Secuencia Didáctica de Matemáticas Teorema de Pitágoras

Secuencia Didáctica de Matemáticas Teorema de Pitágoras Mat. Manuel Hernández Rosales Dra. Marina Kriscautzky Laxague

Presentación Esta secuencia didáctica está diseñada con el propósito de posibilitar que los estudiantes comprendan el teorema de Pitágoras a partir de problemas que dan lugar a su construcción y que permiten comprender la manera de hacer matemáticas en la época de los pitagóricos. A partir de esta construcción se derivan otras secuencias relacionadas: las relaciones entre los lados del triángulo rectángulo que dan lugar a los conceptos de seno, coseno y tangente, el descubrimiento de los números irracionales y la construcción de la fórmula para el cálculo del área de la circunferencia con el número ∏. Todas las secuencias están organizadas con actividades de apertura, desarrollo y cierre, mediante las cuales se pretende plantear problemas a los estudiantes que los lleven al descubrimiento o reconstrucción de los conceptos que se desea enseñarles. Durante el desarrollo de las actividades, los estudiantes guardarán algunas evidencias de aprendizaje en portafolios electrónicos individuales, para favorecer la evaluación del proceso de aprendizaje. Ficha técnica Tema Objetivos

Teorema de Pitágoras 

Comprender el teorema de Pitágoras, a partir de su

contexto

de

desarrollo

histórico,

reconstruyendo los problemas que dieron lugar a su construcción para que el alumno pueda entender el concepto subyacente. 

Resolver problemas actuales con el Teorema para que el alumno comprenda su vigencia.

Duración

8 sesiones de 50’

Población

Secundaria y Bachillerato

Recursos

Actividades 1, 2 y 3: papel cuadriculado, lápices, tabletas, proyector, cuadrados de cartón de dos tamaños. Actividades 4 y 5: papel cuadriculado, lápices, reglas, tabletas, proyector.

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Actividad de apertura Recursos: papel cuadriculado, lápices, tabletas, proyector.

En la primera actividad de esta secuencia se plantea a los estudiantes el siguiente problema: ¿Cuántas losetas se necesitan para cubrir el piso de este salón de manera que formen el siguiente diseño, con losetas de dos tamaños?

Se plantea una condición importante: vamos a imaginar que este salón no está en la escuela, ni en el siglo XXI, sino que es el piso de un templo griego, alrededor del año 600 a.C. En ese contexto hay algunas cosas que no eran como ahora. Si cuentan con tabletas, comparta el problema con Evernote para que los estudiantes puedan verlo desde sus dispositivos.

Pida a los alumnos que digan qué cosas son diferentes, específicamente en el ámbito de las matemáticas, que compartan lo que saben y, si ellos no lo mencionan, señale una diferencia importante: los griegos no conocían el metro como unidad de medida (puede dejar de tarea investigar cuándo se estandarizó esa unidad de medida). Sus conocimientos matemáticos no incluían medir con esa unidad, aunque por supuesto sabían medir (en el sentido de definir cuántas veces cabe una determinada unidad en otra), contar y calcular áreas. Puesta la condición, pida a sus estudiantes que se agrupen en equipos de 4 o 5 para buscar la manera de calcular cuántas losetas de cada medida se necesitan.

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Lo importante es que traten de buscar un método para resolver el problema con las matemáticas disponibles en la época de Pitágoras. No es tan importante que den solución al problema puntual. Si cuentan con tabletas, sugiera que utilicen la aplicación Skitch si necesitan dibujar las losetas, o aplicaciones de notas si necesitan escribir.

Observe los procedimientos que va desarrollando cada equipo. Recuérdeles que no pueden tomar el metro y medir, sino que tienen que hallar una solución con las matemáticas disponibles en 600 a.C. Si tiene muchos estudiantes seleccione dos o tres procedimientos diferentes para que sean compartidos con todo el grupo. Haga la selección teniendo en cuenta que sean procedimientos diferentes y no necesariamente correctos. Indique a todos los estudiantes que conserven una copia de la solución desarrollada por su equipo en sus portafolios individuales.

Pida a los equipos que expongan al grupo la solución que encontraron. Ayude a los estudiantes a observar la factibilidad de cada procedimiento y la posibilidad de que el resultado sea correcto.

Es muy importante que no se valide ninguno de los procedimientos, dejando abierta la solución. De esta forma se incentiva la búsqueda de soluciones y no la aprobación del profesor. Si cuentan con tabletas, pida al equipo que proyecte la solución desde su dispositivo.

Seguramente no aparecerá la solución de Pitágoras. Entonces, presente a sus estudiantes una manera de resolver el problema que se les ocurrió a los griegos. Dado que no medían como acostumbramos nosotros, la solución de los griegos consistió en calcular cuántas veces cabe un cuadrado en la superficie a cubrir. Pero, tenemos dos cuadrados de diferente tamaño. Entonces, ¿cómo calculamos la superficie a cubrir? ¿Con las losetas grandes o con las pequeñas? ¿O con las dos? ¿Qué pasa si la calculamos con una de las dos medidas de losetas? ¿Vamos a saber cuántas de cada tamaño vamos a necesitar?

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Permita que los estudiantes propongan hipótesis y guíe la discusión. Finalmente, si no fue propuesta la solución pitagórica, propóngala usted: sumar el área de una loseta grande y una pequeña para luego, con el resultado (un cuadrado equivalente a la suma de los dos cuadrados anteriores) calcular cuántas veces cabe ese cuadrado en la superficie a cubrir. ¿Cómo sumamos el área de los dos cuadrados si no podemos medir sus lados? A los griegos se les ocurrió lo siguiente:

Si cuentan con tabletas, utilice la suya para proyectar la solución utilizando Skitch. Cargue la foto con la distribución de losetas con el diseño deseado, y sobre ella construya el cuadrado que equivale a la suma de las áreas de dos losetas (una grande y una pequeña). Vaya mostrando cómo el área del cuadrado grande equivale a las otras dos.

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Si llamamos f al lado de la loseta pequeña, m al lado de la loseta grande y p al del cuadrado que equivale a los dos anteriores, podemos expresarlo así:

f2+m2=p2 Utilizamos estas literales para romper con la inercia de que siempre se usen las primeras letras del alfabeto y esto haga que los alumnos no reconozcan la relación entre los datos si se presentan con otras letras.

Luego, vemos cuántas veces cabe p2 en la superficie que tenemos que cubrir. Supongamos que cabe 120 veces. ¿Cómo sabemos cuántas losetas de cada tamaño necesitamos?

Seguramente aparecerán cuestionamientos acerca de la forma del piso (rectangular, circular, irregular) y del tamaño. Son dudas importantes porque de esos datos depende la solución concreta de cada caso. Sin embargo, lo que se está buscando es un método, una forma general de encontrar la solución. Claro, cuando de verdad se ponen losetas, habrá que cortar algunas y la cantidad dependerá tanto de la forma como del tamaño de la superficie a cubrir.

Permita que discutan y lleguen a la solución. Si no lo hacen, diga que se obtiene el número de losetas de cada tamaño dividiendo 120 entre 2. Deje como reto demostrar por qué se divide entre dos y si es correcto o no. Indique a todos los estudiantes que conserven una copia de la solución pitagórica sus portafolios individuales. Para esto, comparta el archivo de Skitch con todos sus estudiantes.

Para saber más Pitágoras de Samos 580 a. C. - 495 a. C. Filósofo y matemático griego. Se le considera el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos. Se le atribuye La invención de las palabras Filosofía -amor por la sabiduría- y Matemática -lo que se aprende-, un matemático es el que aprende. De la relación entre los sonidos y la longitud de las cuerdas que los producen parece haber deducido a noción de "armonía", que aplicó luego al Universo todo. La salud es la armonía del cuerpo y la música puede ayudar a restablecerla. La armonía es numérica. Según Aristóteles, los pitagóricos suponían “que los elementos de los números eran la esencia de todas las cosas, y

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que los cielos eran armonía y número”. A los pitagóricos los sorprendían y maravillaban las propiedades de los números. En su escuela cultivaban la Matemática, la Geometría y la Música como medios de "purificación". Pitágoras, un genio desconcertante http://www.comoves.unam.mx/numeros/indice/91

El principio es la mitad del todo.

Actividades de desarrollo Recursos: papel cuadriculado, lápices, cuadrados de cartón de dos tamaños, tabletas, proyector. Actividad 2: Retome lo trabajado en la clase anterior pidiendo que entre todos recuerden cómo resolvieron los griegos el problema de las losetas. Pida que expliquen lo que pensaron acerca de por qué si dividen 120 entre dos van a saber la cantidad de losetas de cada tamaño que se necesitan. Si es necesario, permita que comprueben con dibujos o cuadrados de cartón. ¿Y si el cuadrado grande cabe 63 veces? Retome la expresión a la que llegaron la clase anterior

f2+m2=p2 Pregunte si esa expresión les resulta conocida, de dónde, por qué. Plantee a los estudiantes que la solución que representa esa expresión fue propuesta por Pitágoras. Seguramente lo habrán oído nombrar. Si no, pueden investigar en Internet. Si cuentan con tabletas, permita que lo hagan en ese momento.

Ayúdelos a relacionar f2+m2=p2 con lo que conocen del teorema de Pitágoras hasta que logren observar la relación con el problema de las losetas. Actividad 3: Recursos: papel cuadriculado, lápices, tabletas, proyector.

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Si cuentan con tabletas, sugiera a los estudiantes que las utilicen del mismo modo que en la actividad 1.

Plantee a los estudiantes el siguiente problema: Seguimos siendo griegos, del grupo de los pitagóricos, y ahora el problema es calcular la cantidad de losetas que se necesitan para cubrir el mismo piso, pero esta vez con losetas de forma triangular.

Pida al grupo que proponga ideas de solución a partir de la solución dada para el problema anterior con las matemáticas griegas. Divida al grupo en equipos de 4 o 5 estudiantes para que exploren soluciones. Observe los procedimientos que van desarrollando los equipos y seleccione dos o tres que sean diferentes y que permitan discutir cómo se utiliza el teorema de Pitágoras para resolver este nuevo problema. Pida a los equipos que expongan sus soluciones. Discuta con todo el grupo de qué forma se utiliza el teorema de Pitágoras para resolver este nuevo problema. Indique a todos los estudiantes que conserven una copia de la solución desarrollada por su equipo en sus portafolios individuales.

Actividad de cierre: Presente en video la representación del teorema de Pitágoras que se expone en la sala de matemáticas de Universum. http://www.youtube.com/watch?v=1er3cHAWwIM Comenten entre todos por qué esa representación explica que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

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¿Qué aprendimos? 1. El teorema de Pitágoras en su formulación con cuadrados y triángulos. 2. Los problemas, conceptos y fórmulas matemáticos surgen de problemas (en este caso de la vida real) 3. El abstraer un hecho matemático da ventajas a la hora de resolver problemas que no estaban presentes en la primera formulación. 4. Las experiencias vivenciales refuerzan nuestro conocimiento. 5. La reflexión en grupo y el debate propician el aprendizaje. 6. Los fundamentos de la matemática se basan en premisas.

Evaluación La evaluación se llevará a cabo con la revisión de los portafolios de evidencias. Estos portafolios se fueron construyendo durante el desarrollo de la secuencia didáctica. Cada estudiante fue guardando las soluciones propuestas para los problemas, ya sea por equipos (actividades 1, 2, 3 y 4) o individuales (actividad 5). Al finalizar la secuencia pida a los estudiantes que formen parejas para revisar el contenido de los portafolios de cada uno. Para la revisión, harán uso de los siguientes lineamientos: 1.- Verificar que el portafolio contiene las 5 evidencias indicadas. 2.- Analizar los procedimientos desarrollados para dar solución a las actividades 1 y 3: ¿cambiaron la manera de enfrentar el problema? ¿Les sirvió la solución pitagórica conservada en la evidencia 2 para modificar la manera de enfrentar el problema en la actividad 3? ¿Y en los problemas de las actividades 4 y 5? 3.- Elaborar un texto breve donde expresen lo aprendido en esta secuencia didáctica. Pida a algunas parejas de estudiantes que compartan el análisis de sus respectivos portafolios.

Acreditación Finalmente, responderán de manera individual el siguiente examen para obtener una calificación: Con lo aprendido es posible resolver los siguientes problemas: 1. Se sabe que la base de la pirámide de Gizah mide 100 metros y que la distancia del plano inclinado desde la base hasta la cima mide 60 metros ¿Cuál es la altura de la pirámide? 2. Clarisa quiere comprar una pantalla de televisión y quiere saber si va a caber en el mueble de su sala que tiene un hueco rectangular de 65 cm de largo por 50 cm de alto para colocar

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la televisión. En la tienda le dicen que sólo tienen pantallas de 22, 32 y 45 pulgadas. El vendedor le explica que la medida de las pantallas corresponde a su diagonal. ¿Cuál de las medidas se acerca más a la diagonal del hueco de su mueble? Actividad comunitaria Investigar y resolver, por equipos, una situación que sirva a la comunidad (familia, barrio, vecinos, etc.) y que requiera el uso del Teorema de Pitágoras. Presentar en cinco minutos, ante la clase, el problema, resultado e impacto, si es posible, con evidencia de fotos o video. Un ejemplo de este tipo de actividad que beneficia a un grupo social o a una comunidad es el siguiente: Para acceder al deportivo del barrio hay sólo una gran escalinata, que es difícil de subir para las personas de la tercera edad e imposible para quienes usan silla de ruedas. Los habitantes de la zona quieren proponer a la delegación que se haga una rampa de acceso. Ellos podrían colaborar con la propuesta y la mano de obra, la delegación deberá poner los materiales. Dado que la escalera tiene 20 metros de frente por dos metros de alto y 4.16 metros de ancho, los estudiantes deberán indagar cuál es el peralte (o ángulo) máximo que debe tener una rampa para uso de personas con discapacidad y hacer la propuesta de medidas y diseño de dicha rampa. Lecturas recomendadas Matemáticas. Prólogo, capítulos 1 y 2 de referencia 1. Literatura: Pitágoras, el hijo del silencio, Benigno Morilla MR Ediciones Recursos en Internet: https://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1goras http://books.google.com.mx/books?id=hKYVu3VaWtMC&printsec=frontcover&dq=pitagoras& hl=es&sa=X&ei=XlK7UbDrL6Wz0QGDxYDAAQ&ved=0CDMQ6AEwAQ http://books.google.com.mx/books?id=7XV6_BL448IC&printsec=frontcover&dq=pitagoras&hl =es&sa=X&ei=XlK7UbDrL6Wz0QGDxYDAAQ&ved=0CDAQuwUwAA#v=onepage&q=pitagoras& f=false

Referencias 1. Jean Paul Collete; Historia de las matemáticas I. Editorial Siglo XXI. 2. Roger Penrose; The road to reality, Editorial: Alfred A. Knoff, New York 3. Aleksandrov, Kolmogorov, Laurentiev; La matemática, su contenido y significado 1 Editorial: Alianza Universidad.

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