Primeira Avaliação de ECA401 – 2017 Projeto de um Robô Pendular

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Primeira Avaliac¸a˜ o de ECA401 – 2017 Projeto de um Robˆo Pendular Prof. Lu´ıs Henrique de Carvalho Ferreira Universidade Federal de Itajub´a

Um robˆo pendular, segundo o referencial do corpo, as simplificac¸o˜ es e as notac¸o˜ es de constantes e de vari´aveis dadas em sala de aula, tem o seu modelo n˜ao-linear dado por: θ(t) =

x1 (t) + x2 (t)

(1)

2r

φ(t) =

x1 (t) − x2 (t)

(2)

2d

2 ¨ ¨ (2Jw + mb r )θ(t) + mb lr ψ(t) cos(ψ(t)) + 2

¨ ¨ Jy ψ(t) + mb lr θ(t) cos(ψ(t)) + 2

B+

 Jx sin2 (ψ(t)) + Jz cos2 (ψ(t)) + 2

Kt Ke Ra

d2 r2

Kt Ke

B+

Ra

!

˙ ˙ ˙ 2 (t) sin(ψ(t)) = (θ(t) − ψ(t)) − mb lr ψ

! ˙ ˙ (ψ(t) − θ(t)) − gmb l sin(ψ(t)) −

 ¨ Jw  φ(t) +2

d2 r2

B+

Kt Ke

Kt Ra

K Jx − Jz 2 ˙ (t) sin(2ψ(t)) = − t (v (t) + v (t)) φ 1 2 2 Ra

!

Ra

(v1 (t) + v2 (t))

˙ ˙ ˙ φ(t) + (Jx − Jz )φ(t) ψ(t) sin(2ψ(t)) =

d Kt r Ra

(v1 (t) − v2 (t))

(3)

(4)

(5)

Conforme visto em sala de aula, s´o existe uma resposta em regime permanente para o aˆ ngulo ψ igual a zero ou a 180 graus. Considerando o ponto de operac¸a˜ o no qual os aˆ ngulos θ, ψ e φ s˜ao iguais a zero, o modelo linearizado em torno desse ponto de operac¸a˜ o e´ dado por: ¨ ¨ ˆ 2 ˆ (2Jw + mb r )θ(t) + mb lr ψ(t) + 2

¨ ¨ ˆ ˆ Jy ψ(t) + mb lr θ(t) + 2

 Jz + 2

d2 r2

B+

Kt Ke Ra

 ¨ ˆ d2 Jw  φ(t) + 2 r2

B+

Kt Ke Ra

!

!

˙ ˙ ˆ ˆ Kt (ˆ v1 (t) + v ˆ2 (t)) (θ(t) − ψ(t)) = Ra

˙ ˙ ˆ ˆ Kt ˆ (ψ(t) − θ(t)) − gmb lψ(t) = − (ˆ v1 (t) + v ˆ2 (t)) Ra

B+

Kt Ke Ra

! ˙ ˆ d Kt (ˆ v1 (t) − v ˆ2 (t)) φ(t) = r Ra

(6)

(7)

(8)

Assim: 1) Determine a matriz de transferˆencia tendo os vetores de entrada e sa´ıda dados por:  U (s) =

ˆ (s) V 1 ˆ (s) V 2





Y (s) = 

 ˆ Ψ(s) ˆ (s)  X 1 ˆ X2 (s)

(9)

2) Determine uma representac¸a˜ o em espac¸o de estados tendo o vetor de estados dado por:      x(t) =    

ˆ θ(t) ˆ ψ(t) ˆ φ(t) ˙ ˆ θ(t) ˙ ˆ ψ(t) ˙ ˆ φ(t)

        

(10)

3) Projete o corpo e as rodas de um robˆo pendular, determinando as constantes f´ısicas (massa, dimens˜oes, momentos, etc.) a serem utilizadas no modelo. 4) Especifique um motor DC capaz de acionar o projeto realizado no item 3. Determine as constantes f´ısicas do motor a serem utilizadas no modelo. Anexe o cat´alogo do motor. 5) Determine os polos e os zeros do sistema projetado nos item 3 e 4. 6) Determine a resposta em frequˆencia do sistema projetado nos item 3 e 4. 7) Determine pior caso do n´umero de condic¸a˜ o do sistema projetado. O que se pode dizer do seu acoplamento? 8) Utilizando o Simulink, simule o modelo linearizado, mostrando que o sistema e´ capaz de atuar (sem saturac¸a˜ o dos motores) para variac¸o˜ es do aˆ ngulo ψ de at´e ± 20 graus. 9) Utilizando o Simulink, simule o modelo n˜ao-linear, mostrando que o sistema e´ capaz de atuar (sem saturac¸a˜ o dos motores) para variac¸o˜ es do aˆ ngulo ψ de at´e ± 20 graus. 10) H´a diferenc¸a na dinˆamica entre o modelo n˜ao-linear e o linearizado em relac¸a˜ o a` s condic¸o˜ es de contorno impostas?