Resolução da ficha de trabalho sobre Números Metálicos

Trabalho de grupo da disciplina de matemática 9.º ano

RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE A DESENVOLVER

1. Considera

e

na família de equações

onde

.

1.1. Resolve, analiticamente, a equação.

1.2. Indica, justificando, qual das soluções que determinaste em 1.1. é uma raiz positiva? é a raiz positiva, porque ______________________________________________________________

1.3. Considera as funções

e

definidas por

e

,

respetivamente. 1.3.1. Representa-as graficamente num referencial cartesiano.

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1.3.2. O que podes afirmar relativamente às abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das funções

e ?

Posso afirmar que as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de e __________________________________________________________ são os valores para os quais as ordenadas por e são iguais. __________________________________________________________

1.3.3. A interseção da reta com a parábola permite-nos calcular as raízes da equação . Porquê? Pela alínea anterior, sabe-se que existem duas abcissas para as quais as suas __________________________________________________________ ordenadas por e são iguais. Logo, a equação tem duas __________________________________________________________ soluções, as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos de e . __________________________________________________________ Como a referida equação é equivalente à equação , as __________________________________________________________ __________________________________________________________ referidas abcissas também são soluções desta equação.

1.4. No semieixo positivo das abcissas obtemos o valor de um determinado número metálico a partir da interseção da reta com a parábola. Como se designa esse número? Esse número designa-se por número de ouro. ______________________________________________________________ 2. Completa a tabela seguinte. Para tal, resolve analiticamente a equação concretizando

Símbolo

(1) (2)

Φ

e

com os valores indicados em cada caso.

Nome Número

Valor exato

Número de ouro

1

1

2

1

σ

2,1

Número de prata

3

1

σ

3,1

Número Bronze

1

2

σ

1,2

Número de Cobre

1

3

σ

1,3

Número de Níquel

2

2

σ

2,2

Número Platina

Valor aproximado (com 8 c.d.) 1,61803399

! "

(1)

"

2,41421356

3,30277564

2

2

" (2)

2,30277564

2,73205081

Usualmente, este valor aparece simplificado, sendo este Usualmente, este valor aparece simplificado, sendo este

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#

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3. Escreve uma expressão geral do número metálico σ

p, q

#

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#

&

?

)* + 4. Podemos, sempre, expressar o valor exato de um número metálico na forma decimal? Porquê? Não, porque há inúmeros números metálicos que são dízimas infinitas não periódicas. _________________________________________________________________

5. Que relação deve existir para que o número metálico σ p,

q

seja um número

inteiro? A relação que deve existir é ser um quadrado perfeito e ser _________________________________________________________________ um múltiplo de 2. _________________________________________________________________

6. Determina todos os números metálicos inteiros. Nota: - Começa por usar o programa de Excel para averiguar quando é que é um quadrado perfeito e

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é um múltiplo de 2.

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- Para esse efeito, faz três tabelas onde fixas o valor de , fazendo e

, respetivamente, e varias o valor de

,

(na primeira tabela,

atribui valores ao , pelo menos, até 30, na segunda, até 25 e na terceira, até 18). - Para cada uma das tabelas determina o termo geral, a sequência dos valores de

para os

,,

com -

para

é um quadrado perfeito e

é um múltiplo de 2. - Por fim, comparando os valores de respetivo termo geral,

,,

de cada uma das tabelas com o

estabelece uma relação entre

e

pretendido, usando a simbologia dos números metálicos. ■ p

q 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

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p^2+4q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 …

5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117 121 …

p+RAIZQ(p^2+4q) 3,236067977 4 4,605551275 5,123105626 5,582575695 6 6,385164807 6,744562647 7,08276253 7,403124237 7,708203932 8 8,280109889 8,549834435 8,810249676 9,062257748 9,306623863 9,544003745 9,774964387 10 10,21954446 10,43398113 10,64365076 10,8488578 11,04987562 11,24695077 11,44030651 11,63014581 11,81665383 12 …

,

e conclui o

Obs. 4 é múltiplo de 2

6 é múltiplo de 2

8 é múltiplo de 2

10 é múltiplo de 2

12 é múltiplo de 2

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,

Nesta primeira tabela a sequência de valores de , um quadrado perfeito e

,

para os quais

é

é um múltiplo de 2 é:

2, 6, 12, 20, 30, … Logo,

…,

,

- -

, ,…

p

.

"

q

p^2+4q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 …

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 …

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 …

p+RAIZQ(p^2+4q) 4,828427125 5,464101615 6 6,472135955 6,898979486 7,291502622 7,656854249 8 8,32455532 8,633249581 8,92820323 9,211102551 9,483314774 9,745966692 10 10,24621125 10,48528137 10,71779789 10,94427191 11,16515139 11,38083152 11,59166305 11,79795897 12 …

Nesta tabela a sequência de valores de quadrado perfeito e

.,

%

,

,

,

Obs.

6 é múltiplo de 2

8 é múltiplo de 2

10 é múltiplo de 2

12 é múltiplo de 2

para os quais

é um

é um múltiplo de 2 é:

3, 8, 15, 24, … Logo, ,

- -

, ,…

Prof.ª Fátima Vinagre

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&

"

%

. …,

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p

q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 …

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 …

p^2+4q p+RAIZQ(p^2+4q) Obs. 13 6,605551275 17 7,123105626 21 7,582575695 25 8 8 é múltiplo de 2 29 8,385164807 33 8,744562647 37 9,08276253 41 9,403124237 45 9,708203932 49 10 10 é múltiplo de 2 53 10,28010989 57 10,54983444 61 10,81024968 65 11,06225775 69 11,30662386 73 11,54400375 77 11,77496439 81 12 12 é múltiplo de 2 … …

Nesta tabela a sequência de valores de quadrado perfeito e

,

,

,

para os quais

é um

é um múltiplo de 2 é:

4, 10, 18, … Logo,

,

"

&

. …,

- -

,

,

- -

,…

Como, quando: , vem para todo o valor de -

, vem para todo o valor de -

…

, vem para todo o valor de -

,

,

,

- -

- -

,

Podemos afirmar que para todo o valor de - , determinando-se, , portanto, que todos os números metálicos inteiros são da forma )* +/ 0 )* , , * com -

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7. Prova que σ 4,4 = 2 σ 2.1. & ■

Nota: )% %

.

.

&

&

) 8. Estabelece uma relação entre os números de bronze e de níquel. )"

)

"

9. Prova que: σ 4,1 = Φ3. Nota:

■

Por um lado, 1 "

2

"

3

$

4

=

5 4 6

4

47

54

.

.

.

.

&

5 5 4

!

!

=

&

& &

Por outro lado, )%

&

%$ %

%

7 %

%

8

= 5

5

%

=

%

= = =

Concluindo-se, portanto, que 1 " Prof.ª Fátima Vinagre

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)%

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10. Considera um quadrado [ABCD] em que o lado [AD] está assente numa semirreta e de tal modo que [AC] e [BD] são diagonais do quadrado. 10.1.

Traça, com rigor, a mediatriz de [AD] e representa com a letra

a

interseção desta com o segmento de reta [AD].

10.2.

Usando a figura da alínea anterior, desenha, com rigor, o lugar

geométrico dos pontos que estão a uma distância fixa,

, do ponto

e

representa com a letra I o ponto de interseção deste lugar geométrico com a semirreta

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.

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10.3.

Considera, agora, que

10.3.1. Determina o comprimento Sabe-se que , porque são raios da circunferência que tem centro em e passa no ponto .

Pelo teorema de Pitágoras, podemos afirmar que

2 3

, ou seja,

9 Concluindo-se que

=

10.3.2. Calcula o comprimento

.

e diz o que podes concluir relativamente ao

ponto .

Concluindo, portanto, que

é o número de ouro.

11. Considera, agora, um retângulo [ABCD] assente numa semirreta que [AC] e [BD] são as suas diagonais,

e

, de tal modo

.

11.1.1. Determina, com rigor, usando ferramentas de desenho adequadas, o ponto médio do segmento de reta :

e designa-o por

começa por desenhar a semirreta

e o ponto médio do segmento de

.

Nota: Se usares o programa Geogebra para desenhares o retângulo, reta :

e de seguida, desenha o retângulo usando rotações de '

nos sentidos anti-horário e horário, dos segmentos de reta :

respetivamente. ■

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e:

;

, ,

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11.1.2. Usando

a figura

da

alínea

circunferência com centro em letra

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anterior,

desenha,

e raio igual a

com

rigor, a

e representa com a

o ponto de interseção deste lugar geométrico com a semirreta

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11.1.3. Determina o comprimento

e diz o que podes concluir relativamente

ao ponto . De modo semelhante ao que foi feito em 10.3.1., podemos afirmar que: ; e

Concluindo, portanto, que

é o número de prata.

12. Explica como procederias para determinar geometricamente o número de bronze. Desenhava um retângulo [ABCD] assente numa semirreta , de tal modo que _________________________________________________________________ e , traçava a mediatriz do [AC] e [BD] são as suas diagonais, _________________________________________________________________ segmento de reta : para determinar o ponto médio do segmento de reta _________________________________________________________________ : e designava-o por e, por fim, desenhava a circunferência com centro _________________________________________________________________ , sendo o número de bronze, o ponto de interseção em e raio igual a _________________________________________________________________ deste lugar geométrico com a semirreta . _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

13. Considera o semieixo positivo das abcissas e um retângulo [OBCD] assente no mesmo, de tal modo que [OD] é a sua base e [OC] e [BD] são as suas diagonais. Apresenta uma conjetura para determinar geometricamente o lugar geométrico dos números metálicos σ

p,1

, com

.

_________________________________________________________________ Tome-se o retângulo [OBCD] com comprimento igual a e largura 1. _________________________________________________________________ Um número diz-se metálico do tipo σ p,1 , com , se é o lugar geométrico _________________________________________________________________ do ponto obtido por interseção do semieixo positivo das abcissas com a _________________________________________________________________ circunferência de centro no ponto médio de [OD], , e raio de comprimento _________________________________________________________________ igual a _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

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14. Usa o programa Geogebra para representar, com rigor, na reta real, o número de platina, σ 2.2.

FIM

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