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Sea C la región cónica {(x, y, z) | √𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑧 ≤ 1} ∭ 1 + √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Para resolver la integral primero hacemos un bosquejo:

Al hacer eso podemos obtener los límites fácilmente: Igualando las z podemos obtener que √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 ∴ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

Quedando los límites de la siguiente manera 1

√1− 𝑥 2

=∫ ∫

1

∫

−1 −√1− 𝑥 2 √𝑥 2 + 𝑦 2

(1 + √𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

Pero para resolver la integral de una manara fácil empleamos el cambio de variables a coordenadas cilíndricas, ya que el cono es la tercera parte de un cilindro, por tanto: Determinamos el límite de z del modo siguiente: Si 𝑥 = r cos 𝜃; 𝑦 = r sin 𝜃 ⋀ 𝑧 = 𝑧 ⇒ 𝑧 = √(𝑟 cos 𝜃)2 + (rsin 𝜃)2 = 𝑟 ∴ 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1 Para los límites de r y  son: 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Y el Jacobiano de coordenadas cilíndricas = r ⇒ ∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑤) = ∭ 𝑓(𝑥 (𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦 (𝑢, 𝑣, 𝑤, ), 𝑧 (𝑢, 𝑣, 𝑤)) | 2𝜋

=∫ 0

2𝜋

∫ 0

1

1

1

1

∫ ∫ (1 + 𝑟)𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 0

𝑟

2𝜋

∫ ∫ (𝑟 + 𝑟 2 ) 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ 0

𝑟

𝜕 (𝑥, 𝑦, 𝑧) | 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤 𝜕 (𝑢, 𝑣, 𝑤)

0

1

2𝜋

∫ (𝑟 − 𝑟 3 ) 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ 0

0

1 𝜋 𝑑𝜃 = 4 2