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CLASES PARTICULARES DE MATEMÁTICAS Y GEOMETRÍA
Fabián Ureta Bravo
[email protected]
09-99458853
CONJUNTO NÚMERICOS.
N = Conjunto de los números naturales.
N= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …,
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque: Tiene un número ilimitado de elementos y cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
N0 = Conjunto de los Números Cardinales.
N0=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …,
Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
Z = Conjunto de los Número Enteros.
Z= - , …, -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,…,
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Q = Conjunto de los Números Racionales.
Q= …, -34, -12, -14, 0 , 14, 12, 34,…
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.
I = Conjunto de Números Irracionales.
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: π=3,14159…; =2,7182…; Φ=1,6180…
R = Conjunto de los Números Reales.
Los Número Reales está integrado por todos los números antes descritos, es decir todos aquellos que se pueden expresar.
OPERACIONES BÁSICAS DE MATEMÁTICAS. (Sumas, Restas, Multiplicación, División)
Sumas o Adición.
La suma es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 16 lápices y compramos 4 lápices más ¿cuántos lápices tenemos? Una forma de saberlo sería volver a contar todos los lápices, pero si lo hiciéramos muchas veces llegaría un momento en que recordaríamos el resultado y no sería necesario volver a contar los lápices. Ya sabríamos que 16 + 4 es igual a 20.
Propiedades:
Conmutativa : a+b=b+a
Asociativa : a+b+c=c+a+b=b+a+c
Elemento Neutro : a+0=a
Elemento Opuesto : a+-a=0
Restas o Sustracción.
Igual que la suma, la resta es una operación aritmética que se deriva de la acción de contar. Si tenemos 8 gallinas y los perros se comen 4 de ellas ¿cuántas gallinas quedaron vivas?
Propiedades:
La Sustracción, no es conmutativa ni asociativa, debido a que el orden de los factores altera el producto. No es lo mismo 5-3 3-5
Multiplicación.
Lo primero que debemos conocer son los términos de una multiplicación o producto:
MULTIPLICANDO X MULTIPLICADOR = PRODUCTO
3 X 5 = 15
La multiplicación es una suma abreviada en donde un número (primer factor o multiplicando) se repite varias veces (tantas como indique el segundo factor o multiplicador).
Multiplicación cuando hay más de un número en los factores:
3 9 6 7 x 2 5 4
1 5 8 6 8
1 9 8 3 5
+ 7 9 3 4
1.007.618
Multiplicación de Signos:
+
x
+
=
+
+
x
-
=
-
-
x
+
=
-
-
x
-
=
+
División.
La división es una operación matemática que consiste en repartir en partes iguales el total de un todo numérico. Observa el siguiente ejemplo y conocerás los términos de la división:
DIVIDENDO : DIVISOR = CUOCIENTE
35 : 7 = 5
División no Exacta:
1
8
5
4
6
:
4
2
0
=
1
8
5
4
:
4
2
0
=
4
4
1
7
4
6
6
6
División Decimal:
1
8
5
4
6
:
4
2
0
=
1
8
5
4
:
4
2
0
=
4
4
,
1
5
7
1
1
7
4
6
6
6
0
2
4
0
0
3
0
0
0
6
0
0
1
8
0
Recuerda: La clave de toda división es elegir el número de veces que cabe "sin pasarse" el divisor en el dividendo, y para esto lo más aconsejable es aproximar el divisor a la centena o decena según sea el caso, más cercana. El resto es la constancia y la paciencia.
FRACCIONES.
El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se "calculan" de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
Conceptos de una Fracción:
a
Numerador
b
Denominador
El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.
Hay 5 partes pintadas de un total de 6 partes. Esto se representa como 5 / 6 (se lee cinco sextos)
Sumas y Restas de fracciones.
En la resolución de problemas con fracciones (o números racionales Q) es necesario tener en cuenta las fracciones decimales y los números mixtos.
Fracciones decimales:
34 ,12 ,110,3100,79, etc.
Fracciones Mixtas:
Las Fracciones mixtas están constituidas por una parte entera y una parte fraccionaria. Para convertir un número mixto en fracción impropia se multiplica el entero por el denominador y al producto se le suma el numerador; el denominador se conserva igual.
313= 103; 625=325 ; 2012=412 , etc.
Ejemplo de suma o resta de fracciones:
Sumas de fracciones de igual denominador.
13+23+323=
Está es una suma sencilla, debido a que poseemos un denominador común entre las tres fracciones, en este caso conservamos el denominador y sumamos numeradores.
13+23+323=1+2+323=353=1123
Sumas de fracciones de diferente denominador.
Cuando el denominador es diferente en cada una de las fracciones, se utiliza otro mecanismo para poder realizar la suma o resta de fracciones.
45+32+23=
En este caso se pueden utilizar dos formas para resolver este tipo fracciones, la primera de ella es multiplicar los denominadores, y amplificar los numeradores por tantas veces este contenido el numerador, en el numerador en común.
45+32+34=
Multiplicamos los denominadores:
5 ×2 ×4=40
Buscamos el amplificador del numerador:
40÷5=8 ; 40÷2=20 ; 40÷4=10
Reordenamos nuestra fracción original:
45+32+34=8×4+20×3+10×340=32+60+3040=12240=3240
La otra forma de resolver estos ejercicios es buscando el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)
45+32+34=
Buscamos el M.C.M., entre los denominadores, en este caso entre 5, 2 y 3.
5
2
4
2
5
1
2
2
5
1
1
5
1
1
1
20
Este M.C.M., será nuestro nuevo denominador, ahora buscaremos el amplificador de los numeradores.
20÷5=4 ; 20÷2=10 ; 20÷4=5
Ahora reordenamos nuestra fracción para poder sumar sin inconvenientes.
45+32+34= 4×4+10×3+5×320=16+30+1520=6120=3120
Multiplicación de Fracciones:
Se multiplican los numeradores entre sí, y luego los denominadores entre sí. Lo único que debe hacerse luego es simplificar, cuando sea necesario y permitido, para llegar a la fracción más pequeña.
Ejemplo:
57×34=1528
División de Fracciones:
Para dividir fracciones se realizan los siguientes pasos: Se cambia el signo de división por el de multiplicación; Se invierta la segunda fracción; De ser posible, se simplifica el resultado final.
Ejemplo:
35÷87=35×78=2120
Simplificaciones y Amplificaciones de Fracciones.
Amplificar: Es multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número. Este número permite que la fracción aumente de valor tantas veces como veces se amplifica.
Por ejemplo, si la fracción se amplifica por dos, significa que aumentará su valor al doble.
Siempre que se amplifique una fracción se obtendrán fracciones equivalentes; es decir, fracciones que representan la misma cantidad.
Ejemplo:
Fracciones amplificadas por 3.
15 15×33=315
Simplificar: Simplificar una fracción significa dividir por un mismo número tanto el numerador como el denominador, para que la fracción (mostrada ahora con números distintos pero menores) mantenga su proporcionalidad (que su valor se mantenga).
Sólo se podrán simplificar fracciones cuando el numerador y denominador sean divisibles por un número común.
Cada vez que se simplifique una fracción se debe llegar hasta la fracción irreductible, es decir, aquella fracción que no se puede simplificar más (achicar más).
Ejemplo:
1628 16÷428÷4=47
Fracción a Decimal:
Para transformar una fracción a número decimal basta dividir el numerador por el denominador.
Ejemplo:
154 15÷4=3,75
Decimal a Fracción:
Los números decimales pueden clasificarse en:
decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita. Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
0,045 451000=45÷51000÷5=9200
decimales infinitos periódicos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0,333333..... es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. No representan una fracción decimal.
Para transformar estos decimales en fracciones se debe realizar los siguientes pasos:
Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita).
Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.
Ejemplo:
57,181818181818 57,18
5718-5799=566199=5661÷999÷9=62911
Decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita).
El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la "rayita".
El denominador de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.
Ejemplo:
2,46666…;2,46
2,46 246-2490=22290=222÷690÷6=3715=2715
NÚMEROS DECIMALES:
Los números decimales pueden escribirse de dos maneras: como fracción o bien en notación decimal.
Ejemplo:
310
=
0,3
Fracción
Decimal
Los números decimales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse.
Adición y sustracción: Para sumar o restar números decimales escritos con notación decimal se siguen los siguientes pasos.
Se anotan los números en forma vertical, es decir, se anotan hacia abajo, de modo que las comas queden en la misma columna. Siempre se debe colocar el número mayor arriba.
3,721+2,08=
3,721
+ 2,08
Si los números que se ordenaron no tienen la misma cantidad de cifras decimales, se agregan a la derecha todos los ceros necesarios para que tengan igual cantidad.
3,721
+ 2,080
Se suma o resta en forma normal, luego se baja la coma (bajo su columna) y se agrega al resultado.
3,721
+ 2,080
5,801
Multiplicación de un número decimal por un número natural: los pasos son los siguientes.
Se resuelve la multiplicación sin considerar la coma.
1,322 x 2
2644
Una vez que se hizo la multiplicación, se cuentan cuantos espacios después de la coma (hacia la derecha) están ocupados, y a partir del último número del resultado se cuentan hacia la izquierda los mismos espacios, y se coloca la coma.
1,322 x 2
2,644
Los espacios decimales ocupados son tres (los espacios decimales son los números que están detrás de la coma). En el resultado, se cuentan tres espacios desde el 4 al 6, y se coloca la coma.
Multiplicación de decimales: Para multiplicar dos números decimales se efectúa la operación como si fuesen números naturales y en el producto se separan tantas cifras decimales como cifras decimales tengan entre los dos factores.
División:
Sólo el dividendo es decimal: Se efectúa la división de números decimales como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, colocamos una coma en el cociente y continuamos dividiendo.
526,6562 : 7 = 75,2366
036
001 6
000 25
000 046
000 0042
000 0000
Sólo el divisor es decimal: Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros.
5126 : 62,37 =
512600 : 6237 = 82,18
013640
0011660
00054230
00004334
El dividendo y el divisor son decimales: Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y del divisor, añadiendo a aquel que tenga menos decimales, tantos ceros como cifras decimales de diferencia haya. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros.
5627,64 : 67,5261 =
56276400 : 675261 = 83,34
02255520
002297370
0002715870
0000014826
RAZÓN, PROPORCIONES Y PORCENTAJE:
Razón: Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.
a
Antecedente
b
Consecuente
Los términos de una razón se llaman: antecedente y consecuente. El antecedente es el dividendo y el consecuente es el divisor.
Proporción: Proporción es una igualdad entre dos razones.
a
=
c
a,d
extremos
b
d
b,c
medios
Constante de proporcionalidad:
a
=
c
=
e
=
k
b
d
F
Propiedades de las proporciones:
En una proporción del producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a×d=b×c
25=410 2×10=5×4
En una proporción o en una serie de razones iguales, la suma de los antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes es igual a una cualquiera de las razones.
ab= cd= ef a+c+eb+d+f
Si en una proporción cambian entre sí los medios o extremos la proporción no varía.
ab= cd dc=ba
Proporciones directas e inversamente proporcional.
Proporciones directamente proporcional.
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
ab= cX X=b ×ca
La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:
A más
más
A menos
menos
Ejemplo:
Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?
240 km
3 h
x km
2 h
240x= 32 x= 240 ×23= 4803=160 km
Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.
Proporciones inversamente proporcional.
Consiste en que dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales, calcular la cantidad de una de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.
ab= cX X= a × cb
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen las relaciones:
A más
menos
A menos
más
Ejemplo:
Un grifo que mana 18 L de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 L por minuto?
18 L
14 h
7 L
x h
187= 14x x=18 ×147= 2527=36 horas
Repartos directamente proporcionales.
Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.
Ejemplo:
Un abuelo reparte $45.000 entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno.
x8= y12= z16
x8= y12= z16=x+y+z8+12+16=4500036
Encontramos el valor de x, y, z
x8=4500036 x=8×4500036=36000036=$10.000
y12=4500036 y=12×4500036=54000036=$15.000
z16=4500036 z=16×4500036=72000036=$20.000
Repartos Inversamente Proporcional:
Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes.
Ejemplo:
Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente $590.000. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno?
Tomamos los inversos:
120, 124, 132
Ponemos a común denominador:
20
24
32
4
5
6
8
5
1
6
8
2
1
3
4
3
1
1
4
4
1
1
1
480
480÷20=24 ; 480÷24=20 ; 480÷32=15
24480 ; 20480 ; 15480
Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.
x24=y20=z15=x+y+z24+20+15=59000059
x24=59000059 x=24×59000059=1416000059=$240.000
y20=59000059 y=20×59000059=1180000059=$200.000
z15=59000059 x=15×59000059=885000059=$150.000
Regla de tres Compuesta:
La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta:
Regla de tres compuesta Directa:
Nueve llaves abiertas durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de $20.000. Averiguar el precio del vertido de 15 llaves abiertas 12 horas durante los mismos días.
9 Llaves
10 horas
$20.000
15 Llaves
12 horas
x
915×1012=20000x 90180=20000x 90x=20000×180 x=360000090=$40.000
Regla de tres compuesta Inversa:
5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?
5 obreros
6 horas
2 días
4 obreros
7 horas
X días
45×76=2x 2830=2x 28x=30×2 x=6028=2,14 Días
Regla de tres Compuesta Mixta:
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
8 obreros
9 Días
6 Horas
30 Metros
10 obreros
X Días
8 Horas
50 Metros
108×86×3050=9x 24002400=9x x=9 Días
Porcentaje:
Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100.
Ejemplo:
Una moto cuyo precio era de $500.000, cuesta en la actualidad $250.000 más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?
$500.000
100 %
$250.000
x %
500000250000=100x 500000x=250000×100 x=25000000500000 x=5%
