Resonancia Magnética

Cap´ıtulo 3 Resonancia 3.1.

Circuito RLC serie

Dado un circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensi´on arm´onica V (t) = V0 sin ω t (Fig 3.1), la ley de Ohm permite plantear: R

B

V = V0 sin ω t

∼

I

L

A

C Figura 3.1: Circuito RLC serie alimentado por una fuente de tensi´on arm´ onica de amplitud V0 y frecuencia angular ω.

V = I ZAB = I (R + ZL + ZC ) = I [R + j(ω L −

1 )] ωC

(3.1)

donde V es la tensi´on aplicada por la fuente, I la corriente que circula por la malla, ZAB la impedancia, vista desde la fuente, entre los puntos A y B, ZL y ZC las impedancias de la bobina y el capacitor, respectivamente, ω la frecuencia angular de la tensi´on arm´onica que entrega la fuente, y j la unidad imaginaria (j 2 = −1). Luego

Puede verificarse que si

|I| = 

|V |

R2 + (ω L − 1/ω C)2 21

1/2

(3.2)

CAP´ITULO 3. RESONANCIA

22 1. ω → 0 2. ω → ∞

⇒

XC =

⇒

−1 ωC

→ −∞

y en consecuencia

|I| → 0

XL = ω L → ∞

y en consecuencia

|I| → 0

3. ω es tal que ω L = 1/ω C, resulta que la reactancia total XT , es XT = XL +XC = 0, con lo cual, para este circuito, |I| alcanza su valor m´aximo: |I|Max = |V |/R. Esto ocurre para √ (3.3) ω = ω0 = 1/ L C En la Fig 3.2 se expone el gr´afico de I(ω) para tres casos particulares de R, L y C. La condici´on ω = ω0 para la cual XT = 0 define lo que se denomina resonancia del circuito. Se dice que un circuito esta en resonancia (de fase) cuando la corriente que a el ingresa esta en fase con la tensi´on que se le aplica. Obviamente si XT = 0, V = I R y el defasaje entre V e I es nulo. 10 9 8 ω →

|I| (mA)

7

1

←ω

2

6 5 4 3 2 1 0

ω0 → 0

500

1000

1500

2000

2500

ω (1/s)

Figura 3.2: Amplitud de la corriente circulante por un circuito RLC serie alimentado por una fuente arm´ onica de 1 V de pico, en funci´ on de la frecuencia, para los casos: R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω y R3 = 500 Ω. En los tres casos se mantuvo: L = 1 H y C = 1 µF, lo que implica ω0 = 1000 (1/s) para todos ellos. Se destacan en cada caso las frecuencias ω1 y ω2 que permiten definir los correspondientes anchos de banda como ∆ω = ω2 − ω1 (ver texto).

Cuando ω = ω0 se tiene: r V L 1 VL (ω0 ) = j ω0 L · I(ω0 ) = j ω0 L · = j · ·V R R C r L 1 ·V VC (ω0 ) = −j /ω0 C · I(ω0 ) = −j · R C

(3.4) (3.5)

23

3.1. CIRCUITO RLC SERIE luego VL (ω0 ) + VC (ω0 ) = 0 para todo instante, y por tanto, VR (ω0 ) = V

(3.6)

en cuanto a las ca´ıdas de tensi´on eficaces sobre cada uno de los tres elementos de circuito, en resonancia, se tiene: r |VL (ω0 )| L 1 √ · Vef (3.7) VLef (ω0 ) = = R C 2 VC ef (ω0 ) = VLef (ω0 ) VRef (ω0 ) = Vef

(3.8) √

(3.9)

siendo Vef la tensi´on eficaz aplicada por la fuente: V0 / 2. La potencia disipada por el circuito esta dada por P (ω) = Ief2 (ω) R =

|I|2 Vef2 R = 2 R 2 R + (ω L − 1/ω C)2

(3.10)

cuyo gr´afico puede verse en la Fig 3.3 Una manera de caracterizar el ancho de la curva

Figura 3.3: Potencia disipada en un circuito RLC serie en funci´on de la frecuencia.

P (ω) es mediante las frecuencias ω1 y ω2 para las cuales la potencia disipada se reduce a la mitad de la m´axima. La condici´on: P (ω) =

PMax 2

conduce a una ecuaci´on bicuadr´atica para ω, cuyas soluciones son: p p ω1 = −α + pα2 + ω02 < ω0 ω2 = α + pα2 + ω02 > ω0 ω4 = α − α2 + ω02 < 0 ω3 = −α − α2 + ω02 < 0

(3.11)

(3.12)

donde α = R/2L. Las 2 u ´ ltimas carecen de sentido. Las 2 primeras permiten definir el ancho de la curva como: R ∆ω = ω2 − ω1 = (3.13) L

CAP´ITULO 3. RESONANCIA

24

al que tambi´en se denomina ancho de banda del circuito. Para caracterizar la funci´on P (ω) se define: ω0 L 1 Q ≡ = ω0 = ∆ω R R

r

L R1 C

(3.14)

llamado factor de m´erito o de calidad. Este n´ umero mide la selectividad del circuito para disipar potencia: si Q ≫ 1 la curva P (ω) es muy estrecha en torno de ω0 y el circuito disipa potencia en un rango peque˜ no de frecuencias: ω1 ≤ ω ≤ ω2 . Por el contrario, si Q ≪ 1 la curva es ancha y por lo tanto se disipa potencia en un rango amplio de frecuencias. Finalmente consideremos la impedancia de entrada del circuito RLC serie, vista por la fuente  1/2 |ZAB (ω)| = R2 + (ωL − 1/ωC)2 (3.15) cuyo gr´afico puede verse en la Fig 3.4. A frecuencias bajas (ω < ω0 ) el m´odulo de la

Figura 3.4: Impedancia de entrada de un circuito RLC serie en funci´on de la frecuencia. reactancia capacitiva es mayor que la reactancia inductiva (1/ω C > ω L) por lo tanto: XT = XC + XL < 0

(3.16)

y se dice que el circuito se comporta capacitivamente. A frecuencias altas (ω > ω0 ), XL > |XC | ⇒ XT > 0 y se dice que el circuito se comporta inductivamente. A la frecuencia de resonancia, XL = |XC | ⇒ XT = 0, el circuito se comporta como una resistencia pura y adem´as |ZAB | es m´ınima. Como

Vef2 R (3.17) |ZAB |2 se demuestra facilmente que las frecuencias ω1 y ω2 de potencia mitad corresponden a la condici´on: √ √ (3.18) |ZAB (ω)| = 2 R = 2 |ZAB (ω)|min P = Ief2 R =

25

3.2. CIRCUITO RLC PARALELO

3.2.

Circuito RLC paralelo

Considere el circuito de la figura 3.5. La frecuencia de resonancia de fase, ω0k , vale

R V0 sin ω t

∼

C L

R lim

Figura 3.5: Una fuente de onda arm´onica de frecuencia angular ω alimenta a un circuito RLC paralelo en el que se considera una resistencia limitadora, R lim .

ω0k

1 = √ LC

r

1−

p R2 C = ω0 1 − Q−2 L

(3.19)

√ donde ω0 = 1/ L C es la frecuencia de resonancia del circuito RLC serie, y Q es el factor de m´erito ya estudiado. Note que ω0 k es independiente de la resistencia limitadora R lim , y que tiende a ω0 por la izquierda a medida que R → 0. La impedancia, Zk , del paralelo RLC propiamente dicho, esto es, excluyendo R lim , satisface 1 (R2 + ω 2 L2 ) (3.20) |Zk|2 = 2 2 ω C R2 + (ω L − 1/ωC)2 Puede verificarse que l´ım |Zk | =

(

R 0

si ω → 0 si ω → ∞

(3.21)

y que en resonancia, |Zk (ω0k )| = Q2 R =

1 L RC

(3.22)

Observaciones 1. De la ecuaci´on (3.22) se concluye que la impedancia de un circuito RLC paralelo en resonancia puede ser infinita si R → 0, o bien, expresado con mayor propiedad, p puede ser ilimitada si R es arbitrariamente menor que L/C.

CAP´ITULO 3. RESONANCIA

26

2. Si se armase un circuito RLC paralelo en las condiciones de la observaci´on anterior: p ω = ω0k y R ≪ L/C, la corriente que ingresar´ıa al paralelo ser´ıa pr´acticamente nula (a´ un si R lim → 0) a pesar de que dicha corriente tiene dos ramas en paralelo por las que puede circular, y de que cada una de ellas por separado presenta una impedancia finita !.

3.3.

Potencia en circuitos de corriente alterna

La potencia instant´anea, p(t), entregada por una fuente a un circuito pasivo gen´erico como el de la figura 3.6 es

i(t) v(t) = v0 cos ωt

∼

Circuito Pasivo

Figura 3.6: Un circuito pasivo gen´erico es alimentado por una fuente de tensi´ on arm´ onica.

p(t) = v(t) i(t)

(3.23)

Si el circuito pasivo es lineal e independiente del tiempo y v(t) es arm´onica, i(t) resultar´a tambi´en arm´onica y en general presentar´a un defasaje φ respecto de v(t), luego: p(t) = v0 cos ωt i0 cos(ωt − φ) v0 i0 [cos(2 ωt − φ) + cos φ] = 2 El valor medio temporal de p(t) es

(3.24) (3.25)

v0 i0 cos φ (3.26) 2 dado que el valor medio de cos(2 ωt−φ) = 0, por ser funci´on arm´onica de t y el promedio de cos φ es cos φ por ser φ constante. N´otese que P es en general no nulo. En la figura 3.7 se ilustra el gr´afico de p(t) y de su valor medio P . P ≡ hp(t)it =

El a´ngulo φ es el argumento de la impedancia compleja Z (ver Fig. 3.8), luego

P

= =

ve ie cos φ = ie |Z| ie cos φ

i2e

ℜ{Z} =

i2e

R=

Ie2

R

(3.27) (3.28)

27

3.4. PREGUNTAS

Figura 3.7: Potencia disipada en un circuito pasivo alimentado por tensi´on alterna. Note que dicha potencia puede ser negativa durante ciertos intervalos de tiempo.

ℑ{Z} Z

φ |Z| cos φ

ℜ{Z}

Figura 3.8: Representaci´on de la impedancia Z en el plano complejo. La parte imaginaria de Z puede ser positiva o negativa.

3.4.

Preguntas

1. Cu´ales son los componentes m´ınimos de un circuito el´ectrico para que presente resonancia?

2. Cree que puede haber circuitos que presenten m´as de una resonancia?

3. Bas´andose en su experiencia (adquirida al trabajar con filtros, por ejemplo) qu´e cree que limita la posibilidad de construir circuitos RLC serie con factores de m´erito arbitrariamente grandes?

4. a) C´omo explica la observaci´on 2 de la p´ag. 26?. b) Es correcto lo que all´ı se afirma?. c) Si fuese correcto, qu´e grado de validez tiene la afirmaci´on, muy difundida, por cierto, de que la resistencia equivalente de un paralelo es menor que la menor de las resistencias que lo componen?

CAP´ITULO 3. RESONANCIA

28

3.5.

Parte computacional

Simule un circuito RLC serie y uno paralelo. Realice un an´alisis en frecuencia de cada uno de ellos e interprete los resultados. Aseg´ urese de utilizar, entre otros, valores de R, L y C disponibles en el laboratorio y de que las tensiones y corrientes de inter´es puedan ser provistas y medidas por las fuentes y osciloscopios disponibles, respectivamente. En su an´alisis incluya la impedancia interna de la fuente, la resistencia interna de la bobina y la impedancia de entrada del osciloscopio.

3.6.

Parte experimental

1. Arme un circuito RLC serie con valores basados en la simulaci´on del punto anterior. Mida las variables necesarias para graficar el diagrama de Bode, determine el ancho de banda del circuito, su factor de calidad y estudie la disipaci´on de potencia. Explore al menos tres valores de Q y demuestre experimentalmente que en resonancia, la ca´ıda de tensi´ on sobre L o C puede ser mayor que la tensi´ on entregada por la fuente. 2. Arme un circuito RLC paralelo basado en sus simulaciones. Estudie todos los conceptos an´alogos al caso anterior. Verifique experimentalmente que dadas L y C, existe cierto valor umbral de R por encima del cual es imposible que haya resonancia (gu´ıese por la ecuaci´on 3.19). Verifique (o refute) experimentalmente la validez de las afirmaciones expresadas en la observaci´on 2 de la p´ag. 26.

2013.c1