Principales Estructuras Algebraicas

Estructuras algebraicas Bernardo Mondrag´on Brozon Febrero 2015

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Propiedades 1. A 6= ∅ y + : A × A −→ A | +(a, b) = a + b ∈ A ∀a, b ∈ A. + es binaria. 2. ∗ : A × A −→ A | ∗(a, b) = a ∗ b ∈ A ∀a, b ∈ A. ∗ es operacion binaria. 3. ∀a, b, c ∈ A, (a + b) + c = a + (b + c). Asociatividad de +. 4. ∀a, b ∈ A, a + b = b + a. Conmutatividad de +. 5. ∀a ∈ A, ∃e ∈ A | a + e = a = e + a. Existencia del elemento neutro en +. 6. ∀a ∈ A, ∃ − a | a + −a = e = −a + a. Existencia del inverso en +. 7. ∀a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Asociatividad de ∗. 8. ∀a, b, c ∈ A, a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ b. Distributividad de ∗ sobre +. 9. ∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a. Conmutatividad de ∗.

10. ∀a ∈ A, ∃e0 | a ∗ e0 = a = e0 ∗ a. Existencia del neutro en ∗. 11. a, b ∈ A | a ∗ b = e ⇒ a = e ´ o b = e. Propiedad de ∗. 12. ∀a ∈ A − {e}, ∃a−1 | a ∗ a−1 = e0 = a−1 ∗ a. Existencia del inverso en ∗.

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Definiciones a)

(A, +) es semigrupo si y s´ olo si 1, 3.

b)

(A, +) es semigrupo abeliano si y s´olo si 1, 3, 4.

c)

(A, +) es monoide si y s´ olo si 1, 3, 5.

d)

(A, +) es monoide abeliano si y s´olo si 1, 3, 5, 4.

e)

(A, +) es grupo si y s´ olo si 1, 3, 5, 6.

f)

(A, +) es grupo abeliano si y s´olo si 1, 3, 5, 6, 4.

g)

(A, +, ∗) es anillo si y s´ olo si 1, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 8.

h)

(A, +, ∗) es anillo abeliano si y s´olo si 1, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 8, 9.

i)

(A, +, ∗) es anillo con unitario si y s´olo si , 1, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 8, 10.

j)

(A, +, ∗) es anillo abeliano con unitario si y s´olo si 1, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 8, 9, 10.

k)

(A, +, ∗) es dominio entero si y s´olo si 1, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 8, 9, 10, 11.

l)

(A, +, ∗) es campo si y s´ olo si 1, 2, 3, 5, 6, 4, 7, 8, 9, 10, 12.

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