Problemas resueltos de derivadas

Problemas resueltos de derivadas Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una función por una constante Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Segunda derivada y derivadas de orden superior Derivadas de las funciones trigonométricas • Derivada del seno La regla de la cadena Problemas de razones de cambio Problemas de aplicación de máximos y mínimos

Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010

Para cualquier inquietud o consulta escribir a: [email protected] [email protected] [email protected] 0H

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2H

1

DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f’ (x) = 0 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123 f(x) = 5 f’ (x) = 0 DERIVADA DE LAS POTENCIAS La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos Si n es un entero negativo y x ≠ 0 d ⎛ n⎞ n -1 ⎜x ⎟ = n x dx ⎝ ⎠ Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x8

( )

d 8 x = 8 x 8 -1 dx f ' (x ) = 8 x 7 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x

d (x ) = x1-1 dx f ' (x ) = x 0 f’ (x) = 1 Derivada del producto de una función por una constante Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g (x) = c f(x) y si f ’existe, entonces g’ (x) = c f ’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125 f(x) = 5 x7

( )

d d 5 x 7 = 5 (x )7 dx dx 2

f ' (x ) = 5 (7 ) x 7-1 f ' (x ) = 35 x 6 DERIVADA DE LA SUMA Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) = f(x) + g(x) y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126 f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5

(

)

d d d (x )3 d (x ) + d (5) 7 x 4 - 2 x 3 + 8 x + 5 = 7 (x )4 - 2 +8 dx dx dx dx dx f ' (x ) = 7 (4 )(x )4-1 - 2 (3)(x )3-1 + 8 (1)(x )1-1 + 0

f ' (x ) = 28 (x )3 - 6 (x )2 + 8 (x )0 + 0 f ' (x ) = 28 x 3 - 6 x 2 + 8 Calcular la derivada y = 3 x -4 + 3 x 4 y' =

( ) ( )

d 3x - 4 d 3x 4 + dx dx

y’= (3) (-4) x y’= -12x

-5

-4 -1

+ (3) (4) x

4 -1

+ 12x 3

ordenando 12 y' = 12x 3 x5 DERIVADA DEL PRODUCTO Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera. Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,

d (uv ) = u dv + v du d dx dx La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.

3

’ ’ ’ En notación prima, (u v) = u v + v u

Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127 Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2)

[(

)]

)(

d 2 x 3 - 4x 2 3 x 5 + x 2 dx d d h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 x5 + x2 + 3 x5 + x2 2 x3 − 4 x2 dx dx

h ' (x ) =

(

) [

(

)[

](

) [

](

]

)[

h ' ( x) = 2 x 3 - 4 x 2 3 (5) x 5-1 + 2 x 2-1 + 3 x 5 + x 2 2 (3) x 3-1 - 4 (2 ) x 2-1

]

h ' ( x) = ⎛⎜ 2x 3 - 4x 2 ⎞⎟ ⎡ 15 x 4 + 2 x ⎤ + ⎛⎜ 3x 5 + x 2 ⎞⎟ ⎡6 x 2 - 8 x ⎤ ⎥⎦ ⎝ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎠ ⎢⎣ Resolviendo el polinomio

h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4 x 4 - 8 x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3 h ' ( x) = 30 x 7 - 60 x 6 + 4x 4 - 8x 3 + 18 x 7 + 6 x 4 - 24 x 6 - 8 x 3 Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 48 x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3 Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131 Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x) Primer termino = (3 x – 2 x2) Segundo termino = (5 + 4 x)

[(

)

]

d 3 x - 2 x 2 (5 + 4 x ) dx d [5 + 4 x ] + (5 + 4 x ) d 3 x − 2 x 2 f ' ( x) = 3 x - 2 x 2 dx dx

f ' (x ) =

[

(

)

f ' ( x) = 3 x - 2 x 2

(

)[ 4] + (5 + 4 x ) [3 - 2 * 2 x 2-1 ]

(

)[ 4] + (5 + 4x ) [3 - 2 * 2x1 ]

[

]

f ' ( x) = 3x - 2x 2

]

f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + (5 + 4 x ) [3 - 4 x ] Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 + 12 x - 20 x - 16 x 2

[

](

)

Reduciendo términos semejantes

4

[

](

f ' ( x) = 12 x - 8 x 2 + 15 - 8 x - 16 x 2 f ' ( x) = 12x - 8x 2 + 15 - 8x - 16x 2

)

f ' ( x) = 4 x - 24 x 2 + 15 Ordenando

f ' ( x) = - 24 x 2 + 4 x + 15 Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132 Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1) Primer termino = (1 + x - 1) Segundo termino = (x - 1)

f ' (x ) =

[(

]

)

d 1 + x - 1 (x − 1) dx

(

) dxd [x − 1] + (x - 1) dxd [1 + x - 1 ]

(

) dxd [x − 1] + (x - 1) [1 + x - 1-1 ]

f ' ( x) = 1 + x - 1 f ' ( x) = 1 + x - 1

f ' ( x) = ⎛⎜1 + x - 1 ⎞⎟ [1] + (x - 1) ⎡- 1 x - 2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

[

)

(

f ' ( x) = 1 + x - 1 + (x - 1) - x - 2

]

Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 1 + x - 1 + - 1 x - 1 + x - 2

) [

(

]

Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 1 + x - 1 - x - 1 + x - 2

f ' ( x) = 1 + x - 2 1 x2 +1 ' f ( x) = 1 + = x2 x2 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 4 Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1) Primer termino = (x2 – 2x + 1) Segundo termino = (x3 - 1)

f ' (x ) =

[(

)(

)]

d x 2 - 2 x + 1 x3 − 1 dx

(

) dxd [x 3 − 1]+ (x 3 − 1) dxd [ x 2 - 2 x + 1]

f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1

5

( )[ ] ( )[ (2) x 2-1 - 2 x1-1 + 1] f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[(3) x 3-1 ]+ (x 3 − 1)(2) [ x1 - 2 x 0 ] f ' ( x) = (x 2 - 2 x + 1)[3x 2 ]+ (x 3 − 1)[ 2 x - 2]

f ' ( x) = x 2 - 2 x + 1 (3) x 3-1 + x 3 − 1

Resolviendo el polinomio

) [

(

f ' ( x) = 3 x 4 - 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x 4 - 2 x - 2 x 3 + 2

]

Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 3x 4 - 6x 3 + 3x 2 + 2x 4 - 2x - 2x 3 + 2 Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 5 x 4 - 8 x 3 + 3 x 2 - 2 x + 2 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 5 Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5) Primer termino = (x3 – 3 x) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5) f ' (x ) =

[(

)(

d x 3 - 3x 2 x 2 + 3 x + 5 dx

(

f ' ( x) = x 3 - 3 x

)]

) dxd [2 x 2 + 3 x + 5]+ (2 x 2 + 3 x + 5) dxd [ x 3 - 3 x ]

( )[(2) x 2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x 2 + 3 x + 5)[ (3) x 3-1 - 3 x1-1 ] f ' ( x) = (x 3 - 3 x )[4 x + 3] + (2 x 2 + 3 x + 5)[ 3 x 2 - 3]

f ' ( x) = x 3 - 3 x

Resolviendo el polinomio

[

](

f ' ( x) = 4 x 4 - 12 x 2 + 3 x 3 - 9 x + 6 x 4 + 9 x 3 + 15 x 2 - 6 x 2 - 9 x - 15

)

Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 4x 4 - 12x 2 + 3x 3 - 9x + 6x 4 + 9x 3 + 15x 2 − 6x 2 - 9x - 15 Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 10 x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 - 18 x - 15 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 6 Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2) Primer termino = (x – 1) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)

6

[

)]

(

d (x - 1) 2 x 2 + 3 x + 2 dx d d [ x - 1] f ' ( x) = (x - 1 ) x2 − 3 x + 2 + x2 − 3 x + 2 dx dx f ' (x ) =

[

[

](

)

](

)

f ' ( x) = (x - 1 ) (2) x 2-1 − 3 x 1-1 + x 2 − 3 x + 2 [ x - 1]

(

)

f ' ( x) = (x - 1 ) [2 x − 3] + x 2 − 3 x + 2 [1] Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 2x 2 − 2x - 3x + 3 + x 2 − 3x + 2

[

](

Reduciendo términos semejantes

[

](

f ' ( x) = 2x 2 − 5 x + 3 + x 2 − 3 x + 2

)

)

Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 2x 2 - 5x + 3 + x 2 - 3x + 2

f ' ( x) = 3 x 2 - 8 x + 5 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 7 ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ Hallar la derivada de f(x) = x 5 − 3 x ⎜⎜ ⎝ x2 ⎠ Primer termino = (x5 – 3 x)

(

)

⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ 2 ⎝x ⎠

Segundo termino = ⎜⎜

(

⎡ d ⎢ x5 - 3 x f ' (x ) = ⎣ dx

)⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟⎤⎥ ⎝

⎠⎦

f ' ( x) = x 5 - 3 x

(

) dxd ⎡⎢ x12 ⎤⎥ + ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dxd [ x 5 - 3x ]

(

) dxd [x - 2 ]+ ⎛⎜⎜ x12 ⎞⎟⎟ dxd [ x 5 - 3 x ]

f ' ( x) = x 5 - 3 x

⎣

⎦ ⎝

⎝

⎠

⎠

⎛ 1 f ' ( x) = ⎛⎜ x 5 - 3x ⎞⎟ (- 2 ) ⎡ x - 2 -1 ⎤ + ⎜ ⎥⎦ ⎜ 2 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝x

(

) [

(

)[

]

⎞ d ⎡ 5 ⎟ x - 3x ⎤ ⎟ dx ⎢⎣ ⎥⎦ ⎠

[

⎛ 1 ⎞ ⎟ (5) x 5-1 - 3 x1-1 f ' ( x) = x 5 - 3 x (- 2) x - 2-1 + ⎜⎜ 2⎟ ⎝x ⎠

]

⎛ 1 f ' ( x) = x 5 - 3 x - 2x - 3 + ⎜⎜ ⎝ x2

[

]

]

⎞ ⎟⎟ 5 x 4 - 3 ⎠

Resolviendo el polinomio

7

(

)

⎡ 2 ⎤ ⎛ 1 f ' ( x) = x 5 - 3 x ⎢⎥ + ⎜⎜ ⎣ x3 ⎦ ⎝ x2

[

]

⎞ ⎟⎟ 5 x 4 - 3 ⎠

⎡- 2 x5 + 6 x ⎤ ⎛ 5 x4 - 3 ⎞ ⎟ f ' ( x) = ⎢ ⎥+⎜ 3 2 ⎟ ⎜ x x ⎣⎢ ⎦⎥ ⎝ ⎠

⎡ - 2x 5 + 6x + 5x 5 - 3x ⎤ f ' ( x) = ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ x3 Reduciendo términos semejantes

⎡3 x5 + 3 x f ' ( x) = ⎢ x3 ⎢⎣ f ' ( x) =

3 x5

+

x3

f ' ( x) = 3 x 2 +

⎤ ⎥ ⎥⎦

3x x3 3 x2

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 14 Hallar la derivada de f(x) = 3 x x + 3

(

)

6 f(x) = x 2 * x 3 + 3 3 x

6 f(x) = x 5 + 3 3 x 5

1

f(x) = x 6 + 3 x 3 Se convierte en una suma 1 ⎡ 5⎤ ⎡ d ⎢ 6⎥ d ⎢ f ( x) = x + 3x3 dx ⎢ ⎥ dx ⎢ ⎣ ⎣ ⎦ '

1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

-2

5 1 f ( x) = x 6 + * 3 x 3 6 3 '

Resolviendo el polinomio -1

-2

5 f ( x) = x 6 + x 3 6 '

f ' ( x) =

5 1 6x 6

+

1 2 x3

8

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 16 Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2 h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1) Primer termino = (x2 – 1) Segundo termino = (x2 – 1)

h ' (x ) =

[(

)(

)]

d x2 - 1 x2 −1 dx

( ) dxd [x 2 − 1]+ (x 2 − 1) dxd [ x 2 - 1]

h ' ( x) = x 2 - 1

h ' ( x) = ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ [2x ] + ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ [ 2x ] ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Reduciendo términos semejantes

(

)

h ' ( x) = 2 x 2 - 1 [2 x ] Resolviendo el polinomio

(

)

h ' ( x) = x 2 - 1 [4 x ] Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 17 Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2 h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2) Primer termino = (s3 – 2) Segundo termino = (s3 – 2)

h ' (s ) =

[(

)(

d s3 - 2 s3 − 2 dx

( ) [

)]

](

) [

d 3 d 3 h ' (s) = s 3 - 2 s − 2 + s3 − 2 s -2 dx dx

)[ ] (

(

)[

h ' (s) = s 3 - 2 3s 2 + s 3 − 2 3 s 2

]

]

Reduciendo términos semejantes

(

)[ ]

h ' (s) = 2 s 3 - 2 3 s 2

Resolviendo el polinomio

(

)[ ]

h ' (s) = s 3 - 2 6 s 2

9

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 20 Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1) Primer termino = (x2 – x) Segundo termino = (x2 + 1) Tercer termino = (x2 + x + 1)

[

]

d (x 2 - x )(x 2 + 1)(x 2 + x + 1) dx

f ' (x ) =

(

)(

) dxd [x 2 − x ]+ (x 2 − x )(x 2 + x + 1) dxd [ x 2 + 1]+ (x 2 - x )(x 2 + 1) dxd (x 2 + x + 1)

f ' ( x) = x 2 + 1 x 2 + x + 1

f ' ( x) = ⎜⎛ x 2 + 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ [2x − 1 ] + ⎛⎜ x 2 − x ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ [ 2x ] + ⎛⎜ x 2 - x ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ (2x + 1) ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝

Resolviendo el polinomio

(

)

(

)(

(

)(

)

(

)(

)

f ' ( x) = x 4 + x 2 + x 3 + x + x 2 + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)

Reduciendo términos semejantes

(

)

)

)(

(

)

f ' ( x) = x 4 + 2x 2 + x 3 + x + 1 [2x − 1 ] + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1) Reduciendo términos semejantes

(

) (

)(

)

(

)(

)

f ' ( x) = 2x 5 + 4x 3 + 2x 4 + 2x 2 + 2x - x 4 - 2x 2 - x 3 - x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)

) ( )( ) ( )( ) ( f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (x 4 − x 3 + x 3 - x 2 + x 2 - x ) [ 2x ] + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 2 - x )(x 2 + 1)(2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (x 4 - x 3 + x 2 - x ) (2x + 1) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - 2x 4 + 2x 3 - 2x 2 + x 4 - x 3 + x 2 - x ) f ' ( x) = (2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1) + (2x 5 - 2x 2 ) + (2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x )

f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + x 2 − x x 2 + x + 1 [ 2x ] + x 2 - x x 2 + 1 (2x + 1)

f ' ( x) = 2x 5 + 3x 3 + x 4 + x - 1 + 2x 5 - 2x 2 + 2x 5 - x 4 + x 3 - x 2 - x f ' ( x) = 6 x 5 + 4 x 3 - 3 x 2 - 1

10

Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 21 Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1) Primer termino = (3x3 + 4x) Segundo termino = (x - 5) Tercer termino = (x + 1) f ' (x ) =

[(

]

)

d 3 x 3 + 4 x (x − 5)(x + 1) dx

f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1)

[

](

)

(

)

d d d 3x 3 + 4x + 3x 3 + 4x (x + 1) [ x - 5] + 3x 3 + 4x (x - 5) ( x + 1) dx dx dx

[

]( f ( x) = (x - 5x + x - 5 )[9x + 4 ]+ (3x

)

( ) 3 + 4 x )(x + 1) + (3 x 3 + 4 x )(x - 5)

f ' ( x) = (x - 5 )(x + 1) 9 x 2 + 4 + 3 x 3 + 4 x (x + 1) [ 1] + 3 x 3 + 4 x (x - 5)( 1) '

2

2

)[ ]( ) ) ( ( f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 45x 2 + 4x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 3 + 4x )(x + 1) + (3x 3 + 4x )(x - 5) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 3 + 4x )(x - 5) f ' ( x) = (9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 ) + (3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x ) + (3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x )

f ' ( x) = x 2 - 4x - 5 9x 2 + 4 + 3x 3 + 4x (x + 1) + 3x 3 + 4x (x - 5)

f ' ( x) = 9x 4 - 36x 3 - 41x 2 - 16x - 20 + 3x 4 + 4x 2 + 3x 3 + 4x + 3x 4 + 4x 2 - 15x 3 - 20x f ' ( x) = 15x 4 - 48x 3 - 33x 2 - 32x - 20 Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 2-x Derivar y = 2x 2

( )( ) Primer termino = (2x 2 )

Segundo termino =

y ' (x ) =

[( )(

d 2x 2

(

2-x

2-x

)

)]

dx

( ) dxd [ 2 − x ]+ ( 2 − x ) dxd [ 2x 2 ]

y ' = 2x 2

( ) dxd [2 − x]1 2 + ( 2 − x ) dxd [ 2x 2 ]

y ' = 2x 2

La derivada interna es (-1)

11

( ) 12 * (- 1)* [2 − x]- 1 2 + ( 2 − x )[ 4x]

y ' = 2x 2

Cancelando términos semejantes y ' = - x 2 [2 − x ]- 1 2 + 2 − x [ 4x ]

( )

y' =

y' =

y' =

y' =

(

- x2

+

(2 - x )1 2

(

2−x

)

)[ 4x]

- x 2 + 2 - x [4x ] 2 − x

(2 - x )1 2 - x 2 + (2 - x ) [4x ]

(2 - x )1 2 - x 2 + 8x - 4x 2

(2 - x )1 2

=

8x - 5x 2 2-x

Problema 10.36 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97

⎞ ⎠

⎛ ⎝

Derivar f (x ) = (x ) ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ Primer termino = x

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Segundo termino = ⎜ 3 - 2x 2 ⎟

⎡ ⎛ ⎞⎤ d ⎢( x )⎜ 3 - 2x 2 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ f ' (x ) = ⎣ dx f ' (x ) = (x

)

⎤ ⎛ d ⎡ 3 − 2 x 2 ⎥ + ⎜⎜ 3 − 2x 2 dx ⎢⎣ ⎦ ⎝

f ' (x ) = (x

)

12 ⎛ d ⎡ 3 − 2x 2 ⎤ + ⎜⎜ 3 − 2x 2 ⎥⎦ dx ⎢⎣ ⎝

⎞ d ⎟⎟ [ x] ⎠ dx ⎞ d ⎟⎟ [ x] ⎠ dx

La derivada interna es (- 4x) f ' (x ) = (x

) 1 * (- 4x ) ⎡⎢3 − 2x 2 ⎤⎥ ⎣

2

[

f ' (x ) = - 2x 2 3 − 2 x 2 f ' (x ) =

-1 2

⎦

⎛ + ⎜⎜ 3 − 2x 2 ⎝

]-1 2 + ⎛⎜⎝

⎞ d ⎟⎟ [ x] ⎠ dx

⎞ 3 − 2x 2 ⎟ ⎠

- 2x 2

⎞ ⎛ + ⎜ 3 − 2x 2 ⎟ ⎠ 3 - 2x 2 ⎝

12

⎛ ⎞⎛ ⎞ - 2 x 2 + ⎜ 3 - 2x 2 ⎟ ⎜ 3 − 2 x 2 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ f ' (x ) = 3 − 2x 2

(

- 2 x 2 + 3 - 2x 2 ' f (x ) = 3 − 2x 2 f ' (x ) =

)

- 2 x 2 + 3 - 2x 2 3 − 2x 2 3 - 4x 2

f ' (x ) =

3 − 2x 2

Ejemplo # 6 Leythold. Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x 3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2) d 3x 5 + x 2 + 3x 5 + x 2 h ' ( x) = 2x 3 - 4x 2

) dx [

]( ) dxd [ 2x 3 - 4x 2 ] h ' ( x) = (2x 3 - 4x 2 )[15x 4 + 2 x ]+ (3x 5 + x 2 )[ 6x 2 - 8x ] (

Resolviendo el polinomio h ' ( x) = 30x 7 - 60x 6 + 4 x 4 - 8x 3 + 18x 7 + 6x 4 - 24x 6 - 8x 3

[

] [

]

Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 30x 7 + 18x 7 - 60x 6 - 24 x 6 + 4x 4 + 6x 4 - 8x 3 - 8x 3 Reduciendo términos semejantes h ' ( x) = 48x 7 - 84 x 6 + 10x 4 - 16x 3 Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #19

(

Hallar la derivada de f(s) = 3 s 3 - s 2

(

)

)

f(s) = 3 s 3 - s 2 = 3s 3 − 3s 2 f ' (s) = 3 3s 2 − 2 3s f ' (s) = 3 * s(3s − 2) Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #20 Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1) Primer termino = (2x2 + 5)

13

Segundo termino = (4x – 1)

(

) dxd [4x − 1] + (4x − 1) dxd [ 2x 2 + 5]

(

)

g ' (x ) = 2x 2 + 5

g ' (x ) = 2x 2 + 5 [4] + (4 x − 1) [ 4x ] g ' (x ) = 8x 2 + 20 + 16 x 2 − 4 x g ' (x ) = 24x 2 + 20 − 4 x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #21 Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x) Primer termino = (2x4 - 1) Segundo termino = (5x3 + 6x)

(

) dxd [5x3 + 6x]+ (5x3 + 6 x) dxd [ 2x 4 - 1]

(

)[

f ' (x ) = 2x 4 − 1

](

)[ ]

f ' (x ) = 2x 4 − 1 15 x 2 + 6 + 5 x 3 + 6 x 8x 3

(

f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40 x 6 + 48 x 4

)

Reduciendo términos semejantes f ' (x ) = 30x 6 − 15 x 2 + 12 x 4 − 6 + 40x 6 + 48 x 4

f ' (x ) = 76x 6 − 15 x 2 + 60 x 4 − 6 Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #22 Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2 f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3) Primer termino = (4x2 + 3) Segundo termino = (4x2 + 3)

(

) dxd [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dxd [ 4x 2 + 3]

(

)

f ' ( x) = 4x 2 + 3

(

)

f ' ( x) = 4x 2 + 3 [8x ] + 4x 2 + 3 [ 8x ] Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ]

(

)

Reduciendo términos semejantes

14

)

(

f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ] f ' ( x) = 64 x 3 + 48x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema # 23 Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2 G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3) Primer termino = (7 – 3y3) Segundo termino = (7 – 3y3)

( ) dxd [4x 2 + 3]+ (4x 2 + 3) dxd [ 4x 2 + 3] f ' ( x) = (4x 2 + 3 )[8x ] + (4x 2 + 3)[ 8x ]

f ' ( x) = 4x 2 + 3

Resolviendo el polinomio f ' ( x) = 2 * 4x 2 + 3 [8x ]

)

(

Reduciendo términos semejantes f ' ( x) = 4x 2 + 3 [16x ]

(

)

f ' ( x) = 64 x 3 + 48x

Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #24 Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t) Primer termino = (t3 – 2t + 1) Segundo termino = (2t2 + 3t)

(

) [

(

)

](

) [

]

d 3 d t − 2t + 1 2t 2 + 3t + 2t 2 + 3t F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 dx dx

)[

(

F ' (t ) = t 3 − 2t + 1 [4t + 3] + 2t 2 + 3t 3t 2 − 2

]

Resolviendo el polinomio F ' (t ) = 4t 4 - 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t

[

][

]

Reduciendo términos semejantes F ' (t ) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t 3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t 3 - 4t 2 - 6t

F ' (t ) = 10t 4 − 12t 2 - 8t + 12t 3 + 3 Ejemplo Calculo Purcell pag 111.

15

Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x) Primer termino = (3x2 - 5) Segundo termino = (2x4 - x)

(

) dxd [2x 4 - x ]+ (2x 4 - x ) dxd [ 3x 2 − 5]

(

)[

F ' ( x) = 3x 2 − 5

](

)

F ' ( x) = 3x 2 − 5 8x 3 - 1 + 2x 4 - x [ 6x ] Resolviendo el polinomio F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2 Reduciendo términos semejantes F ' ( x) = 24x 5 - 40x 3 - 3x 2 + 5 + 12x 5 − 6 x 2

F ' ( x) = 36x 5 - 40x 3 - 9x 2 + 5 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 23 Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1) Primer termino = (x) Segundo termino = (x2 + 1)

]( ) f ' ( x) = (x ) [2x ] + (x 2 + 1)[ 1] f ' ( x) = (x )

[

d d 2 [ x] x +1 + x2 +1 dx dx

Resolviendo el polinomio

f ' ( x) = 2x 2 + x 2 + 1 Reduciendo términos semejantes

f ' ( x) = 2x 2 + x 2 + 1 f ' ( x) = 3x 2 + 1 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 24 Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1) Primer termino = (3x) Segundo termino = (x3 - 1)

y ' = (3x )

[ ]( )

d d 3 [ 3x ] x -1 + x3 -1 dx dx 16

[ ]( )

y ' = (3x ) 3x 2 + x 3 - 1 [ 3] Resolviendo el polinomio y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3 Reduciendo términos semejantes y ' = 9x 3 + 3x 3 − 3

y ' = 12x 3 − 3 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 26 Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2 y = (- 3x + 2) (- 3x + 2) Primer termino = (- 3x + 2) Segundo termino = (- 3x + 2)

y ' = (- 3x + 2 )

d [- 3x + 2] + (- 3x + 2) d [ - 3x + 2] dx dx

y ' = (- 3x + 2 ) [- 3] + (- 3x + 2 ) [ - 3] Resolviendo el polinomio y ' = 2 (- 3x + 2 ) [- 3]

Reduciendo términos semejantes y ' = (- 3x + 2 ) [- 6]

y ' = 18x - 12 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 27 Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1) Primer termino = (x2 + 2) Segundo termino = (x3 + 1)

y ' (x ) =

[(

)(

)]

d x 2 + 2 x3 + 1 dx

( ) dxd [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dxd [ x 2 + 2] y ' = (x 2 + 2 )[3x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 2x ]

y' = x 2 + 2

Resolviendo el polinomio y ' = 3x 4 + 6 x 2 + 2x 4 + 2 x Reduciendo términos semejantes y ' = 3x 4 + 6 x 2 + 2x 4 + 2 x

17

y ' = 5x 4 + 6 x 2 + 2 x Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 28 Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1) Primer termino = (x4 - 1) Segundo termino = (x2 + 1)

y ' (x ) =

[(

)(

)]

d x4 - 1 x2 + 1 dx

( ) dxd [x 2 + 1]+ (x 2 + 1) dxd [ x 4 − 1] y ' = (x 4 − 1)[2x + 1] + (x 2 + 1)[ 4x 3 ] y' = x 4 −1

Resolviendo el polinomio y ' = x 4 − 1 [2x + 1] + x 2 + 1 4x 3

)

(

)[ ]

(

Reduciendo términos semejantes y ' = 2x 5 - 2x + 4x 5 + 4x 3

y ' = 6x 5 - 2x + 4x 3 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 29 Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1) Primer termino = (x2 + 17) Segundo termino = (x3 – 3x + 1)

h ' (x ) =

[(

)(

)]

d x 2 + 17 x 3 − 3 x + 1 dx

( ) dxd [x 3 − 3x + 1]+ (x 3 - 3x + 1) dxd [ x 2 + 17] y ' = (x 2 + 17 )[3x 2 − 3]+ (x 3 - 3x + 1)[ 2x ] y ' = x 2 + 17

Resolviendo el polinomio y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x

Reduciendo términos semejantes y ' = 3x 4 + 51x 2 - 3x 2 - 51 + 2x 4 − 6 x 2 + 2x y ' = 5x 4 + 42x 2 - 3x 2 - 51 + 2x Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 30 Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1) Primer termino = (x4 + 2x)

18

Segundo termino = (x3 +2x2 + 1)

( ) dxd [x 3 + 2x 2 + 1]+ (x 3 + 2x 2 + 1) dxd [ x 4 + 2x] y ' = (x 4 + 2 x )[3x 2 + 4x ]+ (x 3 + 2x 2 + 1)[ 4x 3 + 2]

y ' = x 4 + 2x

Resolviendo el polinomio y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2 Reduciendo términos semejantes y ' = 3x 6 + 6x 3 + 4x 5 + 8x 2 + 4x 6 + 8x 5 + 4 x 3 + 2x 3 + 4x 2 + 2 y ' = 7x 6 + 12x 3 + 12x 5 + 12x 2 + 2

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 31 Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1) Primer termino = (5x2 -7) Segundo termino = (3x2 -2x + 1)

( ) dxd [3x 2 - 2x + 1]+ (3x 2 − 2x + 1) dxd [ 5x 2 − 7] y ' = (5x 2 - 7 )[6x - 2] + (3x 2 − 2x + 1)[ 10x ] y ' = 5x 2 - 7

Resolviendo el polinomio y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x Reduciendo términos semejantes y ' = 30x 3 - 42x - 10x 2 + 14 + 30x 3 - 20x 2 + 10x y ' = 60x 3 - 32x - 30x 2 + 14

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 32 Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1) Primer termino = (3x2 +2x) Segundo termino = (x4 - 3x + 1)

) dxd [x 4 - 3x + 1]+ (x 4 − 3x + 1) dxd [ 3x 2 + 2x] ( y ' = (3x 2 + 2x )[4x 3 - 3]+ (x 4 − 3x + 1)[ 6x + 2] y ' = 3x 2 + 2x

Resolviendo el polinomio y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2 Reduciendo términos semejantes

19

y ' = 12x 5 + 8x 4 - 9x 2 - 6x + 6x 5 - 18x 2 + 6x + 2x 4 - 6x + 2 y ' = 18x 5 + 10x 4 - 27x 2 - 6x + 2 Sección 3.2 Calculo Thomas. Problema # 13 Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1) Primer termino = (3 - x2) Segundo termino = (x3 - x + 1)

( ) dxd [x 3 - x + 1]+ (x 3 − x + 1) dxd [ 3 - x 2 ] y ' = (3 - x 2 )[3x 2 - 1]+ (x 3 − x + 1)[ - 2x ] y' = 3 - x 2

Resolviendo el polinomio y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x Reduciendo términos semejantes y ' = 9x 2 - 3x 4 - 3 + x 2 − 2 x 4 + 2x 2 - 2x y ' = 12x 2 - 5x 4 - 3 - 2x

Sección 3.2 Calculo Thomas. Problema # 14 Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1) Primer termino = (x - 1) Segundo termino = (x2 + x + 1)

y ' = (x - 1 )

[

](

)

d d 2 [ x - 1] x + x +1 + x2 + x +1 dx dx

(

)

y ' = (x - 1 ) [2x + 1] + x 2 + x + 1 [ 1] Resolviendo el polinomio y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1 Reduciendo términos semejantes y ' = 2x 2 - 2x + x - 1 + x 2 + x + 1

y ' = 3x 2 Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1) Primer termino = (x3 - 1) Segundo termino = (x3 + 1)

y ' (x ) =

[(

)(

)]

d x 3 - 1 x3 + 1 dx

20

( ) dxd [x 3 + 1]+ (x 3 + 1) dxd [ x 3 - 1] y ' = (x 3 - 1 )[3 x 3 -1 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 3 -1 ] y ' = (x 3 - 1 )[3 x 2 ]+ (x 3 + 1)[ 3 x 2 ] y' = x3 -1

Resolviendo el polinomio

y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2 Reduciendo términos semejantes

y' = 3 x5 - 3 x 2 + 3 x5 + 3 x 2 y' = 6 x5

DERIVADA DEL COCIENTE Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y

d ⎛u⎞ ⎜ ⎟= dx ⎝ v ⎠

v

du dv -u dx dx

(v )2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 17 Hallar la derivada (aplicando cocientes)

2x + 5 3x - 2 ⎛ 2x + 5 ⎞ d⎜ ⎟ 3x -2⎠ ⎝ y' = dx

y=

y' =

y' =

(3x - 2)⎡⎢ d(2x + 5) ⎤⎥ - (2x + 5)⎡⎢ d(3x - 2) ⎤⎥ ⎣

⎦

dx

⎣

dx

⎦

(3x - 2)2

(3x - 2)[2] - (2x + 5)[3] (3x - 2)2

Cancelando términos semejantes

y' = y' =

6x - 4 - 6x _ 15

(3x - 2)2 - 19

(3x - 2)2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 18 Hallar la derivada (aplicando cocientes)

y=

2x + 1 x 2 -1 21

⎛ 2x + 1 ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ 2 ⎟ y' = ⎝ x - 1 ⎠ dx ⎡ d ⎛ x 2 - 1⎞ ⎤ ⎟⎥ ⎢ ⎜ ( ) + d 2x 1 ⎡ ⎤ ⎠ 2 ⎛⎜ x - 1⎞⎟ - (2x + 1)⎢ ⎝ ⎥ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ dx ⎦ dx ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y' = 2 ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛⎜ x - 1⎞⎟[2] - (2x + 1)[2](x )2 −1 ⎠ y' = ⎝ 2 ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 x - 1 [2] - (2x + 1) [2] (x )

y' =

y' =

y' =

( )

(x 2 - 1)2

2x 2 - 2 - (2x + 1)(2x )

(x 2 - 1)2

2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x 2 ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠

Cancelando términos semejantes y' =

y' =

2x 2 - 2 - 4x 2 - 2x 2 ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 - 2x - 2 - 2x

2 ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠ - 2 ⎛⎜ x 2 + x + 1⎞⎟ ⎠ y' = ⎝ 2 ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 19 Hallar la derivada (aplicando cocientes) g(x ) =

x2 - 4 x + 0,5

⎛ x2 - 4 ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ x + 0,5 ⎟ ⎠ g' (x ) = ⎝ dx 2 ⎤ ⎡ (x + 0,5)⎢ d x - 4 ⎥ - x 2 - 4 ⎡⎢ d(x + 0,5)⎤⎥ dx ⎣ ⎦ ⎢⎣ dx ⎥⎦ g' (x ) = (x + 0,5)2

(

) (

)

22

( )(

)

g' (x ) =

(x + 0,5)[2] x 2 -1 - x 2 - 4 [1] (x + 0,5)2

g' (x ) =

(x + 0,5)[2](x ) - x 2 - 4 (x + 0,5)2

g(x )' =

(

)

(x + 0,5)(2x ) - x 2 + 4 (x + 0,5)2

Cancelando términos semejantes g' (x ) =

2x 2 + x - x 2 + 4 (x + 0,5)2

g' (x ) =

x2 + x + 4 (x + 0,5)2

Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 20 Hallar la derivada (aplicando cocientes) f (t ) =

t 2 -1 t2 + t - 2

⎛ t 2 -1 ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ 2 ⎟ t +t -2⎠ f ' (t ) = ⎝ dx ⎡ d ⎛ t 2 - 1⎞ ⎤ ⎡ d⎛ t 2 + t - 2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛⎜ t 2 + t - 2 ⎞⎟ ⎛ 2 ⎞⎢ ⎝ ⎢ ⎥ - ⎜ t - 1⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ dx ⎥ ⎝ ⎠⎢ dx ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f ' (t ) = 2 ⎛⎜ t 2 + t - 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2]⎛ t 2 -1 ⎞ - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t )2 −1 + 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f ' (t ) = ⎝ 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎛ t 2 + t - 2 ⎞[2](t ) - ⎛ t 2 - 1⎞[2](t ) + 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ f ' (t ) = ⎝ 2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ t 2 + t - 2 ⎞(2t ) - ⎛ t 2 - 1⎞(2t + 1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ f ' (t ) = ⎝ ⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2

Cancelando términos semejantes

23

2t 3 + 2t 2 - 4t - 2t 3 + 2t - t 2 + 1

f ' (t ) =

f ' (t ) =

⎛ t 2 + t - 2⎞ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝

2

(t - 1)(t - 1) = (t - 1)(t - 1) 2 [(t + 2)(t - 1)]2 (t + 2)2 (t - 1)2 ⎛ t 2 + t - 2⎞ t 2 - 2t + 1

⎜ ⎝ f ' (t ) =

=

⎟ ⎠

1

(t + 2)2

Calcular la derivada

y=

5 x2

y = 5x -2

y' =

( )

d 5x - 2 dx

y’= (-2) (5) x -2-1 y’= -10x -3

y' = -

10 x3

Otra forma (aplicando cocientes)

y=

5 x2

⎛ 5 d⎜ ⎜ 2 x y' = ⎝ dx

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎡ d⎛ x 2 ⎞ ⎤ ⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ( ) d 5 ⎡ ⎤ x2 ⎢ 5 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ y' = 2 ⎛⎜ x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ x 2 [0] - 5⎡2 x 2 -1 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ y' = ⎛⎜ x 2 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

24

y' =

x 2 [0] - 5[2 x ]

(x 2 )(x 2 )

y' =

- [10x ] - 10 = x3 x4

y' =

- 10 x3

Calcular la derivada y=

1 3x 2

y=

1 -2 x 3

⎛1 ⎞ d⎜ x - 2 ⎟ 3 ⎠ y' = ⎝ dx

y’= (-2) (1/3) x -2-1 y’= - 2/3 x -3 y' = -

2 3 x3

Otra forma (aplicando cocientes) y=

1 3x 2

⎛ 1 d⎜ ⎜ 2 3x y' = ⎝ dx

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎡ d⎛ 3x 2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ ⎡ d(1) ⎤ ⎢ ⎝ ⎠ 2 3x ⎢ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ ⎦⎥ ⎣⎢ y' = 2 ⎛⎜ 3x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

y' =

y' =

[ ] (3x 2 )(3x 2 )

3x 2 [0] - 1 (2 )(3)x 2 -1

(3x 2 )[0] - 1[(2)(3)(x)] (3x 2 )(3x 2 ) 25

y' =

y' =

- 1[6x ] 9x 4

=

- 6x 9x 4

=

-2 3x 3

-2 3x 3

Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 Ejemplo 2 Hallar la derivada (aplicando cocientes) f (x ) =

2 x3 + 4 x2 +1

⎛ 2 x3 + 4 ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ 2 ⎟ x +1 ⎠ ⎝ f ' (x ) = dx ⎡ d⎛ 2 x 3 + 4 ⎞ ⎤ ⎡ d⎛ x 2 + 1⎞ ⎤ ⎜ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎥ ⎠ - ⎛ 2 x3 + 4⎞ ⎢ ⎝ ⎠ ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎢ ⎝ ⎟⎢ ⎢ ⎥ ⎜ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ dx dx ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ f ' (x ) = 2 ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛⎜ x + 1⎞⎟ [2] (3)(x )3-1 - ⎛⎜ 2 x 3 + 4 ⎞⎟ [2] (x )2 −1 ⎠ ⎝ ⎠ f ' (x ) = ⎝ 2 ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ 6 x 2 - ⎛⎜ 2 x 3 + 4 ⎞⎟ 2 x ⎠ ⎝ ⎠ f ' (x ) = ⎝ 2 ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ 6 x 4 + 6 x 2 - 4 x 4 - 8x f ' (x ) = 2 ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ Cancelando términos semejantes

f ' (x ) =

2 x 4 + 6 x 2 - 8x 2 ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠

Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 Ejemplo 3 Hallar la derivada (aplicando cocientes)

x =

3 x5

26

⎛ 3 ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ 5⎟ x ⎠ x' = ⎝ dx ⎡ d⎛ x 5 ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎡ d (3) ⎤ 5 x ⎢ - (3) ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎥ ⎣ dx ⎦ ⎢ dx ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ x '= 2 ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠

x 5 [0] - (3) ⎡(5)x 5 -1 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ y' = ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ - (3) ⎡(5)x 4 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ y' = ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ - 15 x 4 y' = ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

- 15 - 15 = 6 x ⎛⎜ x 5 ⎞⎟ x ⎝ ⎠

y' =

Calcular la derivada

2

y=

(x + 1)2

⎛ 2 ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ ( x + 1)2 ⎟ ⎠ y' = ⎝ dx ⎡

2⎤ ⎥ dx ⎥⎦

(x + 1)2 ⎡⎢ d(2) ⎤⎥ - 2 ⎢ d (x + 1) ⎣ dx ⎦

y' =

⎢⎣

⎡(x + 1)2 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦

y' =

(x + 1)2 (0) - 2⎡⎢(2)(x + 1)2 −1 ⎤⎥

y' =

y' =

2

⎣

[(x + 1)]4

⎦

- 2[(2 )(x + 1)] [(x + 1)]4 -4 - 4(x + 1) = (x + 1)4 (x + 1)3

27

y' =

-4

(x + 1)3

Calcular la derivada

y=

x

x 2 −1

⎛ x ⎞ ⎟ d⎜ ⎜ 2 ⎟ x −1⎠ ⎝ y' = dx ⎡ d ⎛ x 2 − 1⎞ ⎤ ⎟⎥ ⎜ ⎠ ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎡ d(x ) ⎤ - x ⎢ ⎝ ⎢ ⎥ ⎠ ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎢ ⎝ dx ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ y' = 2 ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎠ ⎝

⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ [1] - x ⎡(2 ) x 2 -1 ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ y' = 2 ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠ y' =

x 2 - 1 - x [2x ] 2 ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠

reduciendo términos semejantes x 2 - 1 - 2x 2

y' =

(x 2 − 1)2

- ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ = y' = 2 2 ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 x +1 y' = 2 ⎛⎜ x 2 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠ -1 - x 2

28

Calculo Thomas

29

SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

30

La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la derivada en si bien puede ser una función diferenciable.

dy ' d ⎡ dy ⎤ d 2 y ' ' y = = = dx dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ dx 2 Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x. Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 130 Ejemplo 4 Encuentre todas las derivadas. f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7 ‘

f (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0 ‘ f (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x ‘‘

f (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1 ‘‘ f (x) = 96 x2 + 30 x – 2 ‘‘‘

f (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0 ‘‘‘ f (x) = 192 x + 30 4

f (x) = 192 x1-1 + 0 4 f (x) = 192 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DERIVADA DEL SENO En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno.

d (sen x ) = cos x dx Calcular la derivada y = x3 sen x Aplicando la derivada del producto Primer termino = (x3) Segundo termino = (sen x)

(

)

d x 3 sen x dx d [sen x ] + (sen x ) d x 3 y' = x3 dx dx

y' =

[ ] ( ) y ' = (x 3 )[cos x ] + (sen x ) [3x 2 ] y ' = x 3 cos x + 3x 2 senx 31

Calcular la derivada y = (x sen x)3

d (x sen x )3 dx d [sen x ]3 + (sen x )3 d x 3 y' = x3 dx dx d (x sen x ) y ' = 3[x sen x ]3 −1 dx d (x sen x ) y ' = 3[x sen x ]2 dx y' =

[ ]

( )

Aplicando derivada del producto

⎡ d (senx ) ⎛ d ( x ) ⎞⎤ y ' = 3[x sen x ]2 ⎢(x ) + (senx )⎜ ⎟⎥ dx ⎝ dx ⎠⎦ ⎣

y ' = 3[x sen x ]2 [(x ) cos x + (senx )(1)] y ' = 3[x sen x ]2 [x cos x + senx] Otra forma (aplicando la derivada interna) y = (x sen x)3 y = x3 (sen x)3 Aplicando la derivada del producto Primer termino = (x3) Segundo termino = (sen x)3

[

]

d x 3 (senx )3 dx d [sen x ]3 + (sen x )3 d x 3 y' = x3 dx dx y' =

( )

[ ]

( )

[ ]

y ' = x 3 3(cos x ) [sen x ]3 - 1 + (sen x )3 3 x 3 - 1 La derivada interna de (sen x)3 es: cos x y ' = 3 x 3 (cos x ) [sen x ]2 + (sen x )3 3 x 2

y ' = 3 x 3 (cos x ) sen 2 x + 3x 2 sen 3 x Factor común y ' = 3 x 2 sen 2 x[x cosx + sen x ] Calcular la derivada

y = sen x y = sen x = (sen x )1 2 32

[

]

d (sen x )1 2 dx d[(sen x )] 1 y' = (sen x )1 2 −1 dx 2

y' =

1 (sen x )1 2 −1 * (1)cos x 2 1 y' = (sen x ) − 1 2 (cos x ) 2 1 (cos x ) y' = 2(sen x )1 2 cos x cos x = y' = 2(sen x )1 2 2 sen x cos x y' = 2 sen x

y' =

Calcular la derivada

y=

ln x x −1

⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ x −1⎠ ⎝ y' = dx (x - 1)⎡⎢ d(ln x )⎤⎥ - ln x ⎡⎢ d(x - 1)⎤⎥ ⎣ dx ⎦ ⎣ dx ⎦ y' = [x − 1]2 (x - 1) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎡⎢ d(x )⎤⎥ - ln x [1] ⎝ x ⎠ ⎣ dx ⎦ y' = [x − 1]2 (x - 1) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ [1] - ln x ⎝x⎠ y' = [x − 1]2 ⎛ x -1⎞ (x - 1) - x ln x ⎟ - ln x ⎜ (x - 1) - x ln x = x - 1 - x ln x x ⎠ x y' = ⎝ = = 2 2 [x − 1] (x - 1) x (x - 1)2 x (x - 1)2 x - 1 - x ln x y' = x (x - 1)2 Calcular la derivada y = tag (2x + 1)

33

d [tag (2x + 1)] dx d y ' = sec 2 (2x + 1) [2x + 1] dx y' =

y ' = sec 2 (2x + 1) [2]

y ' = 2 sec 2 (2x + 1) 1 = tag x sec x cos x

Calcular la derivada

y' = tag x *

1 cos x 1 y= = sec x cos x

y' = sec x tag x

y=

y' =

d(sec x ) dx

d(x ) dx y' = sec x tag x (1) y' = sec x tag x y' = sec x tag x

Otra forma (utilizando el cociente)

y=

1 cos x

⎛ 1 ⎞ d⎜ ⎟ cos x ⎠ ⎝ y' = dx ⎡ d(1) ⎤ ⎡ d(cos x ) ⎤ -1 cos x ⎢ dx ⎥⎦ ⎢⎣ dx ⎥⎦ ⎣ y' =

(cos x )2

y' =

cos x [0] - 1[− sen x ]

(cos x )2 - 1[− sen x ] y' = = (cos x )2

sen x sen x 1 * = cos x (cos x ) cos x cos x

Otra forma (utilizando el exponente)

1 cos x 1 y= = (cos x )−1 cos x y=

y' =

d(cos x )−1 dx

d (cos x ) dx d(cos x ) y' = (- 1)(cos x )- 2 dx -1 d (cos x ) y' = 2 (cos x ) dx -1 y' = * (- sen x ) (cos x )2 sen x y' = (cos x )2 sen x sen x 1 y' = = * (cos x )(cos x ) cos x cos x y' = (- 1)(cos x )-1 -1

y' = tag x sec x

Hallar la derivada de y = (x5) (esen x) Primer termino = (x5) Segundo termino = (esen x)

y' =

[ ( )]

d (x )5 e senx dx

( ) dxd [e senx ]+ (esen x ) dxd [x 5 ]

y' = x5

34

d (senx ) ⎤ ⎛ sen x ⎞ ⎡ 5 -1 ⎤ ⎡ + ⎜e y ' = ⎢⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ e senx ⎞⎟ ⎟ (5) ⎢ x ⎥⎦ ⎠ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dx ⎥⎦ ⎝ ⎣

d (x ) ⎤ ⎡ + 5 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ ⎡ x 4 ⎤ y ' = ⎢⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ e senx ⎞⎟ (cos x ) ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎠ dx ⎥⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎝ y ' = ⎡⎢⎛⎜ x 5 ⎞⎟ ⎛⎜ e senx ⎞⎟ (cos x )(1)⎤⎥ + 5 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ ⎡ x 4 ⎤ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎦

y ' = x 5 (cos x ) ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ + 5x 4 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y ' = x 4 ⎛⎜ e sen x ⎞⎟ [x cos x + 5] ⎝ ⎠

Calcular la derivada

y = sen 1 - 2 x y = sen 1 - 2 x = sen (1 - 2x )1 2 1 2⎤ ⎡ d ⎢ sen⎛⎜1 - 2 x ⎞⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎢ ⎝ ⎦ y' = ⎣ dx 1 2⎤ ⎡ d ⎢⎛⎜1 − 2 x ⎞⎟ ⎥ ⎠ ⎥ 1 2 ⎢⎣⎝ ⎦ y' = cos ⎛⎜1 - 2 x ⎞⎟ ⎠ ⎝ dx

⎛ d ⎛⎜1 − 2 x ⎞⎟ ⎞⎟ ⎜1 ⎠⎟ y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎝ dx ⎜2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ y' = cos 1 - 2 x ⎜ (1 − 2 x )−1 2 ⎛⎜ − 2 x ln 2 ⎞⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠

)(

)

⎛ ⎞ 1 − 2 x ln 2 ⎟⎟ y' = cos 1 - 2 x ⎜⎜ ⎝ 2 1 - 2x ⎠

(

⎛ ⎛ - 2 x ln 2 ⎞ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠⎟ x y' = cos 1 - 2 ⎜ ⎝ ⎜ 2 1 - 2x ⎟ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

(

)

⎛⎜ - 2 x ln2 ⎞⎟ ⎛⎜ cos 1 - 2 x ⎝ ⎠ ⎜⎝ y' = 2 1- 2x

⎞ ⎟⎟ ⎠

35

Calcular la derivada

y = cos x y = cos x = cos (x )1 2 d ⎡cos (x )1 2 ⎤ ⎢ ⎥⎦ y' = ⎣ dx ⎛1⎞ y' = - sen (x )1 2 ⎜ ⎟ (x )1 2 − 1 ⎝2⎠ ⎛1⎞ y' = - sen x ⎜ ⎟ (x )- 1 2 ⎝2⎠ ⎛1⎞⎛ 1 ⎞ y' = - sen x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2⎠⎝ x ⎠

y' =

- sen x 2 x

Calcular la derivada y = (x) (sen x)3 Primer termino = (x) Segundo termino = (sen x)3

y' =

[

d (x )(senx )3 dx

y ' = (x )

]

[

]

d (sen x )3 + (sen x )3 d [x ] dx dx

y ' = (x )(cos x )3

[ ]

d (x )3 + (sen x )3 [1] dx

[ ] y ' = (x )(cos x )3 [(3)(x )2 ]+ (sen x )3

y ' = (x )(cos x )3 (3)(x )3 −1 + (sen x )3

y ' = 3 (x )(x )2 (cos x )3 + (sen x )3 y ' = 3 x 3 (cos x )3 + (sen x )3 Calcular la derivada y = ln [sen (x2 + 5)]

36

[( (

)] ⎞ ⎡ d (sen (x 2 + 5) ⎤ ⎟⎢ ⎥

d ln sen x 2 + 5 ' y = dx

⎛ 1 y' = ⎜ ⎜ sen x 2 + 5 ⎟ ⎢ ⎝ ⎠⎣

)

(

dx

⎥⎦

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ' ⎟ ⎡cos ⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟(2 )(x )2 −1 ⎤ y = ⎜ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎜ sen⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟ ⎟ ⎢⎣ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎡cos ⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟(2 )(x )⎤ y' = ⎜ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎜ sen⎛⎜ x 2 + 5 ⎞⎟ ⎟ ⎢⎣ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎛ ⎛ ⎞⎞ 2 ⎜ 2x ⎜ cos ⎛⎜ x + 5 ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ y' = ⎜ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ 2 ⎜ sen⎜⎝ x + 5 ⎟⎠ ⎟ ⎠ ⎝

y' =

(

2x cos x 2 + 5

(

sen x 2 + 5

(

)

)

y ' = (2x ) cot x 2 + 5

)

Calcular la derivada

y = ln

1+ x2 1− x2

⎛ 1+ x2 ⎞ ⎟ d⎜ ln ⎜ ⎟ 2 1− x ⎠ y' = ⎝ dx ⎡ ⎛1+ x2 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎢d⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎢ 1− x ⎠⎥ 1 ⎢ ⎝ ⎥ y' = dx ⎥ 1+ x2 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ 1 - x 2 ⎢⎣ ⎦

⎡ ⎛1 + x2 ⎞ ⎤ ⎟⎥ ⎢ d⎜ ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎜1 − x2 ⎟ ⎥ ⎠⎥ ⎟⎢ ⎝ y' = ⎜ ⎜ ⎟ 2 ⎢ dx ⎥ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

37

⎡ ⎛ d ⎛1 - x 2 ⎞ ⎞ ⎤ ⎛ d ⎛1 + x 2 ⎞ ⎞ ⎟ ⎟⎥ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎢⎛ ⎠⎟ ⎝ ⎠ ⎟ - ⎛1 + x 2 ⎞ ⎜ ⎝ 2 ⎥ ⎢ ⎜1 - x ⎞⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dx dx ⎟⎥ ⎟ ⎜ ⎜ ⎢ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎛ 1- x2 ⎞ ⎢ ⎠⎥ ⎠ ⎝ ⎝ ⎟ y' = ⎜ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ 2 2 ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎥ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

⎛ 1- x2 y' = ⎜ ⎜ 2 ⎝1+ x

⎡ 2⎞ 2 -1 - ⎛1 + x 2 ⎞ (− 2 )(x )2 −1 ⎤⎥ ⎛ ⎜ ⎟ ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎢⎝ ⎥ ⎟⎢ 2 ⎥ 2 ⎛⎜1 - x ⎞⎟ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ 2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2)(x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2)(x ) ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎢⎝ ⎥ y' = ⎜ ⎜ ⎟ 2 2 ⎢ ⎥ ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) - ⎜1 + x ⎟ (− 2 x ) ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎢⎝ ⎥ y' = ⎜ ⎟⎢ ⎜ 2 2 ⎥ + 1 x 2 ⎛⎜1 - x ⎞⎟ ⎠⎢ ⎝ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 2⎞ 2⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎢ ⎜1 - x ⎟ (2 x ) + ⎜1 + x ⎟ (2 x ) ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎢⎝ ⎥ y' = ⎜ ⎜ ⎟ 2 2 ⎢ ⎥ ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎝1+ x ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 2x - 2x 3 + 2x + 2x 3 ⎤ ⎥ ⎟⎢ y' = ⎜ 2 ⎥ ⎜1 + x 2 ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎣⎢ 1- x2 ⎦⎥

( )

⎛ 1 - x 2 ⎞ ⎡ 4x ⎤ ⎥ ⎟⎢ y' = ⎜ 2 ⎥ ⎜1+ x2 ⎟ ⎢ ⎝ ⎠ ⎣⎢ 1 - x 2 ⎥⎦

( )

4x - 4x 3

y' =

⎛⎜1 + x 2 ⎞⎟ ⎛⎜1 − x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2

Calcular la derivada

y = e1 x d ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ ⎝ ⎠ y' = dx

⎛1⎞ d⎜ ⎟ x y' = ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dx

38

d ⎛⎜ x −1 ⎞⎟ ⎠ y' = ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ ⎝ ⎝ ⎠ dx y' = ⎛⎜ e1 x ⎞⎟ (- 1)(x )-1-1 ⎝ ⎠

( )

y' = e1 x (- 1)(x )- 2 y' =

- e1 x x2

LA REGLA DE LA CADENA Si y = f(u) es función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

d [f (g(x ))] = f ' (g(x )) g ' (x ) ’ dx Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (x2 + 1)3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero

dy du 3 dy d ⎛ 2 = ⎜ x + 1⎞⎟ ⎠ du du ⎝ 3 −1 dy = (3) ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ du 2 dy = (3) ⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ ⎝ ⎠ du

Después se halla

du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x2 + 1)

39

y = (x2 + 1)3 = (u)3

d⎛⎜ x 2 + 1⎞⎟ du ⎠ = 2x 2 -1 = ⎝ dx dx du = 2 x 2 -1 dx

du = 2x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

2 dy = (3) ⎛⎜ x 2 + 1 ⎞⎟ (2x ) ⎝ ⎠ dx 2 dy ⎛ 2 = ⎜ x + 1 ⎞⎟ (6x ) ⎠ dx ⎝

Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 25 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (2x + 1)2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero

dy du dy d (2 x + 1)2 = du du dy = (2 )(2 x + 1)2 −1 du dy = (2 )(2 x + 1) du

Después se halla

du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2 x + 1) y = (2 x + 1)2 = (u)2

40

du d (2 x + 1) = = 2x 1-1 dx dx du = 2 x0 dx du = 2 dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy = (2 )(2x + 1 )(2 ) dx dy = 4 (2 x + 1 ) dx

Problema 10.8 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 93 Derivar s = (t2 – 3)4 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t) s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t) s’ = (t2 – 3)3 (8t) Problema 10.30 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (1 – 5x)6 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5) y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5) y ’ = (1 – 5x)5 (- 30) Problema 10.31 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (3x – x3 + 1)4 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 ) y ’ = (3x – x3 + 1)4 y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 ) Factor común 3 y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 ) y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 ) Problema 10.32 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

41

Se halla primero

dy du 1 dy d ⎛ 2 ⎞ = ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2 ⎠ du du ⎝

1 −1 dy ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2 ⎠ du ⎝ 2 ⎠ ⎝ 1 − dy ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜3 + 4 x - x ⎟ 2 ⎠ du ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ dy ⎜ 1 ⎟ =⎜ ⎟ 1 2 du ⎜ 2⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

Después se halla

du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3 + 4x – x2 ) y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2

d⎛⎜ 3 + 4 x - x 2 ⎞⎟ du ⎠ = ⎝ dx dx du = 4x1 -1 - 2 x 2 -1 dx du = 4x 0 - 2 x1 dx

du = 4-2x dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ dy ⎢ 1 ⎥ (4 - 2x = 12⎥ dx ⎢ ⎛ ⎢ 2⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟ ⎥ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

)

42

⎡ ⎤ ⎢ ⎥ dy ⎢ 4 - 2x 2 (2 - x ) ⎥= = 1 2 12 ⎢ ⎥ dx ⎢ 2⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟ ⎥ (2 ) ⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

dy (2 - x ) = 12 dx ⎛⎜ 3 + 4x - x 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝

REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces dy ⎛ du ⎞ = n [u (x )]n -1 ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠

O lo que es lo mismo d ⎡ n⎤ u = n [u ]n -1 u ' dx ⎢⎣ ⎦⎥

Sección 3.5 Ejemplo # 4 calculo Larson Edic 5 Pág. 140 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x) = (3x – 2x2)3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero

dy du 3 dy d ⎛ 2 = ⎜ 3x - 2x ⎞⎟ ⎠ du du ⎝ dy = (3) ⎛⎜ 3x - 2x 2 ⎝ du

⎞⎟ ⎠

dy = (3) ⎛⎜ 3x - 2x 2 ⎝ du

⎞⎟ ⎠

3 −1 2

Después se halla

du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3x – 2x2) y = (3x – 2x2)3 = (u)3

43

d⎛⎜ 3x - 2x 2 ⎞⎟ du ⎝ ⎠ = = 3 x1-1 - 2 (2 )x 2 -1 dx dx

du = 3 -4x dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy = (3) ⎛⎜ 3x - 2x 2 ⎝ dx dy ⎛ = ⎜ 3x - 2x 2 dx ⎝

⎞⎟ ⎠

⎞⎟ ⎠

2

2

(3 -

4x )

(9 - 12x )

Sección 3.5 Ejemplo # 6 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 2 y = 3 ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ 23 y = ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ Se halla primero

dy du 23 dy d ⎛ 2 = ⎜ x + 2 ⎞⎟ ⎠ du du ⎝ dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 =⎜ ⎟⎜x + 2 du ⎝ 3 ⎠ ⎝

⎞⎟ ⎠

2 3 −1

−1 3 dy ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 = ⎜ ⎟ ⎜ x + 2 ⎞⎟ ⎠ du ⎝ 3 ⎠ ⎝ dy 2 2 = = 1 3 du 3 3 ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Después se halla

du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x2 + 2)

44

y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3 d⎛⎜ x 2 + 2 ⎞⎟ du ⎝ ⎠ = 2 x 2 -1 + 0 = dx dx

du = 2x dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

⎡ ⎤ dy ⎢ 2 ⎥ (2x ) = ⎥ dx ⎢ 3 2 ⎣3 x + 2 ⎦ dy 4x = dx 3 3 x2 + 2

Sección 3.5 Ejemplo # 7 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. g(t ) =

-7

(2t - 3)2 -2

g(t) = (-7) (2t – 3)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero: du dy d (− 7 )(2t - 3)− 2 = du du dy = (- 7 )(- 2 )(2t - 3 )− 2 −1 du dy = (14 )(2t - 3 )− 3 du dy 14 = du (2t - 3)3

du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2t - 3)

45

y = (2t - 3)

-2

-2

= (u)

du d(2t - 3 ) = = 2 t1-1 - 0 dx dx

du = 2 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy ⎡ 14 ⎤ ⎥ (2 ) =⎢ dx ⎢ (2t - 3)3 ⎥ ⎦ ⎣ dy 28 = dx (2t - 3)3

Sección 3.5 Ejemplo # 8 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x ) = x 2 1 - x 2 12 f (x ) = x 2 ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

Primer termino = (x2) 12

Segundo termino = ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎝

f ' (x ) = (x )2

⎠

12 12 d d ⎡ ⎡ x2⎤ 1- x2 ⎤ + ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ dx dx ⎣⎢

La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x) La derivada de (x2) es (2x)

1 2 -1 12 ⎛1⎞ [2x ] f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤ + ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝2⎠ ⎛1⎞ f ' (x ) = (x )2 ⎜ ⎟ (- 2x ) ⎡1 - x 2 ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝2⎠ (x )2 (− 2 x ) + ⎛ 1 - x 2 f ' (x ) = ⎜ ⎝ 2 1- x2

f ' (x ) =

-1 2

12 [2x ] + ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

⎞ ⎟ (2x ) ⎠

(x )2 (− x ) + ⎛ 1- x2

⎞ ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) ⎝ ⎠

46

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ - x 3 + ⎜ 1 - x 2 ⎟ (2x ) ⎜ 1 - x 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f ' (x ) = 1- x2 f ' (x ) =

- x 3 + ⎛⎜1 - x 2 ⎞⎟ (2x ) ⎝ ⎠ 1- x2

f ' (x ) =

- x 3 + 2x - 2x 3

f ' (x ) =

- 3x 3 + 2x

1- x2

=

1- x 2 (x ) ⎛⎜ 2 - 3x 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ f ' (x ) = 1- x2

2x - 3x 3 1- x2

Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

f (x ) =

x

3 2 x +4 En este caso se utiliza la derivada del producto −1 3 f (x ) = (x ) ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ Primer termino = (x)

−1 3 Segundo termino = ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 1 3 -1 3 d d [ x] + ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ f ' (x ) = (x ) ⎡ x 2 + 4⎤ ⎥⎦ ⎝ ⎠ dx ⎢⎣ dx

La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) La derivada de (x) es (1)

-1 3 -1 -1 3 ⎛ 1⎞ [1] f ' (x ) = (x ) ⎜ − ⎟ ( 2x ) ⎡ x 2 + 4 ⎤ + ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠ -4 3 -1 3 ⎛ - 2x ⎞ ⎡ 2 + ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ f ' ( x ) = (x ) ⎜ ⎟ ⎢ x + 4 ⎤⎥ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ 3 ⎠⎣ ⎛ - 2 x2 ⎞ -4 3 -1 3 ⎟ ⎡x 2 + 4 ⎤ + ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ f ' (x ) = ⎜ ⎥⎦ ⎜ 3 ⎟ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

47

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 2 -2x 1 ⎜ ⎟ ' f (x ) = ⎜ + ⎟ 43 ⎜⎜ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎟⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 x 1 f ' (x ) = ⎜ ⎟ + 4 ⎜ 3⎛ 2 ⎞ ⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎜ 3 ⎜ x + 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 1 − 2 x2 f ' (x ) = + 4 3⎛ 2 ⎜ x + 4 ⎞⎟ 3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − 2 x 2 + ⎡⎢3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟⎤⎥ ⎠⎦ - 2x 2 + 3x 2 + 12 ⎣ ⎝ f ' (x ) = = 4 3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ 3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 2 + 12 f ' (x ) = 3 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

f (x ) = f (x ) =

x 3 2 x +4 x

13 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ En este caso se utiliza la derivada del cociente ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ d⎜ 13⎟ ⎜⎜ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎝ f ' (x ) = ⎝ dx 13⎤ ⎡ 2 ⎢ d ⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⎥ 1 3 ⎡ d(x ) ⎤ ⎠ ⎥ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ - (x ) ⎢ ⎝ ⎢ ⎥ ⎠ ⎝ ⎢ ⎥ dx ⎣ dx ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y' = 2 1 3⎤ ⎡ 2 ⎢⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎝ ⎣⎢ ⎦ La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) La derivada de (x) es (1)

48

⎡ ⎛ 2 ⎞⎤ 13 1 3 - 1 ⎢ d ⎜⎝ x + 4 ⎟⎠ ⎥ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ [1] - (x ) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎢ ⎥ ⎠ ⎠ ⎝ dx ⎝ 3⎠⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ y' = 2 1 3⎤ ⎡ 2 ⎢⎛⎜ x + 4 ⎞⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦ 13 1 3 -1 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ [1] - (x ) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ [2x ] ⎠ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ ⎝ y' = 2 1 3⎤ ⎡ 2 ⎞ ⎛ ⎢⎜ x + 4 ⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦

13 ⎛x⎞ -2 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ [2x ] - ⎜ ⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 3⎠⎝ y' = 2 1 3⎤ ⎡ 2 ⎛ ⎞ ⎢⎜ x + 4 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣⎢ ⎦ 1 3 ⎛ 2 x2 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ - ⎜ ⎜ 3 ⎝ ⎠ ⎝ y' =

⎞ -2 3 ⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎠ 2 1 3⎤ ⎡ 2 ⎛ ⎞ ⎢⎜ x + 4 ⎟ ⎥ ⎠ ⎥ ⎢⎣⎝ ⎦ 23 13 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ - 2x 2 ⎥ ⎢ ⎜ ⎟ 13 ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 x2 ⎟ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ - ⎜ ⎟ 23 ⎝ ⎠ 2 3 ⎜⎜ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎟⎟ 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = y' = 23 23 ⎡ x 2 + 4⎤ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠

Producto de extremos es igual al producto de medios ⎡3⎛ x 2 + 4 ⎞ - 2x 2 ⎤ ⎟ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎥⎦ ⎠ 23 3 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ 3 x 2 + 12 - 2x 2 ⎝ ⎠ y' = = = 23 23 23 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ 3⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 2 + 12 y' = = 43 ⎛⎜ x 2 + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ Sección 3.5 Ejemplo # 10 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

⎛ 3x - 1 ⎞ ⎟ y=⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x + 3⎠

2

49

En este caso se utiliza la derivada del cociente

⎛ 3x - 1 ⎞ ⎟ d⎜ ⎟ ⎜ 2 x + 3⎠ ⎝ f ' (x ) = dx

2

⎛ 3x - 1 ⎞ ⎟ Es necesario hallar la derivada interna de ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎝ x + 3⎠ ⎛ 3x - 1 ⎞ d ⎛ 3x - 1 ⎞ dy ⎟ ⎜ ⎟ = (2) ⎜ ⎟ ⎟ dx ⎜ 2 ⎜ 2 dx ⎝ x + 3⎠ ⎝ x + 3⎠ dy ⎛⎜ 6x - 2 ⎞⎟ d ⎛⎜ 3x - 1 ⎞⎟ = dx ⎜⎝ x 2 + 3 ⎟⎠ dx ⎜⎝ x 2 + 3 ⎟⎠ ⎡⎧ ⎫⎤ ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ d (3x - 1) - (3x - 1) d ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ ⎪⎥ ⎢ ⎪ dy ⎛⎜ 6x - 2 ⎞⎟ ⎢ ⎪ ⎝ ⎠ dx ⎠ ⎪⎥ dx ⎝ = ⎨ ⎬⎥ ⎟ ⎜ ⎢ 2 2 dx ⎝ x + 3 ⎠ ⎪ ⎪⎥ 2 ⎛ ⎞ ⎢⎪ ⎜ x + 3⎟ ⎪⎭⎦ ⎝ ⎠ ⎩ ⎣ dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

dy dx

⎤ ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ (3) - (3x - 1)(2x ) ⎥ ⎝ ⎠ ⎥ 2 ⎥ ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎤ ⎥ 2 2 3x + 9 - 6x + 2x ⎥ 2 ⎥ ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎤ ⎥ - 3x 2 + 9 + 2x ⎥ 2 ⎥ ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎤ ⎡ ⎢ 2 ⎛ 3x - 1 ⎞ - 3x + 9 + 2x ⎥ ⎥ ⎟⎢ = (2 )⎜ ⎜ 2 ⎟⎢ 2 ⎥ ⎝ x + 3⎠ 2 ⎥ ⎢ ⎛⎜ x + 3 ⎞⎟ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

⎡ ⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ ⎟⎢ =⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x + 3⎠ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ ⎟⎢ =⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x + 3⎠ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎛ 6x - 2 ⎞ ⎢ ⎟⎢ =⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ x + 3⎠ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 2 - 3x + 9 + 2x ⎥ = (2)(3x - 1) ⎢ 3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎛⎜ x + 3 ⎞⎟ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ (2)(3 x - 1) ⎛⎜ - 3x 2 + 9 + 2x ⎞⎟ ⎠ ⎝ = 3 ⎛⎜ x 2 + 3 ⎞⎟ ⎝ ⎠

Problema 10.37 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97

50

⎛ ⎝

⎞ x 2 − 2x + 2 ⎟ ⎠

Derivar f (x ) = (x - 1) ⎜ Primer termino = (x – 1) ⎛

⎞

⎝

⎠ ⎝

12

Segundo termino = ⎜⎜ x 2 − 2 x + 2 ⎟⎟ = ⎛⎜ x 2 - 2x + 2 ⎞⎟

f ' (x ) = (x - 1 )

[

⎠

]

12 ⎛ d 2 ⎞ d x - 2x + 2 + ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟ [ x - 1] dx ⎠ dx ⎝

La derivada interna es (2x - 2)

[

]

-1 2 ⎛ 1 ⎞ f ' (x ) = (x - 1 ) * (2x - 2 ) x 2 - 2x + 2 + ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟[ 1] 2 ⎠ ⎝

f ' (x ) =

(x - 1)(2 x − 2)

⎛ ⎞ + ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟ ⎠ x 2 - 2x + 2 ⎝

2

f ' (x ) =

⎛ ⎞ x 2 - 2x + 2 ⎜ x 2 - 2x + 2 ⎟ ⎝ ⎠

(x - 1)(2 x − 2) + 2

x 2 - 2x + 2

2

(

( x - 1)(2 x − 2 ) + 2 x 2 - 2x + 2 ' f (x ) = 2 x 2 - 2x + 2 f ' (x ) =

2x 2 - 2x - 2x + 2 + 2x 2 - 4x + 4 2

x 2 - 2x + 2

2

2(2x 2 - 4x + 3) x 2 - 2x + 2

2

f ' (x ) =

x 2 - 2x + 2

4x 2 - 8x + 6

f ' (x ) =

f ' (x ) =

)

2 x 2 - 4x + 3 x2 - 2 x + 2

Sección 3.5 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Descomposición de una función compuesta y = f(g(x)) 1 y= x +1 y = sen 2x

y = 3x 2 − x + 1 y = tg2 x

u = g(x)

u = 2x

Y = f(u) 1 y= u y = sen u

u = 3x2 –x + 1

y= u

u = tg x

y = (u)2

u=x+1

51

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Completar la tabla siguiendo el modelo del ejemplo 2 y = f(g(x)) y = (6x - 5)4 1 y= x +1

u = g(x) u = 6x -5

y = x2 −1

u = x2 - 1

y= u

⎛ 3x ⎞ u =⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ u = (x2 - 3x + 4) u = (5x - 2)

y = (u )2

2

⎛ 3x ⎞ y=⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ y = (x2 - 3x + 4)6 y = (5x - 2)3/2

u=x+1

y = f(u) y = (u)4 1 y= u

y = (u)6 y = (u)3/2

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 7 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (2x - 7)

3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero: du dy d (2x - 7 )3 = du du

dy = (3)(2x - 7 )3 −1 du dy = (3)(2x - 7 )2 du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2x – 7) y = (2x – 7)3 = (u)3

du d (2x - 7 ) = = 2 x1-1 - 0 dx dx du = 2 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

52

dy = (3)(2x - 7 )2 (2 ) dx dy = (2x - 7 )2 (6 ) dx Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 8 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 4

y = (3 x2 + 1)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy Se halla primero du

(

)

( (

) )

4 dy d = 3x 2 + 1 du du 4 −1 dy = (4 ) 3 x 2 + 1 du 3 dy = (4 ) 3 x 2 + 1 du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)

la función interior u = (3 x2 + 1) y = (3 x2 + 1)4 = (u)4

)

(

du d 3 x 2 + 1 = = 2 (3) x 2 -1 + 0 dx dx du = 6x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

)

(

3 dy = (4 ) 3 x 2 + 1 (6x ) dx

(

)

3 dy = 3 x 2 + 1 (24x ) dx

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 9 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

53

4

g (x) = 3 (9x - 4)

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero du

dy d = 3 (9 x - 4 )4 du du dy = (3)(4 )(9 x - 4 )4 −1 du dy = (12 )(9 x - 4 )3 du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (9 x - 4) y = (9x - 4)4 = (u)4

du d (9x - 4 ) = = 9 x1-1 - 0 dx dx

du = 9 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy = (12 )(9x - 4 )3 (9 ) dx dy = (9 x - 4 )3 (108 ) dx Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 10 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x) = 2 (x2 - 1)

3

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy Se halla primero du dy d ⎛ 2 ⎞ 3 2 ⎜ x - 1⎟ = du du ⎝ ⎠

54

3 −1 dy = (2 )(3) ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠ du 2 dy = (6 ) ⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ ⎝ ⎠ du

du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = ( x2 - 1) y = (x2 - 1)2 = (u)2 d⎛⎜ x 2 - 1⎞⎟ du ⎠ ⎝ = 2 x 2 -1 - 0 = dx dx

du = 2x dx

Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

2 dy = (6 ) ⎛⎜ x 2 - 1 ⎞⎟ (2 x ) ⎠ ⎝ dx 2 dy ⎛ 2 = ⎜ x - 1 ⎞⎟ (12 x ) ⎠ dx ⎝

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 11 Hallar la derivada 1 y= x−2

⎛ 1 ⎞ d⎜ ⎟ x -2⎠ ⎝ y' = dx

y' =

y' =

y' =

(x − 2 )

d (1) - (1) d (x - 2) dx dx 2 (x - 2)

(x − 2)(0) - (1)(1) (x - 2)2 −1

(x - 2)2

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143

55

Problema # 12 Hallar la derivada 1 s (t) = t 2 + 3t − 1

⎛ ⎞ 1 ⎟ d⎜ ⎜ 2 ⎟ t + 3t - 1 ⎠ s' = ⎝ dx

⎛⎜ t 2 + 3t − 1⎞⎟ d (1) - (1) d ⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟ ⎠ dx ⎠ dx ⎝ s' = ⎝ 2 ⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟ ⎝ ⎠

⎛⎜ t 2 + 3t − 1⎞⎟ (0 ) - (1)(2 t + 3) ⎠ ' s =⎝ 2 ⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟ ⎠ ⎝ s' =

- (2 t + 3) ⎛⎜ t 2 + 3t - 1⎞⎟ ⎝ ⎠

2

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 13 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 2 ⎛ 1 ⎞ f (t ) = ⎜ ⎟ ⎝ t -3⎠ En este caso se utiliza la derivada del cociente

⎛ 1 ⎞ d⎜ ⎟ t - 3⎠ ⎝ f ' (t ) = dx

2

⎛ 1 ⎞ Es necesario hallar la derivada interna de ⎜ ⎟ ⎝ t -3⎠ ⎛ 1 ⎞ d ⎛ 1 ⎞ f ' (t ) = (2) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ t - 3 ⎠ dx ⎝ t - 3 ⎠ ⎛ 2 ⎞ d ⎛ 1 ⎞ f ' (t ) = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ t - 3 ⎠ dx ⎝ t - 3 ⎠

⎧ (t - 3) d (1) - (1) d (t - 3) ⎫⎪⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎞ ⎛ dx dx f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬ 2 ⎝ t -3⎠ ⎪ (t - 3) ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭

56

⎛ 2 ⎞ ⎧⎪ (t - 3)(0) - (1)(1) ⎫⎪ f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎝ t - 3 ⎠ ⎪⎩ (t - 3)2 ⎪⎭ ⎛ 2 ⎞ ⎧⎪ (t - 3)(0) - (1) ⎫⎪ f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎝ t - 3 ⎠ ⎪⎩ (t - 3)2 ⎪⎭ ⎛ 2 ⎞ ⎧⎪ - (1) ⎫⎪ f ' (t ) = ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎝ t - 3 ⎠ ⎪⎩ (t - 3)2 ⎪⎭

⎛ 2 ⎞ ⎛⎜ - 1 f ' (t ) = ⎜ ⎟ ⎝ t - 3 ⎠ ⎜⎝ (t - 3)2 f ' (t ) = f ' (t ) =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

-2

(t - 3)(t - 3)2 -2

(t - 3)3

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 14 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. -4 y= (t + 2)2 la derivada del cociente (Recomendable utilizar la regla del exponente)

⎡ -4 ⎤ ⎥ d⎢ ⎢⎣ (t + 2 )2 ⎥⎦ y'= dx Es necesario hallar la derivada interna de (t + 2)

⎧ ⎫ d d ( t + 2 )2 ⎪ ⎪ (t + 2) (- 4 ) - (- 4) ⎪ ⎪⎡ d ⎤ dx dx y' = ⎨ ⎬⎢ (t + 2 )⎥ 2 ⎦ ⎪ ⎪⎣ dx ⎡( t + 2 ) 2 ⎤ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎧ ⎛ d ⎞⎫ ⎪ (t + 2)(0 ) - (- 4)(2)(t + 2)⎜ dx (t + 2 )⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪[1] y' = ⎨ ⎬ [t + 2]4 ⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎧⎪ 8(t + 2)(1) ⎫⎪ y' = ⎨ ⎬ ⎪⎩ [t + 2]4 ⎪⎭ 8 (t + 2 ) y' = (t + 2)4 y' =

8

(t + 2)3 57

Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 14 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. -4 y= (t + 2)2 (Recomendable utilizar la regla del exponente) y = - 4 (t + 2)

-2

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy Se halla primero du

dy d - 4 ( t + 2 )− 2 = du du dy = (- 4 )(- 2 )(t + 2 )− 2 −1 du dy = (8)(t + 2 )− 3 du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = ( t + 2) y = (t + 2)

-2

= (u)

-2

du d (t + 2 ) = = x1-1 + 0 dx dx du d (t + 2 ) = = 1 dx dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy = (8)(t + 2 )- 3 (1) dx dy = (8)(t + 2 )- 3 dx 8 dy = dx (t + 2 )3 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 15 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

58

f (x ) =

3 ( x 3 - 4)

(Recomendable utilizar la regla del exponente) F (x) = 3 (x3 - 4)

-1

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero du dy d ⎛ 3 ⎞ −1 3 ⎜ x - 4⎟ = ⎠ du du ⎝ −1−1 dy = (3)(- 1) ⎛⎜ x 3 - 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ du 2 − dy = (- 3) ⎛⎜ x 3 - 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x3 - 4) y = (x3 - 4)

-1

= (u)

-1

d⎛⎜ x 3 − 4 ⎞⎟ du ⎠ = (3) x 3-1 − 0 = ⎝ dx dx

d⎛⎜ x 3 − 4 ⎞⎟ du ⎠ = 3 x2 = ⎝ dx dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠

dy = (8)(t + 2 )- 3 (1) dx

dy = (8)(t + 2 )- 3 dx dy 8 = dx (t + 2 )3 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 17 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

59

f(x) = x2 (x - 2)4 (Recomendable utilizar la regla del producto)

⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ f ' (x ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero du f ' (x ) =

d ⎛ 2 4 ⎜ x (x - 2 ) ⎞⎟ ⎠ du ⎝

f ' (x ) = x 2

d ⎛ d ⎛ 2⎞ ⎜ (x - 2 )4 ⎞⎟ + (x − 2 )4 ⎜x ⎟ ⎠ du ⎝ dx ⎝ ⎠

f ' (x ) = x 2 (4 )(x − 2 )4 -1 + (x − 2 )4 (2 )(x )2 −1 f ' (x ) = 4x 2 (x − 2 )3 + (x − 2 )4 (2 )(x ) f ' (x ) = 4x 2 (x − 2 )3 + (2 x )(x − 2 )4 Factor común

2x(x – 2)3 f ' (x ) = ⎡ 2x (x − 2 )3 ⎤ [2x + (x − 2 ) ] ⎢⎣ ⎥⎦ f ' (x ) = ⎡2x (x − 2 )3 ⎤ [2x + x - 2 ] ⎢⎣ ⎥⎦ f ' (x ) = ⎡ 2x (x − 2 )3 ⎤ [3x - 2 ] ⎢⎣ ⎥⎦ f ' (x ) = (2x )(x - 2 )3 [3x - 2 ] Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 19 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.

f (t ) = 1 - t f (t ) = 1 - t = (1 - t )1 2 (Recomendable utilizar la regla del exponente)

⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ f ' (t ) = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy Se halla primero du

60

f ' (t ) =

d ⎛ ⎜ (1 - t )1 2 ⎞⎟ ⎠ du ⎝

⎛1⎞ f ' (t ) = ⎜ ⎟ (1 - t )−1 2 −1 ⎝2⎠

⎛1⎞ f ' (t ) = ⎜ ⎟ (1 - t )−1 2 ⎝2⎠ ⎛ ⎞ 1 ⎟ f ' (t ) = ⎜ ⎜ 2 (1 - t )1 2 ⎟ ⎝ ⎠ du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (1 - t)

f (t ) = (1 - t )1 2 f (t ) = (u )1 2

du d (1 - t ) = = −1 dx dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena

dy ⎛ dy ⎞ ⎛ du ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟ dx ⎝ du ⎠ ⎝ dx ⎠ dy 1 (- 1) = dx 2 (1 - t )1 2 dy -1 = dx 2 (1 - t )1 2 dy -1 = dx 2 1 - t

PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO Sección 3.7 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 153 Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas (fig. 3.27). El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/seg. Cuando su radio es 120 cm. A que ritmo esta creciendo el área total A de la zona perturbada.? si el radio de la onda circular concéntrica es r, el radio crece a ritmo constante de 30 cm/seg. Luego la razón de cambio del radio es:

dr cm = 30 dt seg

61

r = 120 cm.

dA Calcular dt cuando el radio = 120 cm. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área de la onda circular con el radio. A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dA dr = (2 ) π r dt dt Pero: dr cm = 30 dt seg r = 120 cm. Reemplazando

dA dr = (2 ) π r dt dt dA cm 2 = (2 ) π (120 )(30 ) dt seg dA cm 2 = (7200 ) π dt seg dA cm 2 = 22619,46 dt seg Sección 3.7 Ejemplo 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 154 Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 cm3/min. Hallar la razón de cambio del radio cuando este es de 2 cm. Si el radio del globo es r, su volumen V crece 4,5 cm3/min. Luego la razón de cambio del volumen

dV cm 3 = 4,5 dt min. dr

Calcular dt cuando el radio = 2 cm. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio.

4 cm 3 3 V= π r 3 min.

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

62

dV 4 dr = (3) π r 2 dt 3 dt Cancelando términos semejantes.

dV dr = (4 ) π r 2 dt dt

dr Despejamos dt

1

dV dr = dt 4 π r 2 dt dV cm 3 = 4,5 Pero: dt min.

radio = 2 cm.

Reemplazando

1

(4,5) =

4 π (2 )2 4,5 dr = 4 π (4 ) dt dr 4,5 = dt 50,265 cm dr = 0,089 dt min

dr dt

Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 5 El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando a) r = 6 cm b) r = 24 cm

dr cm =2 dt min A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dr dA = (2 ) π r dt dt Pero:

cm dr =2 dt min

r = 6 cm Reemplazando

63

dr dA = (2 ) π r dt dt cm 2 dA = (2 ) π (6 )(2 ) dt min cm 2 dA = 24 π min dt b) r = 24 cm el área del circulo es: A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dr dA = (2 ) π r dt dt Pero:

cm dr =2 dt min

r = 24 cm Reemplazando

dr dA = (2 ) π r dt dt cm 2 dA = (2 ) π (24 )(2 ) dt min cm 2 dA = 96 π dt min Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 5 El radio de una esfera crece 2 cm/min.. hallar la razón de cambio del área cuando a) r = 6 cm. b) r = 24 cm.

cm dr =2 dt min el área de la esfera es: A = 4 π r2 (cm)2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dr dA = (2 ) 4 π r dt dt

64

Pero:

cm dr =2 dt min

r = 6 cm Reemplazando

dr dA = (2 ) 4 π r dt dt cm 2 dA = (2 ) 4π (6 )(2 ) dt min 2 cm dA = 96 π dt min b) r = 24 cm.

cm dr =2 dt min el área de la esfera es: A = 4 π r2 (cm)2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dr dA = (2 ) 4 π r dt dt Pero:

cm dr =2 dt min

r = 24 cm Reemplazando

dr dA = (2 ) 4 π r dt dt cm 2 dA ( ) ( )( ) = 2 4π 24 2 dt min 2 cm dA = 384 π dt min Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 9 Un globo esférico se hincha a razón de 20 pies3/min. Como varia el radio en el instante en que el radio es a) 1 pie b) 2 pies?

65

a) 1 pie

pies 3 dV = 20 dt min. dr Calcular dt cuando el radio = 1 pie.

Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio.

V=

4 pie 3 π r3 3 min.

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

4 dV dr = (3) π r 2 dt 3 dt Cancelando términos semejantes.

dV dr = (4 ) π r 2 dt dt dr Despejamos dt 1 dV dr = dt 4 π r 2 dt

pies 3 dV 20 = Pero: dt min. Reemplazando

1

4 π (1)2

(20 ) =

radio = 1 pie.

dr dt

Cancelando términos semejantes.

5

π

=

dr dt

d r 5 pies = dt π seg b) 2 pies?

pies 3 dV = 20 dt min. dr Calcular dt cuando el radio = 2 pie. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio.

V=

4 pie 3 π r3 3 min.

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

66

4 dV dr = (3) π r 2 dt 3 dt Cancelando términos semejantes.

dV dr = (4 ) π r 2 dt dt dr Despejamos dt 1 dV dr = dt 4 π r 2 dt

pies 3 dV 20 = Pero: dt min. Reemplazando

1

4 π (2 )2

(20 ) =

radio = 2 pie.

dr dt

Cancelando términos semejantes.

5 dr = 4π dt

dr 5 pies = dt 4 π seg Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 10 La formula para el volumen de un cono es:

V=

π 2 r h 3

dv Hallar la razón de cambio del volumen dt pulg. dr 2 = si dt min y h = 3 r cuando: a) r = 6 pulg. b) r = 24 pulg. a) r = 6 pulg. El volumen del cono es:

h=3r

π V = r2 h 3

h=3r se reemplaza

V= V=

r

π 2 r h 3

π

3

(r )2 (3 r ) 67

V=

3π 3 (r ) 3

Cancelando términos semejantes. V = π r3 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h

dr dV = (3) π r 2 dt dt pulg. dr =2 r= 6 pulg. min dt dV = (3) π (6 )2 (2 ) dt pulg 3 dV = 216 π min dt b) r = 24 pulg. El volumen del cono es:

V=

π 2 r h 3

h=3r se reemplaza

V= V=

π 2 r h 3

π

(r )2 (3 r )

3 3π 3 (r ) V= 3

Cancelando términos semejantes. V = π r3 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h

dr dV = (3) π r 2 dt dt pulg. dr 2 = r= 6 pulg. min dt dV = (3) π (6 )2 (2 ) dt pulg 3 dV = 216 π min dt

68

Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 11 Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies3/min. El diámetro de la base del cono es aproximadamente tres veces su altura. A que ritmo esta cambiando la altura del montón cuando su altura es 15 pies?

pies 3 dV = 10 min dt h = 15 pies. El diámetro de la base del cono = 3 altura del cono h = 15 pies

como el diámetro = 2 radio 2 radio = 3 altura del cono altura del cono = 1/3 * 2 radio

h =

r

2 r 3

Despejamos el radio

r =

3 h 2

Elevamos al cuadrado

⎛3 ⎞ r2 = ⎜ h⎟ ⎝2 ⎠

r2 =

2

9 2 h 4

el volumen del cono es:

V=

π 2 r h 3

Pero:

r2 =

9 2 h 4

se reemplaza

V=

π 2 r h 3

π ⎛9 ⎞ V = ⎜ h 2 ⎟ (h ) 3 ⎝4

⎠

Cancelando términos semejantes.

V=

3π 3 h 4

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dV 3π 2 d h = (3) h dt dt 4

69

Reduciendo términos semejantes.

d V 9π 2 d h = h dt 4 dt

Despejamos

dh dt

4 dV dh = dt 9π h 2 dt Pero: h = 15 pies.

pies 3 dV = 10 min dt dh = dt 9π dh = dt 9π

4

dV (h )2 dt 4 (10 ) (15)2

8 pies 8 40 40 dh = = = = dt 9π (15)2 (9 )π (225 ) (9 ) π (45) 405 π min. 8 pies dh = dt 405 π min. Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) En una fábrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia abajo de 20 m. de altura y 5 metros de radio, al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del liquido esta a 10 m de altura. Hallar: SEMEJANZA DE TRIANGULOS 5m 5m

r

20 m

10 m

r

20 m 10 m

A que velocidad sube el nivel del liquido, cuando h = 10 metros?

m3 dV =1 min dt Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA) h = 20 metros r = 5 metros

70

h=4r Despejando r

r =

h 4

Elevamos al cuadrado

⎛h ⎞ r2 = ⎜ ⎟ ⎝4 ⎠ h2 r2 = 16

2

el volumen del cono es:

V=

π 2 r h 3

Pero:

r2 =

h2 16

se reemplaza

π ⎛⎜ h 2 ⎞⎟ h V= 3 ⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠ π 3 V= h 48

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

π dh dV = (3) h 2 dt dt 48 Reduciendo términos semejantes.

dV π 2 dh = h dt dt 16

Despejamos

dh dt

16 d V dh = dt π h 2 dt Pero: h = 10 m.

m3 dV =1 min dt 16 d V dh = dt π h 2 dt 16 dh (1) = dt π (10 )2

71

m 16 16 16 dh = = = = 0,05 min. dt π (10 )2 π (100 ) 314,15 m dh = 0,05 min. dt El nivel del líquido sube a razón de 0,05 m/min. h=4r Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dr dh =4 dt dt

dr Despejamos dt 1 dh dr = dt 4 dt m dh = 0,05 Pero: dt min. dr 1 dh = dt 4 dt dr 1 = (0,05 ) dt 4 m dr = 0,0125 min dt A que velocidad aumenta el área de la superficie libre del liquido? La superficie libre del líquido es: A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dr dA = (2 ) π r dt dt

SEMEJANZA DE TRIANGULOS 5m

Pero:

m dr = 0,0125 min dt

Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)

20 5 = 10 r Despejando 20 r = 50

r

20 m 10 m

50 20 5 r = metros 2 r=

Reemplazando

72

dr dA = (2 ) π r dt dt dA m2 ⎛5⎞ = (2 ) π ⎜ ⎟ (0,0125 ) dt min ⎝2⎠ m2 dA = π (5)(0,0125 ) min dt m2 dA = π (5)(0,0125 ) min dt m2 dA = 0,196 min dt la superficie libre del liquido aumenta a razon de 0,196 m2/min. A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior? P=2πr

dr dP = 2π dt dt Pero:

m dr = 0,0125 min dt

Reemplazando

dr dP = 2π dt dt dP = 2 π (0,0125 ) dt m dP = 0,078 min dt

El perímetro de la superficie libre aumenta a velocidad constante de 0,078 m/min. A que velocidad aumenta el área mojada ? POR PITAGORAS

L = h2 + r2 El área mojada por el liquido es: A= πrL

A =π r h2 + r2

12

A = π r ⎛⎜ h 2 + r 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

73

(

)

(

)

)

(

1 2 -1 ⎛ 1 2 ⎛ dr ⎞⎤ ⎫ dA ⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2 dh dr ⎞ + 2r ⎟ + h 2 + r 2 = ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ h + r 2 ⎜ ⎟⎥ ⎬ ⎜ 2h dr dt ⎠ dt ⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ dt ⎠⎦ ⎭ ⎝ -1 2 ⎛ 1 2 ⎛ dr ⎞ ⎤ ⎫ dA ⎧ ⎡ ⎛ 1 ⎞ 2 dh dr ⎞ + 2r ⎟ + h 2 + r 2 = ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ h + r 2 ⎜ ⎟ ⎥⎬ ⎜ 2h dr dt ⎠ dt ⎩ ⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎦ ⎭ ⎝

(

)

⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫ 2h + 2r ⎪ 1 2 ⎢ dA ⎪ ⎛1⎞ ⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪⎪ dt dt + h 2 + r 2 = ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎬ 12 dt ⎪ ⎢ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪ 2 h +r ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

(

(

)

)

⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫ h +r ⎪ 1 2 ⎢ dA ⎪ ⎛1⎞ ⎛ dr ⎞ ⎥ ⎪⎪ dt + h 2 + r 2 = ⎨π ⎢(r )⎜ ⎟(2 ) dt ⎜ ⎟ ⎥⎬ dt ⎪ ⎢ ⎝ 2 ⎠ 2 2 ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪ h +r ⎪⎩ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎪⎭

(

⎧ ⎡ dh dr h +r dA ⎪⎪ ⎢ dt + h 2 + r 2 = ⎨π ⎢(r ) dt dt ⎪ ⎢ h2 + r2 ⎪⎩ ⎢⎣

)

⎤⎫ dr ⎛ ⎞ ⎥ ⎪⎪ ⎜ ⎟ ⎥⎬ ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪ ⎥⎦ ⎪⎭

pero:

L = h2 + r2 L2 = 102 + 2,52 L2 = 100 + 6,25 L2 = 106,25

r = 2,5 m

L = 106,25

L= 10,3 metros

10 m L

h 2 + r 2 = 10,3 metros r = 2,5 metros h = 10 metros

dh m = 0,05 dt min. dr m = 0,0125 dt min reemplazar

⎧ ⎡ dh dr ⎤⎫ h +r ⎪ ⎢ dA ⎪ dt + h 2 + r 2 ⎛⎜ dr ⎞⎟ ⎥ ⎪⎪ = ⎨π ⎢(r ) dt ⎥⎬ dt ⎪ ⎢ ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪ h2 + r2 ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

74

⎧ ⎡ ⎤⎫ (10 ) dh + (2,5) dr dA ⎪⎪ ⎢ dr dt dt + (10,3) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎪⎪ = ⎨π ⎢(2,5) ⎥⎬ dt ⎪ ⎢ 10,3 ⎝ dt ⎠ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

(10 )(0,05) + (2,5)(0,0125 ) + (10,3)(0,0125 ) ⎤ ⎫ dA ⎧ ⎡ = ⎨π ⎢(2,5 ) ⎥⎬ dt ⎩ ⎣ 10,3 ⎦⎭ (0,5) + (0,031) + (0,128 ) ⎤ ⎫ dA ⎧ ⎡ = ⎨π ⎢(2,5 ) ⎥⎬ dt ⎩ ⎣ 10,3 ⎦⎭

(0,531) + (0,128 ) ⎤ ⎫ dA ⎧ ⎡ = ⎨π ⎢(2,5 ) ⎥⎬ dt ⎩ ⎣ 10,3 ⎦⎭ dA = {π [(2,5)(0,051) + (0,128 ) ]} dt dA = {π [(0,128 ) + (0,128 ) ]} dt dA = {π [(0,256 ) ]} dt dA m2 = 0,8 min dt

El área mojada aumenta a razón de 0,8 m2/min Problema 3.32 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Un globo sonda de forma esférica se eleva pero pierde gas a razón de 4 cm3/seg. Con que rapidez disminuye el radio, cuando su diámetro es de 4 metros. Si el radio del globo es r, su volumen V decrece 4 cm3/seg. Luego la razón de cambio del

dV cm 3 =4 volumen dt seg. dr Calcular dt cuando el diámetro = 4 m.

Por lo tanto el radio = 2 metros.= 200 cm Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio.

V=

4 cm 3 π r3 3 min.

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dV 4 dr = (3) π r 2 dt 3 dt Cancelando términos semejantes.

dV dr = (4 ) π r 2 dt dt dr Despejamos dt

75

dV dr = dt 4 π r 2 dt 1

dV cm 3 =-4 Pero: dt seg.

radio = 200 cm.

Reemplazando

1 4 π (200 )2

(- 4 ) =

dr dt

Cancelando términos semejantes.

-1 dr = π (40000 ) dt dr -1 = dt 125663,706 dr cm = 7,95 x 10 - 6 dt seg Problema 3.71 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Una esfera de metal se dilata por el calor. En un instante dado su radio es de 10 cm. y aumenta a razón de 3 cm /min. A que velocidad aumenta el volumen ? Si el radio del globo es r, su radio r crece 3 cm/min. Luego la razón de cambio del radio

dr cm =3 dt min. dV Calcular dt cuando el radio = 10 cm.

Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio.

V=

4 cm 3 π r3 3 min.

Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dV 4 dr = (3) π r 2 dt 3 dt Cancelando términos semejantes.

dV dr = (4 ) π r 2 dt dt dr cm =3 Pero: dt min.

radio = 10 cm.

Reemplazando

dV dr = (4 ) π r 2 dt dt

76

dV cm 3 2 = (4 ) π (10 ) (3) min dt dV = (4 ) π (10 )2 (3) dt dV = (4 ) π (100 )(3) dt dV cm 3 = (1200 ) π min dt dV cm 3 = 3769,91 min dt El volumen aumenta a 3769,91 cm3/min. A que velocidad aumenta la superficie? Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área del globo con el radio. La superficie de la esfera es: A = 4 π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)

dA dr = (2 )(4 ) π r dt dt dA dr = (8) π r dt dt Pero:

dr cm =3 dt min.

cuando el radio = 10 cm. Reemplazando

dA dr = (8) π r dt dt dA cm 2 ( ) ( )( ) = 8 π 10 3 min dt 2 dA cm = (240 ) π dt seg dA cm 2 = 753,98 dt seg La superficie aumenta a razón de 753,98 cm2/seg.

77

Sección 3.7 Ejemplo 5 calculo Larson Edic 5 Pág. 156 Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 m3/min. Hallar la razón de cambio de la altura del montón cuando su altura es 1,5 metros. Supóngase que el radio del cono es igual a su altura. h = 1,5 metros radio del cono = altura del cono r=h h

dV m3 =2 min dt el volumen del cono es:

V=

π 2 r h

r

3

radio del cono = altura del cono r=h r2 = h2 se reemplaza

V= V= V=

π 2 r h 3

π

3

π

3

(h )2 (h ) (h )3

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h

π dV dh = (3) (h )2 dt 3 dt Cancelando términos semejantes.

dV dh =π h2 dt dt

dh Despejamos dt dh 1 dV = dt π h 2 dt radio del cono = altura del cono = 1,5 metros

dV m3 =2 min dt

dh 1 (2) = dt π (1,5 )2

78

dh 2 2 metros = = = 0,2829 dt π (2,25 ) 7,068 min. Problema 3.21 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Una cinta transportadora vierte arena en un piso horizontal formando un montón de forma cónica en el que por el coeficiente de rozamiento de los granos siempre la altura es igual a la tercera parte del diámetro de la base. Si la cinta descarga arena a razón de 720 dm3/min. Y la salida del punto de descarga esta a 5 dm. Sobre el nivel del piso, calcular la velocidad de variación de la altura del cono, en el momento en que alcanza el nivel del orificio.

dV dm 3 = 720 min dt h = 5 dm. altura del cono = 1/3 del diámetro de la base como el diámetro = 2 radio altura del cono = 1/3 * 2 radio h = 5 dm.

2 h = r 3 Despejamos el radio

r =

3 h 2

r

Elevamos al cuadrado

⎛3 ⎞ r2 = ⎜ h⎟ ⎝2 ⎠ 9 r2 = h2 4

2

el volumen del cono es:

V=

π 2 r h 3

Pero:

r2 =

9 2 h 4

se reemplaza

V=

π 2 r h

V=

π ⎛9 2⎞ ⎜ h ⎟ (h )

3

3 ⎝4

⎠

Cancelando términos semejantes.

V=

3π 3 h 4

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h

79

dV 3π 2 d h = (3) h dt 4 dt Reduciendo términos semejantes.

d V 9π 2 d h = h dt 4 dt

dh Despejamos dt dh 4 dV = dt 9π h 2 dt h = 5 dm.

dV dm 3 = 720 min dt dh = dt 9π dh = dt 9π

4

dV (h )2 dt 4 (720 ) (5)2

dh 2880 2880 2880 dm = = = = 4,07 dt 9π (5)2 (9 )π (25) 706,85 min. De un tubo sale arena a razón de 16 dm3 / seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base con que rapidez aumenta la pirámide cuando tiene 4 dm. De altura?

dV dm 3 = 16 dt seg h = 4 dm. altura del cono = 1/4 del diámetro de la base

h = 4 dm.

como el diámetro = 2 radio altura del cono = 1/4 * 2 radio

h =

1 r 2

r

Despejamos el radio

r =2h Elevamos al cuadrado

r 2 = (2 h )2 r2 = 4 h2

el volumen del cono es:

80

V=

π 2 r h 3

Pero:

r2 = 4 h2

se reemplaza

V=

π 2 r h 3

π V = ⎛⎜ 4 h 2 ⎞⎟ (h ) 3⎝

V=

⎠

4π 3 h 3

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dV 4π 2 d h = (3) h dt 3 dt Reduciendo términos semejantes.

dV dh = 4π h2 dt dt

dh Despejamos dt dh 1 dV = dt 4 π h 2 dt h = 4 dm.

dV dm 3 = 16 seg dt dh 1 dV = dt 4 π h 2 dt dh 1 (16 ) = dt 9π (4 )2 dh 16 16 1 1 dm = = = = = 0,035 dt 9π (4 )2 (9 )π (16 ) (9 ) π 28,27 seg.

Problema 3.145 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Una cortadora de madera vierte aserrín seco sobre un piso horizontal a razón de 2800 cm3/hora. el cual va formando una pila cónica. El aserrín tiene un coeficiente interno de rozamiento de 3 lo que corresponde a un ángulo constante con la horizontal de 600. Calcular la velocidad a la cual crecen el radio y la altura del cono de aserrín cuando la altura es de 1,2 metros?

81

El volumen de aceite contenido en el cono Para un radio ( r) y una altura ( h) es:

V=

π 2 r h 3

Como el ángulo de la base es constante = 600 la relacion Entre la altura ( h) y elredio ( r) es:

μ = tag 60 0 =

h r h = 1,2 m

h r h

3= r=

Ө = 600

3

r2 = ( r2 =

h 2 ) 3

r

h2 3

se reemplaza

V= V=

V=

π 2 r h 3

π ⎛h⎞

2

⎜ ⎟ 3 ⎝3⎠

π 9

(h )

h3

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dV dh π = (3) h 2 dt 9 dt Reduciendo términos semejantes.

dV π 2 dh = h dt 3 dt Despejamos

dh dt

dh 3 dV = dt π h 2 dt h = 1,2 m = 120 cm.

dV cm 3 = 2800 dt hora

82

dh 3 (2800 ) = dt π (120 )2 dh 8400 8400 = = π (14400 ) 45238,934 dt dh cm = 0,1856 dt hora

μ = tag 60 0 = μ= 3=

h r

h r

h= 3r Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dh = dt

3

dr dt

dr Despejar dt dr 1 dh = dt 3 dt Pero:

dh cm = 0,1856 dt hora dr 1 (0,1856 ) = dt 3 dr cm = 0,1071 dt hora La altura aumenta a razón de 0,185 cm/hora y el radio aumenta a 0,1071 cm/hora Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) En una fabrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia debajo de 20 metros de altura y 5 metros de radio. Al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del liquido esta a 10 metros de altura Hallar: a que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt? A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido? A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior. A que velocidad aumenta el área mojada? A que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt? el volumen del liquido es:

V=

π 2 r h ecuación 1 3

83

Por semejanza de triángulos 5m

20 5 = h r 20 r = 5 h 4r= h

h = 20 m.

Despejando el radio (r)

r=

h 4

2

h2 ⎛h⎞ r2 = ⎜ ⎟ = 16 ⎝4⎠ r2 =

h2 16

Ecuación 2

5m Reemplazando la ecuación 2 en ecuación 1.

V=

π 2 r h

V=

π ⎛⎜ h 2 ⎞⎟ h

3

3 ⎜ 16 ⎟ ⎝ ⎠

V =π V=

h = 20 m

r

h2 h 48

π 48

h3

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dV dh π = (3) h 2 dt 48 dt Reduciendo términos semejantes. dV π 2 dh = h

dt

16

Despejamos

dt

dh dt

dh 16 dv = dt π h 2 dt

dv m3 =1 Cuando h= 10 metros dt min 16 dh (1) = dt π (10 )2

84

dh 16 16 = = dt π 100 314,15 dh m = 0,05 dt min A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido? La superficie libre del líquido es:

A = π r2

2 2=h r Pero: 16

A =π

h2 16

dA ⎛ π ⎞ dh = (2 ) ⎜ ⎟ h dt ⎝ 16 ⎠ dt d A ⎛ π ⎞ dh = ⎜ ⎟h dt ⎝ 8 ⎠ dt dh m = 0,05 Cuando h = 10 metros dt min d A ⎛π ⎞ = ⎜ ⎟ (10 )(0,05 ) dt ⎝ 8 ⎠ d A ⎛ 1,5707 ⎞ =⎜ ⎟ dt ⎝ 8 ⎠

dA m2 = 0,196 min dt A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior. p=2πr

h r = pero; 4 p=2 π p= π

h 4

h 2

dp π dh = dt 2 dt Pero

dh m = 0,05 dt min

85

dp π (0,05 ) = dt 2 dp m = 0,078 min dt A que velocidad aumenta el área mojada?

h 4 10 r= 4 r=

r

r = 2,5 metros l2 = r2 + h2 h = 10 m

l = r2 +h2

l

l2 = 2,52 + 102 l2 = 6,252 + 100 l2 = 106,25

l=

106,25

l = 10,3 cm. A=πrl Pero:

l =

r2 +h2

A = π (r )

r2 +h2

h r= Pero: 4

r2 =

⎛ 2 ⎛h⎞ ⎜h A =π ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎜ 16 ⎝

h2 16

⎞ ⎟ 2 ⎟ +h ⎟ ⎠

⎛ 2 ⎛ h ⎞ ⎜ 17 h A =π ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎜ 16 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ h ⎞ ⎛ 17 ⎞⎟ A = π ⎜ ⎟ (h )⎜ ⎝ 4 ⎠ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ A=

π ⎛ 2⎞ ⎜ h ⎟ 17

16 ⎝

⎠

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

86

π dA dh = (2 ) (h ) 17 dt 16 dt dA π dh = (h ) 17 dt 8 dt Pero h = 10 metros

dh m = 0,05 Pero dt min

dA π = (10 ) 17 (0,05) dt 8 dA 129,53 = (0,05) dt 8 dA = 16,191 (0,05) dt m2 dA = 0,8095 dt seg. Problema 3.67 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) La generatriz de un cono circular recto mide 4 metros y su ángulo en el vértice es 2Ө. Si Ө aumenta a razón de 2 0/seg. Calcular a que velocidad cambia el volumen cuando el angulo mitad Ө es de 300. Los valores de r y h en función de la generatriz y del ángulo Ө son:

sen θ =

r 4

r = 4 sen Ө r2 = (4 sen Ө)2 r2 = 16 sen2 Ө

cos θ =

(ecuación 1)

h 4

h = 4 cos Ө

(ecuación 2)

r

El volumen del cono es: Reemplazar:

V=

π 2 r h 3

( 16 sen 2 θ )(4 cos θ ) 3 64 π (sen 2 θ )(cos θ ) V= 3

V=

h l = 4 m.

π

2Ө

Derivada de un producto

87

[

)]

(

dV 64 π (2)(sen θ )(cos θ )(cos θ ) + (- sen θ ) sen 2θ dθ = dt 3 dt

(

)

dV ⎡ 64 π (2)(sen θ )(cos θ )2 - 64π sen θ sen 2θ ⎤⎥ dθ =⎢ dt ⎣ 3 3 ⎦ dt dV ⎡128 π (sen θ )(cos θ )2 - 64π sen 3 θ ⎤⎥ dθ =⎢ dt ⎣ 3 3 ⎦ dt Pero Ө = 300

dθ grados =2 dt seg 2π rad 3600 X 20 0,0349065 rad.

dV ⎡128 π (sen 30 )(cos 30 )2 - 64π sen 3 30 ⎤⎥ dθ =⎢ dt ⎣ 3 3 ⎦ dt 2 ⎡ 3⎤ dV ⎢128 π ⎛ 1 ⎞⎛⎜ 3 ⎞⎟ 64π ⎛ 1 ⎞ ⎥ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (0,0349065 ) 3 ⎝2⎠ ⎥ dt ⎢ 3 ⎝ 2 ⎠⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎣ ⎦ dV ⎡128 (3) π 64π ⎛ 1 ⎞⎤ = ⎜ ⎟ (0,0349065 ) 3 ⎝ 8 ⎠⎥⎦ dt ⎢⎣ 24

dV ⎡ 384 π 64 π ⎤ (0,0349065 ) = 24 ⎥⎦ dt ⎢⎣ 24 dV ⎡ 320 π ⎤ (0,0349065 ) = dt ⎢⎣ 24 ⎥⎦ dV = 41,887 (0,0349065 ) dt m3 dV = 1,46 seg dt Problema 3.109 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Un tanque en forma de cono circular recto tiene el vértice hacia abajo, su radio superior es de 80 cm y su altura es 1,4 metros. Esta parcialmente lleno de aceite y presenta un escape por el fondo y el aceite sale a una velocidad proporcional a la raíz cuadrada de la altura y a las características del orificio e igual a :

m3 0,08 h min Calcular la velocidad de descenso del nivel de aceite en el tanque en el momento en que la altura del liquido sea de 50 cm?

88

El volumen de aceite contenido en el cono Para un radio ( r) y una altura ( h) es:

V=

.80 m

π 2 r h 3

h = 1,4 m.

Por semejanza de triángulos

h r = 0,8 1,4 1,4 r = 0,8 h

r=

0,8 h 1,4 0,80 m

r = 0,571428 h

r 2 = (0,571428 h) 2 r 2 = 0,3265 h 2

h = 1,4 m

reemplazando

V= V=

π 2 r h

r

h

3

( 0,3265 h 2 ) h 3

π

V = 0,3419 h 3 derivamos

dV dh = 0,3419 (3) h 2 dt dt dV dh = 1,0257 h 2 dt dt Pero h = 0,5 metros

dV dt dV dt dV dt dV dt dV dt

= 0,08 h = 0,08 0,5 = 0,08 (0,7071) = 0,056

m3 min

= 1,0257 h 2

dh dt

0,056 = 1,0257 (0,5)2

dh dt

89

dh 0,056 0,056 m = = = 0,2184 dt 1,0257 (0,25 ) 0,2564 min Dos lados de un triangulo miden 4 y 5 metros y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triangulo se incrementan cuando el ángulo entre los lados es de π/3.

dθ rad = 0,06 dt seg 1800 x

π π/3.

π x= 3

(180 ) π

sen θ =

= 60 0

h 5

Despejamos la altura del triangulo h = 5 sen Ө

ecuación 1

El área del triangulo es:

1 A = (base )(altura ) 2 1 A = (4 )(h ) 2 1 A = (4 )(5 sen θ ) 2

5m

h Ө 4m

Reduciendo términos semejantes. A = 10 sen Ө Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dA dθ = 10 cos θ dt dt

Pero: Ө = 600

dθ rad = 0,06 dt seg dA dθ = 10 cos θ dt dt dA = 10 cos 60 (0,06 ) dt dA = 0,6 cos 60 dt

90

dA = 0,6 (0,5 ) dt dA m2 = 0,3 dt seg h = 5 sen Ө

ecuación 1

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dh dθ = 5 cos θ dt dt

Pero: Ө = 600

rad dθ = 0,06 dt seg dh dt dh dt dh dt dh dt dh dt

= 5 cos θ

dθ dt

= 5 cos 60 (0,06 ) = 0,3 cos 60 = 0,3 (0,5 ) = 0,15

m seg

Problema 27 calculo Larson Edic 8 Un campo de béisbol tiene forma cuadrada de 90 pies de lado. Un jugador que dista 30 pies de la tercera base esta corriendo a 28 pies/seg. A que ritmo esta cambiando su distancia al punto de recepción? 2 BASE

Por Pitágoras S2 = X2 + 902 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

2S

dS dx = 2x dt dt

X = 30 pies

3 BASE

1 BASE

dS dx S = x dt dt

S

Despejamos

dS x d x = dt S dt

90 pies

90 pies

Por Pitágoras S2 = X2 + 902

91

Pero X = 30 metros S2 = X2 + 902 S2 = 302 + 902 S2 = 900 + 8100 S2 = 9000

S=

9000

S = 94,868 pies

dx pies = 28 dt seg dS = dt dS = dt dS = dt

x dx S dt 30 (28) 94,868 pies 8,85 seg

Sección 3.7 Problema 29 calculo Larson Edic 5 Pág. 160 Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg. Alejándose de una farola cuya bombilla esta a una altura de 15 pies. Sobre el suelo (véase la figura). Cuando el hombre esta a 10 pies de la base de la farola

dx pies = 5 dt seg A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?

dy = dt

A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? y – x es la longitud de la sombra

15 pies 6 pies

Por semejanza de triángulos

15 6 = y y-x

x

y-x y

15 (y – x) = 6 y 15 y – 15x) = 6 y 15 y – 6 y = 15x 9 y = 15x Despejamos y

15 (x ) 9 5 y = (x ) 3

y=

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

92

dy 5 dx = dt 3 dt Pero:

dx pies = 5 dt seg dy 5 = (5) dt 3 d y 25 pies = dt 3 seg

A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? y – x es la longitud de la sombra

d (y - x ) d y d x = dt dt dt Pero:

d y 25 pies = dt 3 seg dx pies = 5 dt seg d (y - x ) 25 = -5 dt 3

d (y - x ) = dt d (y - x ) = dt

25 15 10 pies - = 3 3 3 seg 10 pies 3 seg

Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado público, que esta a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces: Con que rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica esta a 7,2 metros del poste, a 9 metros? Con que rapidez se mueve el extremo de su sombra?

dy = dt

Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 1,8 metros de largo?

dx m = 0,6 dt seg A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? y – x es la longitud de la sombra

9m 1,8 m

Por semejanza de triángulos

9 1,8 = y y-x 9 (y – x) = 1,8 y

Ө x

y-x y

93

9 y – 9x) = 1,8 y 9 y – 1,8 y = 9 x 7,2 y = 9 x Despejamos y

9 (x ) 7,2 y = 1,25 (x )

y=

Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

dy dx = 1,25 dt dt

Pero:

dx m = 0,6 dt seg

dy = 1,25 (0,6 ) dt dy m = 0,75 dt seg Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 1,8 metros de largo? La longitud de la sombra es: ver grafica y – x = 1,8 metros

tg θ =

opuesto adyacente

1,8 y-x 1,8 y-x = tg θ

tg θ =

y - x = 1,8 (tg θ )−1

1,8 m Ө y-x

opuesto adyacente 1,8 tg θ = =1 1,8 tg θ =

tg Ө = 1 Ө = arc tg 1 Ө = 450 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)

d (y - x ) dθ = (- 1) sec 2 θ dt dt

94

d (y ) d x dθ = (- 1) sec 2 θ dt dt dt Pero;

dx m = 0,6 dt seg dy m = 0,75 dt seg

dθ 0,75 - 0,6 = (- 1)(sec θ )2 dt dθ 0,15 = (- 1)(sec θ )2 dt dθ DESPEJAMOS dt -

0,15 dθ = dt sec 2 θ

Pero Ө = 450

-

0,15

(sec 45)2

=

dθ dt

dθ - 0,15 (cos 45 )2 = dt dθ = - 0,15 (0,7071)2 dt dθ rad = - 0,15 (0,5 ) dt seg dθ rad = 0,075 dt seg A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? y – x es la longitud de la sombra

d (y - x ) d y d x = dt dt dt Pero:

dy pies = 0,75 dt seg dx m = 0,6 dt seg d (y - x ) = 0,75 - 0,6 dt

d (y - x ) m = 0,15 dt seg

95

Ejemplo # 4 calculo Larson pag. 155 edic 5. Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea S la distancia en millas entre el avión y el radar. Si S esta decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando S es 10 millas. Cual es la velocidad del avión?

S = 10 millas

6 millas

x

dS millas = - 400 dt hora dx dt

S = 10 millas.

Por el teorema de Pitágoras S2 = X2 + 62 102 = X2 + 62 100 = X2 + 36 100 - 36 = X2 X2 = 64 X = 8 millas S2 = X2 + 62 Derivando implícitamente con respecto a x

dx dS =2x dt dt dx dS s = x dt dt

2s

s dS dx = x dt dt

reemplazando 10 (- 400) = dx 8 dt millas dx = - 500 hora dt Luego la velocidad es de 500

millas hora

Problema 3.31 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)

96

Un avión bombardero vuela horizontalmente hacia su objetivo a una velocidad de 800 km/hora. Y a 8 km de altura. a) A que velocidad se aproxima a su blanco cuando dista horizontalmente 10 km de el? b) A que velocidad gira el angulo de mira en ese momento?

S

8 km

X = 10 km

Por el teorema de Pitágoras S2 = X2 + 82 S2 = 102 + 82 S2 = 100 + 64 S2 = 164 S = 2 41

tg θ = ctg θ =

8 x x 8

θ = arc ctg

x (rad) 8

S2 = X2 + 82 Derivando implícitamente con respecto a x dx dS 2s =2x dt dt dS dx s = x dt dt dS x dx = dt s dt km dx Pero = - 800 hora dt

x = 8 km.

dS x dx = s dt dt dS 10 (- 800) = dt 2 41

97

dS - 4000 - 4000 km = = = 625 dt 6,4 hora 41

Derivando implícitamente con respecto a t x ctg θ = 8 dθ 1 d x 2 = - csc θ 8 dt dt

- 1 d x ⎛ rad ⎞ dθ = ⎜ ⎟ dt 8 csc 2 θ dt ⎝ hora ⎠ 8 s s csc θ = 8

sen θ =

⎛s⎞ csc 2 θ = ⎜ ⎟ ⎝8⎠

2

s2 pero: S2 = 164 64 164 csc 2 θ = 64 - 1 d x ⎛ rad ⎞ dθ = ⎜ ⎟ dt 8 csc 2 θ dt ⎝ hora ⎠ csc 2 θ =

dθ = dt

- 1 dx ⎛ 164 ⎞ dt 8⎜ ⎟ ⎝ 64 ⎠ dθ -1 (- 800) = dt ⎛ 164 ⎞ 8⎜ ⎟ ⎝ 64 ⎠

dθ -1 (- 800) = dt ⎛ 164 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ dθ 800 = dt ⎛ 164 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ dθ 6400 rad = = 39,02 dt 164 hora Problema 3.33 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca) Dos aviones vuelan a la misma altura en dos rutas paralelas distantes 50 km siempre en dirección Este. Sus velocidades respectivas son 240 km/hora. y 180 km/hora. A las 12:00 horas, uno de ellos esta al norte del otro. Con que velocidad se separan a las 14:00 horas. Pasado un tiempo t, la distancia entre los aviones es la grafica de vuelo.

98

X = Xa - Xb

S

50 km

X es la diferencia de recorrido lineal entre los aviones a causa de la diferencia de velocidades

Va = 240

km hora

Xa = 240 km/hora * 2 horas = 480 km

Vb = 180

km hora

Xb = 180 km/hora * 2 horas = 360 km

X = Xa - Xb = 480 km - 360 km = 120 km. X = 120 km. Por el teorema de Pitágoras S2 = X2 + 502 S2 = 1202 + 502 S2 = 1202 + 502 S2 = 14400 + 2500 S2 = 16900 S = 130 km Derivando implícitamente con respecto a t S2 = X2 + 502

dS dx =2x dt dt dS dx s = x dt dt

2s

dS x dx = dt s dt dx km Pero: = 60 dt hora

dS = dt dS = dt

X = 120 km.

S = 130 km

120 km (60) km 130 km hora 7200 km 130 hora

dS km = 55,38 dt hora

99

Problema 3.49 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca) Los dos brazos de un puente levadizo giran hacia arriba alrededor de un eje comun. La longitud del mas corto es de 3 metros y la del mas largo es de 4 metros y giran a la misma velocidad de 5 rad/seg. Hallar a que velocidad se acercan o separan las dos extremidades cuando ambos marcan un angulo de 45 grados con la horizontal? Ver la grafica Ө + β + Ө = 1800 a

2Ө + β = 1800 2Ө = 1800 - β Derivando implícitamente con respecto a t 2Ө = 1800 - β

c=3m

β

b=4m Ө

Ө

dθ dβ =dt dt dθ rad = 5 dt seg

2

Reemplazando dβ dt dβ rad = - 10 dt seg

2 (5) = -

2Ө + β = 1800 Pero Ө = 450 2(45) + β = 1800 90 + β = 1800 β = 1800 -900 β = 900 dθ rad = 5 dt seg b = 4 metros c = 3 metros

Aplicando ley de coseno a2 = b2 + c2 – 2 b c cos β a2 = 42 + 32 – 2 (4) (3) cos β a2 = 16 + 9 – 24 cos β a2 = 25 – 24 cos β

100

a=

25 - 24 cosβ

a = (25 - 24 cosβ ) 1 2 Derivando implícitamente con respecto a t a = (25 - 24 cosβ ) 1 2 da ⎛1⎞ dβ = ⎜ ⎟ (25 - 24 cos β )- 1 2 (- (- 24 senβ )) dt ⎝ 2 ⎠ dt

da ⎛1⎞ dβ = ⎜ ⎟ (25 - 24 cos β )- 1 2 (24 senβ ) dt ⎝ 2 ⎠ dt da dβ = (25 - 24 cos β )- 1 2 (12 senβ ) dt dt

(12 sen β ) dβ da = dt (25 - 24 cos β )1 2 dt Pero: β = 900 dβ rad = - 10 dt seg

Reemplazar

(12 sen β ) dβ da = dt (25 - 24 cos β )1 2 dt

(12 sen 90) (- 10) da = dt (25 - 24 cos 90)1 2 (12 ) (- 10) da = dt (25 )1 2 d a (12 ) (- 10) = dt 5 d a − 120 = dt 5 da m = - 24 dt min Los extremos de los brazos se aproximan uno al otro a razón de 24 m/min.

101

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 218 Ejemplo #1 Determinación del volumen máximo Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial de 108 pulg2 como se muestra en la figura. Que Dimensiones producirá una caja con un volumen máximo? Debido a que la caja tiene una base cuadrada, su volumen es: V=x*x*h V = x2 * h Ecuación 1 El área de la superficie de la caja es: A = (área de la base) + (área de los cuatro lados) A = x * x + 4 (x * h) A = x2 + 4 x h = 108 pulg2 x2 + 4 x h = 108 Despejamos h x2 + 4 x h = 108 4 x h = 108 – x2 h=

108 - x 2 4x

Ecuación 2

Reemplazamos Ecuación 2 en la ecuación 1 V = x2 * h Ecuación 1 108 - x 2 V = x2 ( ) 4x

Simplificando 108 - x 2 V=x(

V=

4

)

108x - x 3 108x x 3 = 4 4 4

Simplificando x3 V = 27x -

Derivar

4

dV dx

dV 3 x2 = 27 dx 4

Se iguala la derivada a cero.

102

3x2 =0 4

27 -

Despejando x 3x2 27 =

4

3 x 2 = 108 108 x2 = = 36 3 x = ± 36

x = 6 pulg. Si x = 6 se halla el volumen x3 V = 27x -

V = 27(6) -

4

(6)3 = 162 - 216 = 162 - 54 = 108 4

V = 108 pulg3

4

se reemplaza el valor de x = 6 para hallar h A = x2 + 4 x h = 108 x2 + 4 x h = 108 (6)2 + 4 (6) h = 108 (6)2 + 4 (6) h = 108 36 + 24h = 108 24h = 108 - 36 24h = 72 h=

72 =3 24

h = 3 pulg. V=x*x*h Las dimensiones de la caja es = 6pulg. * 6 pulg. * 3 pulg. Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 220 Ejemplo # 2 Determinación de la distancia mínima. Que puntos sobre la grafica de y = 4 – x2 son mas cercanos al punto (0,2)? La figura muestra que hay dos puntos a una distancia mínima del punto (0,2). La distancia entre el punto (0,2) y el punto (x, y) sobre la grafica de y = 4 – x2 esta dada por: d=

(x - 0)2 + (y - 2)2 Ecuación 1

103

La ecuación, y = 4 – x2 Ecuación 2 se reemplaza la ecuac. 2 en la ecuac. 1. d = (x - 0 )2 + (y - 2 )2

d=

(x )2 + ⎛⎜ 4 - x 2 - 2 ⎞⎟

d=

(x )2 + ⎛⎜ 2 - x 2

⎝

⎝

2

⎠

⎞ ⎟ ⎠

2

d = x 2 + 4 - 4x 2 + x 4 d = x 4 - 3x 2 + 4

f (x) = x4 – 3x2 + 4 Se deriva la parte interna del radical f ’(x) = 4x3 – 6x Se iguala la derivada a cero. 4x3 – 6x = 0 2x (2x2 – 3) = 0 Resolviendo 2x = 0 x=0 2x2 – 3 = 0 2x2 = 3 3 2 3 x=± 2

x2 =

Las tres raíces son : x =0,

3 3 , 2 2

x = 0 produce un máximo. x=

3 y x= 2

3 producen una distancia mínima. 2

En la ecuación, se reemplaza los dos valores de x para encontrar el valor de y. y = 4 – x2 Ecuación 2 y = 4 – x2 pero x =

3 2

104

x2 =

3 2

y= 4y=

3 2

5 2

Los puntos mas cercanos son: ⎛ 3 5⎞ ⎛ ⎜ , ⎟ y ⎜− ⎜ 2 2⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝

3 5 ⎞⎟ , 2 2 ⎟⎠

Problema 3 calculo Larson edic 8 Encontrar dos números positivos, que la suma es S y el producto = 192 es un máximo? x = es un numero y = el otro numero S = x + y ecuación 1 x * y = 192 ecuación 2 Despejamos la y y=

192 ecuación 3 x

Se reemplaza la ecuación 3 en la ecuación 1

S= x +

192 x

S = x + 192 x - 1 ds Derivamos dx ds = 1 + (- 1)(192 ) x - 2 dx ds 192 =1dx x2 Iguala la derivada a cero 192 1=0 x2

1=

192 x2

X2 = 192 x = 192 y=

192 ecuación 3 x

Reemplazando x = 192

105

y=

192 192 192 192 192 192 = = = = 192 192 x 192 192 * 192

y = 192 S es un mínimo cuando x = y = 192 Problema 6 calculo Larson edic 8 Encontrar dos números positivos. El segundo numero es el reciproco del primero y la suma es un minimo? x = es un numero 1 es el reciproco x

1 = x + x -1 x ds Derivamos dx S= x +

ds = 1 + (- 1) x - 2 dx

ds 1 =1dx x2 Iguala la derivada a cero 1 1=0 x2

1=

1 x2

x2 = 1 x=1

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

ds 1 =1dx x2 d2 s 1 = - (- 2 ) d x2 x3 d2 s 2 = > 0 cuando x = 1 2 dx x3

Cuando la segunda derivada es positiva, se encuentra un mínimo. Si x = 1

1 1 = =1 x 1

106

La suma es un mínimo cuando x = 1 y

1 =1 x

Problema 9 calculo Larson edic 8 Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro = 100 metros y un área máxima. El perímetro = 2x + 2y 2x + 2y = 100 y

Reduciendo términos semejantes x + y = 50 despejamos y

x

y = 50 – x ecuación 1 área del rectángulo = x * h A = x * y ecuación 2 Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2 A=x*y A = x * (50 – x) A = 50x – x2 Derivamos

dA dx

dA = 50 - 2x dx

Iguala la derivada a cero 50 – 2x = 0 50 = 2x 50 x = = 25 2 se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo. dA = 50 - 2x dx d2 A = -2 d x2

d2 A = - 2 < 0 cuando x = 25 d x2 Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO.

107

Si x = 25 x + y = 50

25 + y = 50

y = 25 el área es máxima cuando x = y = 25 metros Problema 11 calculo Larson edic 8 Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo. área del rectángulo = x * h A=x*y x * y = 64

y

despejamos y

x 64 ecuación 1 x El perímetro = 2x + 2y y=

P = 2 x + 2 y ecuación 2 Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2 P=2x+2y 64 P = 2 x + (2 ) x 128 P=2x+ x dP Derivamos dx dP = 2 + (- 1)(128)(x )- 2 dx dP 128 =2− dx x2

Iguala la derivada a cero

2−

128 =0 x2

2=

128 x2

X2 = 64

x2 =

128 2

x=

64 = 8

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

dP 128 =2− dx x2 d2 P = - (- 2 )(128) (x )− 3 2 dx

108

d 2 P 256 = 2 x3 dx d 2 P 256 = > 0 cuando x = 8 d x2 x3

Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.

64 x 64 y= 8 y = 8 pies y=

el PERIMETRO es mínimo cuando cuando x = y = 8 metros Problema 4.1 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Se desea construir un tanque metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical, abierto por su parte superior y de un volumen dado. Calcular las dimensiones del radio y de la altura para emplear en su construcción la menor cantidad de material posible. la lamina metálica empleada en la construcción de la pared lateral y el fondo del tanque deberá tener la menor área posible.

r

Esta área será: A = π r2 + 2 π r h ecuación 1 El volumen es: V = π r2 h

h

Despejamos h V ecuación 2 h= π r2 Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación 1 A = π r2 + 2 π r ecuación 1 V A =π r2 + 2 π r π r2 Reduciendo términos semejantes V A =π r2 + 2 r 2 A = π r + 2 V r -1 Derivamos

dA dr

dA = 2π r + 2 (- 1)V r - 2 dr dA = 2π r - 2 V r - 2 dr

109

dA 2V = 2π r dr r2 Iguala la derivada a cero 2V 2π r =0 r2 2π r =

2V r2

2π r 3 = 2 V Reduciendo términos semejantes π r3 = V Despejamos r V r3 =

π

V r=3

π

1 ⎛ V ⎞3 r=⎜ ⎟ ⎝π ⎠ 2 ⎛V ⎞3 2 r =⎜ ⎟ ⎝π ⎠ Se halla el valor de h reemplazando el valor de r2 V ecuación 2 h= π r2

h=

V 2 ⎛V⎞3 π⎜ ⎟ ⎝π ⎠ V

h=

π

(V )2 3 (π )2 3

=

V (V )− 2 3

π

(π )2 3

=

3 2 V3 3

(π )(π )− 2 3

=

V1 3 V1 3 3 V 3 V = = = π π 3 3- 2 3 π1 3 3π

V h= 3

π

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

2V dA = 2π r dr r2 dA = 2π r - 2 V r - 2 dr d2 A = 2 π - (- 2 )(2 ) (V )(r )− 3 2 dr

110

d2 A V = 2π + 4 2 dr r3 d2 A V V = 2π + 4 > 0 cuando r = 3 π d r2 r3 Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO. 2 V V V ⎛ ⎞ 2 r =⎜ ⎟3 y r=3 h= 3 π π ⎝π ⎠

La superficie (A) de la lamina es: A = π r2 + 2 π r h ecuación 1 2 3 1 3 1 3 ⎛V⎞ ⎛V⎞ ⎛V⎞ A =π ⎜ ⎟ + 2π ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝π ⎠ ⎝π ⎠ ⎝π ⎠

⎛V⎞ A =π ⎜ ⎟ ⎝π ⎠

2 3

⎛V⎞ A = 3π ⎜ ⎟ ⎝π ⎠

⎛V⎞ + 2π ⎜ ⎟ ⎝π ⎠

2 3

2 3

El área de la lámina metálica es mínima cuando; V r=h= 3

π

Problema 4.6 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Se desea construir un depósito metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical, con dos tapas y se dispone de una lamina rectangular de superficie dada A. Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que permitan obtener un tanque de capacidad máxima. r

El volumen es: V = π r2 h ecuación 1 Esta área será: A = π r2 + π r2 + 2 π r h A = 2 π r2 + 2 π r h

h

Despejamos h A - 2 π r2 = 2 π r h

2π r h = A - 2π r2 A - 2π r 2 h= ecuación 2 2π r Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación 1 V = π r2 h ecuación 1

111

A - 2π r 2 V =π r2 ( ) 2π r Reduciendo términos semejantes A - 2π r 2 V=r( ) 2 A r - 2π r 3 V= 2 A r 2 π r3 V= 2 2 Ar V= - π r3 2

dV dr dV A = - 3π r2 dr 2

Derivamos

Iguala la derivada a cero A - 3π r2 = 0 2

A = 3π r2 2 Despejamos r A r2 = 2(3 π )

r2 =

A 6π

r=

A 6π

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

dV A = - 3π r2 dr 2 d2 V = - (2 )(3 π )(r ) d r2

d2 V = - 6π r 2 dr

A d2 V A - 6 π r < 0 cuando r = = 6π 2 d r2

Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO. Se halla el valor de h reemplazando el valor de A A r2 = 6π Despejamos A

112

A = 6 π r2 Despejamos h

A - 2π r 2 ecuación 2 2π r A 2π r2 h= 2π r 2π r

h=

h=

A -r 2π r

h=

6π r2 -r 2π r

h =3r -r h=2r h = diámetro El volumen será máximo cuando la altura (h) del cilindro sea iguala al diámetro. Problema 4.3 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello una lamina metálica cuadrada de 120 cm. De lado, recortando un cuadrado pequeño en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo. El volumen de la caja será: V = Área de la base * altura x

V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x V = (120 – 2 x)2 * x

120 cm 120 - 2x

dV Derivamos dx dV = (2 )(120 - 2x )(- 2x ) + (1) (120 - 2x )2 dx dV = - 4x (120 - 2x ) + (120 - 2x )2 dx

x

120 - 2x

x

120 cm

dV = - 480x + 8x 2 + (120 )2 - (2 )(120 )(2 x ) + (2x )2 dx dV = - 480x + 8x 2 + 14400 - 480x + 4x 2 dx

x

x

120 - 2x

120 - 2x

dV = 12 x 2 - 960 x + 14400 dx

113

Iguala la derivada a cero 12 x 2 - 960 x + 14400 = 0 Cancelando términos semejantes, se divide toda la ecuación por 12 x 2 - 80 x + 1200 = 0 Dos números que multiplicados sean 1200 y que restados sean - 80 (x - 60) * (x - 20) = 0 (x - 60) = 0 x = 60 esta solución no es posible, ver la grafica. (x - 20) = 0 x = 20 cm se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo. dV = 12 x 2 - 960 x + 14400 dx d2 V = (2 )(12 x ) - 960 2 dx

d2 V = 24 x - 960 d x2 d2 V = 24 x - 960 < 0 cuando x = 20 d x2 Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO. El lado de la caja es = 120 -2x (ver la grafica). El lado de la caja es = 120 - 2 * 20 El lado de la caja es = 120 - 40 El lado de la caja es = 80 cm El volumen de la caja será: V = Área de la base * altura V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x V = (120 – 2 x)2 * 20 V = (120 – 2 *20)2 * 20 V = (120 – 40)2 * 20 V = (80)2 * 20 V = 6400 * 20 V = 128000 cm3 La caja de volumen máximo, tiene base 80 cm * 80 cm y una altura de 20 cm.

114

Un granjero quiere bordear un área de 1500.000 pies2 en un campo rectangular y entonces dividirlo a la mitad con un bordo paralelo aun lado del rectángulo. Como puede hacerlo para minimizar el costo de la borda? A = 1500.000 pies2 El área del campo rectangular es: A=x*y 1500.000 = x * y Despejamos y 1500.000 y = ecuación 1 x La longitud total de la cerca es: (ver la grafica). L = 2 y + 3 x ecuación 2 x = ancho

Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2 L = 2 y + 3 x ecuación 2

y = largo

⎛ 1500.000 ⎞ L =2⎜ ⎟+3x x ⎝ ⎠ L = 3000.000 x - 1 + 3 x

Derivamos

dL dx

dL = (- 1)(3000.000 )(x )− 2 + 3 dx d L - 3000.000 = +3 dx x2

Iguala la derivada a cero - 3000.000 +3=0 x2

3000.000 =3 x2 3000.000 = 3 x2 Reduciendo términos semejantes 1000.000 = x2 x = 1000.00 x = 1000 pies.

1500.000 ecuación 1 x 1500.000 y = 1000 y = 1500 pies y =

115

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

d L - 3000.000 = +3 dx x2 dL = - 3000.000 x - 2 + 3 dx d2 L = (- 2 )(- 3000,000 )(x )- 3 2 dx d 2 L 6000.000 = d x2 x3 d 2 L 6000.000 = 2 dx x3 d 2 L 6000.000 = > 0 cuando x = 1000 d x2 x3 Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO. Para minimizar los costos de la borda es necesario que tengan las siguientes medidas x = 1000 pies. y = 1500 pies Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm3 encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. El volumen de la caja será: V = Área de la base * altura

h

V = (x) * (x) * h 32000 = (x)2 * h x

x

Despejamos h 32000 h= ecuación 1 x2 El área de la caja es: A = x2 + 4 x h ecuación 2 Reemplazamos ecuación 1 en la ecuación 2. 32000 A = x2 + 4 x ( ) x2 Simplificando 32000 A = x2 + 4 ( ) x A = x 2 + 128000 x - 1 Derivamos

dA dx

dA = 2 x + (- 1)(128000)(x )− 2 dx

116

dA 128000 =2xdx x2 Iguala la derivada a cero 128000 2x=0 x2

2x=

128000 x2

2 x3 = 128000 Simplificando x3 = 64000 x = 3 64000 x = 40 cm

h=

32000 ecuación 1 x2

h=

32000 32000 = = 20 cm (40)2 1600

h = 20 cm Se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

dA 128000 =2xdx x2 dA = 2 x - 128.000 x - 2 dx d2 A = (2 ) - (- 2)(128.000 )(x )- 3 2 dx d2 A 512000 = 2+ d x2 X3 d2 A 512.000 = 2+ > 0 cuando x = 40 d x2 x3 Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO. Para que el material usado sea mínimo las medidas son: x = 40 cm y h = 20 cm Problema 20 calculo Larson edic 8 Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares adyacentes (ver la figura). Que dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada será un máximo. La longitud total de la cerca es: (ver la grafica). L = 200 pies

117

L = 2 x + 2 x + 3y 200 = 2 x + 2 x + 3y 200 = 4 x + 3y Despejamos y 200 = 4 x + 3y 200 - 4 x = 3y

y =

200 - 4x ecuación 1 3

El área del campo rectangular es: A = 2x * y ecuación 2 Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2 A = 2x * y ecuación 2

⎛ 200 - 4 x ⎞ A = (2 x ) * ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ 2 400 x - 8x A = 3 400 x 8 x 2 A = 3 3 Derivamos

dA dx

d A 400 ⎛ 8 ⎞ - ⎜ ⎟ (2 )(x ) = dx 3 ⎝ 3⎠ d A 400 ⎛ 16 ⎞ - ⎜ ⎟ (x ) = 3 ⎝ 3⎠ dx Iguala la derivada a cero 400 ⎛ 16 ⎞ - ⎜ ⎟ (x ) = 0 3 ⎝ 3⎠ 400 ⎛ 16 ⎞ = ⎜ ⎟ (x ) 3 ⎝ 3⎠ Reduciendo términos semejantes 400 =16 x 400 x= = 25 16 x = 25 pies.

y =

200 - 4x ecuación 1 3

y =

200 - 4 (25) 200 - 100 100 = = 3 3 3

118

y =

100 pies 3

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

d A 400 ⎛ 16 ⎞ - ⎜ ⎟ (x ) = dx 3 ⎝ 3⎠ d 2 A - 16 = 3 d x2 d 2 A - 16 = < 0 cuando x = 25 3 d x2

Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO. Para que el área sea máxima es necesario que tengan las siguientes medidas 100 pies x = 25 pies. y = 3 Problema 33 calculo Larson edic 8 Un paquete rectangular que se va a enviar por un servicio postal puede tener una longitud y un perímetro que tiene máximo de 108 pulg. Ver la figura. Determinar las dimensiones del paquete de volumen máximo que puede enviarse. (Suponer que la sección transversal es cuadrada). x es el lado del paquete que es cuadrado. y es la longitud del paquete el perímetro del paquete es: P = 108 pulg. 4x + y = 108 Despejamos y 4x + y = 108 y = 108- 4 x ecuación 1 el volumen del paquete es: V = x2 y ecuación 2 Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2 V = x2 y ecuación 2 V = x2 * (108 – 4x) V = 108 x2 – 4 x3 Derivamos

dV dx

dV = (2 )108 x - 4 (3) x 2 dx

dV = 216 x - 12 x 2 dx

119

Iguala la derivada a cero 216 x - 12 x 2 = 0 Reduciendo términos semejantes 108 x – 6 x2 = 0 54 x – 3 x2 = 0 18 x – x2 = 0 x (18 – x) = 0 x = 0 el cual no tiene sentido (18 – x) = 0 x = 18 pulg. y = 108 - 4 x ecuación 1 y = 108 - 4 (18) y = 108 - 72 y = 36 pulg. se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

dV = 216 x - 12 x 2 dx d2 V = 216 - 24 x d x2 d2 V = 216 - 24 x < 0 cuando x = 18 d x2

Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO. El volumen es máximo cuando x = 18 pulg. y

y = 36 pulg.

Problema 29 calculo Larson edic 8 Una página rectangular contendrá 30 pulg2 de texto impreso. Los márgenes de cada lado son de 1 pulg. Encontrar las dimensiones de la página de manera tal que se use la menor cantidad de papel. El área de la parte escrita A=x*y 30 = x * y Despejamos y 30 y= ecuación 1 x

x+2 1 pulg x Y+2

y

El área de la página es: A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2 Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2 A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2

1 pulg 1 pulg

1 pulg

120

⎛ 30 ⎞ A = (x + 2 ) * ⎜ + 2 ⎟ ⎝ x ⎠ A = (x + 2 ) * ⎛⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ dA Derivamos dx dA = (1 ) * ⎛⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞⎟ + (- 1) 30 x - 2 (x + 2) ⎝ ⎠ dx dA ⎛ = ⎜ 30 x - 1 + 2 ⎞⎟ − 30 x - 2 (x + 2 ) ⎠ dx ⎝ ⎛ d A 30 30 ⎞⎟ (x + 2) = +2 −⎜ ⎜ 2⎟ dx x ⎝x ⎠

d A 30 30 x + 60 = +2 − dx x x2 Iguala la derivada a cero 30 30 x + 60 +2 − =0 x x2

30 + 2 x 30 x + 60 − =0 x x2 30 + 2 x 30 x + 60 = x x2 Reduciendo términos semejantes 30 x + 60 30 + 2 x = x x (30 + 2 x) = 30 x + 60 30 x + 2 x2 = 30 x + 60 2 x2 = 60 x2 = 30

x = 30 pulg. y=

y=

30 ecuación 1 x 30

30 y=

30 30 30

( 30 )

=

30 30 30

y = 30 pulg.

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

30 x + 60 d A 30 = +2 − dx x x2

121

dA 30 x 60 = 30 x - 1 + 2 − dx x2 x2 dA = 30 x - 1 + 2 − (30 x ) ⎛⎜ x - 2 ⎞⎟ - (60 ) x - 2 ⎝ ⎠ dx dA = 30 x - 1 + 2 − (30 ) ⎛⎜ x -1 ⎞⎟ - (60 ) x - 2 ⎝ ⎠ dx dA = 2 - (60 ) x - 2 dx d2 A = - (- 2) 60 x d x2 d2 A = 120 x d x2 d2 A = 120 x > 0 cuando x = 30 d x2

Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO. la mínima área se consigue cuando x = 30 pulg. y

y = 30 pulg.

Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 220 Ejemplo # 3 Hallando el área mínima. Una pagina rectangular ha de contener 96 cm2 de texto Los márgenes superior e inferior tienen 3 cm de anchura y los laterales 2 cm. Que dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerido. y +4

El área de la parte escrita = 96 cm2 A=x*y 96 = x * y Despejamos y 96 y= ecuación 1 x

3 cm y

x+6

x

El área de la página es: A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2 Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2 A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2 ⎛ 96 ⎞ A = (x + 6 ) * ⎜ + 4 ⎟ x ⎠ ⎝ 1 A = (x + 6 ) * ⎛⎜ 96 x + 4 ⎞⎟ ⎝ ⎠ dA Derivamos dx dA = (1 ) * ⎛⎜ 96 x - 1 + 4 ⎞⎟ + (- 1) 96 x - 2 (x + 6 ) ⎝ ⎠ dx dA ⎛ = ⎜ 96 x - 1 + 4 ⎞⎟ − 96 x - 2 (x + 6 ) ⎠ dx ⎝

3 cm

2 cm

2 cm

122

⎛ 96 ⎞ d A 96 ⎟ (x + 6 ) = + 4 −⎜ ⎜ 2⎟ dx x ⎝x ⎠ d A 96 96 x + 576 = +4 − dx x x2 dA 96 x 576 = 96 x - 1 + 4 − dx x2 x2 dA = 96 x - 1 + 4 − 96 x (x )- 2 - 576 (x )- 2 dx dA = 96 x - 1 + 4 − 96 (x )- 1 - 576 (x )- 2 dx Iguala la derivada a cero 96 96 x + 576 +4 − =0 x x2

96 + 4 x 96 x + 576 − =0 x x2 96 + 4 x 96 x + 576 = x x2 Reduciendo términos semejantes 96 x + 576 96 + 4 x = x x (96 + 4 x) = 96 x + 576 96 x + 4 x2 = 96 x + 576 4 x2 = 576 x2 = 144 x = 12 cm. 96 ecuación 1 y= x 96 y= 12 y = 8 cm. se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

dA = 96 x - 1 + 4 − 96 (x )- 1 - 576 (x )- 2 dx dA = 4 - 576 (x )- 2 dx d2 A = - (- 2 )(576 ) x - 2 -1 2 dx

123

d2 A = 1152 x - 3 2 dx d 2 A 1152 = > 0 cuando x = 12 d x2 x3 Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.

la mínima área se consigue cuando x = 12 cm. y y = 8 cm. Las dimensiones de la pagina deben ser: x + 6 = 12 + 6 = 18 cm y + 4 = 8 + 4 = 12 cm. Problema 4.42 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triangulo equilátero de 10 cm de lado., si la base del rectángulo coincide con la base del triangulo. El área del rectángulo es: A = x y ecuación 1 En el triangulo equilátero la altura h es: Por Pitágoras 2

2

10 = h + 5

x

2

102 - 52 = h2 100 - 25 = h2

h

10 cm

10 cm

h2 = 75 h = 75 = 25 * 3

h

y

h =5 3

10 cm

Por figuras semejantes: y h = x 5 5− 2 (h ) ⎛⎜ 5 - x ⎞⎟ = 5 y ⎝ 2⎠ Pero h = 5 3 ⎛ x⎞ 5 3 ⎜5 - ⎟ = 5 y ⎝ 2⎠

y x 2

x 2

5 cm

5−

x 2

5−

5 cm 10 cm

x 2

5 cm

( )

Reduciendo términos semejantes ⎛ x⎞ 3 ⎜ 5 - ⎟ = y ecuación 2 ⎝ 2⎠ Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación1 A=xy

ecuación 1

124

A = (x )

( 3 )⎛⎜ 5 - x2 ⎞⎟ ⎝

A= 5 3x-

⎠ 2 3x

2 dA Derivamos dx ⎛ 3⎞ dA ⎟( ) = 5 3 - (2 ) ⎜ ⎜ 2 ⎟x dx ⎝ ⎠ dA = 5 3 - 3x dx

(

)

(

)(

)

Iguala la derivada a cero 5 3 - 3 x =0

( )( ) (5 3 ) = ( 3 x )

x = 5 cm

⎛ x⎞ 3 ⎜ 5 - ⎟ = y ecuación 2 ⎝ 2⎠ ⎛ 5⎞ 3 ⎜5 - ⎟ = y ⎝ 2⎠ ⎛ 5⎞ 3⎜ ⎟=y ⎝ 2⎠

se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.

(

)(

dA = 5 3 dx

3x

)

d2 A = - 3 d x2

d2 A = - 3 < 0 cuando x = 5 d x2 Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO. la máxima área se consigue cuando x = 5 cm. y

⎛ 5⎞ 3⎜ ⎟=y ⎝ 2⎠

el área del rectángulo es : A = x y ecuación 1

⎛ 5⎞ A = (5) 3 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 25 ⎞ 2 A= 3⎜ ⎟ cm ⎝ 2 ⎠ Problema 4.47 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Determinar el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en una circunferencia de radio R.

125

X

En el triangulo rectángulo por el teorema de Pitágoras 2

⎛ y⎞ ⎛x⎞ R2 =⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠

y 2

2

Y

y 2

Despejamos y 2

⎛ y⎞ ⎛x⎞ R -⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2

2 2 R 2

R

2

2

⎛ y⎞ ⎛x⎞ -⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠

2

x 2

x 2

x2 y2 = 4 4 2 y2 4 2 x = R 4 4 4

R2 -

4 R 2 - x 2 = y2

y = 4R 2 - x 2 El área del rectángulo es: A=XY Reemplazando

A = x y = (x ) 4R 2 - x 2

(

A = (x ) 4R 2 - x 2 Derivamos

( (

)1 2

dA dx

) )

(

)

(

)

12 dA ⎛1⎞ = 4R 2 - x 2 + ⎜ ⎟(x ) 4R 2 - x 2 - 1 2 (- 2x ) dx ⎝2⎠ 12 ⎛1⎞ (2x ) dA = 4R 2 - x 2 - ⎜ ⎟ (x ) 12 dx ⎝2⎠ 4R 2 - x 2

Igualando a cero

(4R 2 - x 2 )1 2 - ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )

(2x )

(4R 2 - x 2 )1 2

=0

126

(4R 2 - x 2 )1 2 = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )

(2x )

(4R 2 - x 2 )1 2

(4R 2 - x 2 )1 2 (4R 2 - x 2 )1 2 = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )(2x ) (4R 2 - x 2 ) = ⎛⎜⎝ 12 ⎞⎟⎠ (x )(2x ) (4R 2 - x 2 ) = x 2 4R 2 = x 2 + x 2 4R 2 = 2 x 2 2 R2 = x2 x= R 2 REEMPLAZAMOS

y = 4R 2 - x 2

(

y = 4R 2 - R 2

)2

y = 4R 2 - 2(R )2

y = 2(R )2 y=R 2 El área del rectángulo es: A=XY Reemplazando

(

)(

A= R 2 R 2

)

A = 2R2

127