RAGIONAMENTO SCIENTIFICO E MATEMATICO

1. Ragionamento scientifico e matematico Frequentemente si sente una citazione riguardo la matematica, ossia che non è un’opinione. Quando un politico fa un comizio e vuole sostenere una tesi, argomenta il suo discorso infittendolo di cifre numeriche e sostiene che ciò che dice, essendo matematico, è necessariamente certo. Anche il grande Dante Alighieri si esprime così: “La matematica è senza macula d’errore e certissima per sé”. 1 Questi esempi e moltissimi altri denotano che è consolidata l’opinione secondo cui la matematica è una disciplina certa, indubitabile, infallibile. Il quadro è invece radicalmente diverso. La matematica si sviluppa formulando congetture, proponendo dimostrazioni e analizzando, criticando queste dimostrazioni. Una congettura è in matematica una proposizione dimostrata vera in taluni casi, della quale non si sia riuscito a dimostrare la falsità in nessun caso e che perciò si presume vera in ogni caso. Questa verità però non è stata ancora dimostrata e anche se venisse dimostrata, non è detto che la proposizione sia in eterno vera. Lakatos ci insegna che la congettura di Euler V + S = F + 2, è vera per tutti i solidi platonici e i poliedri “sferoidi”, cioè che si possono gonfiare fino a una sfera, ma falsa quando si tende il concetto di poliedro in modo da abbracciare anche le cosiddette “mostruosità”, ossia controesempi alla congettura.2 Quindi anche nella matematica non vi sono verità ultime. Le stesse dimostrazioni matematiche hanno un carattere congetturale e fallibile, a causa del modo stesso con cui procede la concreta indagine matematica. L’indagine matematica è un’attività umana che si colloca nella storia personale del ricercatore, che decide di che problema occuparsi, scegliendo gli strumenti concettuali e la strada da adottare nella sua ricerca. Nell’elaborare le sue riflessioni egli può commettere errori, può avere dei ripensamenti e le dimostrazioni da lui ottenute possono risultare differenti da quelle desiderate o previste.3 Risultano quindi personali le motivazioni che hanno spinto il ricercatore a compiere un lavoro che in genere riguarda un problema specifico. Il ricercatore dunque elabora delle conoscenze tra cui alcune gli appaiono sufficientemente nuove ed interessanti da essere comunicate con linguaggio matematico, conferendo loro la forma più generale possibile. Nel momento della comunicazione del sapere però il ricercatore trasforma ciò che pensa di aver trovato eliminando il processo di creazione che lo ha portato alle sue scoperte. Elimina inizialmente le riflessioni inutili, gli errori, gli itinerari tortuosi che portano a vicoli ciechi. Sopprime le motivazioni personali che l’hanno condotto a occuparsi di un determinato argomento e successivamente anche il contesto particolare dal quale era partito cercando quello più generale. La descrizione del processo attraverso il quale il ricercatore in matematica arriva a comunicare una scoperta ai suoi colleghi, pur non essendo esauriente, ci serve per capire come viene solitamente svolta una indagine matematica e di come quindi essa sia soggetta a errori. Il ricercatore rende il suo sapere pubblico e quindi utilizzabile e verificabile da chiunque, ma fa scomparire parzialmente o totalmente il contesto della ricerca e della scoperta. L’eliminazione della fase euristica, ossia la fase di scoperta, è dunque un danno e sarebbe utile fare si che il processo di dimostrazione e confutazioni di una congettura andasse di pari passo con quello dei tentativi ed errori.4 Una teoria matematica, infatti, cresce e si migliora grazie proprio a questo alternarsi di dimostrazioni e confutazioni, senza il quale non sarebbe possibile la crescita. A sostegno del fatto che la matematica sia una disciplina fallibile, sappiamo che nella seconda metà dell’ottocento, a proposito del problema dei fondamenti della matematica, accadde che un nutrito gruppo di studiosi cercò di ridurre la matematica a qualcosa di sicuro, indiscutibile che evitasse ogni 1

Dante Alighieri (1265-1321), Convivio. I.Lakatos, Dimostrazioni e Confutazioni, Feltrinelli, Milano, 1978. 3 A.Pesci, I suggerimenti della ricerca in didattica della matematica per la pratica scolastica, dipartimento di matematica, Università di Pavia, anno accademico 2013-14. 4 I.Lakatos, Dimostrazioni e Confutazioni, Feltrinelli, Milano, 1978. 2

forma di antinomia all’interno della matematica. Si ricercava un fondamento sul quale far riposare la matematica mettendola al riparo da ogni contraddizione. Per questo nacquero varie scuole, in contrasto tra loro, ma nessuna raggiunse lo scopo che si prefiggeva.5 La matematica è dunque una teoria scientifica sulla base del principio di falsificabilità di Karl Popper, che ritiene che una teoria possa definirsi scientifica quando è possibile falsificarla6. La nascita della falsificazione nella scienza empirica, è da far coincidere con la teoria della relatività di Einstein, che dona un rinnovato interesse alla Fisica. La teoria della gravitazione di Newton (basata sull’azione a distanza delle masse), che aveva conosciuto grandi successi per più di due secoli, trovando conferme nella caduta dei gravi, nel moto dei pianeti e delle maree, nella scoperta del pianeta Nettuno, fu soppiantata all’inizio del Novecento dalla Fisica relativistica. Le spedizioni nell’emisfero australe, organizzate dall’astronomo inglese Sir Arthur Eddington durante l’eclissi di Sole del 1919, costituirono l’evidenza più rilevante per la confutazione della teoria della gravitazione di Newton in favore di quella di Einstein. Fu, infatti, constatato che i raggi luminosi delle stelle, pur privi di massa in senso classico, incurvano la loro traiettoria quando passano in prossimità della grande massa del Sole. Non si può dunque escludere che ogni teoria, indipendentemente dall’affidabilità che sembra possedere, possa andare incontro al rischio della confutazione. Anche la Fisica relativistica potrebbe essere a sua volta confutata, e lo stesso Einstein ne era consapevole. Fu questo atteggiamento di Einstein, disposto a prendere in considerazione situazioni che avrebbero potuto sia sostenere che confutare la sua teoria, a far riflettere Popper circa la conoscenza scientifica. A convincerlo fu soprattutto il confronto con teorie, che possedevano apparentemente le caratteristiche di teorie scientifiche genuine, ma di fatto ne avevano solamente le sembianze come il marxismo, la psicanalisi di Freud e la psicologia individuale di Adler, le quali non potevano venire falsificate, poiché si adattavano a qualsiasi comportamento umano e proprio per questo non ci dicevano nulla al proposito.7 Erano teorie che non facevano precise affermazioni e delle quali si poteva spiegare tutto e niente. Proprio il confronto fra questa diversità portò Popper alla conclusione che per la scienza fosse essenziale un atteggiamento critico, diverso dall’atteggiamento dogmatico, proprio perchè esso non va alla ricerca di verifiche delle proprie teorie, ma piuttosto di situazioni che possano eventualmente confutarle. Dunque, secondo Popper, un sistema teorico deve essere considerato scientifico soltanto se fa asserzioni che possono entrare in conflitto con i fatti e con le osservazioni.8 L’idea che la falsificabilità debba essere una caratteristica essenziale delle teorie scientifiche può nascere anche per motivi puramente logici, cioè dalla constatazione di un’asimmetria logica fondamentale fra la verifica e la confutazione di una teoria.

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M. Ferrari, Appunti del corso di Fondamenti della Matematica, Dipartimento di Matematica, Università di Pavia. A.F.Chalmers, What is This Thing Called Science?, Third Edition, Hackett, Indianapolis/Cambridge. 7 Ibidem pp.49 8 Ibidem pp.47-50 6

Se da una teoria T segue un fatto O, l’occorrenza di O non garantisce la verità di T: la regola abduttiva

sarebbe una fallacia dal punto di vista logico.9 Invece, dalla falsità di O posso inferire la falsità di T. Lo schema deduttivo:

è una regola di inferenza corretta, il modus tollens. Questa asimmetria è evidente se pensiamo che le leggi della natura sono generalmente asserti universali del tipo: “Tutte le orbite dei pianeti sono ellittiche” oppure “Ogni carica elettrica è multipla della carica elementare” o “Tutti i cigni sono bianchi”. L’osservazione di un numero qualsiasi, ma finito, di cigni bianchi non può servire a formulare o a giustificare una legge universale, cioè valida per un insieme potenzialmente infinito di casi. L’osservazione di un cigno che non sia bianco può invece falsificarla. I falsificazionisti criticano pesantemente un altro modo, più statico, di vedere la scienza che è quella presentataci dall’induttivismo. L’induzione è il procedimento che ci consente di passare dalle parti al tutto; in altri termini, partendo dall’esperienza e dall’osservazione, che sono sempre particolari, si giunge per induzione a ciò che è universale ovvero a leggi generali che raccolgono sotto di sé (danno una spiegazione di) tutti i fenomeni di una determinata specie. Sono tre i criteri che, secondo la teoria induttivista, devono essere rispettati affinché si possa effettuare il passaggio da osservazioni singolari e particolari a leggi generali e universali: 1. Il numero delle osservazioni deve essere elevato; 2. Occorre ripetere le osservazioni in una vasta gamma di circostanze: per esempio, solo dopo aver osservato che i metalli si dilatano con il calore in diverse circostanze (facendo esperimenti con sbarre di rame, ferro, argento, lunghe, corte, con pressione alta o bassa e con temperature differenti) si può concludere che “tutti i metalli si dilatano con il calore”; 3. Nessuna proposizione osservativa accettata deve contraddire la legge universale che è stata indotta. Una volta costituita la conoscenza scientifica, composta appunto da leggi generali, è possibile prevedere i fenomeni futuri mediante il processo di deduzione. La deduzione è quel tipo di ragionamento che, partendo da premesse vere, conduce a conclusioni altrettanto vere. Dall’universale si passa al particolare mantenendo la verità.10 Contro la concezione induttivista della scienza, il falsificazionismo afferma che la scienza non incomincia dall’osservazione, ma dai problemi. Ecco un esempio riportato da Chalmers che mette in evidenza come sia la teoria a guidare la nostra osservazione: come possono i pipistrelli volare di notte se hanno gli occhi così piccoli e deboli? Questo quesito viene posto alla luce di una teoria particolare già esistente: tutti gli organismi viventi “vedono” con gli occhi. 11 La storia della scienza, come in questo esempio, ci mostra come è sempre la teoria che guida l’osservazione del mondo empirico e che la scienza non parte mai dalla nuda osservazione. Ci mostra anche come nella ricerca scientifica compaiono esperienze e dati empirici che non riescono a 9

L.Magnani, Abductive Cognition. The Epistemological and Eco-Cognitive Dimensions of Hypothetical Reasoning, Springer, Heidelberg/Berlin,2009. 10 11

Ibidem pp.7-13.

A.F.Chalmers, What is This Thing Called Science?, Third Edition, Hackett, Indianapolis/Cambridge, pag. 54.

essere spiegati dalle teorie esistenti. Le teorie incontrano in tal modo delle anomalie che mettono in pericolo la veridicità delle teorie stesse. È proprio a partire dalle anomalie che gli scienziati formulano delle ipotesi (inferenze abduttive) al fine di migliorare la teoria oppure di sostituirla in quanto non più in grado di dare una spiegazione dei fatti empirici. Si può osservare in questo caso che nella costruzione della conoscenza scientifica e nel suo progredire, l’abduzione ha un ruolo molto più importante dell’induzione. Molte delle scoperte scientifiche sono avvenute per mezzo di processi e inferenze abduttive più che di inferenze induttive. Solo attraverso continui tentativi di falsificare le teorie scientifiche la scienza può progredire: oggi, ogni tentativo di falsificare la teoria di Einstein mediante il ricorso a nuovi fenomeni è sinora fallito. La confutazione della teoria della relatività resta tutt’oggi una sfida aperta della fisica e un eventuale successo segnerebbe una tappa importante nell’evoluzione della fisica. Così il falsificazionismo interpreta un progresso della fisica. Questa è la visione dinamica della scienza proposta dal falsificazionismo che si oppone alla visione statica dell’induttivismo. Tuttavia anche il falsificazionismo incontra delle difficoltà. Molte volte non basta l’osservazione per far si che una teoria venga scartata. Anzi molte volte l’osservazione non costituisce una confutazione alle teorie scientifiche. Questo accadde, per esempio, quando venne accettata la teoria di Copernico e scartata l’osservazione ad occhio nudo. Le teorie non sono falsificabili in modo decisivo perché le proposizioni osservative che costituiscono la base della falsificazione possono rivelarsi esse stesse false. Che si diano delle falsificazioni conclusive è escluso dalla mancanza di una base osservativa assolutamente sicura.12 Per esempio, la teoria di Newton non ha saputo prevedere il movimento di Urano sulla sua orbita. L’osservazione sembrava in un primo momento aver confutato la teoria newtoniana. La teoria di Newton aveva quindi incontrato un’anomalia che sembrava porla in serie difficoltà nel dare una spiegazione al movimento “anormale” di Urano. Tuttavia gli scienziati non si fecero abbattere da questa apparente falsificazione; essi continuarono a ritener per vera la teoria di Newton. Anzi, la teoria newtoniana condusse gli scienziati a scoprire un nuovo pianeta ovvero Nettuno. In questo caso fu la bravura degli scienziati che, nonostante la teoria di Newton sembrasse essere apparentemente falsificata, continuarono a mantenerla vera e a formulare nuove ipotesi: ipotizzarono la presenza di un altro pianeta che influisse sull’orbita di Urano modificandone il movimento. Questo è un esempio in cui si può notare che molte scoperte scientifiche sono avvenute grazie a un ragionamento abduttivo e non induttivo. Concludendo possiamo ribadire il concetto che non bisognerebbe più considerare le scoperte scientifiche come qualcosa di vero, certo e immutabile. Sarebbe meglio assumere un atteggiamento più critico e valutare la possibilità che le teorie possano essere falsificate, ma questo non deve spaventarci perché è così che può progredire la scienza.

12

Ibidem, pag. 70.