Resolução de um Problema de Competição Matemática Envolvendo Múltiplas Composições de Função Crislânio de Souza Macêdo,Críston Pereira de Souza Universidade Federal do Ceará (UFC) Caixa Postal 15.064 – 91.501-970 – Ceará – CE – Brazil
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Resumo Este trabalho trata-se da solução de um problema matemático proposto no torneio anual Harvard-Mit de Matemática Olímpica. O texto ressalta o aspecto interdisciplinar do tema, enfocando as ideias e estudos expostos nas disciplinas de Matemática Básica e Matemática Discreta. Palavras-chave: Função. Matemática. Problema Olímpico Abstract This work is related to the solution of a mathematical problem proposed in the annual tournament Harvard-MIT Mathematics Olympic.The text emphasizes the interdisciplinary aspect of the subject, focusing on the ideas and studies exposed in the disciplines of Basic Mathematics and Discrete Mathematics. Keywords : Function. Mathematics. Problem Olympic Este trabalho apresenta a resolução de um problema de competição matemática utilizando os conceitos de composição de função e sequências [2], assuntos estudados nas disciplinas de matemática básica e matemática discreta. Este problema, definido abaixo, foi proposto no torneio das universidades Harvard e MIT (Massachusetts Institute of Technology) no ano de 2011 [1]. PROBLEMA: Para todos os números reais x, seja f(x)=
1 2011
√1−x 2011
.
Calcule F =( f ( f ( f (... f (2011)))))2011 ,onde f é aplicada 2010 vezes. Embora o problema proposto tenha enunciado simples, as soluções conhecidas para ele exigem vários passos e criatividade. Consideramos que a resolução apresentada a seguir é simples, mas chegar a esta resolução pela primeira vez é desafiador. DEMONSTRAÇÃO [3]: Denotamos a composição de funções da maneira indicada abaixo: 2
f 1 ( x)= f ( x )= f
3
f = f ( f ( x))= f ∘ f
f = f ( f ( f ( x)))= f ∘ f ∘ f
f n= f ∘ f ∘ f f ∘ f ...∘ f Utilizando esta notação, queremos calcular: F =[ f
2010
2011
(2011)]
=[ f ( f ( f (... f (2011) ...)))]
2011
Vamos calcular as primeiras composições ( [ f 1 ] ,[ f 2 ] , [ f 3 ] ,[ f 4 ]..⋮ ):
1 √ 1−x 2011
1
f = f (x )= 2011 2
f = f ( f ( x))= 2011
1
√ 1−[ f ( x)]2011 f 1 em
f 2 e simplificando a expressão, temos 1 1 1 f 2= f ( f ( x))= 2011 = = 2011 2011 2011 1−[ f ( x)] −1 2011 1− x 1 2011 1− 2011 2011 2011 1−x √ 1−x
Substituindo o valor de
√
√
2
f =
Portanto,
−
√1−x
√−x 2011=−x
.
3 2 3 2 f = f ( f ( x))= f ∘ f ∘ f = f = f ( f ( x))= 2011
1
√ 1−[ f
f 2=
−
√
2011
1−
[
−
2
( x) ]
2011
2011
√1−x 2011
em
x 1
f 3= f ( f 2 ( x))=
.
2011
x
Colocando
√
]
2011
Note que, como 2011 é ímpar, temos que 2011
[
2011
√1−x x
2011
2011
]
f
3
,
obtemos
= x.
Observe que f 4 é a composição f 4= f ( f ( f ( f ( x ))))=( f ( f 3 ))= f ∘ f ∘ f ∘ f . Como f 3 (x )=x , temos que 1 1 4 3 1 f =( f ( f ))= 2011 = 2011 =f 2011 2011 √1− x 1−[ f 3 ( x) ] Portanto,
√
1
1
f =f 2 2 f =f f 3= f 3
4
1
f =f 5 2 f =f f 6= f 3
2008
1
f =f 2009 2 f =f f 2010 = f 3
De fato teremos três sequências de funções compostas em PA (progresão aritmética) . 1° Sequência de funções idênticas a f 1 a n =1+(n-1)3 =3n -2 Onde a n é o termo geral, 1 é o 1° termo da sequência n é o número a ser verificado na composição e 3 é a razão. f 3n−2 , n∈ℕ , { f 1 , f 4, f 7, f 10, f 13, ... , f 2005 , f 2008 }= f 3n−2= f 1 2° Sequência de funções idênticas a f 2 a n =2+(n-1)3 =3n -1 Onde a n é o termo geral, 2 é o 1° termo da sequência n é o número a ser verificado na composição e 3 é a razão. f 3n−1 , n∈ℕ , { f 2 , f 5, f 8, f 11, f 14, ... , f 2006 , f 2009 } = f 3n−1= f 2 3° Sequência de funções idênticas a f 3 a n =3+(n-1)3 =3n Onde a n é o termo geral, 3 é o 1° termo da sequência n
é o número a ser verificado na
composição e 3 é a razão. f 3n , n ∈ℕ , { f 3 , f 6, f 9, f 12, f 15, ... , f 2007 , f 2010 } = f 3n= f 3 Como 2010 é múltiplo de 3, temos que f 2010 = f 3 . Portanto, F =[ f 2010 (2011)]2011 =[ f 3 (2011)]2011 =2011 2011 . Conclusões. Concluímos que uma boa base matemática é importante para se chegar à solução de problemas como este. Consideramos também que a resolução deste tipo de problema desenvolve o raciocínio do aluno, e exige que o mesmo busque aprimorar sua base matemática. Agradecimentos. A Deus pela pela força, coragem e determinação durante o trabalho, A minha família pelo incentivo dedicação e apoio financeiro, Aos meus irmãos Marcos Danillo ,Crislene Macêdo pela confiança, Aos amigos Wellington Lucas, Douglas Galdino, Maike Bezerra pelo apoio sugestões, Ao prof°. Dr Críston Perreira de Souza pelo incentivo, sabedoria, paciência e disponibilidade . A Universidade Federal do Ceará, onde estudo. Referências Bibliográficas. [1] Olympiad Resources. Art of Problem Solving. Disponível em: Acesso em 04 de out. de 2013. [2] Kenneth H. Rosen. Matemática Discreta e suas Aplicações. McGraw Hill – 2009 [3] Instituto Omagaleph de Educação Avançada. Disponível em: Acesso em 05 de out. de 2013.
