Resolução do teste 1 - Integrais duplas

´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Resolu¸ca˜o Teste 1

Quest˜ ao 1: A princ´ıpio n˜ao sabemos qual a figura definida pela equa¸ca˜o dada. Contudo, vamos completar os quadrados para tentar obter uma forma conhecida. z = −(x2 − 6x + 9) − y 2 + 4 → z = −(x − 3)2 − y 2 + 4 Sabemos que a express˜ao acima se refere a um parabol´oide, como na imagem abaixo.

Usando x = r cos θ + 3 e y = rsenθ com 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π e jacoiano igual a r, temos Z 2π Z 2 Z Z 2 2 (4r − r3 )drdθ = 8π (−x + 6x − y − 5)dA = V = D

0

0

Quest˜ ao 2: O integrando sugere a seguinte mudan¸ca u = x + y e v = x − y. Um esbo¸co do dom´ınio ´e mostrado abaixo

Para essa mudan¸ca temos que o jacobiano ser´a dado por ∂(u, v) 1 1 J= = ∂(x, y) 1 −1

Temos ent˜ao que o jacobiano vale 1/2. Vamos ver como o dom´ınio se comporta ao aplicarmos a mudan¸ca Para L1: Se x = y, ent˜ao v = 0. A an´alise do ponto inicial e final nos d´a que 0 ≤ u ≤ 1. Para L2: Isolando y e substituindo, temos que v = −u + 1. A an´alise de ponto inicial nos d´a (u = 1, v = 0) at´e (u = 0, v = 1). Para L3: Se y = −x, ent˜ao u = 0. Temos que v vai de 1 a 0. Temos ent˜ao o seguinte novo dom´ınio

A integral, ent˜ao, ficar´a 1 2

Z 0

1

Z 0

1−u

u20 vdvdu =

1 21252

Quest˜ ao 3: A equa¸ca˜o 3x2 + y 2 = 9 pode ser reescrita como x2 /3 + y 2 /9 = 1 que ´e a equa¸c˜ao de uma elipse. Podemos ver o dom´ınio D na imagem abaixo

√ Usaremos as mudan¸cas polares da √ seguinte forma x = 3r cos θ e y = 3rsenθ. Para essa mudan¸ca o jacobiano ser´a dado por 3 3r Para determinarmos a varia¸ca˜o de θ, vejamos como a reta se comporta com a mudan¸ca √ √ 3 π 7π 3rsenθ = 3r cos θ → tgθ = →θ= , 3 6 6 7π π ≤θ≤ . Finalmente temos que 6 6 √ Z 1 Z 7π/6 √ 3 3π A= 3 3rdθdr = 2 0 π/6

Sabemos ent˜ao que 0 ≤ r ≤ 1 e

Quest˜ ao 4: N˜ao ´e interessante integrar na ordem dada, ent˜ao teremos que mudar a ordem de integra¸c˜ao. Sabemos que se x = arcseny ent˜ao y = senx. Podemos ver um esbo¸co da regi˜ao na imagem abaixo

Temos ent˜ao que a integral na outra ordem fica Z

π/2

Z

senx

√

cos x 1 + 0

0

Z cos2

xdydx =

π/2

√ senx cos x 1 + cos2 xdx

0

Podemos resolver essa u ´ltima integral fazendo u = 1 + cos2 x, ou seja, du = −2senx cos xdx. √ Z π/2 √ 2−1 2 senx cos x 1 + cos2 xdx = 3 0