Segredos do Radical Duplo parte 1

Segredos do Radical Duplo – Parte I Palmerim Soares

Segredos do Radical Duplo – Parte I Meu objetivo neste artigo é mostrar um novo método, simples e prático, de se obter mentalmente uma soma de radicais simples que seja equivalente a um radical duplo dado. Existe um conhecido macete para se fazer isso, mas ele não se aplica a radicais duplos do tipo 4 − 7 , porque 7 não é múltiplo de 4. Porém, meditando sobre o assunto outro dia, acabei encontrando uma forma simples de calcular mentalmente esse tipo de radical duplo também. Para melhor compreensão do novo método, vou recordar brevemente o antigo macete. Seja, por exemplo, “resolver”1o radical duplo 5 − 24 . Como o segundo radicando, 24, é um múltiplo de 4, basta dividi-lo por 4 para obter 6 e, daí, é só calcular mentalmente dois números cujo produto seja 6 e cuja soma seja 5. Os números procurados são 3 e 2, que, colocados sob a forma de soma de radicais simples, 5−

dão

24 =

3−

3− 2

2.

Assim,

. Da mesma forma, temos

5 + 24 = 3 + 2 . Ficaria difícil, porém, aplicar esse mesmo procedimento num radical

do tipo 4 − 7 . Mas, como disse no início, mesmo nesse caso há uma saída fácil e rápida. Para resolver 4 − 7 , multiplique ambos os radicandos

por 4, obtendo 16 e 28, e agora basta encontrar dois números cujo produto seja 28 e cuja soma seja 16. Os números são 14 e 2, que, deverão ser escritos sob a forma de soma de radicais simples, porém divididos por 2: 14 −

2

. Portanto,

2

4− 7 =

mesma forma, teríamos 4 + 7 =

14 −

2 14

2

. Da

+ 2 . 2

Palmerim Soares Passemos, agora, à justificativa da técnica. O que fizemos foi aplicar o mesmo princípio da racionalização de denominadores, qual seja, multiplicar a expressão original por uma fração do tipo

x ( x

que não altera o valor da expressão original, mas modifica a sua forma, tornando-a mais conveniente para determinados cálculos. No caso de radicais duplos do tipo 4 − 7 , podemos multiplicar por

2− 3

b)

3+ 5

c)

4 − 15

d)

3 + 2 2

e)

7 + 3 4

f)

11 5 + 4 2

2

:

2

4− 7 = =

2 2⋅ 4− 7 ⋅ 4− 7 = = 2 2

4⋅4 − 4 7 16 − 112 = 2 2

Caímos agora no caso mais antigo, em que o segundo radicando é um múltiplo de 4. Para resolver o radical duplo do numerador dessa fração, dividimos 112 por 4, que dá 28 e procuramos dois números que multiplicados dão 28 e somados dão 16, que são 14 e 2. Repare que 16 e 28 são, respectivamente, os produtos de 4 e 7 por 4. O segundo radicando, o número 7, foi multiplicado por 16 e o resultado, 112, foi dividido por 4. Multiplicar por 16 e dividir por 4 é o mesmo que multiplicar por 4, o que explica a nossa técnica. Para finalizar, apresento o radical 2 7 − e convido você a resolvê-lo duplo 3 6 7 sem usar a fórmula, mas aplicando as ideias discutidas neste artigo. No próximo artigo, darei a solução e mostrarei outros exercícios inéditos e interessantes de álgebra, geometria trigonometria e números complexos envolvendo radicais duplos.

Agora resolva mentalmente os radicais duplos a seguir, e confira a resposta no final do artigo. a)

), cujo valor é 1, o

Você não vai encontrar radicais duplos do tipo d), e) e f) em livros, apostilas, ou na internet. Procure criar outros semelhantes. 1

Neste artigo, “resolver” um radical duplo, significa transformar numa soma de radicais simples.

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