Resolução teste III - Séries de Potência

Gabarito do teste III 1a)Iremos usar o teste da ra´ız para determinar o raio de convergˆencia dessa s´erie: v u u (x − 3)n n lim t √ n→∞ n lim

n→∞

|(x − 3) p√ |n n

lim |(x − 3)|

n→∞

Sabemos que para essa s´erie ser convergente, esse limite deve ser menor que 1, logo, |(x − 3)| < 1 Portanto, o raio de convergˆencia ´e 1. Com essa informa¸c˜ ao e com o fato dessa s´erie ser centrada em 3, podemos dizer que o intervalo de convergˆencia abrange o intervalo entre 2 e 4, podendo ou n˜ao incluir os extremos. • Para x=2 ∞ X (−1)n √ n n=1

Se trata de uma s´erie alternada. Usando o teste de Leibniz: 1 lim √ = 0 n

n→∞

Logo, a s´erie ´e convergente nesse extremo. • Para x=4 ∞ X 1 √ n n=1

Se trata de uma p-s´erie com p < 1, logo ela ´e divergente. Portanto, podemos dizer que o intervalo de convergˆencia dessa s´erie ´e [2, 4). 1b) Novamente, iremos usar o teste da ra´ız para determinar o raio de convergˆencia da s´erie: v u u (−1)n (n + 1)! n t n+1 lim x n→∞ 2 n n2

1

v u u (−1)n (n + 1)xn+1 n lim t n→∞ 2n |x|