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RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM OTIMIZAÇÃO DE RESULTADOS: CÁLCULO DIFERENCIAL Felipe Santos Sousa Costa (IFCE –
[email protected]) Camila Leite Santos (IFCE –
[email protected]) Thalita Alves Guedes (IFCE –
[email protected]) Guttenberg Sergistótanes Santos Ferreira (IFCE –
[email protected]) RESUMO Dentre os motivos que fazem com que o Cálculo Diferencial seja amplamente conhecido e discutido, estão os problemas de máximos e mínimos, ou seja, problemas de otimização. Este trabalho faz referência a um estudo sobre livros didáticos de Cálculo Diferencial constante do acervo do IFCE – campus de Juazeiro do Norte. Foram analisados os referidos livros quanto ao tema de Problemas de Otimização, discutindo as derivadas de funções reais, analisando previamente os quantitativos de problemas resolvidos e de problemas propostos por área de aplicação. Este pesquisa, de caráter bibliográfico, tem por objetivo maior não só analisar comparativamente os livros de Cálculo Diferencial, mas também verificar quais metodologias são empregadas para auxiliar na aprendizagem do estudante. Alguns resultados alcançados já são apresentados, face que a pesquisa ainda se encontra em andamento. Palavras-chave: Resolução de Problemas. Otimização. Cálculo Diferencial. INTRODUÇÃO A Educação Matemática enfrenta grandes dificuldades quando lida com o ensino de Matemática, uma vez que essa disciplina é tida como uma das mais difíceis na Educação Básica e também na Educação Superior, e por vezes é dita impossível de aprender ou simplesmente entender, de modo que este feito fica restrito a alguns estudantes com afinidades e habilidades específicas. Os professores dessa área tem o desafio de fazer com que os estudantes percebam a Matemática no cotidiano, em qualquer lugar e circunstância, de forma que seu aprendizado não seja algo mecânico baseado em memorizar exaustivamente fórmulas e teoremas, para com isso se conseguir notas altas nas avaliações, mas sim algo que eles possam entender aplicar e explicar de forma simples, com suas próprias palavras. Posto isto, pode-se sugerir este mesmo pensamento no estudo de Cálculo Diferencial, visto que é de grande valia a utilização de comparações e correlações entre situações reais e o estudo teórico do Cálculo Diferencial. Situações essas que surgem em problemas de otimização e que são de fundamental importância para o ensino da Matemática e áreas afins, e
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que, em sua essência, tem o objetivo de determinar os valores mínimos ou máximos de uma função num dado intervalo. Entretanto, vários livros abordam as aplicações e exemplos de forma muito condensada, por vezes afirmando que o restante da dedução se dá de forma óbvia ou análoga à anterior. Mas isto vem a ser mais um empecilho ao estudante, pois essas aplicações apenas sugerem o caminho a ser percorrido, que deveria ser apresentado de forma clara e explicativa para que o domínio sobre o conteúdo e a resolução de exercícios ocorresse de forma simples e trivial. Para tanto, propõe-se analisar alguns livros de Cálculo Diferencial com o intuito de comparar os problemas resolvidos e propostos. Com um olhar especial dispensado aos exercícios resolvidos, modificando a forma de resolução, se possível, a fim de verificar outras abordagens para se trabalhar esse conteúdo em sala de aula, e observando ainda se estes problemas são apresentados de forma suficiente para a resolução e o entendimento dos discentes.
OBJETIVOS
Este trabalho objetiva de forma ampla realizar uma análise metodológica em livros de Cálculo Diferencial nos tópicos que tratam de aplicações de funções derivadas. Especificamente, tratar-se-á de perceber diferenças entre as metodologias empregadas naqueles livros, analisando os problemas resolvidos quanto às áreas de aplicação e formas de resolução.
REFERENCIAL TEÓRICO
Os livros estão entre fontes de pesquisa e de estudo mais importantes que o ser humano desenvolveu. Apesar do advento da internet e de outros veículos de estudos, os livros não perderam sua força entre os estudantes e pesquisadores. Baseado nisso, se faz necessário estar sempre atualizando as informações e buscando diversas maneiras de inovar tanto no contexto visual quanto na metodologia trabalhada, a fim de que novos leitores possam usufruir deste recurso de forma simples e eficaz. Ferraz (2009, p.1), faz uma análise em livros
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de Cálculo Diferencial, relacionando obras recentes com outras mais antigas, e chega à conclusão de que, A percepção de estudiosos do ensino-aprendizagem sobre livros texto, nas diversas ciências, é a de que existe um movimento de alterações das mais variadas matizes nas obras atuais, (2000 - 2003). No caso do Cálculo Diferencial e Integral, percebese que os autores de obras voltadas para esse conteúdo, vêm alterando não só o layout das edições, mas, também, a metodologia.
Compreender o livro como meio divulgador de conhecimento e analisar suas contribuições e seus impasses metodológicos, serve não para vetá-los ou considera-los inadequados e sim para buscar melhor forma de produção dos mesmos, proporcionando ao pesquisador, por vezes ainda estudante, possibilidades de maior aprendizado em relativo espaço curto de tempo.
METODOLOGIA Este trabalho se configura numa pesquisa bibliográfica que, advogado por Marconi e Lakatos (2010), surge como um levantamento daquilo que já foi produzido à comunidade científica por diversos autores e veiculado segundo as várias formas de publicação. No decorrer deste trabalho pretende-se analisar comparativamente os livros de Cálculo Diferencial constantes no acervo da biblioteca do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – campus de Juazeiro do Norte, analisando especificamente os problemas resolvidos, quanto à área de aplicação prática e formas de resolução, e ainda fazendo uma discussão sobre alguns problemas propostos.
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Neste tópico haverá a discussão sobre alguns livros didáticos que abordam o Cálculo Diferencial, dentre eles: Cálculo: um curso moderno e suas aplicações (Hoffmann e Bradley), Cálculo (Anton, Bivens e Davis), Cálculo (Stewart), O Cálculo com Geometria Analítica (Leithold), Cálculo (Thomas) e Cálculo (Munem e Foulis). O livro de Hoffmann e Bradley traz uma breve introdução sobre otimização, destacando o objetivo dos problemas de otimização, logo em seguida apresenta a definição dos extremos absolutos, apresentando três exemplos, dos quais apenas os dois últimos são
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contextualizados. Cita ainda princípios gerais de análise marginal, seja para lucro máximo seja para custo médio mínimo. Entre problemas resolvidos e propostos, tem-se os quantitativos conforme Tabela 1. Tabela 1 – Problemas Resolvidos e Propostas - Cálculo: um curso moderno e suas aplicações (Hoffmann e Bradley)
Área de Aplicação
Quantidade
Área de Aplicação
Quantidade
Biologia
1
Agropecuária
7
Química
1
Estatística
1
Física
23
Política
1
Medicina
5
Espionagem
1
Área
5
Diagramação
1
Volume
9
Combinatória
1
Economia
53
Matemática
62
Fonte: Pesquisa direta
O livro de Anton, Bivens e Davis faz uma classificação dos problemas de otimização, separando-os em duas categorias: problemas de maximizar ou minimizar uma função contínua em um intervalo fechado, e problemas de maximizar ou minimizar uma função contínua em um intervalo aberto. Apresenta ainda um quadro com cinco passos denominados Procedimentos para Resolver Problemas de Máximos e Mínimos em Aplicações. Traz, em seguida, um breve resumo sobre as três funções de importância para um economista ou um industrial que são: função custo, função receita e função lucro, posteriormente tratando da análise marginal, com ênfase no lucro marginal, receita marginal e custo marginal. Entre problemas resolvidos e propostos, apresenta-se os quantitativos conforme Tabela 2. Tabela 2 – Problemas Resolvidos e Propostas - Cálculo (Anton, Bivens e Davis)
Área de Aplicação
Quantidade
Área de Aplicação
Quantidade
Biologia
1
Agropecuária
2
Química
1
Economia
7
Física
12
Área
20
Volume
18
Matemática
17
Fonte: Pesquisa direta
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Já o livro de Thomas traz uma seção especifica para problemas de otimização aplicada. Iniciando com um breve resumo sobre o que é otimizar algo e em seguida apresenta com um exemplo com desenhos em três dimensões, que auxilia na visualização e na compreensão do problema. Outro problema trata do volume de um cilindro, usando o mínimo de material possível. Também apresenta cinco dicas para se resolver problemas de otimização. A Tabela 3 traz os quantitativos de problemas propostos e resolvidos. Tabela 3 – Problemas Resolvidos e Propostas - Cálculo (Thomas)
Área de Aplicação
Quantidade
Área de Aplicação
Quantidade
Medicina
2
Computação
2
Química
1
Economia
13
Física
13
Área
5
Volume
14
Matemática
19
Fonte: Pesquisa direta
Outro livro pesquisado foi o de Leithold que contém uma pequena seção para aplicações envolvendo extremos absolutos, ou seja, otimização. A obra inicia com uma breve explanação sobre a definição de extremos absolutos, e logo em seguida apresenta uma ilustração em duas dimensões e logo em seguida, apresenta os problemas ao estudante, aqui representados pela Tabela 4. Tabela 4 – Problemas Resolvidos e Propostas – O Cálculo com Geometria Analítica (Leithold)
Área de Aplicação
Quantidade
Área de Aplicação
Quantidade
Biologia
3
Volume
7
Economia
11
Área
9
Física
6
Matemática
5
Fonte: Pesquisa direta
O livro de autoria de Munem e Foulis, abordada o conteúdo de máximos e mínimos com aplicações em Geometria. Esta seção utiliza esse conceito para tratar de questões ligadas a área, volume, força, potência, tempo, lucro ou custo. Antes de resolver o primeiro problema, o autor dispõe um conjunto de fórmulas que serão necessárias para a resolução de problemas futuros. Tais fórmulas se aplicam em perímetros, áreas de superfície e volumes.
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Uma primeira seção é destinada ao estudo de otimização voltado para problemas geométricos, em seguida outra seção é dedicada a problemas de aplicação em Física, Engenharia, Negócios e Economia. A Tabela 5 ilustra os quantitativos pesquisados. Tabela 5 – Problemas Resolvidos e Propostas - Cálculo (Munem e Foulis)
Área de Aplicação
Quantidade
Área de Aplicação
Quantidade
Biologia
2
Economia
12
Física
16
Área
12
Volume
12
Matemática
42
Fonte: Pesquisa direta
Por fim, o livro de Stewart se utiliza de exemplos simples do cotidiano para adentrar ao tema de otimização e fazer com que o leitor compreenda que otimizar nada mais é do que maximizar ou minimizar algo em uma determinada situação. Acrescenta ainda sobre uma das maiores dificuldades diante dos problemas de otimização: estabelecer a função que será minimizada ou maximizada. Assim como em outras obras pesquisadas, sugere ao leitor seguir alguns passos que o levarão a compreender melhor os problemas propostos. Importante frisar que o livro traz uma linguagem bastante simples e objetiva. Todas as questões estão dispostas na Tabela 6. Tabela 6 – Problemas Resolvidos e Propostas –Cálculo (Stewart)
Área de Aplicação
Quantidade
Área de Aplicação
Quantidade
Medicina
1
Área
19
Biologia
2
Volume
4
Física
8
Matemática
30
Fonte: Pesquisa direta
CONCLUSÃO
O presente trabalho foi elaborado a partir da revisão bibliográfica dos livros texto de cálculo diferencial presentes no acervo da biblioteca do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – campus de Juazeiro do Norte, verificando a abordagem do conteúdo e as questões resolvidas.
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Durante a análise de cada livro, observou-se um padrão na forma de abordagem dos conteúdos de maximização e minimização, que são os conteúdos dos problemas de otimização. Todos os livros iniciam com um exemplo único: maximização da área de uma certa caixa. A escolha dessa abordagem inicial do capítulo é bem compreensiva já que se trata de um exemplo bem simples. O que também foi observado foi a quantidade de questões que apresentavam as diferentes áreas de estudo. As áreas de Matemática, Física, Economia, Área e Volume foram as mais frequentes no quesito quantidade, enquanto que as áreas de Biologia e Medicina não foram tão abordadas. As diferentes explorações sobre a aplicação destes problemas, fazem com que o estudante entenda melhor sua funcionalidade e importância, engrandecendo ainda mais seus conhecimentos sobre otimização. Ressaltando a importância deste tema no estudo do Cálculo Diferencial, pode-se chegar à conclusão de que este trabalho contribuirá nas discussão sobre ensino de Cálculo, apesar de ainda estar em fase de inicial
REFERÊNCIAS ANTON, H.; BIVENS, I.; STEPHEN, D. Cálculo. 8 ed. Porto Alegre: Editora Bookman, 2007. FERRAZ, A. G. Análise de livros texto de cálculo e uma proposta de alteração metodológica. Revista Profissão Docente (RPD), Uberaba, v.9, n. 20, p.116-142, jan/jul. 2009. Disponível em: . Acesso em: 01 jun 2015. FOULIS, D. J.; MUNEM, M. A. Cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro: Editora LTC, 1982. HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7 ed. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2002. LAKATOS, E. M.; MARCONI, M. de A. Fundamentos da metodologia científica. São Paulo: Editora Atlas, 2010. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3 ed. Vol. 1. São Paulo: Editora Harbra, 1994 STEWART, J. Cálculo. 5 ed. Vol. 1. São Paulo: Thomson Learning, 2006. THOMAS, G. B. Cálculo. 11 ed. Vol 1. São Paulo: Pearson, 2009
