Problemas de aplicação de derivadas

Problemas de aplicações de derivadas
Muitas vezes é importante encontrar o maior ou menor valor de uma determinada quantidade. Por exemplo, engenheiros de automóveis querem construir um carro que use a menor quantidade possível de combustível, cientistas querem calcular os comprimentos de onda que carregam radiações máxima em uma temperatura dada. Tais problemas pertencem a um campo da matemática chamado OTIMIZAÇÃO
Otimizar significa extrair o melhor rendimento possível de algo podendo ser uma pessoa, uma máquina, uma empresa, etc.
Em matemática, o termo otimização, ou programação matemática, refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais ou inteiras dentro de um conjunto viável .Em problemas de engenharia, de administração, de logística, de transporte, de economia, de biologia ou de outras ciências, quando se consegue construir modelos matemáticos bastante representativos dos respectivos sistemas dinâmicos em estudo, é possível aplicar as técnicas matemáticas de otimização para maximizar ou minimizar uma função previamente definida como índice de desempenho (ID), ou índice de performance (IP), visando encontrar uma "solução ótima" do problema, isto é, que resulte no melhor desempenho possível do sistema, segundo este critério de desempenho previamente definido (ID).
Problemas de Otimização
Os métodos aprendidos para encontrar valores extremos têm aplicações práticas em muitas áreas do dia-a-dia. Um homem de negócios quer minimizar custos e maximizar lucros. Um viajante quer minimizar o tempo de transporte. Agora vamos resolver problemas tais como maximizar áreas, volumes e lucros, e minimizar distâncias, tempo e custos.
Exemplos:
Quais as dimensões de um retângulo de perímetro 48 cm que tem maior área?
Uma área retangular é circundada por 1500 m de grade. Ache as dimensões do retângulo de área máxima.
Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de papelão medindo 8 cm de largura por 15 cm de comprimento, e uma caixa sem tampa é construída virando os lados para cima. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo.
Quais são as dimensões de uma lata de alumínio que pode conter 656 cm3 de suco e que usa a quantidade mínima de material? Suponha que a lata é cilíndrica e fechada nas duas extremidades.
Se você tiver 100 metros de cerca e quiser cercar uma área retangular encostada em uma parede reta e longa, qual a maior área que pode ser cercada?
Uma viga retangular é retirada de um tronco cilíndrico de raio 30 cm. A resistência de uma viga de largura w e altura h é proporcional a wh2. Encontre a largura e a altura da viga de resistência máxima.
 Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 375π cm3. . O custo do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. . Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.