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PRACTICA # 2
1.
a) Para que los valores de t el vector u y v son perpendiculares si:
u= (1, 2, 4t, t) v= (0, -1, 2, 3t)
b) Para qué valores de t el vector u y v son paralelos si:
u= (1, 2, 4t, t) v= (0, -1, 2, 3t)
c) Expresa el vector u en función de sus cosenos Directores si:
u= (2, 3, -1)
2. Demostrar las siguientes Identidades
a) (u +k v) x v = u x v
b) Simplificar:
(u + v) x (u- v)
c) Sean:
a= (a1, a2, a3) ; b= (b1, b2, b3) ; c= (c1, c2, c3) ; d= (d1, d2, d3)
Demostrar que:
(a + d) · (b x c) = a · (b x c) + d · (b x c)
3. Demostrar: si θ es el angulo entre u y v y u · v 0
Entonces: tagθ= uxv(u·v)
4. Determinar la distancia de un punto a una recta en forma general
5. si los vectores a, b, c y d están en el mismo plano entonces.
(a x b) x (c x d) = 0
6. Encontrar todos los vectores unitarios paralelos al plano xy que son perpendiculares al vector (3,-1,2)
7. Encontrar todos los vectores unitarios en el plano determinar por u = (3,0,1) y v=(1,-1,1) que son perpendiculares al vector w=(1,2,0)
8. encontrar la ecuación del plano que pasa por (2, -1, 4) y es perpendicular a la recta de intersección de los planos 4x + 2y + 6z = -1 3x + 6y +3z = 7
9. Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 8x – 2y +6z = 1 y pasa por los puntos P1 (-1, 2, 5) y P2 (2, 1, 4)
10. Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto (1, -1, 2) y a la recta x = t; y = t + 1; z = 2 t – 3
11. Encontrar la ecuación del plano que contiene a la recta x = 1 + t; y = 3t ; z = 2t y es paralelo a la recta de intersección de los planos –x + 2y + z = 0 x + z + 1 = 0
12. encontrar la ecuación del plano tal que todos sus puntos equidisten de (-1, -4, -2) y (0, -2, 2)
13. Determinar si las rectas:
X – 3 = 4t x + 1 = 12t
Y – 4 = t y – 7 = 6t
Z – 1 = 0 z – 5 = 3t
Se cortan o no se cortan; si se cortan encontrar el punto.
14. Encontrar la ecuación de la recta que es paralelo al plano 3x + 2y – z = 3 y pasa por el punto (1, -2, 3)
15. Determinar si los planos son paralelos
4x – y + 2z = 5 7x – 3y + 4z = 8
16. Determinar si los planos son perpendiculares
(-2, 1, 4) · (x – 1, y, z + 3) = 0 81, -2, 1) · (x + 3, y -5, z) = 0
17. Encontrar el punto de intersección de la recta
X – 9 = -5t
Y + 1 = -t
Z – 3 = t
Y el plano: 2x – 3y + 4z + 7 = 0
18. Encontrar la ecuación del plano que contiene a la recta
X = -1 + 3t
Y = 5 + 2t
Z = 2 – t
Y es perpendicular al plano 2x – 4y + 2z = 9
19. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (2, 4, -1) y contiene a la recta de intersección de los planos x – y – 4z = 2; -2x + y +2z = 3
20. Demostrar que los puntos (-1, -2, -3) (-2, 0, 1) (-4, -1, -1) (2, 0, 1) pertenecen al mismo plano
21. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (-2, 5, 0) y es paralela a los planos 2x + y – 4z = 0; -x + 2y + 3z = 1
22. Encontrar la ecuación del plano que pasa por (-2, 1, 5) y es perpendicular a los planos 4x – 2y + 2z = -1; 3x + 3y – 6z = 3
23. Encontrar el ángulo de intersección entre el plano x- y – 3z = 5 y la recta x = 2 – t
Y = 2t
Z = 3t – 1
24. Para que valores de k los planos son perpendiculares: 3x – 5y + kz = 3; 2kx + 3y + 2kz =5
25. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2, -1, 3) (3, 1, 2) y es paralelo al vector a = (3, -1, -4)
26. Verificar que los 3 planos x – 2y + z – 7 = 0; 2x + y – z + 2 = 0; x – 3y + 2z – 11 = 0 tienen un punto en común y calcular sus coordenadas
27. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 2x – 2y – z – 3 = 0 que están a la distancia de 5 unidades del plano dado
28. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos equidistante de los planos paralelos
4x – y – 2z – 3 = 0
4x – y – 2z – 5 = 0
29. Para que valores de m la recta x+13=y-2m=z+3-2 es paralela al plano: x-3y+6z+7=0
30. para que valores de c la recta.
3x-2y+z+3=0
4x-3y+4z+1=0
Es paralela al plano: 2x-y+cz-2=0
31. Para que valores de A y D la recta: x=3+4t
y=1-4t
z=-3+t
Esta situado en el plano: Ax+2y-4z+D=0
32. Para que valores de A y B el plano: Ax+By+3z-5=0 es perpendicular a la recta: x-32=y-5-3=z+2-2
33. hallar la proyección del punto (2,-1,3) sobre la recta.
x= 3t
y=5t-7
z=2t+2
34. hallar el punto Q que es simétrico al punto (4,1,6) con respecto a la recta:
x-y-4z+12=0
2x+y-2z+3=0