PRÁCTICA N° 3 CAMPO ELÉCTRICO

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"PRÁCTICA "CAMPO ELÉCTRICO "
"N° 3 " "

1. OBJETIVOS:

a) Determinación de la variación del campo eléctrico y del potencial con
relación a las coordenadas, obteniéndose del análisis de los datos,
ecuaciones que relaciones el potencial con la distancia radial y el
campo eléctrico con la distancia radial.
b) Obtención de la geometría de un campo eléctrico.


2. EQUIPO Y MATERIAL NACESARIO:

"Cuba electrostática. "Voltímetro digital. "
"Dos sondas. "Cables para conexiones. "
"Potenciómetro de 320 y 1,5 "Puntas de prueba para el voltímetro, "
"amperios. "una de las cuales debe terminar en "
" "punta aguda. "




3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Se dice que existe un campo eléctrico en un punto, si sobre una carga de
prueba (generalmente positiva y pequeña) colocada en dicho punto se
ejerce una fuerza de carácter eléctrico. Puesto que la fuerza es una
magnitud vectorial, el campo eléctrico también lo será. Para definir
operacionalmente el campo eléctrico, colocamos un cuerpo de prueba
pequeño que tenga una carga q0 (supuestamente positiva) en el punto del
espacio que se va a examinar, y medimos la fuerza eléctrica que
actúa sobre ese cuerpo. El campo eléctrico en cualquier punto,
representado por , se define como el cociente entre la fuerza
ejercida sobre el cuerpo de prueba colocado en el punto, y la cantidad de
carga q0 del cuerpo de prueba.
(1)


En esta expresión es un vector porque lo es, ya que q0 es un
escalar. La dirección de es la dirección de , es decir, la
dirección en la cual tendería a moverse una carga positiva en reposo que
se colocará en el punto. La fuerza sobre una carga negativa, tal como un
electrón, es por consiguiente, opuesta a la dirección del campo, como se
muestra en la figura 1.



( + )


( - )


Fig. 1:

En el sistema M.K.S el campo eléctrico se expresa en Newtons/Coulombs.




3.2. LÍNEAS DE FUERZA:


Son líneas imaginarias tangentes en todos sus puntos al campo eléctrico.
Puesto que, en general, la dirección del campo varía de un punto a otro,
las líneas de fuerza son generalmente curvas. Se admite que dichas líneas
se originan en una carga positiva y terminan en una carga negativa. Por
tanto, las líneas son continuas, salvo en sus fuentes y sumideros, es
decir, las cargas positivas y negativas respectivamente.


En cualquier punto de un campo eléctrico, dicho campo sólo puede tener
una dirección, un solo sentido y una misma intensidad de manera que por
cada punto del campo sólo puede pasar una línea de fuerza.


En otras palabras, las líneas de fuerza no se cortan jamás. La figura 2
representa una línea de fuerza en el espacio.
















Fig. 2:


Seguidamente se ilustran los campos de algunos modelos electrostáticos a
través de líneas de fuerza.























































Analizaremos ligeramente dos modelos:

a) Uno que produzca un campo no uniforme como el de la Fig. 3 (a) ó 3
(b).
Se observa en esta figura que el campo eléctrico no es constante
sino que disminuye al aumentar la distancia a la carga. Esto se pone
de manifiesto en las líneas de fuerza, las cuales están más separadas
a mayores distancias. Además por simetría es igual para todos
los puntos que están a una misma distancia del centro de la carga.


b) Uno que produzca un campo uniforme.
En un campo uniforme las líneas de fuerza son paralelas y de densidad
constante. Un plano infinito cargado con densidad uniforme de cargas
es un ejemplo de distribución que da origen a un campo uniforme, como
puede verse por razones de simetría: Realmente, una carga de prueba
positiva abandonada en frente del plano se alejará de éste, y como no
hay razón alguna para subir o bajar o irse hacia la derecha o hacia la
izquierda, se alejará a lo largo de una línea perpendicular al plano,
que es la dirección de las líneas de fuerzas ver Fig. 3 (c).




3.3. POTENCIAL ELÉCTRICO:


Supongamos que en un punto (x, y, z) de un campo eléctrico existe una
pequeña carga eléctrica, q0 .


En estas condiciones la carga constituye una reserva de energía. Esta
energía es igual al trabajo positivo o negativo que debe ser realizado
para llevar la carga q0 al punto P, en oposición a las repulsiones y
atracciones del campo, Suponemos aquí, que la presencia de la carga q0
no altera la posición de otras cargas. Es claro que el trabajo dependerá
del punto inicial donde se encontraba la carga q0 . Existe un punto
inicial muy conveniente para el cálculo de este trabajo, este punto
estará en el infinito, o para que se comprenda mejor, en una posición tan
alejada de la región donde existe un campo que las fuerzas repulsivas o
atractivas sean cero. Adoptando este punto como inicial, se define el
potencial eléctrico V(x, y, z) como el trabajo por unidad de carga que
debe realizarse sobre un cuerpo cargado para llevarlo desde el infinito
hasta el punto P(x, y, z) considerando (Fig. 4). Matemáticamente:


(2)
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre la carga de
prueba. Para evitar que la carga q0 se acelere, un agente externo debe
aplicar una fuerza que sea exactamente para todas las
posiciones de la carga de prueba. Si el agente externo hace que la carga
se mueva recorriendo un desplazamiento a lo largo de la
trayectoria, el elemento de trabajo desarrollado es . Para obtener
el trabajo total hecho por el agente externo al mover la carga desde el
infinito al punto P(x, y, z) sumamos (es decir, integramos) las
contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que
se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:


(3)


Esta integral se llama integral de línea. Nótese que hemos sustituido a
por su igual .


Sustituyendo la expresión (3) en la (29 se obtiene:


= (4)


Esta ecuación nos permite calcular el potencial V en cualquier punto, si
se conoce en diversos puntos del campo.












Fig. 4.
El trabajo realizado para llevar la carga q0 desde el infinito al punto
P no depende de la trayectoria seguida por la carga, puesto que las
fuerzas electrostáticas son del tipo conservativo, es decir, que el
trabajo que realiza el agente externo para llevar la carga desde el
infinito al punto P (en contra de las repulsiones o atracciones del
campo) puede ser recuperado si dicho agente deja en libertad la carga q0
. Si el potencial del punto P(x, y, z) dependiera de la trayectoria,
dicho punto no tendría un potencial eléctrico único y el concepto de
potencial sería de utilidad restringida.




3.4. DIFERENCIA DE POTENCIAL:


Para encontrar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un
campo eléctrico, movemos la carga de prueba q0 entre A y B, conservándola
siempre en equilibrio, y medimos el trabajo WAB que debe hacer el agente
que mueve la carga. La diferencia de potencial se define así:


(5)




El trabajo puede ser positivo, negativo o nulo. En estos casos, el
potencial eléctrico en B será mayor, menor o igual que el potencial en A.


El estudiante debe mantener en mente la idea de que son las diferencias
de potencial las que interesan fundamentalmente. En el caso del potencial
definido en el inciso anterior, el punto A se tomó como referencia en el
infinito y se le asignó el valor cero. En forma semejante se hubiera
podido escoger como posición de referencia el valor de – 100 Voltios o
cualquier otro punto en que se conviniera. En muchos problemas de
circuitos se toma la "tierra" como referencia de potencial y se le asigna
el valor cero.




3.5. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES:


Definimos la superficie equipotencial como el lugar geométrico de los
puntos de igual potencial eléctrico. Para dar una descripción general del
campo eléctrico en una cierta región del espacio se puede usar una
familia de superficies equipotenciales, correspondiendo cada superficie a
un valor diferente de potencial.


No se requiere utilizar trabajo para mover una carga de prueba entre dos
puntos cualesquiera en una de esas superficies equipotenciales. Esto se
deduce de la ecuación , porque WAB debe ser nulo si VA = VB . Esto
es válido, debido a que la diferencia de potencial es independiente de la
trayectoria, aún cuando la trayectoria que une A y B no se encuentra
totalmente en la superficie equipotencial. La figura (5) muestra una
familia arbitraria de superficies equipotenciales. El trabajo para mover
una carga una carga siguiendo las trayectorias I y II es cero porque
todas esas trayectorias comienzan y terminan en la misma superficie
equipotencial. Para la trayectoria I' y II' no es cero el trabajo para
mover una carga de una superficie a otra, pero es el mismo para ambas
trayectorias porque los potenciales inicial y final son idénticos; las
trayectoria I' y II' unen el mismo para de superficies equipotenciales.






















Fig. 5.
Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de
fuerza y, por consiguiente a (Fig. 6). Si no fuera
perpendicular a la superficie equipotencial, tendría una componente en
esa superficie. Entonces tendría que hacerse trabajo para mover una carga
de prueba en la superficie. Ahora bien, si la superficie es equipolencia
no se hace trabajo en ella, de modo que debe ser perpendicular a la
superficie.


















Fig. 6: superficies equipotenciales (líneas interrumpidas) y líneas de
fuerza (líneas llenas) para (a) una carga punto, y (b) un campo eléctrico
uniforme. En todas las figuras hay una diferencia de potencial constante
V entre superficies equipotenciales y adyacentes.




3.6. RELACIÓN ENTRE EL VECTOR DEL CAMPO ELÉCTRICO Y EL POTENCIAL
V(x, y, z).


Consideremos dos puntos próximos en un campo electrostático P1 y P2 (Fig.
7). Los potenciales de P1 y P2 se escriben:










Fig. 7: Puntos próximos dentro de un campo electrostático.



La diferencia de potencial entre P1 y P2 será:


(6)


Si ahora los puntos P1 y P2 fueran P(x, y, z) y P(x+dx, y+dy, z+dz)
de tal modo que la distancia entre ellos corresponda a un desplazamiento
infinitesimal .



(7)


Hemos dicho que la diferencia de potencial entre dos puntos, P1 y P2 ,
depende solamente de dichos puntos y es independiente de la trayectoria;
esto equivale a decir que existe una función potencial V(x, y, z) de tal
modo que:


(8)

Para que esto ocurra es necesario que sea una diferencia exacta, o
sea, que:


(9)


Por lo tanto:



Para que esta relación sea siempre válida es necesario que:





Estas tres ecuaciones pueden escribirse en forma vectorial como: =
- grad (V)


Donde grad (V) se define como el vector siguiente:


Las componentes del campo derivan de V(x, y, z), a través de las
ecuaciones:





Es de hacer notar que el gradiente de potencial se expresa en
voltios/metro, mientras que el campo eléctrico se expresa en
Newtons/Coulombs. Ahora bien:





De manera que Voltios/Metro y Newtons/Coulomb son unidades
equivalentes.




4. DESCRIPCIÓN DE LA CUBA ELECTROLÍTICA:

Para hacer la descripción nos referimos a la Fig. 8, utilizaremos una cuba
de 40 cm x 5 cm en cuyo fondo se ha colocado un vidrio deslustrado, con una
red milimétrica para fijar los puntos a ensayar. Como electrolito
utilizaremos agua corriente y los electrodos han sido construidos de acero
inoxidable para evitar ser atacados por el paso de la corriente, pues de
otro modo se podrían producir perturbaciones en la marcha del campo.

Los electrodos tienen forma de cilindro hueco plano (externo) y cilindro
sólido plano (interno) respectivamente, colocados en forma concéntrica. La
diferencia de potencial aplicada entre los dos electrodos la tomaremos de
un potenciómetro utilizado como divisor de tensión, alimentado con la red
domiciliaria de 110 voltios, 60 Hz.








Fig. 8: Cuba electrolítica.


5. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

Para la realización de esta práctica proceda de la siguiente manera:

1. Verifique que la cuba coincida con la descripción hecha
anteriormente.


2. Realice el montaje de la figura 8. Para ello proceda así:

1. Conecte los cables blancos paralelos a los extremos fijos del
potenciómetro para alimentar el mismo con 110 V de la red (no
conecte los cables a la red hasta que el instructor lo autorice),
como se indica seguidamente en la Fig. 9.




















2. Conecte a través de un cable el punto C del potenciómetro con el
electrodo interno y con otro cable conecte el punto B con el
electrodo externo. El contacto para estos electrodos se hace a
través de dos sondas.


3. Prepare el multímetro para trabajar como voltímetro AC.

4. Conecte el cable común del voltímetro (negro) al electrodo
externo, de esta manera se medirán todos los potenciales en
relación a este punto, designado como tierra ( ). El
otro cable del voltímetro terminado en punta, servirá para medir
los diferentes potenciales que se indiquen (punta móvil).



3. Llene con agua corriente la región comprendida entre ambos
electrodos.


4. Espere la autorización del instructor y conecte el cable de
alimentación a la red (110 V, 60 Hz).

5. Mueva la punta móvil del voltímetro y colóquela sobre el electrodo
interno, mueva el cursor (B) del potenciómetro hasta que el
voltímetro indique 40 V.

6. Mueva la punta móvil y toque diferentes puntos del electrodo interno
¿Cambia de valor el voltaje sobre el electrodo interno al tocar los
diferentes puntos del mismo? ¿Será el electrodo interno una
superficie equipotencial? Razone su respuesta.

7. Mueva la punta móvil del voltímetro y toque diferentes puntos del
electrodo externo ¿Qué voltaje indica el voltímetro? ¿Le parece
lógico el valor medido? ¿Será el electrodo externo una superficie
equipotencial? Razone su respuesta.

8. Mida el radio promedio del electrodo interno y el radio interno
promedio del electrodo externo. Anótelos.

9. Familiarícese con la hoja de datos siguiente, donde anotará los
valores de las medidas, V1 es el voltaje de la primera superficie
equipotencial y (x1, y1) son las coordenadas de los puntos que poseen
35 V, y así sucesivamente hasta llegar a la superficie equipotencial
N° 7 (V7 = 5 V) con los puntos de coordenadas (x7, y7).

TABLA N° 1.

V1 = 35 V "V2 = 30 V "V3 = 25 V "V4 = 20 V "V5 = 15 V "V6 = 10 V "V7 = 5 V
" "x1 , y1 "x2 , y2 "x3 , y3 "x4 , y4 "x5 , y5 "x6 , y6 "x7 , y7 " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "
" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "


TABLA N° 2.
V (voltios) " " " " " " " " "r (cm) " " " " " " " " "


10. En un papel milimetrado y tomando el origen de coordenadas en el
centro del papel, represente las coordenadas de los puntos de la
Tabla N° 1. Una los puntos de igual potencial a través de líneas
punteadas y así estará encontrando las superficies equipotenciales
del modelo ensayado. Coloque el respectivo potencial a cada línea
(para cada línea abra el compás con radio promedio).


11. Una vez obtenida las superficies equipotenciales, trace las líneas de
fuerza del campo.

12. Grafique la Tabla N° 2 en papel milimetrado, log-log o semi-log. En
una de estas tres gráficas obtendrá una línea recta. Determine la
ecuación de la recta, la cual representa la función V = f(r).

13. Para hallar la ecuación del campo aplique = - grad (V) =,
utilizando la ecuación hallada en el inciso anterior.

14. Una vez obtenida las ecuaciones de potencial y de campo: Grafique V
vs r en papel milimetrado con 0 cm r 12 cm, grafique además E
vs r con 0 r (papel milimetrado) (con las ecuaciones
obtenidas calcule los valores que hagan falta para completar las
gráficas).


15. ¿Cuánto vale el potencial eléctrico desde r = 0 cm hasta r = 1 cm? ¿Y
el campo desde r = 0 cm hasta r =1 cm? ¿Porqué?

16. ¿A qué distancia radial se anula el potencial?. ¿A que distancia
radial se anula el campo?.

17. A partir de las ecuaciones determinadas para V y E, identifique el
modelo electrostático estudiado.

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F=q.E

q.

V



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