Propriedade de Rothenberg

Propriedade de Rothenberg Texto por Igor S. Livramento1

Em música, a Propriedade de Rothenberg é um conceito importante da Teoria Geral de Escalas introduzido por David Rothenberg numa série de papers em 1978. O conceito foi descoberto de modo independente simultaneamente por Gerald Balzano, que o chamou Coerência. Definição de Propriedade

Rothenberg define Propriedade num contexto geral; contudo, para todos os propósitos aqui abordados, é suficiente considerar o que significa uma escala periódica em contextos musicais, apesar do termo corresponder, de fato, ao que matemáticos chamariam uma função quase-periódica. Há escalas que se repetem a um dado intervalo fixo mais alto a cada nota dum conjunto finito de notas. Este intervalo fixo é tipicamente a oitava e, portanto, a escala consiste de todas as notas pertencentes a um número finito de famílias de notas2. Seja βi um elemento da escala para cada i inteiro, então βi+p = βi + Ω, onde Ω é tipicamente uma oitava (medindo 1200 cents3, ainda que pudesse ser qualquer valor fixo de cents), e p é a quantidade de elementos da escala no período Ω, que por vezes é chamado o tamanho da escala. Para cada i pode-se considerar o conjunto de todas as diferenças por i passos entre elementos da escala: classe(i) = {βn+i − βn}. Pode-se estender de modo usual a ordenação dos elementos de um conjunto aos conjuntos eles mesmos, postulando A < B se e somente se para cada a ∈ A e cada b ∈ B nós temos a < b. Então uma escala é Estritamente Própria se i < j implica classe(i) < classe(j). Ela é (Meramente) Própria se i ≤ j implica classe(i) ≤ classe(j). Propriedade Estrita implica Mera Propriedade, mas o contrário não é verdadeiro; em tal caso, dizemos que a escala possui n ambiguidade(s), onde n denota a quantidade de classes não estritamente menores. Propriedade Estrita é o mesmo que Coerência tal qual cunhado por Balzano. Um exemplo de escala Própria, mas não Estritamente, é a escala diatônica4 em 12-tons equidistantes por oitava5, onde o trítono 1

Graduando do curso de Letras-Português da Universidade Federal de Santa Catarina. Também denominados tons, vide Propriedades das escalas diatônicas, do presente autor: , acesso em 1º de fevereiro de 2017. 3 Para a medição em cents, vide A afinação cromática pitagórica, a comma pitagórica e a medição por cents, do presente autor: , acesso em 1º de fevereiro de 2017. 4 Conferir nota 2. 5 Vide Explicação geral da afinação padrão ocidental atual composta de 12 tons equidistantes, do presente autor: , acesso em 1º de fevereiro de 2017. 2

pertence tanto a 3 passos da escala quanto a 4 (tanto quartas aumentadas quanto quintas justas). Intervalos genéricos e intervalos específicos A classe intervalar classe(i) modulo Ω depende apenas de i modulo ℘, portanto pode-se definir a versão de classe, Classe(i), para a classe de alturas6 modulo Ω, às quais se chamarão intervalos genéricos ou classes de intervalos. As classes de notas específicas pertencentes à Classe(i) são chamadas de intervalos específicos. A classe do uníssono, Classe(0), consiste apenas de múltiplos de Ω e é tipicamente retirada de consideração, assim a quantidade de classes de intervalos ou intervalos genéricos é ℘ − 1. Portanto os intervalos genéricos ou classes de intervalos são numerados de 1 até ℘ − 1, e a escala é Própria se para quaisquer dois intervalos genéricos i < j implicar classe(i) < classe(j). Se apresentarmos os elementos da Classe(i) por intervalos reduzidos àqueles entre o uníssono e Ω, podemos ordená-los usualmente, e definir Propriedade dizendo que i < j para intervalos genéricos ou classes de intervalos acarreta Classe(i) < Classe(j). Ainda que seja uma forma muito mais reduzida de abordar a questão, se comparada à apresentada acima, é a maneira como se costuma abordá-la na Teoria Geral de Escalas.

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Conferir nota 2.