Repaso probabilidaddd

Características de las distribuciones de probabilidad Medidas de tendencia central 1. El valor esperado Caso discreto: ( )

( )

( )

(

Caso continuo: ( )

∫

( )

Ejemplo: distribución Bernoulli

Transformaciones de X (como X2 o log(X)): Caso Discreto:

( ( ))

∑

Caso Continuo:

( ( ))

∫

Ejemplo: Valor esperado de X2

( ) ( ) ( ) ( )

)

∑

( )

Propiedades del valor esperado 1. Para cualquier constante c, E(c) = c. 2. Dadas las constantes a y b, E(aX + b) = aE(X) + b. 3. Si *

+ son constantes y * (

+ son variables aleatorias, entonces: )

(∑

(

)

Otra medida de tendencia central: la mediana

∑

)

(

( )

)

(

)

Medidas de dispersión: La varianza y la desviación estándar

La varianza  Sea  = E(X).  Denominamos la varianza por

) -

,( (

)

Ejemplo: Distribución Bernoulli

 Propiedades importantes de la varianza: 1. Var(X) = 0 solo si E(X) = c (una constante tal de que P(X=c)=1 ) 2. Dadas las constantes a y b, Var(aX + b) = a2 Var(X).

La desviación estándar  La desviación estándar de variable aleatoria X, sd(X) = la raíz cuadrada positiva de Var(X); denominamos como X o .  Propiedades importantes:

1. Para cualquier constante c, sd(c) = 0. 2. Dadas las constantes a y b, sd(aX + b) = |a|sd(X) Estandarizar (Tipificar) una variable aleatoria Sea X una variable aleatoria con E(X) =  y sd(X) = . Se define nueva variable aleatoria Z como:

Esta nueva variable tiene E(Z) = 0 y Var(Z) = sd(Z) = 1.

Características de las distribuciones conjuntas y condicionadas Medidas de asociación: Covarianza y correlación a. Covarianza  La covarianza

.mide el grado de dependencia lineal entre dos variables aleatorias.

 Sean X y Y dos variables aleatorias con valor esperado

(

)

,(

y

, respectivamente.

)(

)-

)(

)-

 Algunas expresiones útiles para calcular Cov(X,Y): (

,(

)

,(

) -

, ( (

))

 Si E(X) = 0 o si E(Y) = 0, entonces Cov(X, Y) = E(XY).

 Propiedades: 1. Si X y Y son independientes, Cov(X, Y) = 0. 2. Dadas las constantes a1, b1, a2, y b2: (

)

(

3. Rango de la covarianza: |

(

)|

( )

( )

b. Coeficiente de correlación  Coeficiente de correlación, XY: (

)

( ( )

) ( )

)

c. Varianza de una suma de variables aleatorias  Dadas las constantes a y b: (

)

( )

( )

(

)

Si X y Y no están correlacionadas, entonces Cov(X, Y)=0 y:

 Si * y*

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

+ son var aleatorias incorrelacionadas por pares ( + son constantes: (

)

(

)

(

)

(

)

)

Esperanza Condicionada Cuando sabemos o nos interesa un valor específico de X = x: ( | )

∑

( | )

∫

|

|

(

| )

( | )

En econometría, relaciones entre variables se presentan con funciones sencillas como: (

|

)

Propiedades: 

( ( )| )



( ( )

( ) para cualquier función c(x)

( )| )

( ) ( | )

 Si Y y X son independientes: Varianza condicionada:

( |

)

( )

( | )

( )

(

,( | )-

| )

Distribuciones de Probabilidad importantes en la Econometría

1. Distribución Normal 2. Distribución Normal Estándar 3. Distribución Chi-cuadrado 4. Distribución t 5. Distribución F