Segredos do Radical Duplo parte 2
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Segredos do Radical Duplo – Parte II Palmerim Soares No artigo anterior mostrei uma forma inédita de resolver mentalmente (sem usar a fórmula) radicais duplos do tipo 4 7 , onde o segundo radicando (neste exemplo, o número 7) não é múltiplo de 4. Obviamente, poderíamos utilizar a fórmula resolutiva, mas, em inúmeros casos, torna-se bem mais fácil e rápido calcular mentalmente. Não somente por isso, mas, ensinar também o método mental aos alunos do 9º ano, é uma maneira de reforçar a técnica de fatoração de trinômios do 2º grau, bem como a resolução de equações do 2º grau por meio da fatoração. Neste texto, vou resolver o desafio proposto no artigo anterior e mostrar mais alguns detalhes práticos relacionados com radicais duplos, assim como outros exercícios inéditos, dentre muitos que tenho elaborado para trabalhar este conteúdo. Primeiramente, vamos resolver o desafio: 2
7
3
2
2
3
7 6
3
6 7
7
6 7
4 7 6
7
2
3
7
7 7 67
2
2
6
6
4
2
3
21 3 6
17
b)
12
3
2 2
exemplo, seja o radical duplo 9 45 . Como 45 não é múltiplo de 4, para resolver mentalmente, teríamos que encontrar dois números cujo produto é 180 e cuja soma é 36, o que não é fácil, já que 180 é um número grande e possui 16 divisores próprios. Mas, há uma saída prática: 45
3 3
9
5
95 3 3
Também é interessante propor aos alunos a resolução de equações cujas raízes são radicais duplos, como as três abaixo. 3) Resolva as equações:
a)
x 2 4 x 12 0
b)
2 x 2 3x 1 0
c)
25 x 4 40 x 2 1 0
É importante notar que tudo o que sabemos sobre radicais duplos se aplica também aos números complexos. Esse fato é explorado na questão a seguir: 4) O produto das raízes complexas da
4
2
7
4
b)
Agora ficou fácil. Basta encontrar dois números com produto 20 e soma 12:
7
d) 2
9 4
0 é igual a:
7
c) 2
e)
7 2
2 9
4
2
Para finalizar, apresento mais duas boas questões que preparei para este artigo. 5) Seja
a
parábola
ordenada
2
9
com
vértice
e abscissa
3
de
, e que
2
4
intercepta o eixo OY no ponto de ordenada 2 . Se r e s são as raízes da equação da parábola, com r s , então s o valor da expressão é: r 2 a) d)
b)
2 2 2
2
2 2
c)
2 2
e)
2
6) Simplificando a expressão
93 5 5
12 135
b)
4
Em geral, a resolução mental funciona melhor com números pequenos, mas, em diversos casos, mesmo com números grandes, é possível resolver sem usar a fórmula. Por
9
10 75
a)
a)
2 6
6
2
1) Resolva mais estes (sem usar a fórmula):
a)
2
4
4 7
14 2
30
2) Use essa dica nos radicais duplos abaixo:
6
14
2
equação x 7 x
O numerador dessa fração é um radical duplo que pode ser resolvido mentalmente. Portanto: 4 7
10
3
7
48
7
48
7
48
7
48
encontramos: a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
www.profpalmerim.blogspot.com
c) 3
Segredos do Radical Duplo – Parte II Palmerim Soares
RESPOSTAS : 3
1) a)
3
2
x 3 9 4 2
3 32 6
b)
6
x
75 10 5 3
x
3
5 2 3
6
5
2
x
30 10
2
2
4
3
94 2
2
5 2 3
9
2
2) a) 10
3
4
3
9 32
2
2
x
b)
4
3
8 1
2
2
12 135 12 3 15
3 4 15
10
3
3 4 15
6
2
s
2 2 2
x3
, x2
10 5 2
30
4 7
e xi
2
5 2
y a x
3
2
Como 0 ,
2
2
10
a
2
b
a 1
4
Substituindo a 1 em * , vem:
y x
3
2
2
2
4 7 48
48
Para facilitar a visualização, façamos:
9
b
a b 2
a
2
2
4
7 4
4
4
48
4
7
7
2
48
7
7
48
7
48
7
2 3 2 3 4
49 48
7
48
2
48 48
48
4
9
2
ab
Calculo das raízes da equação:
x 3 2
b 4 7 48
e
Substituindo, vem:
pertence à parábola: 2
4 7 48 e
48
7
4 7
* 9
2
2 1
Então, a expressão original fica:
9
2
2 2
1 2 2
a 4 7 48
4
3 2 a0 2
:
2 2
7
30
5) a Equação da parábola na forma canônica: 2
r 2
10
4) d As raízes complexas são: xi
s
6) d Lembremos inicialmente que:
5 2 30
e x4
10
r 2
c) São 4 raízes reais distintas: 5 2 30
2
Cálculo de
a) x1 1 3 e x2 3 3
x1
30 3 2
b) x1 1 2 e x2
x 1 2 ou x 2 2
8 1
2
2
3)
3
x
2
0
4
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4 42 1
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