Problemas de Construção com Régua e Compasso

Trˆ es problemas famosos de constru¸ c˜ ao Priscila Gutierres Instituto de Ciˆencias Matem´ aticas e de Computa¸c˜ao, ICMC, USP S˜ao Carlos Bolsa: Ensinar com Pesquisa - Pr´ o-Reitoria de Gradua¸c˜ao da Universidade de S˜ao Paulo

Orientadora:Profa Dra Sandra Maria Semensato de Godoy Instituto de Ciˆencias Matem´ aticas e de Computa¸c˜ao, ICMC, USP S˜ao Carlos

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Objetivos

Neste trabalho, estudaremos trˆes famosos problemas de constru¸c˜ ao: a duplica¸c˜ ao do cubo, a trisec¸c˜ao de um ˆangulo e a quadratura do c´ırculo usando apenas r´egua e compasso. Estes problemas j´a eram conhecidos pelos antigos gregos, mas somente muitos s´eculos depois foram solucionados.

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Material e M´ etodos

Pesquisa individual nos livros da bibliografia do projeto de pesquisa e semin´ arios semanais apresentados pela aluna e supervisionados pela orientadora.

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Alguns Resultados

˜ o 3.1 Um n´ Definic ¸a umero real alg´ebrico ´e um n´ umero real que ´e solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ ao polinomial a coeficientes inteiros. Salvo men¸c˜ ao expl´ıcita, chamaremos, daqui por diante, um n´ umero real alg´ebrico apenas de n´ umero alg´ebrico. ˜ o 3.2 Um n´ Definic ¸a umero transcendente ´e um n´ umero real que n˜ ao ´e raiz de nenhuma equa¸c˜ ao polinomial a coeficientes inteiros. ˜ o 3.3 Se um n´ Definic ¸a umero algebrico for raiz de uma equa¸c˜ ao de grau n, com coeficientes inteiros, mas n˜ ao for raiz de uma equa¸c˜ ao de grau menor, a coeficientes inteiros, dizemos que tratase de um n´ umero alg´ebrico de grau n. Teorema 3.1 Se um n´ umero racional ab irredut´ıvel for raiz de uma equa¸c˜ ao polinomial com n coeficientes inteiros cn x + cn−1 xn−1 + .. + c2 x2 + c1 x + co = 0 ent˜ ao a|co e b|cn .

´ rio 3.1 Consideremos a equa¸c˜ Corola ao xn + cn−1 xn−1 + .. + c2 x2 + c1 x + co = 0 com coeficientes inteiros. Se esta equa¸c˜ ao possuir uma raiz racional ela ser´ a inteira e ser´ a um divisor de c0 . √ ´ rio 3.2 Um n´ Corola umero da forma n a, onde a e n s˜ ao inteiros positivos, ou ´e irracional ou ´e um inteiro; no segundo caso, a ´e uma n´esima potˆencia de um inteiro. √ Exemplo 3.1 Mostremos que 3 2 ´e um n´ umero algebrico de grau 3. √ De fato, 3 2 ´e raiz da equa¸c˜ ao polinomial x3 −2 = 0. Suponhamos que x3 − 2 = 0 tenha alguma raiz racional. Pelo Corol´ ario ??, os candidatos a raizes racionais s˜ ao −2, −1, 1, 2, que n˜ ao satisfazem a equa¸c√ ˜ ao. ao polinoLogo, como 3 2 satisfaz uma equa¸c˜ mial de coeficientes inteiros que n˜ ao possui raizes racionais, temos que este n´ umero ´e irracional e alg´ebrico. E mais ainda, n˜ ao existe ao de √ nenhuma equa¸c˜ grau 1 cuja raiz seja 3 2. Suponhamos, por absurdo, que exista uma equa¸c˜ ao polinomial de coe√ 3 ficientes inteiros, ax+b = 0, que possua 2 como √ raiz. Ent˜ ao temos: 3 2 = −b , que ´ e um n´ u mero a racional, contradi¸c˜ ao. √ Suponhamos, agora, que 3 2 ´e raiz de uma equa¸c˜ ao do segundo grau. Nesse caso, ter´ıamos: √ 2 √ a( 3 2) + b 3 2 = −c. Elevando os membros ao √ √ 3 3 quadrado, obtemos: 2a2 2 + b2 4 = c2 − 4ab. Considerando as duas u ´ltimas equa¸c˜ oes como um √ √ 3 sistema linear nas quantidades 4 e 3 2 √ obtemos , se a solu¸c˜ ao for u ´nica, 3 2 √= 2 2 2 4a b−ac −b c , o que ´e uma contradi¸c˜ ao pois 3 2 b3 −2a3 ´e irracional. Analogamente, se o sistema for possivel e indeterminado, obtemos: √ 3 a b2 b3 = , 2 = e 2 = ab o que ´e um absurdo. 2 3 b 2a √ a Portanto, 3 2 ´e um n´ umero alg´ebrico de grau 3, como quer´ıamos.

3.3

Teorema 3.2 Come¸cando por um segmento de comprimento unitario, qualquer comprimento que possa ser constru´ıdo com r´egua e compasso ´e um n´ umero alg´ebrico de grau igual a uma potˆencia de 2.

3.1

Dado um c´ırculo qualquer, podemos considerar seu raio como unidade de comprimento. Com essa unidade, a ´ area do c´ırculo ser´ a π unidades de ´ area. Um quadrado com π unidades de a ´rea √ teria lado de comprimento π. Portanto o problema da quadratura do c´ırculo consiste em √ construir um segmento de comprimento π, a partir de um comprimento unit´ ario dado. Na teoria das constru¸c˜ oes geom´etricas ´e bem conhecido que se pode construir um segmento de comprimento a2 a partir de segmentos de comprimento 1 e a. Assim, o problema se resume a ` constru¸c˜ ao de um segmento de comprimento π. Pode-se mostrar que π ´e um n´ umero transcendente, isto ´e, π n˜ ao ´e um n´ umero alg´ebrico. Logo, pelo Teorema ??, conclu´ımos que n˜ ao podemos construir um segmento de comprimento π. Portanto, a constru¸c˜ ao necess´ aria para a quadratura do c´ırculo, ´e imposs´ıvel.

Duplica¸c˜ ao do cubo

Duplicar o cubo, significa construir um cubo de volume igual ao dobro do volume de um cubo dado. Apesar de o cubo ser uma figura geom´etrica espacial, o problema ´e, realmente, de geometria plana, pois, se tomarmos como unidade de comprimento a aresta do cubo dado, o problema se reduz a `√constru¸c˜ ao de um segmento de comprimento 3 2, porque este seria o comprimento da aresta de um cubo cujo volume fosse o dobro do cubo dado. √ No Exemplo 3.1, mostramos que 3 2 ´e um n´ umero alg´ebrico de grau 3 e portanto pelo Teorema ??, n˜ ao ´e poss´ıvel duplicar o cubo utilizando apenas r´egua e compasso.

3.2

Quadratura do C´ırculo

Trisec¸c˜ ao de um ˆ angulo

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Trisectar um ˆ angulo significa dividir qualquer ˆ angulo em 3 partes iguais, usando-se apenas r´egua e compasso. Para mostrar a impossibilidade da trisec¸c˜ ao, basta mostrar que um ˆ angulo espec´ıfico n˜ ao pode ser trisectado. Consideremos o ˆ angulo de 60o . Trisectar esse ˆ angulo significa construir um ˆ angulo de 20o , o que, por sua vez, consiste em construir, a partir de um segmento unit´ ario, um segmento igual a cos(20o ). Mas, podemos mostrar que cos(20o ) ´e um n´ umero alg´ebrico de grau 3. Portanto, pelo Teorema ??, n˜ ao ´e possivel trisectar o ˆ angulo de 60o , e assim conclu´ımos a demonstra¸c˜ ao.

Conclus˜ oes

Atrav´es dos resultados acima, principalmente o Teorema 3.2, conclu´ımos que os problemas da duplica¸c˜ ao do cubo, trisec¸c˜ ao de um a ˆngulo e quadratura do c´ırculo n˜ ao podem ser resolvidos utilizando-se apenas r´egua e compasso.

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Referˆ encias Bibliogr´ aficas

Niven, I. N´ umeros: Racionais e Irracionais.Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matem´ atica, 1984, 216 p.

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