129m
x9 = 0.182m * cos [(2π/T) * T]
x9 = 0.182m * cos (2π)
x9 = 0.182m

- Calculo de la velocidad
v = -Aω sin(ωt + Ф)
Dónde:
ω = 2π/T Ф = 0 A = 0.182 m T = 1.427s

v = -A2π/T sin[(2π/T)* t]
v1 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * 0]»0
v1 = 0m/s
v2 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * T/8]
v2 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (π/4)
v2 = -0.567m/s
v3 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * T /4]
v3 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (π/2)
v3 = -0.801m/s
v4 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * 3T /8]
v4 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (3π/4)
v4 = -0.567m/s
v5 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * T /2]
v5 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (π)
v5 = 0m/s
v6 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * 5T /8]
v6 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (5π/4)
v6 = 0.567m/s
v7 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * 3T /4]
v7 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (3π/2)
v7 = 0.801 m/s
v8 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * 7T /8]
v8 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (7π/4)
v8 = 0.567m/s
v9 = -0.182m * 2π/1.427s * sin [(2π/T) * T]
v9 = -0.182m * 2π/1.427s * sin (2π)
v9 = 0m/s


- Calculo de la aceleración
a = -Aω2 cos(ωt + Ф)
Dónde:
ω = 2π/T Ф = 0 A = 0.182 m T = 1.427s a = -A(2π/T)2 cos[(2π/T)* t]
a1 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * 0]»0
a1 = -3.528m/s2
a2 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * T/8]
a2 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (π/4)
a2 = -2.495m/s2
a3 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * T /4]
a3 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (π/2)
a3 = 0m/s2
a4 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * 3T /8]
a4 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (3π/4)
a4 = 2.495m/s2
a5 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * T /2]
a5 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (π)
a5 = 3.528m/s2
a6 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * 5T /8]
a6 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (5π/4)
a6 = 2.495m/s2
a7 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * 3T /4]
a7 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (3π/2)
a7 = 0m/s2
a8 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * 7T /8]
a8 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (7π/4)
a8 = -2.495m/s2
a9 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos [(2π/T) * T]
a9 = -0.182m * (2π/1.427s)2 * cos (2π)
a9 = -3.528m/s2

- Calculo de la energía cinética
EK = ½ mA2ω2sin2(ωt + Ф)
Dónde:
m = 1593.5g A = 18.2 cm ω = 2π/T Ф = 0 T = 1.427s
EK = ½ mA2(2π/T)2 sin2[(2π/T )t ]
EK1 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * 0]»0
EK1 = 0

EK2 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * T/8]
EK2 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (π/4)
EK2 = 2.558*106 erg
EK3 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * T /4]
EK3 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (π/2)
EK3 = 5.116*106 erg
EK4 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * 3T /8]
EK4 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (3π/4)
EK4 = 2.558*106 erg
EK5 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * T /2]
EK5 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (π)
EK5 = 0 erg
EK6 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * 5T /8]
EK6 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (5π/4)
EK6 = 2.558*106 erg
EK7 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * 3T /4]
EK7 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (3π/2)
EK7 = 5.116*106 erg
EK8 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * 7T /8]
EK8 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (7π/4)
EK8 = 2.558*106 erg
EK9 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 [(2π/T) * T]
EK9 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * sin2 (2π)
EK9 = 0 erg
- Calculo de la energía potencial
Ep = ½ mA2ω2cos2(ωt + Ф)
Dónde:
m = 1593.5g A = 16.5cm ω = 2π/T Ф = 0 T = 1.427s
EK = ½ mA2(2π/T)2 cos2[(2π/T )t ]
Ep1 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * 0]»0
Ep1 = 5.116*106 erg
Ep2 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * T/8]
Ep2 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (π/4)
Ep2 = 2.558*106 erg
Ep3 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * T /4]
Ep3 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (π/2)
Ep3 = 0 erg
Ep4 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * 3T /8]
Ep4 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (3π/4)

Ep4 = 2.558*106 erg
Ep5 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * T /2]
Ep5 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (π)
Ep5 = 5.116*106 erg
Ep6 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * 5T /8]
Ep6 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (5π/4)
Ep6 = 2.558*106 erg
Ep7 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * 3T /4]
Ep7 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (3π/2)
Ep7 = 0 erg
Ep8 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * 7T /8]
Ep8 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (7π/4)
Ep8 = 2.558*106 erg
Ep9 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 [(2π/T) * T]
Ep9 = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2 * cos2 (2π)
Ep9 = 5.116*106 erg
- Calculo de la energía total
ET = ½ mA2ω2
ET = ½(1593.5g) * (18.2cm)2 * (2π/1.427s)2
ET = 5.116*106 erg (para cualquier tiempo)







4.7 Análisis de resultados.-
Cuando tomamos los datos experimentales, al aumentar "b" el largo del péndulo en primera instancia el periodo es menos con respecto a la primera altura en "b", pero luego de esto el periodo va en aumento y en ningún momento disminuye.

En el gráfico de elongación (x), velocidad (v) y aceleración (a); podemos observar que todo tiene lógica ya que cuando su aceleración llega al tope en función negativa, la velocidad se anula, todo esto respecto a un tiempo determinado.
La elongación no puede exceder la amplitud estas son iguales en el valor inicial y final del periodo y de signo contrario en medio periodo.
En la energía, podemos concluir que la energía total es la sumatoria de ambas energías dado que la sumatoria de ambas energías hace que la energía total sea constante en cualquier intervalo de tiempo.
4.8 Conclusión.-
La gravedad calculada en Sucre es relativamente aceptable dado que el error no sería mayor a un 5% si hiciéramos la prueba con la gravedad teórica, siempre tendremos el margen de error ya que nunca se podrá tomar con exactitud humana el tiempo de las oscilaciones calculadas. Concluimos que nuestros resultados han sido óptimos al igual que la práctica del péndulo.















Anexos
A = ( b2)*[ (T2b)2] - ( T2b)*( T2b * b2)
n [ (T2b)2] – ( T2b)2


B = n ( T2b * b2) - ( T2b)*( b2)
n [ (T2b)2] – ( T2b)2

- Calculo de b2
b2 = b21 + b22 + b23 + b24 + b25 + b26
b2 = 0.01s2 + 0.04s2 + 0.09s2 + 0.16s2 + 0.25s2 + 0.36 s2
b2 = 0.91 s2

- Calculo de T2b
T2b = (T2b)1 + (T2b)2 + (T2b)3 + (T2b)4 + (T2b)5 + (T2b)6
T2b = 0.216 s2m + 0.335 s2m + 0.392 s2m + 0.782 s2m + 1.130 s2m + 1.548 s2m
T2b = 4.403 s2m
- Calculo de [ (T2b)2]
[ (T2b)2] = (T2b)21 + (T2b)22 + (T2b)23 + (T2b)24 + (T2b)25 + (T2b)26
[ (T2b)2] = (0.216s2m)2 + (0.335s2m)2 + (0.392s2m)2 + (0.782s2m)2 + (1.130s2m)2 + (1.548s2m)2
[ (T2b)2] = 4.597 s4m2

- Calculo de T2b * b2
T2b * b2 = (T2b * b2)1+(T2b * b2)2+(T2b * b2)3+(T2b * b2)4+(T2b * b2)5+(T2b * b2)6
T2b * b2 = (0.216s2m*0.01s2) + (0.335s2m*0.04s2) + (0.392s2m*0.09s2) + (0.782s2m*0.16s2) +
(1.130s2m*0.25s2) + (1.548s2m*0.36s2)
T2b * b2 = 1.016 s4m

- Calculo de "A"

A = ( b2)*[ (T2b)2] - ( T2b)*( T2b * b2)
n [ (T2b)2] – ( T2b)2

A = (0.91s2 * 4.597s4m2) – (4.403s2m* 1.016s4m)
6 * 4.597s4m2 – (4.403s2m)2

A = - 0.035 s2

- Calculo de "B"

B = n ( T2b * b2) - ( T2b)*( b2)
n [ (T2b)2] – ( T2b)2


B = 6 * 1.016 s4m - (4.403s2m * 0.91 s2)
6 * 4.597s4m2 – (4.403 s2m)2

B = 0.254
m

Ecuación de la recta (Ajuste de Curva)
y = a +bx
Dónde:
B = 0.254 mA = - 0.035 s2 B = 0.254 mA = - 0.035 s2 (b2)´= A + B T2*b
B = 0.254
m

A = - 0.035 s2

B = 0.254
m

A = - 0.035 s2

(b2)´= (-0.035) + (0.254)*(T2*b)

(b2)´1= (-0.035) + (0.254)*(0.216 s2m) = 0.02
(b2)´2= (-0.035) + (0.254)*(0.335 s2m) = 0.05
(b2)´3= (-0.035) + (0.254)*(0.392 s2m) = 0.06
(b2)´4= (-0.035) + (0.254)*(0.782 s2m) = 0.16
(b2)´5= (-0.035) + (0.254)*(1.130 s2m) = 0.25
(b2)´6= (-0.035) + (0.254)*(1.548 s2m) = 0.36



4.7.2 Graficas
T en función de b
T
b
1.470
0.1
1.294
0.2
1.305
0.3
1.398
0.4
1.503
0.5
1.606
0.6


Elongación (x) en función de T

T
x
0
0
0.178
12.9
0.356
0
0.535
-12.9
0.713
-18.2
0.891
-12.9
1.07
0
1.248
12.9
1.427
18.2

Velocidad (v) en función de T
T
v
0
0
0.178
-56.7
0.356
-80.1
0.535
-56.7
0.713
0
0.891
56.7
1.07
80.1
1.248
56.7
1.427
0

Aceleración (a) en función de T
T
a
0

0.178
-56.7
0.356
-80.1
0.535
-56.7
0.713
0
0.891
56.7
1.07
80.1
1.248
56.7
1.427
0









Energía potencial, cinética y total en
función de la Amplitud (A)

A
Ecin
Epot
Etotal
-0.182
0
5.116
5.116
-0.091
2.558
2.558
5.116
0
5.116
0
5.116
0.091
2.558
2.558
5.116
0.182
0
5.116
5.116



b2 y b2´ en función de T2*b
T2*b
b2
b2´
0.216
0.01
0.02
0.335
0.04
0.05
0.392
0.09
0.06
0.782
0.16
0.16
1.130
0.25
0.25
1.548
0.36
0.36