Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Definiciones, notación y proposiciones básicas de matemáticas
José Luis de la Fuente O’Connor
[email protected] [email protected] Madrid, Curso 2015-2016
E
N ESTA INTRODUCCIÓN a la asignatura Matemáticas de la Especialidad–Ingeniería Eléctrica se recopilan conceptos, definiciones, relaciones y resultados que puede ser útil recordar o considerar para seguir su desarrollo de manera provechosa. Todos o casi todos se han estudiado en otras asignaturas de cursos anteriores a aquél en el que se imparte ésta. En ningún caso es un exhaustivo recordatorio de las matemáticas elementales que debe conocer un ingeniero industrial. También se introduce una notación que, de forma uniforme, trataremos de usar en todas las lecciones y presentaciones que explicaremos y enseñaremos en las clases.
1 Conjuntos Un conjunto es una colección de objetos: los números naturales, las soluciones de un problema determinado, los municipios de una provincia, etc. Se identifica por una letra mayúscula: el conjunto S , el conjunto de los números naturales N, el de los enteros Z, el de los reales R, complejos C, racionales Q, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Si un elemento a pertenece a un conjunto se indica a 2 S . Los conjuntos se definen mediante la enumeración entre llaves de sus elementos, S D fa; b; : : : g, o especificando, también entre llaves, la propiedad que los caracteriza, S D fx W x 2 R; x 2g: números reales menores o iguales que dos. El conjunto sin elementos se denomina vacío, designándose ;. Ejemplo: el conjunto S de los números reales x que son mayores que 1 y menores que 0: esto es, S D fx 2 R W x > 1; x < 0g.
Si S y S 0 son dos conjuntos y todos los elementos del conjunto S 0 lo son de S , se dice que S 0 es un subconjunto del conjunto S, o que está contenido en S 0 , expresándose S 0 S o S S 0 . La unión de dos conjuntos S y T , expresada S [ T , es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a S o a T. La intersección de S y T , expresada S \ T , es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a S y a T. Si S 0 es un subconjunto de S , el complemento de S 0 en S es el conjunto formado por los elementos de S que no pertenecen a S 0 . Si a y b son números reales, y a b, el conjunto de números x de la recta real tales que a x b se indica Œa; b. El formado por los x tales que a < x b, por .a; b. El de los x que verifican que a < x < b, por .a; b/. Si S es un conjunto no vacío de números reales acotados superiormente —mayorados—, existe un número real mínimo y tal que x y para todo x 2 S. Al número y se le denomina cota superior mínima o supremo de S ; se expresa así: sup .x/ o sup fx W x 2 S g : x2S
De forma similar se define la cota inferior máxima —o ínfimo— de un conjunto S no vacío de números reales acotados inferiormente o minorados: Kınf .x/ o
x2S
Kınf fx W x 2 S g :
Dados dos conjuntos S y T , una aplicación, transformación o mapeo f de S en T , expresada como f W S ! T , es una asociación o criterio que a cada elemento de S hace corresponder uno de T .
La imagen de un elemento x 2 S con la aplicación f W S ! T es el elemento f .x/ 2 T . El conjunto imagen f .S/ = ff .x/ 2 T; para todo x 2 S g. La imagen de un subconjunto S 0 S con la aplicación f sería, por consiguiente, el subconjunto imagen f .S 0 /. El conjunto S se conoce como origen o dominio de definición y el T como dominio de valores. Una aplicación f W S ! T se dice inyectiva si para cualquier par de elementos x; y 2 S, x ¤ y, se cumple que f .x/ ¤ f .y/. Ejemplo, la aplicación f W R ! R, definida por f .x/ D x 2 , no es inyectiva, pues f .1/ D f . 1/ D 1. 1
Una función es un caso particular de aplicación en donde los conjuntos origen e imagen son conjuntos de La imagen de un elemento x 2 S con la aplicación f W S ! T es el elemento f .x/ 2 T . El números: R, C, Z, N, etc. 0 conjunto imagen f .S/ = ff .x/ 2 T; para todo x 2 S g. La imagen de un subconjunto S S con
aplicación por consiguiente, el subconjunto imagen f .S 0 /. El conjunto S se conoce como Una aplicación f Wla S ! Tf sería, se dice suprayectiva —sobreyectiva, epiyectiva, suryectiva o exhaustiva— si origen o dominio de definición y el T como dominio de valores. Una aplicación f W S ! T se dice el conjunto imagen f inyectiva .S / essiigual a todo elelementos conjunto decir, para 2 Ejemplo, T existe un x 2 S tal que para cualquier par de x; y 2TS;, xes ¤ y, se cumple que ftodo .x/ ¤ y f .y/. la aplicación f W R ! R, definida por f .x/ D x 2 , no es inyectiva, pues f .1/ D f . 1/ D 1. f .x/ D y. Una función es un caso particular de aplicación en donde los conjuntos origen e imagen son con-
juntosbiyectiva de números: R, N, etc. Una aplicación se dice siC,esZ,inyectiva y suprayectiva. Ejemplo, si Jn es el conjunto de los números Una aplicación f W S ! T se dice suprayectiva —sobreyectiva, epiyectiva, suryectiva o exhaustiva— enteros de 1 a n, Jn Dsif1; : : : ; ng, y se define una aplicación W Jnpara !todo Jnyque modifica el conjunto imagen f .S/ es igual a todo el conjunto T ; es decir, 2 T existe un x 2 Sel orden de disposición tal que f .x/ D y. de los elementos de Jn —estas aplicaciones se denominan permutaciones—, tal aplicación es biyectiva. Una aplicación se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva. Ejemplo, si Jn es el conjunto de los
números enteros de 1 a n, : ; ng, biyección y se define una aplicación que modifica n D f1; : :una Un conjunto S se dice numerable si Jexiste entre N yW JnS:! aJncada unosel de los n elementos k, orden de disposición de los elementos de Jn —estas aplicaciones se denominan permutaciones—, tal 1 k n, se le asociaaplicación un elemento es biyectiva.ak 2 S , esto es: k 7! ak . Un conjunto S se dice numerable si existe una biyección entre N y S : a cada unos de los n elemen-
Una sucesión de elementos T es auna aplicación de N en T : a cada elemento n 1 se le hace tos k, 1 k de n,un se leconjunto asocia un elemento k 2 S, esto es: k 7! ak . elementos de un conjuntose T expresa es una aplicación de Nfx en.1/ T : a; cada 1 .n/ gn1 . corresponder un x .n/ 2 Una T : sucesión n 7! xde.n/ . Tal .n/ sucesión como x .2/elemento ; : : .2/: g nofx .n/ .1/ se le hace corresponder un x
2 T : n 7! x
. Tal sucesión se expresa como fx
;x
;:::g o
fx .n/ gn1 Los conjuntos dotados de. ciertas leyes de composición o asociación interna —adición, multiplicación, diLos conjuntos dotados de ciertas leyes de composición o asociación interna —adición, multiplicavisión o cualquier otra—, se dice que poseen una estructura. Las estructuras algebraicas fundamentales son ción, división o cualquier otra—, se dice que poseen una estructura. Las estructuras fundamentales son: grupo, (Z por (R ejemplo), y C, por ejemplo) y espaciovectorial. vectorial. grupo, anillo (Z por ejemplo),anillo cuerpo y C,cuerpo por(Rejemplo) y espacio
C
2 Espacios vectoriales
R
Z
Q
N
4
Un espacio vectorial E es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una ley de composición interna definida para los elementos del conjunto, adición, con la siguientes propiedades —grupo conmutativo—, xCy DyCx .x C y/ C z D x C .y C z/ xCøDx x C . x/ D ø; y una ley de composición externa, producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, K, con estructura de cuerpo, con las siguientes propiedades, 1x Dx ˛.ˇx/ D .˛ˇ/x .˛ C ˇ/x D ˛x C ˇx ˛.x C y/ D ˛x C ˛y; válidas cualesquiera que sean x; y; z en E y ˛; ˇ en K. A ø se le denomina elemento neutro y a x el opuesto de x. Es usual denominar vectores a los elementos de E y escalares a los de K. En las aplicaciones que se 2
estudian en la asignatura los casos más importantes ocurren cuando K D R o K D C. Con la notación K designaremos a cualquiera de los cuerpos R o C y por x un vector cualquiera de un espacio vectorial. El paradigma de espacio vectorial lo constituye el formado por sucesiones ordenadas de n elementos cualesquiera de K, o n-uplas x D Œx1 ; : : : ; xn , definiendo la suma de vectores mediante Œx1 ; : : : ; xn C Œy1 ; : : : ; yn D Œx1 C y1 ; : : : ; xn C yn y el producto por un escalar mediante ˛Œx1 ; : : : ; xn D Œ˛x1 ; : : : ; ˛xn : Otro espacio vectorial muy habitual es Pn , de polinomios de grado n, pn .x/ D ak , reales o complejos, n 0.
Pn
kD0 ak x
k , con coeficientes
Si X es un conjunto arbitrario el conjunto de aplicaciones ' W X ! K se estructura también como un espacio vectorial definiendo las operaciones .' C
/ W x 7 ! '.x/ C
.x/
.'/ W x 7 ! '.x/ :
El ejemplo anterior es un caso particular de este espacio vectorial tomando X D f1; 2; : : : ; ng.
Un subespacio M de un espacio vectorial E sobre un cuerpo K es un subconjunto no vacío cerrado respecto de las operaciones de adición y producto por un escalar; es decir, se cumple que 8x; y 2 M H) x C y 2 M;
8x 2 M y 8 2 K H) x 2 M: La intersección de una familia cualquiera de subespacios de E es también un subespacio. Si X es un subconjunto cualquiera de E el subespacio GenfX g, generado o engendrado por X, es la intersección se todos los subespacios que contienen a X . Cuando GenfXg D E, se dice que X es una parte generadora de E. Dados vectores x1 ; : : : ; xn y escalares 1 ; : : : ; n , el vector formado según la expresión x D 1 x1 C C n xn se dice que es una combinación lineal de los vectores x1 ; : : : ; xn de coeficientes 1 ; : : : ; n . Un subconjunto X de E es un subespacio si y sólo si contiene a cualquier combinación lineal de cualquier subconjunto finito de vectores de X . También se demuestra que el subespacio GenfXg es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de X. Un conjunto de vectores x1 ; x2 ; : : : ; xk se dicen linealmente dependientes si existen escalares i , no todos P cero, tales que kiD1 i xi D 0 ; linealmente independientes, si k X i D1
i xi D 0 H) i D 0;
0i k:
Una parte X de un espacio vectorial E se dice que es una familia libre si los vectores de cualquier subconjunto finito de X son linealmente independientes. La dimensión de un subespacio es el máximo número de vectores linealmente independientes en el subespacio. Una base de un espacio vectorial E es cualquier subconjunto B de E que sea, simultáneamente, una parte libre y generadora de E; dicho de otra forma, una base de un espacio vectorial es un conjunto —normalmente se supone ordenado (numerado)— de vectores linealmente independientes que generan (o engendran) dicho 3
espacio. Se demuestra que cualquier espacio vectorial tiene una base y que todas las bases de un mismo espacio tienen la misma cardinalidad —se pueden poner en biyección—. Cuando el cardinal de las bases es un número natural, n 2 N, se dice que el espacio es de dimensión finita n. En un espacio vectorial K n , 2 3 2 3 2 3 1 0 0 6 7 6 7 6 7 6 0 7 6 1 7 6 0 7 6 7 6 7 6 7 e1 D 6 : 7 ; e2 D 6 : 7 ; : : : ; en D 6 : 7 ; 6 :: 7 6 :: 7 6 :: 7 4 5 4 5 4 5 0 0 1
forman una base en dicho espacio; éste, por tanto, tiene dimensión n. Esta base se denomina base canónica o base estándar de K n . En esta base, cualquier vector x T D Œx1 ; x2 ; : : : ; xn se puede expresar de la siguiente forma: 2 3 2 3 2 3 3 2 0 1 0 x1 6 7 6 7 6 7 7 6 6 1 7 6 0 7 6 0 7 6 x2 7 6 7 7 6 6 7 6 7 6 : 7 D x1 6 : 7 C x2 6 : 7 C C xn 6 : 7 : 6 :: 7 6 :: 7 6 :: 7 6 :: 7 4 5 4 5 4 5 5 4 0 0 1 xn Es decir Rn D Genfe1 ; : : : ; en g. La base estándar de Pn es S D f1; t; t 2 ; : : : ; t n g.
Si A y B son subconjuntos de un espacio vectorial E, el conjunto A C B se define como: A C B D fa C b W a 2 A; b 2 Bg :
Cuando A y B son subespacios, también lo es la suma A C B. Si además A \ B D ;, la suma se denomina directa, escribiéndose A ˚ B. Si A ˚ B D E, cualquier vector c 2 E se descompone de manera única como c D a C b, con a 2 A y b 2 B; también se dice3.1 queEspacios A y B sonnormados subespacios suplementarios.
2.1 Espacios normados
Si en un espacio vectorial E sobre K (R o C) se define una norma vectorial como k k W E ! R que verifica
kvk D como 0 H) v D aplicación 0 y x ¤ 0 H) > 0; Si en un espacio vectorial E sobre K (R o C) se define una norma vectorial una k k kxk WE! R que verifica k˛vk D j˛jkvk para ˛ 2 K y v 2 E; kvk D 0 H) v D 0 y x ¤ 0 H) kxk > ku 0; C vk kuk C kvk 8u; v 2 E;
k˛vk D j˛jkvk
para ˛ 2 K y v 2 E;
se dice que E es un espacio vectorial normado. ku C vk kuk C kvk kuCvk 8u; v 2E; La condición kukCkvk es la desigualdad de Minkowski; se conoce tambi del triángulo. Es una generalización del hecho de que un lado de un triángulo no puede se dice que E es un espacio vectorial normado.la suma de los otros dos: ver figura. Una variante de esta regla es la siguiente:
La condición ku C vk kuk C kvk es la desigualdad de Minkowski —por Hermann Minkowski, Lituania, ku vk kuk kvk: 1864-1909—; se conoce también como regla del triángulo. Es una generalización del hecho de que un lado de un triángulo no puede ser mayor que la suma de los otros dos: ver figura 2.1. Una variante de esta regla es la siguiente: ku vk kuk kvk. v uCv u
Figura 3.1: Representación gráfica de la regla del triángulo
Figura 2.1: Representación gráfica de la regla del triángulo En el espacio vectorial
Kn ,
En el espacio vectorial Kn , para 1 p < 1, se tiene la familia de normas para 1 p < 1, se tiene la familia de normas 1=p p p p p kxkp D jx1 j C C jxn j ; p p
kxkp D
jx1 j C C jxn j
denominadas normas p de Hölder. Casos particulares lo constituyen las correspondien p D 2: 4 kxk1 D
n X i D1
p
jxi j
denominadas normas p de Hölder —por Otto Hölder, Alemania, 1859-1937—. Casos particulares lo constituyen las correspondientes a p D 1 y p D 2: n X
kxk1 D
i D1
p
kxk2 D
jxi j
jx1 j2 C C jxn j2 :
Esta última se denomina en Rn norma euclídea. También en Kn es una norma la dada por kxk1 D mKax jxi j : 1i n
Estas normas cumplen, cualquiera que sea x 2 Kn , que kxk1 kxk2 kxk1 nkxk1 : Si la bola cerrada unidad en R2 es el conjunto fx 2 R2 W kxk 1g, su forma en espacios vectoriales – Siy p el son conjunto fxrepresenta 2 R2 W kxk 1g es normados por la 1, 2, 1 las que la figura 2.2.la bola cerrada unidad en 2 R , su forma para las normas vectoriales 1, 2, 1, y p son estas. x11 D = kxk
x22 D = kxk
2 i 2 i=1
|xijx | ij
iD1
D1
q
2 2 |x11|j22+C|xjx 2 | 2= jx j
√ q DxT xx T x
D1
x1 max kxk D1≤i≤2 mKax|xjx ∞ = i| i j D 1 1i2
1/p
p p 1=p xpp D = Œjx |x11|jpp+C|xjx p < p∞) kxk < 1/ 2 | 2 j , (1 ;≤.1 D1
28/63
Figura 2.2: Forma de la bola unidad para diferentes normas en R2 a
b
c
d
e
f
g
1
2
3
9
4
6
5
En el espacio C Œ0; 1 de funciones continuas del intervalo Œ0; 1 en C, son normas las dadas por h
i
j
10
8
7
kf kp D y por
"Z
0
1
p
jf .t /j dt
#1=p
kf k1 D mKax jf .t /j : t 2Œ0;1
En un espacio vectorial normado se define la distancia entre dos elementos u y v mediante d.u; v/ D ku
vk :
Esta definición convierte a cualquier espacio vectorial normado en un espacio métrico. Sea E un espacio vectorial normado; se dice que una sucesión1 fx .n/ g en E converge a un límite v 2 E, si para todo " > 0, existe un N 2 N tal que a partir de él, n N , se cumple que kx .n/ vk < ". 1 Cuando
así lo aconseja la dificultad de la notación, una sucesión también se designa por fxn g; sus integrantes, x .k/ .
5
Cuando una sucesión fx .n/ g admite un vector límite v sólo tiene ese vector como límite.2 Se escribe lKımn!1 x .n/ D v. Es equivalente decir que lKımn!1 x .n/ D v y que lKımn!1 kx .n/ vk D 0. En particular, x .n/ ! 0 si y sólo si kx .n/ k ! 0.
Una sucesión fx .n/ g en un espacio vectorial normado por k k se denomina sucesión de Cauchy si para cada " > 0 existe un n 2 N tal que cualesquiera que sean p; q n, se cumple que kx .p/ x .q/ k < ". Toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy pero pueden existir espacios normados con sucesiones de Cauchy que no son convergentes. Un espacio vectorial normado se dice completo si toda sucesión de Cauchy en él tiene límite. Un espacio de Banach —por Stefan Banach, Polonia, 1892-1945— es un espacio vectorial completo respecto de la norma a él asociada. Todo espacio vectorial normado de dimensión finita es un espacio de Banach. En un espacio de dimensión infinita esto no es cierto; por ejemplo, es fácil ver que en C Œ0; 1 la sucesión de funciones cuyas gráficas son las de la figura 2.3 es una sucesión de Cauchy para cualquier norma k kp , pero no tiene límite en C Œ0; 1. fn .x/ 6 =
1 n
=
0
1
-
x
=
1 n
=
Figura 2.3: Gráfica de una de las funciones de una sucesión de Cauchy
2.2 Espacios con producto interior Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K (R o C); una forma sesquilineal —vez y media lineal— sobre E es una aplicación hji W E E ! K que verifica3 : 1) h˛u C ˇvjwi D ˛hujwi C ˇhvjwi y
2) huj˛v C ˇwi D ˛hujvi C ˇhujwi;
cualesquiera que sean u, v, w en E y ˛; ˇ en K. Si además se cumple que hujvi D hvjui ; la forma se denomina hermítica. Es claro que hujui es siempre un número real. Cuando se cumple que u ¤ 0 H) hujui > 0 ; se dice que la forma es definida positiva, denominándosela también producto escalar. Una forma sesquilineal sobre R es siempre bilineal. Un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial sobre K dotado de una forma hermítica definida positiva. Todo espacio prehilbertiano es un espacio normado mediante p kvk D hvjvi : 2 Si
3 La
existe límite es único. barra designa complejo conjugado.
6
En la demostración de que esta definición corresponde a la de una norma en E juega un papel importante la desigualdad de Cauchy-Schwarz: a saber, ˇ ˇ ˇ ˇ ˇhujviˇ kuk kvk :
Un espacio de Hilbert —por David Hilbert, Prusia Oriental, 1862-1943— es un espacio prehilbertiano comp pleto respecto de la norma que deriva del producto escalar k k D h; i . Dicho de otra forma, un espacio prehilbertiano que con esta norma da un espacio de Banach. Todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach, pero el recíproco no es cierto.
El espacio euclídeo n-dimensional, expresado Rn o En , es un espacio de Hilbert de dimensión finita. Visto así, un espacio de Hilbert sería la generalización de un espacio euclídeo, incluida la dimensión infinita. Dos vectores cuyo producto escalar es cero se denominan ortogonales; si sus kk2 son la unidad se denominan ortonormales. Para dos vectores ortogonales se tiene la identidad ku C vk2 D kuk2 C kvk2 ; que es una generalización del teorema de Pitágoras. En un espacio prehilbertiano el único vector ortogonal a todos los vectores del espacio es el vector nulo; si este espacio es de dimensión finita es posible construir una base ortonormalizada. En un espacio euclídeo n-dimensional el ángulo entre dos vectores x e y es ! xT y D arc cos ; kxkkyk donde D cumple que 1 1, para cualesquiera x e y.
xT y kxkkyk
Dos vectores son ortogonales si x T y D 0 ( D =2; D 0); alineados, si x T y D kxkkyk ( D 0; D 1); opuestos, si x T y D kxkkyk ( D ; D 1). Forman un ángulo agudo si x T y > 0 ( < =2; > 0) y un ángulo obtuso si x T y < 0 ( > =2; < 0). Una familia cualquiera de vectores distintos del nulo y ortogonales dos a dos es una familia libre. Si M es un subespacio de un espacio prehilbertiano E de dimensión finita, el subespacio ortogonal de M , M ? , es el subespacio formado por todos los vectores ortogonales a los de M , siendo un subespacio suplementario de M ; es decir M ˚ M ? D E. Cualquier x 2 E, por consiguiente, se puede expresar como x D a C b, con a 2 M y b 2 M ?.
2.3 Aplicaciones lineales Dados dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo K se define una aplicación lineal, transformación lineal, mapeo, operador lineal u homomorfismo, f , de E en F , como una aplicación f W E ! F que verifica f .x C y/ D f .x/ C f .y/ ;
cualesquiera que sean los vectores x, y de E y los escalares y . Existen dos casos particulares interesantes: el primero cuando E D F , en este caso se dice que f es un operador lineal de E o endomorfismo de E; el segundo cuando F D K —el cuerpo base—, en cuyo caso la aplicación se denomina forma lineal sobre E.
El conjunto L.E; F / de todas las aplicaciones lineales del espacio E en el espacio F se estructura como un espacio vectorial si se definen las siguientes operaciones: a) adición .f C g/ W
b) producto por un escalar f W
.f C g/.x/ D f .x/ C g.x/ .f /.x/ D f .x/ 7
8x 2 EI
8x 2 E y 8 2 K:
En particular, el conjunto L.E; K/ de formas lineales es un espacio vectorial denominado dual de E, representándose con E . Para una aplicación lineal f W E ! F , el conjunto de vectores de F que son la imagen de los de un subespacio de E forma un subespacio de F . En particular, la imagen de todo E es un subespacio de F que se denomina subespacio imagen de f , representándose mediante Im.f /. Análogamente, el conjunto anti-imagen de un subespacio de F forma un subespacio de E. En particular, la anti-imagen del subespacio nulo de F forma lo que se denomina el núcleo de la aplicación, representándose por ker.f /. Así pues ker.f / D fx 2 E W f .x/ D 0g : Si b 2 F , la ecuación lineal f .x/ D b tiene solución si y sólo si b 2 Im.f /. En ese caso el conjunto de todas las soluciones es la variedad lineal —traslación de un subespacio— dada por x0 C ker.f /, donde x0 es una solución particular de la ecuación. En particular, la aplicación es inyectiva si y sólo si ker.f / D ;. Sean E y F dos espacios prehilbertianos sobre el cuerpo K; si f W E ! F es una aplicación lineal, la aplicación traspuesta de f es la aplicación f W F ! E que cumple hxjf .y/i D hf .x/jyi ; cualesquiera que sean los vectores x 2 E e y 2 F . Particularmente importante es el caso en que E D F : f se dice entonces que es el operador adjunto de f . Cuando un operador f de E cumple que f D f se denomina operador autoadjunto. En el caso de que E sea un espacio vectorial real, también se dice que f es un operador simétrico y cuando es un espacio vectorial complejo, que f es un operador hermítico. Un operador simétrico cumple que hxjf .y/i D hf .x/jyi; mientras que uno hermítico, que
hxjf .y/i D hf .x/jyi: Un operador f de E es unitario cuando es invertible y su inverso coincide con su adjunto. Es decir, si f D f 1 . Para un operador unitario se tiene que
hf .x/jf .y/i D hf .f .x//jyi D hxjyi ; de manera que kf .x/k D kxk. Por este motivo a los operadores unitarios también se les denomina operadores isométricos. Dada una transformación lineal, aplicación lineal, o mapeo, f W E ! E, se dice que un subespacio W de E es un subespacio invariante frente a f (o f -invariante) si para todo vector w 2 W se cumple que f .w/ 2 W . Dicho de otra manera, W es un subespacio invariante si f .W / W .
3 Matrices Sean dos espacios vectoriales E y F de dimensiones finitas n y m sobre el mismo cuerpo K. Una aplicación lineal g W E ! F , g 2 L.E; F /, está caracterizada o representada en dos bases fe1 ; e2 ; : : : ; en g de E y ff1 ; f2 ; : : : ; fm g de F por una tabla de coeficientes, matriz asociada, de m filas y n columnas: 2 3 a11 a1n 6 : : 7 :: : : ::: 7 2 K mn : AD6 4 5 am1 amn Los coeficientes aij están definidos por
g.ej / D
m X
aij fi ;
i D1
8
1 j n:
El vector columna j -ésimo
2 6 6 6 4
a1j a2j :: : amj
3 7 7 7 5
representa el vector g.ej / en la base .fi /. A partir de la matriz A se pueden calcular los coeficientes y1 ; y2 ; : : : ; ym del vector y D g.x/ en la base .fi /, conociendo los coeficiente x1 ; x2 ; : : : ; xn en la base .ej /. En efecto: 2 3 2 3 2 3 2 3 y1 a11 a12 a1n 6 7 6 7 6 7 6 7 6 y2 7 6 7 6 a22 7 6 a2n 7 6 : 7 D x1 6 a21 7 6 7 6 C x C C x : 7 : 7 26 n6 6 : 7 6 :: 7 7: 4 : 5 4 : 5 4 :: 5 4 :: 5 ym
am1
am2
amn
Expresión que también se puede escribir de la siguiente forma: yD
n X
x i ai ;
i D1
donde ai es el vector columna i -ésimo de la matriz A. Así pues, si se fijan dos bases en E y F , cada aplicación lineal, g W E ! F , queda unívocamente representada por una matriz. Recíprocamente, toda matriz en K mn define unívocamente una aplicación lineal entre dos espacios E y F de dimensiones n y m en los que se han fijado dos bases. En particular, se pueden identificar las matrices m n con las aplicaciones lineales de K n en K m. Las matrices de m filas y n columnas con coeficientes en el cuerpo K forman un espacio vectorial, K mn , sobre dicho cuerpo K. Si E y F son dos espacios de dimensión finita dotados de un producto escalar y la aplicación ˛ 2 L.E; F / se representa en dos bases ortonormalizadas mediante una matriz A, la aplicación ˛ T 2 L.F; E/, traspuesta de ˛, viene representada por la matriz A T , traspuesta de A. El núcleo y la imagen de una matriz A 2 K mn , ker.A/ y Im.A/, respectivamente, se definen como los subespacios de K n y K m que son el núcleo y la imagen de la aplicación lineal asociada: 7 7 ker.A/ D fx 2 K n W Ax D 0g 7 5 : Im.A/ D fy 2 K m W y D Ax; x 2 K n g mn A2K
Dicho de otra forma, la imagen de una matriz es el subespacio generado por los vectores columna de la matriz; los vectores fila también generan un subespacio que no es otro que la imagen de A T . Para una matriz A 2 Rmn se cumple que:
ker A T D .Im.A//? Im A T D .ker.A//? ? ker.A/ D Im A T ? Im.A/ D ker A T :
El Teorema fundamental del algebra lineal establece que si A 2 Rmn se cumple que ker .A/ ˚ Im A T D Rn :
En la figura 3.4 se muestran estos subespacios.
9
7KHQH[WWKHRUHPDQG([HUFLVH YHULI\WKHFODLPVPDGHLQ6HFWLRQ FRQFHUQLQJ WKHVXEVSDFHVVKRZQLQ)LJ $OVRVHH([HUFLVH LQ6HFWLRQ
A
0
I m
A
T
K e r A
r A K e
T
0 I m
A
'*(63& 7KHIXQGDPHQWDOVXEVSDFHVGHWHUPLQHG
Figura 3.4: fundamentales determinados por A mn m ! n PDWUL[ A E\DQSubespacios El rango de una matriz es la dimensión4 de su subespacio imagen:
5)&03&.
/HW A EHDQ m ! n PDWUL[ 7KHRUWKRJRQDOFRPSOHPHQWRIWKHURZVSDFHRI A LV rango.A/ D dim.Im.A// WKHQXOOVSDFHRI A DQGWKHRUWKRJRQDOFRPSOHPHQWRIWKHFROXPQVSDFHRI A LV T WKHQXOOVSDFHRI rango completo si rango.A/ D mKın.m; n/. Una matriz cuadrada A 2 K nn Una matriz A 2 K mn se diceAde
se denomina singular si rango.A/
