PROGRESSÕES ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS (PAG) E PROGRESSÕES GEOMÉTRICO-ARITMÉTICAS (PGA)

ARTIGO

PROGRESSÕES

ARITMÉTICO-GEOMÉTRICAS

(PAG)

PROGRESSÕES GEOMÉTRICO-ARITMÉTICAS

(PGA)

E

Rui Eduardo Brasileiro Paiva Universidade Estadual do Ceará

2 3 4 5  Quanto vale a soma 1     ? 2 4 8 16 Um fato dessa soma é que os numeradores são termos de uma progressão aritmética (PA) de razão igual a 1, enquanto os denominadores são termos de uma progressão geométrica (PG) de razão igual a 2. 1 5 9 13  A sequência , , ,  é uma PA ou uma PG? 2 4 8 16  O que as sequências (7, 25, 71, 201, 583, ...) e (1, 2, 7, 8, 13, 14, ...) têm em comum?  Existe fórmula que dê o resultado de

Sn  1  11  111  1111  11111  111 11111?  n 1´ s

Geralmente, perguntas como essas deixam o estudante confuso, sobretudo porque seu conhecimento do assunto limita-se a progressões aritméticas ou geométricas. O objetivo deste trabalho é encontrar respostas usando sequências obtidas pelo produto ordenado dos termos consecutivos de uma PA e uma PG, bem como sequências obtidas pela soma ordenada desses termos. Progressões aritmético–geométricas (PAG) Termos consecutivos de uma PA a, a + r, a + 2r, ..., a + (n – 1)r, ... quando ordenadamente multiplicados REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA NO 73

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por termos consecutivos de uma PG 1, q, q2, ..., qn–1, ... geram a sequência a, (a + r)q, (a + 2r)q2, ..., [a + (n – 1)r]qn – 1, ... denominada progressão aritmético-geométrica (PAG). Definição: Uma PAG é uma sequência (an) cujo termo geral é dado por an = [a + (n – 1)r]qn – 1, sendo a (a = a1), r e q constantes não nulas e q ≠ 1. Exemplo 1 n 1 2 3 4 5 1 1n 1, , , ,  é uma PAG com termo geral an  [1  (n  1)]   n  2 . 2 4 8 16 2 Exemplo 2 1 5 9 13 1  (n  1)4 , , ,  é uma PAG com termo geral an   (4n  3)  2 n. 2 4 8 16 2n Proposição A soma Sn dos n primeiros termos de uma PAG é dada por a(1  q n ) rq[1  nq n 1  (n  1)q n ] Sn   . 1 q (1  q )2 Prova Temos: Sn = a + (a + r)q + (a + 2r)q2 + ... + [a + (n – 1)r]qn – 1 e qSn = qa + (a + r)q2 + (a + 2r)q3 + ... + [a + (n – 1)r]qn. Logo, Sn(1 – q) = a + rq(1+ q + q2 + ... + qn – 2) – a qn – (n – 1)rqn ou  1  q n 1   (n  1)q n 1  rq  n n n 1 n 1 q a(1  q )   a(1  q )  rq[1  nq  (n  1)q ] .   Sn  1 q (1  q ) 1 q (1  q )2

Exemplo 3 Podemos agora resolver um dos problemas propostos no início. Qual é o valor, em função de n, da soma Sn  1  11  111  1111  11111  111 11111?  n 1´ s Basta ver que Sn = 1 + (1 + 101) + (1 + 101 + 102) + ... + (1 + 101 + 102 + ... + 10n – 1) = n.1 + (n – 1) 101 + (n – 2) 102 + (n – 3) 103 + ... + 3. 10n – 3 + 2. 10n – 2+ 1. 10n –1, que é a soma dos termos de uma PAG cujo termo geral, aN, é dado por aN = [n + (N – 1)(–1)]10 N–1. Pela expressão obtida anteriormente para a soma, temos Sn 

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n(1  10n ) (1)10[1  n10n 1  (n  1)10n ] 10n 1  9n  10   . 1  10 81 (1  10)2

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No estudo das progressões geométricas aprende-se que, para | q | < 1, o limite, quando n tende a infinito, de qn é zero. Usando esse fato, temos: O limite da soma Sn dos n primeiros termos de uma PAG de primeiro termo a, razão aritmética r e razão geométrica q, com | q | < 1, quando n tende a rq a infinito é igual a S  .  1  q (1  q)2 Exemplo 4 A fórmula anterior permite resolver mais um dos problemas inicialmente 2 3 4 5 propostos: Quanto vale a soma 1     ? A solução é dada por: 2 4 8 16 1 1/ 2 a rq S     4. 2 1  q (1  q) 1  1 / 2 (1  1 / 2)2 Progressões geométrico–aritméticas (PGA) Termos consecutivos de uma PG a, aq, aq2, ..., aqn–1, ..., quando ordenadamente somados com os termos consecutivos de uma PA 0, r, 2r, ..., (n–1)r, geram a sequência a, a q + r, aq2+ 2r, ..., aqn – 1+ (n – 1)r ,... denominada progressão geométrico-aritmética (PGA). Definição: Uma PGA é uma sequência (an) cujo termo geral, an , é dado por an = aqn – 1+ (n – 1)r, sendo a, r e q constantes não nulas e q ≠ 1. Exemplo 5 Podemos responder a uma outra pergunta apresentada no início: A sequência (7, 25, 71, 201, 583, …) é uma PGA, gerada pela PG (7, 7 x 3, 7 x 32, ...) e pela PA (0, 4, 8, 12, ...). Seu termo geral é an = 7 x 3n – 1+ 4n – 4. A sequência (1, 2, 7, 8, 13, 14, ...) também é uma PGA, gerada pela PG (1, –1, 1, –1, ...) e pela PA (0, 3, 6, 9, ...). Seu termo geral é an = (–1)n – 1+ 3n – 3. De modo análogo ao feito para as PAGs, obtém-se a fórmula para a soma a (1  q n ) ( n  1)nr  . Sn dos n primeiros termos de uma PGA: Sn  1 q 2 Bibliografia [1] Carneiro, J.P., Moreira, C.G. Sequências aritmético-geométricas. EUREKA!, no 14, 2007. [2] http://tutorvista.com/content/math/number-theory/sequences-and-series/arithmetic-geometricseries.php (acesso em 31/08/2010) [3] http://trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/airthmeticGeometricSeries.htm (acesso em 31/08/2010)

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