Regressão e predição de trajetórias: um comparativo das técnicas clássicas e sua aplicação para a visão computacional no domínio do futebol de robôs

Regressão e predição de trajetórias: um comparativo das técnicas clássicas e sua aplicação para a visão computacional no domínio do futebol de robôs Alexandre da Silva Simões, Anna Helena Reali Costa Laboratório de Técnicas Inteligentes Departamento de Engenharia de Computação e Sistemas Digitais Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3, 158 005508-900 São Paulo-SP Brasil (alexandre.simoes, anna.reali)@poli.usp.br

Cláudio Garcia Laboratório de Automação e Controle Departamento de Telecomunicações e Controle Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Av. Prof. Luciano Gualberto, trav. 3, 158 005508-900 São Paulo-SP Brasil [email protected]

RESUMO O domínio do futebol de robôs móveis autônomos caracteriza-se, entre outras particularidades, pela dependência da informação visual para tomadas de decisão. Nesse ambiente em tempo real, são importantes subtarefas não somente a determinação do posicionamento dos objetos de interesse na cena, mas também a realização da predição da posição destes algumas iterações adiante. Nesse contexto, pode-se utilizar modelos da engenharia de controle na busca de modelagens eficientes da trajetória de objetos em imagens. No presente trabalho, um estudo das técnicas clássicas disponíveis para a identificação, modelagem e predição da trajetória de objetos em imagens é apresentado, investigando-se sua aplicabilidade no âmbito da visão computacional.

ABSTRACT The autonomous mobile robot soccer domain has as one of its main characteristics the dependence of the visual information for decision making. In this real time task, important subtasks are not only position detection of objects in scene, but also prediction of their position some steps forward. In this context, computer vision algorithms can work together with control engineering models, aiming at efficient models for object trajectories. In this work, a study about the classical techniques for identification, modeling and trajectory prediction of objects is presented, and its applicability in the computer vision domain is investigated.

alguns dos fatores que podem influenciar a escolha da técnica de regressão e predição utilizada. No presente trabalho, busca-se: i) investigar o desempenho e a aplicabilidade das técnicas de regressão e predição clássicas da engenharia de controle no âmbito da visão computacional e ii) investigar a aplicabilidade das técnicas clássicas de regressão e predição para a modelagem da trajetória de objetos no domínio do futebol de robôs móveis autônomos. O trabalho encontra-se organizado da seguinte maneira: na seção 2 o domínio proposto é abordado. Na seção seguinte são apresentados os principais modelos de identificação de sistemas. Na seção 4 o problema proposto é revisto para que a metodologia de testes a ser adotada fosse definida. O procedimento experimental é abordado na seção 5. Nas seções 6 e 7 são apresentados os dados obtidos e as conclusões, respectivamente.

1 INTRODUÇÃO Atualmente, grande parte dos processos de automação industrial voltam-se para o uso de algoritmos de visão computacional para a localização de objetos. Em uma seqüência de imagens, uma vez identificado o objeto de interesse utilizando algum algoritmo bem conhecido de visão computacional (Gonzales e Woods, 1992), é freqüente a necessidade da regressão de sua trajetória − isto é, a estimação da função que descreve tal trajetória − e a predição de sua posição em tempos futuros. Algumas áreas que classicamente fazem necessárias tal modelagem são: o acompanhamento da trajetória de projéteis (Berg, 1983), rastreamento por radar (Daum et. All, 1983), análise do movimento de frutas em esteiras rolantes, o futebol de robôs móveis autônomos, entre outros. Nesta classe de problemas, tradicionalmente as únicas informações disponíveis para a predição são aquelas extraídas da observação dos objetos envolvidos durante um certo intervalo de tempo. O processo básico da amostragem de dados desses sistemas consiste em adquirir uma imagem usando sensores e utilizar um computador para realizar a regressão da função deslocamento e calcular posições seguintes, baseadas nas aquisições feitas no tempo por tais sensores. Os algoritmos de predição, então, passam a estimar os estados posteriores; dados atuais permitem corrigir possíveis distorções de estimativas, iterativamente. Dentre as abordagens para tal análise aplicáveis em tempo real, destaca-se a utilização das técnicas clássicas de identificação de sistemas, derivadas da engenharia de controle. Outras abordagens utilizadas são o filtro de Kalman (Kalman, 1960), as redes neurais artificiais (Pons, 1998) e a modelagem via processos gaussianos (Simões e Costa, 2002). A escolha de uma ou outra técnica para a utilização em um determinado problema depende do domínio em questão. A capacidade de modelar o problema, o tipo de trajetória implementada pelo objeto e o tipo de ruído a que esta está sujeita são

2 O DOMÍNIO ADOTADO 2.1Aspectos Gerais O domínio adotado no presente trabalho é o futebol de robôs móveis autônomos (Costa et. al., 1999).Tal plataforma combina diversas tecnologias da engenharia com o objetivo de tornar possível a realização de partidas com regras similares às do futebol (soccer) convencional. Essa plataforma oferece suporte à aplicação de muitas das técnicas derivadas da inteligência artificial e da engenharia de controle, dada a necessidade de percepção do mundo e planejamento de ações, e, sobretudo, à integração entre diversas técnicas, um dos tópicos emergentes na atualidade. O jogo é padronizado por entidades internacionais, que o dividem em várias categorias. Nas diversas categorias, aspectos diferentes das arquiteturas de hardware e software são alterados: número de jogadores, o tipo de processamento (on-board ou externo), a forma de locomoção (rodas ou bípede), entre outros. O domínio adotado especificamente no presente trabalho

101

luminosa do ambiente e até mesmo a discretização da imagem digital podem causar ruído na extração da posição dos objetos na cena. O algoritmo de predição ou o modelo de trajetória adotado em tal ambiente deve necessariamente possuir relativa imunidade a ruído.

caracteriza-se basicamente pelos seguintes fatores: i) o processamento de dados é centralizado em uma estação; ii) a comunicação entre estação e robôs dá-se através de transmissor/receptor de rádio; iii) uma câmera colorida colocada sobre o campo efetua o sensoriamento do ambiente. A fig. 1 representa esquematicamente o ambiente da plataforma.

(a)

(b)

(c)

(d)

Fig 1 - Esquema representativo do ambiente do futebol de robôs móveis autônomos.

Nesse ambiente, tipicamente, um time faz uso de um quadro de imagem fornecido pela câmera, utiliza algoritmos de visão computacional para a determinação espacial dos objetos de interesse no campo, e determina quais devem ser as ações seguintes dos jogadores (robôs), enviando-as via rádio. O processamento visual de interesse mais direto neste trabalho - é baseado nas cores dos robôs, campo e bola. Devido ao tempo de extração e processamneto da informação e às características de inércia dos sistemas mecânicos, existe uma diferença entre o tempo de leitura dos dados (entenda-se a posição dos objetos no campo de jogo) e o tempo de resposta dos robôs para que se desloquem até a posição desejada. Desta forma, é não somente desejável, mas indispensável prever a posição de objetos no domínio (como a bola ou mesmo os entes robóticos) algumas iterações à frente.

Fig 2 – Um robô num jogo de futebol interceptando: a) uma bola em uma trajetória linear; b) uma bola em trajetória curvilínea em um campo inclinado lateralmente; c) uma bola em trajetória nãolinear em momentos determinados; d) um adversário com trajetória não-linear.

3 IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS E PREDIÇÃO O problema de elaborar modelos matemáticos de sistemas dinâmicos baseado em observações destes sistemas pode ser entendido como o problema da área da engenharia de controle denominada identificação de sistemas (Garcia, 1997). O modelo de um sistema, por sua vez, pode ser entendido como uma descrição de algumas das propriedades do sistema, adequada a algum propósito específico (Ljung, 1999). As técnicas clássicas para a identificação de sistemas podem ser divididas em duas grandes classes: i) os métodos não paramétricos e ii) os métodos paramétricos. Modelos que buscam determinar funções de transferência ou respostas ao impulso através de técnicas diretas, sem primeiro selecionar um conjunto de modelos possíveis e que não empregam um vetor de parâmetros de dimensão finita de forma direta, são freqüentemente ditos não-paramétricos. Destacam-se nesse âmbito a análise de transitórios e a análise de correlação. Já na classe de modelos denominados paramétricos, seleciona-se a priori um modelo de sistema com um vetor de parâmetros θ . Dado um vetor de observações da entrada e saída do processo, objetiva-se obter os parâmetros do modelo que melhor descrevem o processo. Para o domínio adotado, optou-se pela utilização de modelagem paramétrica. Dado um vetor de amostras da movimentação dos objetos em questão, o modelo geral da identificação baseada em modelos paramétricos pode ser escrito como (Ljung, 1999):

2.2 O padrão de movimentação dos objetos Considere uma bola deslizando em um campo de jogo, como o ilustrado na fig. 2. A identificação da trajetória da bola é indispensável ao jogador que tenha a intenção de interceptá-la. Contudo, embora tratar-se de um domínio onde teoricamente espera-se um comportamento bem definido para as trajetórias (isto é, um comportamento linear de fácil predição como o apresentado na fig. 2a), diversas situações podem afetar a linearidade do sistema. Pequenas inclinações na superfície do campo ou mesmo a presença de algum distúrbio (como vento) são exemplos de situações capazes de impor à bola trajetórias representadas por polinômios de ordem mais elevada, como ilustrado na fig. 2b. Choques da bola com a lateral do campo, como o ilustrado na fig. 2c, exemplificam uma trajetória com comportamento não linear em regiões específicas. Um comportamento não-linear pode ser observado, por exemplo, na locomoção de um dos jogadores realizando sua estratégia de jogo, como o ilustrado na fig. 2d. Nos casos em que a estratégia de um jogador seja “marcar” o adversário - e não a bola - a possibilidade de predizer sua trajetória com poucas iterações pode ser de grande valia. Um problema adicional em sistemas de automação baseados em visão computacional consiste em que fatores como sombras, variações na intensidade

y(t ) = G(q,θ ).u (t ) + H (q, θ ).e(t )

102

(1)

O vetor de parâmetros para o modelo ARX e a equação (2) reescrita com tal parâmetro podem ser vistas respectivamente em (5) e (6): (5) θ = [a ... a b ... b ]T

Onde:

e(t ) é o ruído branco presente no sistema; u (t ) é a entrada do sistema;

θ é o vetor de parâmetros;

1

q é o número de amostras utilizadas; G (.) e H (.) são as funções que relacionam a saída

(2)

(6)

Com o modelo adotado, a equação da predição (2) será dada por:

Com base nas equações (1) e (2) e seus parâmetros, é possível elaborar não somente um modelo, mas toda uma família de modelos. Nas seções a seguir são apresentados três dos principais modelos que derivam desta abordagem: AR, ARX e ARMAX.

y (t ,θ ) = B (q), u (t ) + [1 − A(q)].y (t ) 

(7)

A equação de diferenças (7) pode então ser reescrita na notação matricial como:

3.1 A estrutura de modelo de auto-regressão (AR)

y (t ,θ ) = θ T .ϕ (t ) = ϕ (t )T .θ 

Com: ϕ (t ) = [ − y (t − 1)... − y (t − na )u(t − 1)...u(t − nb)]T

Um exemplo simples de um processo auto-regressivo y(t) é dado por:


nb

B( q) = b1 .q −1 + ... + bnb .q − nb

A predição para a iteração adiante será dada por:

y (t + 1) = a. y (t ) + e(t ) ,para t o , t 0 + 1,...

1

Onde: A( q) = 1 + a1 .q −1 + ... + ana .q − na

com os parâmetros adotados.

y (t , θ ) = H −1 (q ,θ ).G (q, θ ).u (t ) + [1 − H −1 (q, θ )]. y (t )

na

1 B(q ) , H ( q, θ ) = G ( q, θ ) = A( q ) A(q )

y (t ) é a saída do sistema no instante t;

(8) (9)

Onde ϕ (t ) é o vetor de observações e θ , dado por (5), é o vetor de parâmetros.

(3)

onde:

y(t + 1) é a saída estimada para o instante t+1; y (t ) é a saída para o instante t; 

3.2 A estrutura de modelo ARMAX

e(t ) é o erro presente no instante t;

O modelo anterior torna-se mais genérico considerando-se a equação de erro comportando-se como ruído branco, e assumindo-se sua média móvel para a determinação dos estados futuros. Desta forma, uma menor restrição à liberdade das propriedades dos distúrbios é conferida ao modelo, que recebe o nome de ARMAX devido à parte da média móvel (Moving Averague) adicionada ao sistema ARX. Assim:

a é o coeficiente que relaciona a entrada e a saída. Para este tipo de regressão, é assumido que o ruído e(t) é uma seqüência de variáveis estocásticas normais independente da saída y(t) para todo instante t. Observese ainda que este modelo leva em consideração apenas a saída no instante anterior para a obtenção do estado futuro.

y (t ) + a1 . y (t − 1) + ... + a na . y (t − na ) = b1 .u.(t − 1) + ... + b nb .u (t − nb ) + e(t ) + c1 .e(t − 1) +

3.1 A estrutura de modelo ARX

... + cnc .e(t − nc) Onde:

A estrutura de auto-regressão (AR) pode ser modificada de forma a levar em consideração também as entradas do processo. Um modelo desta natureza é o mostrado na equação (4). Este modelo faz uso da autoregressão (AR) e da variável exógena B.u(t), motivo pelo qual é conhecido como ARX.

y (t ) + a1 . y (t − 1) + ... + ana . y(t − na) = b1.u (t − 1) + ... + bnb .u(t − nb) + e(t )

(10)

A(q ) = 1 + a1 .q −1 + ... + a na .q − na

B (q ) = b1 .q −1 + ... + bnb .q − nb C ( q ) = 1 + c1 .q −1 + ... + c nc .q − nc

(4)

A equação de diferenças (10) pode ser reescrita na forma matricial como:

Onde: y(t ) é a saída do processo no instante t; u (t ) é a entrada do processo no instante t; e(t ) é o erro do processo no instante t;

A(q). y(t ) = B(q).u(t ) + C (q).e(t )

(11)

Os coeficientes da equação (2) passam a ser dados por:

a1 ...ana são os coeficientes que relacionam a saída no instante atual com as saídas anteriores; b1...bnb são os coeficientes que relacionam a saída

G (q ,θ ) =

no instante atual com as entradas nos instantes anteriores.

B(q ) , C (q ) H ( q, θ ) = A( q ) A( q)

E o vetor de parâmetros para o sistema será:

103

(12)

θ = [a1 ... a na

b1 ... bnb

c1 ... c nc ]T

(13)

O terceiro experimento realizado foi a comparação da predição com diferentes números de pontos fornecidos aos modelos. As simulações foram realizadas utilizando o software MATLAB e seu ambiente gráfico simulink. Observe-se que durante as simulações foi utilizado apenas o caso SISO (single-input-single-output), objetivando a modelagem da trajetória de sistemas lineares invariantes no tempo.

O preditor para esta modelagem será dado por: 

B (q ) A(q ) y (t , θ ) = .u (t ) + 1 − . y (t ) C (q ) C (q ) 



(14)




4. REVISITANDO O PROBLEMA Os métodos tradicionais no âmbito da engenharia de controle acima descritos realizam a predição da trajetória de sistemas a partir de diferentes modelos. De forma a investigar sua aplicabilidade para a visão computacional e para o domínio adotado, alguns fatores podem ser considerados relevantes:

6. RESULTADOS OBTIDOS 6.1 Robustez a erros 5000

i) o modelo a ser adotado, sua regressão e sua predição devem considerarque o sistema é sujeito a ruídos, e seu comportamento deve, portanto, ser robusto a ruídos; ii) a trajetória da bola, em grande parte do tempo, pode ser assumida linear, visto que apresenta um movimento uniforme. Em alguns casos, contudo, ela pode ser bastante errática por fatores adversos. O modelo adotado deve, então, apresentar bom desempenho para modelagens de sistemas resultantes de polinômios de segunda e terceira ordens; iii) a trajetória de jogadores pode ser assumida como não-linear. Nesse sentido, um bom modelo de trajetória é aquele que pode realizar uma boa predição com uma pequena quantidade de pontos observados; iv) de forma a permitir que o sistema de predição seja utilizado em tempo real, procura-se um sistema que seja computacionalmente eficiente.

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

4000 3000 2000 1000 0 -1000 0

20

40

60

80

100

120

(a) 3500 Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

3000 2500 2000 1500 1000 500

O conjunto de restrições acima levou à definição de uma metodologia - detalhada na seção a seguir - para a análise dos modelos propostos no domínio e condições adotadas.

0 -500 -1000 0

10

20

30

5. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

40

50

60

70

80

60

70

80

(b)

De forma a promover a comparação do desempenho das diversas ferramentas para a tarefa e domínio adotados, foi proposta a investigação de três fatores básicos para as ferramentas utilizadas. Como primeiro método de comparação, buscou-se avaliar as ferramentas disponíveis quanto à robustez da classificação na presença de ruído. Para tanto, simulouse uma curva de resposta representada por um polinômio de segunda ordem na presença de ruído aditivo de saída. Foram fornecidos aos algoritmos os primeiros 40 pontos da curva e, após a modelagem, observou-se o desempenho da predição para os 40 pontos subseqüentes. Como segundo método de comparação, observou-se a capacidade dos modelos de realizar a predição em curvas descritas por polinômios de primeira, segunda e terceira ordens, suficientes, na grande maioria dos casos, para descrever o comportamento da bola. Assumiu-se baixo nível de ruído nestas curvas.

5000

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

4000 3000 2000 1000 0 -1000 0

10

20

30

40

50

(c) Fig 3 - Regressão e predição dos modelos a) AR, b) ARX e c) ARMAX para uma curva amostrada com ruído.

104

6.2 Regressão de polinômios de primeiro grau 3500 80 70 60

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

3000

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

2500 2000

50

1500

40

1000

30

500

20

0

10

-500

0

0 0 t

10

20

30

40

50

60

70

3500

60

2500

1500

40

1000

30

500

20

0

10

-500 0

0 10

20

30

40

50

60

70

80

60

60

70

80

10

20

30

40

50

60

70

80

ARMAX para um polinômio de segundo grau amostrado com ruído.

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

70

50

(c) Fig 5 - Regressão e predição dos modelos a) AR, b) ARX e c)

(b) 80

40

2000

50

0

30

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

3000

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

70

20

(b)

(a) 80

10

80

6.4 Regressão de polinômios de terceiro grau x 104

50

9

40

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

8

30

7

20

6

10

5

0

4 0

10

20

30

40

50

60

70

80

3

(c)

2

Fig 4 - Regressão e predição dos modelos a) AR, b) ARX e c)

1

ARMAX para um polinômio de primeiro grau amostrado com ruído.

0 0

10

20

30

6.3 Regressão de polinômios de segundo grau

40

50

60

70

80

60

70

80

(a) 3500

3500

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

3000 2500

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

3000 2500

2000

2000

1500

1500

1000

1000

500

500

0

0 -500

-500 0

10

20

30

40

50

60

70

0

80

(a)

10

20

30

40

(b)

105

50

x 104

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

8

x 104 Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

7 6 5 4 3 2 0

10

20

30

40

50

60

70

1

80

0 -1

(c)

0

Fig 6 - Regressão e predição dos modelos a) AR, b) ARX e c) ARMAX para um polinômio de terceiro grau amostrado com ruído.

10

20

30

40

50

60

70

80

60

70

80

60

70

80

(a) x 104

8

6.5 Número de exemplos

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

7 6

3500

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

3000 2500

5 4 3

2000

2

1500

1

1000

0

500

-1 0

0

10

20

30

40

50

-500 0

10

20

30

40

50

60

70

(b)

80

x 104

8

(a) x 10

3

6 5

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

2.5

Dados amostrados do objeto Dados utilizados na predição Predição da saída

7

4

4 3

2

2

1.5

1 1

0

0.5

-1 0

0 -0.5 0

10

20

30

40

50

60

70

10

20

30

40

50

(c) Fig 8 - Regressão e predição dos modelos a) AR, b) ARX e c)

80

ARMAX para uma curva amostrada com ruído observados 50 pontos de um total de 80.

(b) Fig 7 - Regressão e predição dos modelos a) AR, b) ARX para uma curva amostrada com ruído observados 30 pontos de um total de 80. Nota: o modelo ARMAX não apresentou convergência neste caso.

106

7. CONCLUSÕES

iii) Testes exaustivos reais no domínio de interesse.

Para a tarefa de regressão de trajetória de objetos e predição de seu posicionamento futuro para visão computacional no ambiente do futebol de robôs móveis autônomos utilizando modelos clássicos de sistemas, três modelos de grande aplicabilidade na engenharia de controle foram propostos e testados em simulações: AR, ARX e ARMAX. O primeiro modelo, AR, caracteriza-se por entender um estado como dependente apenas do estado anterior. Já o ARX, tem como principal característica a observação da entrada do sistema para a modelagem de sua saída. Por fim, o ARMAX utiliza-se de uma média móvel do erro para a determinação do estado futuro. Com relação à robustez a grandes níveis de ruído, o modelo AR obteve o melhor desempenho, fato que pode ser explicado pela simplicidade do modelo: não se tenta descrever a saída do sistema em função de sua entrada ou estabelecer um padrão para a geração dos erros. Para curvas com menores níveis de ruído, contudo, os três modelos mostraram-se relativamente similares. Na análise da predição para curvas descritas por polinômios de diversas ordens, os modelos AR e ARMAX apresentaram melhor desempenho para uma trajetória descrita por polinômio de terceira ordem, enquanto os métodos foram igualmente eficazes para curvas de menor ordem. Novamente, a tentativa de relacionar a saída com a entrada do sistema (no caso de trajetórias, simplesmente uma constante) resultou em um desempenho ruim para o sistema ARX. Já com relação à sensibilidade da predição ao número de exemplos, todos os três métodos apresentam predição satisfatória quando um grande número de exemplos é apresentado; entretanto, para um número reduzido destes, apenas o AR teve bom desempenho. Em outros termos, apenas o AR foi capaz de realizar predição com pequena margem de erro para um número considerável de iterações à frente. Os modelos mais complexos visivelmente requerem mais exemplos para uma melhor predição. O ARMAX, em um caso extremo, nem mesmo apresentou convergência, para determinados casos. Baseado nos dados observados pode-se dizer que, no caso do domínio adotado, uma trajetória não representa um processo que requeira um modelo extremamente poderoso. Ao contrário, o modelo mais simples - o AR obteve o melhor desempenho para boa parte das simulações realizadas. Tentativas de vincular o comportamento da saída a entradas e tentativas de modelar o ruído branco mostraram-se ineficazes. Como trabalhos futuros destacam-se:

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BERG, R T. Estimation and Prediction for Manueuveing Target Trajectories. In: IEEE Trans. Automat. Contr., vol AC-28, pp 294-304, Mar. 1983. COSTA, A. H. R.; PEGORARO, R.; STOLFI, G.; SICHMAN, J. S.; PAIT, F. M.; FERASOLI FILHO, H. Guaraná Robot-Soccer Team: some architectural issues. In: FIRA Robot World Cup France'98 Proceedings, 29th. June - 3rd. July, 1998. Federation of International Robot Soccer Association, 1.999. pp. 43-49. DAUM, F. and FITZGERALD, J. R. Decoupled Kalman Filters for Phased Array Radar Tracking. In: IEEE trans. Automat. Contr., vol AC-28, pp 269-283, Mar 1983. GARCIA, C. Modelagem e simulação de processos industriais e de sistemas eletromecânicos. EDUSP. São Paulo, 1997. GONZALES, R.C. e WOODS, R. E. Processamento de imagens digitais. Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo, 1992. HONG, C.S.; CHUM, S.M.; LEE J.S.; HONG K.S. A Vision-Guided Object Tracking and Prediction Algorithm for Soccer Robots. In: IEEE International Conference on Robotics and Automation, pag. 346-351, Abril 1997. LJUNG, L.; System Identification - Theory For the User. 2nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1999. KALMAN, R.E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. In: Asme Trans. J. Basic Eng., Series 82D, pp. 35-45, Mar. 1960 PONS, J. C. Identificação e controle de sistemas dinâmicos com redes neurais. Dissertação de mestrado. EPUSP. São Paulo, 1998. SIMÕES, A. S.; COSTA, A. H. R. Utilizando processos gaussianos para a segmentação de imagens monocromáticas. IX SEMINCO - Seminário de computação da Universidade Regional de Blumenau. 2002. (no prelo)

i) a investigação da aplicabilidade e da validade do modelo proposto para o domínio adotado utilizandose modelagem de sistema de múltiplas entradas (MIMO - multiple input - multiple output) ao invés de um sistema SISO (single input - singre output). Esta modelagem pode proporcionar uma regressão e predição bidimensionais, de grande interesse para a tarefa proposta; ii) a comparação das técnicas estudadas com outras técnicas largamente utilizadas em tarefas e domínios similares tais como o filtro de Kalman (Kalman, 1960), ou as redes neurais artificiais;

107