Resumo P1 – Álgebra Linear

Resumo P1 – Álgebra Linear

Definimos: função soma de f com g: (f+g)(t) = f(t) + g(t)
multiplicação de um número real c por uma função f: (cf)(t) = c.f(t)

Definição: Um espaço vetorial V é um conjunto no qual estão definidas duas operações: adição, que a cada par de elementos u, v V, chamado a soma de u e v; e a multiplicação que a cada número real c e a cada elemento u V faz corresponder um novo elemento c.u V, chamado o produto de c com u. Essas operações devem satisfazer para quaisquer c1, c2 , u, v, w V os axiomas de espaço vetorial:
Comutatividade: u + v = v + u
Associatividade: u + (v + w) = (u + v) + w
Vetor nulo: existe um vetor 0v V: v + 0v = v
Inverso aditivo: Para cada v V, um vetor (-v): v + (-v) = 0 = (-v) + v
c1(c2v) = (c1c2)v
c1(u+v) = c1u + c1v
(c1 + c2) u = c1u + c2u
Multiplicação por 1: 1.v = v
Definição: Seja V um espaço vetorial e w V, w . Diremos que W é um subespaço vetorial de V se W for um espaço vetorial com as mesmas operações que tornam V um espaço vetorial. Um subconjunto w V é subespaço vetorial se:
0v W
c , u,v W, tem-se que cu+v W
Proposição: Seja V um espaço vetorial e sejam u,w subespaços vetoriais de V. Então U W é um subespaço vetorial de V. (Mas isso não é verídico para a união...)
Definição: Sejam U,W subespaços vetoriais de u espaço vetorial V. Definimos a soma de U e W por U + W = { x + y: x U, y W}.
Proposição: Sejam U,W,V como na definição acima. Então U + W é subespaço vetorial de V e é a soma direta de U e W se U W = {0v}.
Definição: Seja V um espaço vetorial e seja U,u1,...,un V. Dizemos que U é combinação linear de u1,..,un se existirem c1,...,cn : U = c1u1 + ... + cnun.
Definição: Seja V um espaço vetorial e um subconjunto de V. Denotaremos por ao conjunto de todas as combinações lineares de elementos de S. Isto é, u S c1,...,cn , u1,...,un S: u = c1u1 + ... + cnun. Dizemos que é o subespaço gerado por S. Os elementos de S são os geradores desse subespaço vetorial. Se S = {u1,u2,...,un}, = < u1,u2,...,un>.
Proposição: é um subespaço vetorial.
Proposição: Sejam S,T V espaços vetorials, S, T :
S
S T
Se S for um subespaço vetorial, S =
= +
Definição: Sendo V um espaço vetorial, V é finitamente gerado se existir u1,...,un V: V = < u1,...,un>.
Definição: Seja V um espaço vetorial e u1,...,un V. Dizemos que u1,...,un são linearmente independentes (LI) se a equação: c1u1 + ... + cnun = 0v for satisfeita só para c1 = c2 = ... = cn = 0. E eles são linearmente dependentes (LD) se não forem LI.
Proposição: Se u1,...,un são LD então pelo menos um deles é combinação linear dos outros.
Proposição: Se u1,...,un V são LD e v V, então u1,...,un,v são LD. Ou seja, todo conjunto de vetores que contém um subconjunto LD é LD.
Proposição: Se u1,...,un são LI então qualquer subconjunto de { u1,...,un} é LI.
Proposição: Se u1,...,un são LI e u1,...,un,M são LD então M é combinação linear de u1,...,un.
Proposição: Se u1,...,un são LI e u < u1,...,un> então u se escreve de forma única como u = c1u1 + ... + cnun.
A11x1+…+A1nxn=b1A21x1+…+A2nxn=b2Am1x1+…+Amnxn=b3
Definição: Definimos um sistema como esse acima de sistema de m equações e n incógnitas. Toda n-upla (x1,x2,...,xn) que satisfizer cada uma das equações do sistema é chamada de solução do sistema de equações lineares.
Definição: Se b1 = b2 = ... = bm = 0, então o sistema é dito "homogêneo".
Definição: Dizemos que dois sistemas de equações lineares são equivalentes se cada equação de cada sistema for uma combinação linear das equações do outro sistema.
Teorema: Sistemas de equações lineares equivalentes tem as mesmas soluções.
Definição: Multiplicar uma linha de uma matriz por um escalar não nulo, substituir uma linha r pela linha r + c vezes a linha s e permutar as linhas r e s são chamadas de operações elementares.
Teorema: A cada operação elementar e1 sobre as linhas de A M(m,n) existe uma operação elementar do mesmo tipo e2 tal que: e1(e2(A)) = e2(e1(A)) = A.
Definição: Se A,B M(m,n), dizemos que B é linha equivalente a A se B pode ser obtida a partir de A através de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.
Teorema: Se A e B M(m,n) e A e B são linha equivalentes então os sistemas de equações lineares homogêneos Ax = 0 e Bx = 0 têm as mesmas soluções.
Definição: Uma matriz R M(m,n) é linha reduzida se:
O primeiro elemento não-nulo de uma linha é 1.
Cada coluna de R que contém o primeiro elemento não-nulo de uma linha tem todos os seus outros elementos nulos.
Definição: Uma matriz R M(m,n) é linha reduzida à forma escada se:
R é linha-reduzida.
Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não-nulas.
Se 1,2,...,r são as linhas não nulas e que o primeiro elemento não-nulo de cada uma dessas linhas i ocorre na coluna Ki então k1 < k2 < ... < kr.
Teorema: Toda matriz A M(m,n) é linha equivalente a uma matriz R M(m,n) onde R é linha reduzida a forma escada.
Teorema: Seja A M(m,n) e m < n então o sistema de equações lineares homogêneo Ax = 0 admite infinitas soluções não-triviais.
Teorema: Se A e R M(m,n) e b e z M(m,1) e [A:b]~[R:Z] então os sistemas de equações lineares Ax = b e Rx = z tem as mesmas soluções.
Definição: Seja A M(n). Dizemos que A é inversível se existir B M(n) tal que: AB = In = BA. A matriz inversa de B é denotada por A-1.
Teorema: Se A M(n) é inversível então A-1 também é e (A-1)-1 = A. Se A, B são inversíveis então A.B é inversível e (AB)-1 = B-1.A-1.
Teorema: Se A M(n) é inversível então o sistema de equações lineares Ax = B tem solução única para cada b.
Definição: Seja V um espaço vetorial diferente de 0 finitamente gerado. Uma base B de V é um conjunto finito B = {v1,v2,...,vn} linearmente independente e que gera V. i.e., B = {v1,v2,...,vn} se:
V =
v1,v2,...,vn são linearmente independentes.
Teorema: Todo espaço vetorial V {0v} finitamente gerado admite uma base.
Teorema: Seja V {0v} um espaço vetorial finitamente gerado. Então, duas bases quaisquer tem o mesmo número de elementos.
Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Se V = {0v}, definimos a dimensão de V como sendo 0. Se V {0v} definimos a dimensão de V como sendo o número de elementos de uma base qualquer de V. A dimensão de V é escrita dim(V).
Proposição: Em um espaço vetorial de dimensão m qualquer sequência de vetores com mais de m elementos é linearmente dependente.
Corolário: Todo subespaço veotirla de um espaço vetorial de dimensão finita também tem dimensão finita.
Teorema: Seja V um espaço vetorial, dim(V) = n e u1,...,ur V são LI com r < n então existe uma base de V: B = { u1,...,ur, vr+1,vr+2,...,vn}.
Proposição: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Sejam U,W subespaços vetoriais de V. Então dim(U W) + dim (U + W) = dim(U) + dim(W).
Corolário: Se U é subespaço de V com dim(V) finita e dim(U) = dim(V) U = V.
Definição: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e seja B = {v1,v2,...,vn} uma base de V. Para cada v V existem c1,...,cn (únicos) tais que v = = c1v1 + ... + cnvn. Definimos a matriz de coordenadas de v com relação à base B por: VB=c1c2cn
Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão n e sejam B e B' duas bases de V. Logo P M(n) necessariamente inversível tal que: [V]B = [P]B' e [V]B' = P-1[V]B.
Definição: Seja A M(m,n). Seja W = < v1,v2,...,vm> n . Definimos o posto (p) de A como sendo p = dim(W). W se chama o espaço linho da matriz A.
Teorema: Seja A M(m,n) e A~R, R é linha reduzida à forma escada então o posto de A coincide com o número de linhas não nulas de R.
Corolário: Seja R M(m,n) onde R é linha reduzida à forma escada. Logo, as linhas não nulas de R são LI.
Definição: Seja A M(m,n), definimos o espaço nulo de A como N = {x M(n,1): Ax = 0}.
Definição: Seja A M(m,n). Definimos a nulidade de A como dim(N).
Definição: Seja V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T:V W é chamada transformação linear de V em W se as seguintes condições forem satisfeitas:
T(u + v) = T(u) + T(v), u,v V
T(cu) = cT(u), c , u V
Proposição: Sejam V,W espaços vetoriais quaisquer e seja T:V W uma transformação linear. Então, T(0v)=0w.
Proposição: Sejam V e W espaços vetoriais, B = {v1,v2,...,vn} uma base de V. Logo, toda transformação linear T:V W fica determinada por T(v1),T(v2),...,T(vn).
Teorema: Sejam V,W dois espaços vetoriais. Seja B = {v1,v2,...,vn} uma base de V e w1,w2,...,wn W. Então existe uma única T:V W linear tal que T(vi) = wi.
Definição: Sejam V,W dois espaços vetoriais. T:V W uma transformação linear. N(T) = {v V: T(v) = 0w}. O subconjunto N(T) V é dito núcleo de T.
Proposição: Seja T:V W uma transformação linear. Então N(T) é um subespaço de V.
Definição: Se V,W são espaços vetoriais e T:V W uma transformação linear. Definimos a imagem de T por: Im(T) = {T(v): v V}.
Proposição: Sejam V,W espaços vetoriais e T:V W uma transformação linear. Então, Im(T) é um subespaço vetorial de W.
Teorema: Sejam V e W espaços vetoriais e T:V W uma transformação linear. Assumo que dim(V) < . Então dim(V) = dim(N(T)) + dim(Im(T)).
Proposição: Seja L(V,W) = { T:V W: T é linear}. O conjunto L(V,W) é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação usuais.
Teorema: Se V, W são espaços vetoriais e dim(V) = n e dim(W) = m então dim(L(V,W)) = n.m.
Definição: Seja T L(V,W). Isto é, T:V W é linear. Então:
T é injetora se T(u) = T(v) u = v
T é sobrejetora se w W v V:T(v) = w
T é bijetora se T é injetora e sobrejetora.
Proposição: Se T L(V,W). Então, T é injetora se, e somente se, N(T) = {0v}.
Definição: Seja T L(V,W). T é inversível se T-1: W V tal que T-1 T = Idv e T T-1 = Idw. Aqui Idv:V v, Idv(v) = v e Idw: W w e Idw(w) = w. Logo, T-1 T = Idv é equivalente a T-1(T(V)) = v, v V e T-1(T(W)) = v, w W.
Proposição: Se T L(V,W) é bijetora então T é inversível se, e somente se, T é linear.
Teorema: Seja T L(V,W), T é bijetora. Então T-1 é linear.
Definição: Sejam V,W espaços vetoriais. Então, V e W são ditos isomorfos se T L(V,W): T é isomorfo. Isto é, V e W são isomorfos se existe T:V W linear e bijetora.