Reporte de Práctica 2: Series de Fourier Meneses Delgado Verónica, Morales López Luis Ángel, Reymundo Morales Julio César, Toxtle Coyopol Jesús Daniel Facultad de Ciencias de la Electrónica, Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Puebla, México
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Abstracting.- Avanzando con el programa de la materia podemos ver que es momento de analizar series de Fourier y algunas propiedades de ellas.
constantes an y bn son los coeficientes de Fourier. El coeficiente a0 es la componente de cd o el valor promedio de f(t). b. Frecuencia y Espectro
I.
Introducción
Durante las pasadas sesiones en el salón de clases estuvimos analizando ya las series de Fourier para cinco funciones, seno, coseno, seno rectificado, tren de pulsos rectangulares y triangulares.
II.
Marco teórico
Con el análisis de Fourier se puede demostrar que cualquier señal está constituida por componentes senoidales de distintas frecuencias, para cada señal hay:
a. Teorema de Fourier Toda función periódica práctica de frecuencia w0 puede expresarse como una suma infinita de funciones seno o coseno que son múltiplos enteros de w0. Por tanto, f(t) puede expresarse como: 𝑓(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 cos 𝑤0 𝑡 + 𝑏1 sen 𝑤0 𝑡 + 𝑎2 cos 𝑤0 𝑡 +𝑏2 sen 2𝑤0 𝑡 + 𝑎3 cos 3𝑤0 𝑡 + 𝑏3 sen 3𝑤0 𝑡 + ⋯ O sea
∞
𝑎0 ∑(𝑎𝑛 cos 𝑛𝑤0 𝑡 + 𝑏𝑛 sen 𝑛𝑤0 𝑡) 𝑛−1
Donde w0=2pi/T se llama la frecuencia fundamental en radianes por segundo. Las senoides sin nw0t o cosw0t se llaman las armónicas n-ésimas de f(t); esta es una armónica impar si n es impar y es par si n es par . Las
Una función en el dominio de la frecuencia s(t) que determina la amplitud de la señal en cada instante de tiempo Una función en el dominio de la frecuencia S(f) que especifica la frecuencias constitutivas de la señal.
El espectro de una señal es el conjunto de frecuencias que la constituyen. III.
Objetivo
Realizar en ‘Matlab’ un código que represente las armónicas de una señal seno, coseno, onda cuadrada, onda triangular y onda seno rectificado. IV.
Desarrollo
Se va a proceder primero graficando las series anteriormente mencionadas en la introducción. Esto se hará de forma manual, sin usar algún software de apoyo. Después mandaremos a graficas estas mismas funciones con ayuda del software ‘Matlab’.
Por último también se hizo el desarrollo de las densidades espectrales de cada una de estas, esto ayuda para observar la periodicidad de las mismas. También se le llama potencias.
𝑐0 =
1 𝜋 1 ∫ cos(𝑤𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 −𝜋 2𝜋𝑤
o
𝜋
1 𝑒 𝑗𝑤𝑡 − 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 −𝑗𝑘𝑤 𝑡 0 𝑑𝑡 = ∫[ ]𝑒 2𝜋 2𝑗
Series de Fourier
o
Representación 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕):
Representación 𝒄𝒐𝒔 (𝒘𝒕):
−𝜋 𝜋
∞
1 = ∫ 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝑡 − 𝑒 −𝑗(𝑤+𝑘𝑤0) 𝑡 𝑑𝑡 4𝑗𝜋
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑗𝑘𝑤0 𝑡
−𝜋
𝐾=−∞
𝜋
𝜋
1 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝑡 𝑒 −𝑗(𝑤+𝑘𝑤0 )𝑡 𝑐𝑘 = [ ] −[ ] 4𝑗𝜋 𝑗(𝑤 − 𝑘𝑤0 −𝜋 −𝑗(𝑤 − 𝑘𝑤0 ) −𝜋 𝑇𝑝 ⁄2
𝑐𝑘 =
=
1 ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗𝑘𝑤0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇𝑝 𝑇 − 𝑝⁄2
𝜋
1 = ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) 𝑒 −𝑗𝑘𝑤0 𝑡 𝑑𝑡 2𝜋 −𝜋
1 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝜋 − 𝑒 −𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝜋 [ 2𝜋 2𝑗(𝑤 − 𝑘𝑤0 ) 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝜋 − 𝑒 −𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝜋 + ] −2𝑗(𝑤 + 𝑘𝑤0 )
1 𝑠𝑒𝑛(𝑤 − 𝑘𝑤0 )𝜋 𝑠𝑒𝑛(𝑤 + 𝑘𝑤0 )𝜋 𝑐𝑘 = [ − ] (𝑤 + 𝑘𝑤0 )𝜋 2 (𝑤 − 𝑘𝑤0 )𝜋
𝜋
1 𝑒 𝑗𝑤𝑡 + 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 −𝑗𝑘𝑤 𝑡 0 𝑑𝑡 = ∫[ ]𝑒 2𝜋 2 −𝜋
=
1 [𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑤 − 𝑘𝑤0 ) − 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑤 + 𝑘𝑤0 )] 2𝑗
𝜋
1 = ∫ 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝑡 + 𝑒 −𝑗(𝑘𝑤0)𝑡 𝑑𝑡 4𝜋
o
−𝜋
𝜋
𝜋
1 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝑡 𝑒 −𝑗(𝑤+𝑘𝑤0 )𝑡 𝑐𝑘 = [ ] +[ ] 4𝜋 𝑗(𝑤 − 𝑘𝑤0 −𝜋 −𝑗(𝑤 + 𝑘𝑤0 ) −𝜋
Para:
Representación 𝒔𝒆𝒏 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐:
𝑓(𝑡) = ∞
𝑎0 /2 + ∑[𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑤0 𝑡) + 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑤0 𝑡)] 𝑛=1
=
1 𝑒 𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝜋 − 𝑒 −𝑗(𝑤−𝑘𝑤0 )𝜋 [ 2𝜋 2𝑗(𝑤 − 𝑘𝑤0 ) 𝑒 𝑗(𝑤+𝑘𝑤0 )𝜋 − 𝑒 −𝑗(𝑤+𝑘𝑤0 )𝜋 + ] 2𝑗(𝑤 + 𝑘𝑤0 )
Dónde: 𝑤0 =
2𝜋 𝑇
2𝜋
= 2𝜋 = 1 ∞
𝑎0 𝑓(𝑡) = + ∑ 𝑎𝑛 cos(𝑛𝑡) + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡) 2 𝑛=1
1 𝑠𝑒𝑛(𝑤 − 𝑘𝑤0 )𝜋 𝑠𝑒𝑛(𝑤 + 𝑘𝑤0 )𝜋 𝑐𝑘 = [ + ] (𝑤 + 𝑘𝑤0 )𝜋 2 (𝑤 − 𝑘𝑤0 )𝜋 1 = [𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑤 − 𝑘𝑤0 ) + 𝑠𝑖𝑛𝑐(𝑤 + 𝑘𝑤0 )] 2
Entonces: 𝑎𝑛 =
2 𝜋 ∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝜋
𝑏𝑛 =
2 𝜋 ∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝜋
𝑓(𝑡) = {
𝑇𝑝 ⁄2
𝜏⁄ 2
𝑇 − 𝑝⁄2
−𝜏⁄2
1 ∫ 0𝑒 −2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝐴 𝑒 −2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇𝑝
𝑐𝑘 =
𝑇𝑝 ⁄2
𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑡 ∈ [0, 𝜋] −𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑡 ∈ [−𝜋, 0]
+ ∫ 0𝑒 −2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑑𝑡
Llegamos a:
𝜏⁄ 2
0
𝜋
𝜏⁄ 2
𝑎0/2 = ∫ (−𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 −𝜋
0 cos(𝑡) |0−𝜋 −
cos(𝑡) |𝜋0
= = 𝑐𝑜𝑠0 − cos(−𝜋) − [𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0] = (1 − 1) − (1 − 1) = 0 𝑎𝑛 =
2 ∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡)𝑑𝑡 = 0 𝑇
𝑐𝑘 =
𝐴 ∫ 𝑒 −2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇𝑝 −𝜏⁄2
= =
𝐴 𝜏 𝜏 (𝑒 −𝑗𝜋𝑘𝐹0 ( ⁄2) − 𝑒 2𝑗𝜋𝑘𝐹0 ( ⁄2 ) −𝑇𝑝 2𝑗𝜋𝑘𝐹0
Y: =
0
𝑏𝑛 =
2 ∫ (−𝑠𝑒𝑛(𝑡))𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)𝑑𝑡 𝑇 −𝜋 𝜋
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑡)𝑑𝑡 = 0
2 [4𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡] 𝑇
4 = 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡 𝜋
𝐴 𝑒 𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝜏 − 𝑒 −𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝜏 𝜏 ( ) 𝑇𝑝 2 𝑗𝜋𝑘𝐹0 2
=
𝐴𝜏 𝑒 𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝜏 − 𝑒 −𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝜏 ( ) 𝑇𝑝 2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝜏 𝜏⁄ 2
𝐴 𝐴 𝐴𝜏 𝑐0 = ∫ 𝑑𝑡 = ⌈𝜏⁄2 + 𝜏⁄2⌉ = 𝑇𝑝 𝑇𝑝 𝑇𝑝 −𝜏⁄2
∞
𝑓(𝑡) =
𝜏⁄ 𝐴 1 𝑒 −2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝑡 |−𝜏2⁄ 𝑇𝑝 −2𝑗𝜋𝑘𝐹0 2
𝑎𝑛 + ∑[𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡 + 𝑏𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡] = 2 𝑛=1
∞
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑘=−∞
∞
𝐴𝜏 𝑠𝑎𝑚𝑝(𝜋𝑘𝐹0 𝜏)𝑒 2𝑗𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑇𝑝
4 ∑ cos(𝑛𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑡) 𝜋 𝑛=1
o
o
Representación de tren de pulsos rectangulares:
𝑚=
∞
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑇𝑝 ⁄2
1 ∫ 𝑥(𝑡)𝑒 −𝑗2𝜋𝑘𝐹0 𝑡 𝑑𝑡 𝑇𝑝 𝑇 − 𝑝⁄2
𝑦2 − 𝑦1 = 𝑥2 − 𝑥1
𝐴−0 2𝐴 = −𝑇𝑝 𝑇𝑝 0−( ) 2
2𝐴 −𝑇𝑝 ⁄
