Resumo: Constantes de Erro Estático

Universidade Federal de Campina Grande Departamento de Engenharia Elétrica

Controle Analógico (2015.2) Data: 26/04/2016

1

Resumo: Constantes de Erro Estático Aluno: Arthur de A. Farias

Objetivo

Anotações e conclusões sobre o erro em regime estacionário.

2

Materiais e Métodos

Dado o sistema em malha fechada da forma dada pela Figura 1, tem-se a seguinte expressão que relaciona o erro e(t) à entrada do sistema r(t): e(t) = r(t) − y(t)

r

e

u

gc (t)

−

(1)

h(t)

y

y

Figura 1: Sistema em malha fechada Sabendo que ∫ g(t) =< gc (t)h(t) >= gc (t) ∗ h(t) =

∞

−∞

gc (τ )h(t − τ )dτ

(2) (3)

y(t) =< e(t)g(t) >

∫ Admitindo que L{f (t)} é a transformação definido por −∞ ∞f (t)est dt = F (s), deve-se admitir que Y (s), G(s), Gc (s), H(s) e R(s) são as respectivas transformadas de y(t), g(t), gc (t) e r(t). Desta forma, as Equações 2, 3 e 1 tornam-se 4, 5, 6.

G(s) = Gc (s)H(s)

(4)

Y (s) = E(s)G(s)

(5)

E(s) = R(s) − E(s)G(s)

(6)

Isolando E(s) em 6 encontra-se 7. 1

E(s) =

1 R(s) 1 + G(s)

(7)

Lançando mão do teorema do valor final, é possível determinar o erro em regime permanente para qualquer sistema da forma indicada pela Figura 1, dando origem a constante de erro em regime permanente, indicada por ess 8.

ess := limt→∞ e(t) = lims→ sE(s)

(8)

É comum, na análise dos sistemas dinâmicos em malha fechada, observar a resposta do sistema para os casos em que R(s) = 1/s, R(s) = 1/s2 e R(s) = 1/s3 , correspondendo a entrada degrau unitário, rampa e parabólica respectivamente. Substituindo estes casos na definição de erro em regime permanente (8). Obtém-se as seguintes equações. 1 1 1 1 = = 1 + G(s) s 1 + lims→0 G(s) 1 + Cp 1 1 1 1 = lims→0 s = = 1 + G(s) s2 lims→0 sG(s) Cv 2 2 1 1 = = lims→0 s = 1 + G(s) s3 lims→0 s2 G(s) Ca

ess,step = lims→0 s ess,ramp ess,parabolic

(9) (10) (11) (12)

A partir da dedução acima, encontrou-se as constantes definidas por 13, 14 e 15 Cp , Cv e Ca denominam-se constante de posição, constante de velocidade e constante de aceleração, respectivamente.

Cp = lims→0 G(s)

(13)

Cp = lims→ 0 sG(s)

(14)

2

Cp = lims→0 s G(s)

(15)

Algumas considerações sobre a forma de H(s) deve ser feita antes da análise de Gc (s) para cada tipo de controlador. Definindo-se H(s) da forma indicada por 16 N (s) (s + z1 )(s + z2 ) . . . (s + zm ) = D(s) (s + p )(s + p2 ) . . . (s + pn ) ∏m 1 ∏m j=1 (s + zj ) j=1 zj (s/zj + 1) = ∏n = ∏n i=1 (s + pi ) i=1 pi (s/pi + 1) ∏m j=1 zj = K0 lim H(s) = ∏n s→0 i=1 pi

H(s) =

(16) (17) (18)

Dado um denominador com N raízes na origem, 16 torna-se 19 ∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

H(s) = ∏n−N

2

(19)

2.1

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador P

Um controlador P ou proporcional é caracterizado por 20 (20)

Gc (s) = Kp Substituindo o resultado obtido em 19 e 20 em 4 obtém-se 21 ∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

G(s) = Kp ∏n−N

(21)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 22, 23 e 24. ∏m

Cp = lim G(s) = s→0

= lim

s→0

j=1 zj (s/zj + 1) lim Kp ∏n−N N s→0 i=1 pi s (s/pi + 1)

Kp K0 sN

= lim

s→0

s→0

Kp K0 sN −1

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

s→0

s→0

(22)

∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N −1 (s/p + i i=1 pi s

= lim Kp ∏n−N s→0

∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

Ca = lim G(s) = lim s2 Kp ∏n−N s→0

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

= lim Kp ∏n−N

∏m

Cv = lim G(s) = lim sKp ∏n−N s→0

∏m

1) (23)

∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N −2 (s/p + i i=1 pi s

= lim Kp ∏n−N s→0

Kp K0 s→0 sN −2

1) (24)

= lim

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada.

2.2

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador I

Um controlador I ou proporcional é caracterizado por 25

Gc (s) =

Ki s

(25)

Substituindo o resultado obtido em 19 e 25 em 4 obtém-se 21 ∏m Ki j=1 zj (s/zj + 1) G(s) = ∏n−N N s i=1 pi s (s/pi + 1) Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 27, 28 e 29.

3

(26)

∏m ∏m Ki j=1 zj (s/zj + 1) j=1 zj (s/zj + 1) Cp = lim G(s) = lim = lim Ki ∏n−N ∏n−N N N +1 (s/p + 1) s→0 s→0 s s→0 i i=1 pi s (s/pi + 1) i=1 pi s Ki K0 s→0 sN +1

= lim

∏m

Cv = lim G(s) = lim s s→0

s→0

Ki j=1 zj (s/zj + 1) j=1 zj (s/zj + 1) = lim Ki ∏n−N ∏n−N N N s→0 s i=1 pi s (s/pi + 1) i=1 pi s (s/pi + 1)

Ki K0 s→0 sN

= lim

∏m

Ca = lim G(s) = lim s2 s→0

(27)

∏m

s→0

(28)

∏m

Ki j=1 zj (s/zj + 1) j=1 zj (s/zj + 1) = lim Ki ∏n−N ∏n−N N N −1 (s/p + 1) s→0 s i i=1 pi s (s/pi + 1) i=1 pi s

Ki K0 s→0 sN −1

= lim

(29)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada.

2.3

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador D (não causal)

Um controlador I ou proporcional é caracterizado por 30 (30)

Gc (s) = sKd Substituindo o resultado obtido em 19 e 30 em 4 obtém-se 21 ∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

G(s) = sKd ∏n−N

(31)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 32, 33 e 34. ∏m

Cp = lim G(s) = s→0

j=1 zj (s/zj + 1) lim sKd ∏n−N N s→0 i=1 pi s (s/pi + 1)

Kd K0 s→0 sN −1

= lim

∏m

Cv = lim G(s) = lim s s→0

s→0

Kd K0 s→0 sN −2

Ca = lim G(s) = lim s2 = lim

s→0

s→0

1)

∏m

∏m

s→0

j=1 zj (s/zj + 1) N −1 (s/p + i i=1 pi s

= lim Kd ∏n−N

(32)

Kd j=1 zj (s/zj + 1) j=1 zj (s/zj + 1) = lim Kd ∏n−N ∏n−N N N s→0 s i=1 pi s (s/pi + 1) i=1 pi s (s/pi + 1)

= lim

s→0

∏m

∏m

(33)

Kd j=1 zj (s/zj + 1) j=1 zj (s/zj + 1) = lim Kd ∏n−N ∏n−N N N −1 (s/p + 1) s→0 s i i=1 pi s (s/pi + 1) i=1 pi s

Kd K0 sN −3

(34)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada. 4

2.4

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador PI

Um controlador PI ou proporcional é caracterizado por 35

Gc (s) = Kp +

Ki s

(35)

Substituindo o resultado obtido em 19 e 35 em 4 obtém-se 21 ( ) ∏m Ki j=1 zj (s/zj + 1) G(s) = Kp + ∏n−N N s i=1 pi s (s/pi + 1)

(36)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 37, 38 e 39. Kp K0 Ki K0 + lim N +1 s→0 s sN Kp K0 Ki K0 Cv = lim G(s) = lim N −1 + lim N s→0 s→0 s s→0 s Kp K0 Ki K0 Ca = lim G(s) = lim N −1 + lim N −1 s→0 s→0 s s→0 s Cp = lim G(s) = lim s→0

s→0

(37) (38) (39)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada.

2.5

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador PD (não causal)

Um controlador PD ou proporcional é caracterizado por 40

Gc (s) = Kp + sKp

(40)

Substituindo o resultado obtido em 19 e 40 em 4 obtém-se 21 ∏m

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

G(s) = (Kp + sKp ) ∏n−N

(41)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 42, 43 e 44. Kp K0 Kd K0 + lim N −1 s→0 s sN Kp K0 Kd K0 Cv = lim G(s) = lim N −1 + lim N −2 s→0 s→0 s s→0 s Kp K0 Kd K0 Ca = lim G(s) = lim N −1 + lim N −3 s→0 s→0 s s→0 s Cp = lim G(s) = lim s→0

s→0

(42) (43) (44)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada. 5

2.6

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador ID

Um controlador ID ou proporcional é caracterizado por 45 Ki + sKp s

Gc (s) =

(45)

Substituindo o resultado obtido em 19 e 45 em 4 obtém-se 21 ( G(s) =

Ki + sKp s

∏m

)

j=1 zj (s/zj + 1) N i=1 pi s (s/pi + 1)

∏n−N

(46)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 47, 48 e 49. Ki K0 Kd K0 + lim N −1 N +1 s→0 s→0 s s→0 s Ki K0 Kd K0 Cv = lim G(s) = lim N + lim N −2 s→0 s→0 s s→0 s Ki K0 Kd K0 Ca = lim G(s) = lim N −1 + lim N −3 s→0 s→0 s s→0 s Cp = lim G(s) = lim

(47) (48) (49)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada.

2.7

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador PID

Um controlador PID ou proporcional é caracterizado por 50

Gc (s) = Kp +

Ki + sKp s

(50)

Substituindo o resultado obtido em 19 e 50 em 4 obtém-se 21 ( ) ∏m Ki j=1 zj (s/zj + 1) G(s) = Kp + + sKp ∏n−N N s i=1 pi s (s/pi + 1)

(51)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 52, 53 e 54. Kp K0 Ki K0 Kd K0 + lim N +1 + lim N −1 s→0 s s→0 s sN Kp K0 Ki K0 Kd K0 Cv = lim G(s) = lim N +1 + lim N + lim N −2 s→0 s→0 s s→0 s s→0 s Kp K0 Ki K0 Kd K0 Ca = lim G(s) = lim N +2 + lim N −1 + lim N −3 s→0 s→0 s s→0 s s→0 s Cp = lim G(s) = lim s→0

s→0

(52) (53) (54)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada. 6

2.8

Resultados das constantes Cp , Cv , Ca para um controlador de ordem qualquer

Um controlador PID ou proporcional é caracterizado por 55 Gc (s) = sv cv + . . . + c0 + . . . +

cw sw

(55)

Substituindo o resultado obtido em 19 e 55 em 4 obtém-se 21 ∏m ( cw ) j=1 zj (s/zj + 1) v G(s) = s cv + . . . + c0 + . . . + w ∏n−N N s i=1 pi s (s/pi + 1)

(56)

Substituindo nas expressões das constantes Cp , Cv e Ca obtém-se 57, 58 e 59. c0 K0 cv K0 cw K0 + . . . + lim (N −0) + . . . + N +w N −v s→0 s→0 s s→0 s s w ∑ ci = K0 lim s→0 sN +i

Cp = lim G(s) = lim

(57)

i=−v

cv K0 N s→0 s −v+1

Cv = lim G(s) = lim s→0

w ∑

= K0

i=−v

lim

s→0

ci sN +i+1 cv K0 N s→0 s −v+2

Ca = lim G(s) = lim s→0

= K0

w ∑ i=−v

lim

s→0

cw K0 c0 K0 + . . . + N +w+1 (N +1) s→0 s s

+ . . . + lim

(58) c0 K0 cw K0 + . . . + N +w+2 (N +2) s→0 s s

+ . . . + lim

ci sN +i+2

(59)

Utiliza-se a fórmula do erro estático para cada tipo de entrada em associação a cada uma das constantes aqui definidas para determinar o erro em regime permanente do sistema, obviamente, para seu respectivo tipo de entrada.

7