SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA DO CAOS: Uma abordagem aplicada a Mecânica da Fratura,

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA DO CAOS: Uma abordagem aplicada a Mecânica da Fratura, por Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007

LUCAS MÁXIMOALVES

SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA DO CAOS: Uma abordagem aplicada a Mecânica da Fratura,

CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007 LUCAS MÁXIMOALVES

SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA DO CAOS: Uma abordagem aplicada a Mecânica da Fratura,

Apostila organizada como resultado do estudo das aulas para obtenção de créditos da Disciplina de SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA DO CAOS do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná

Orientador: Prof. Dr. Maurício Gobbi Orientador: Prof. Dr.

CURITIBA – PARANÁ MARÇO – 2007

Dedicatória

Dedico,

Agradecimentos Agradeço a Deus pelo seu imenso amor e misericórdia revelado nas oportunidades que a vida me trouxe. Quero também agradecer: À minha Família pelo apoio emocional e espiritual, ao meu orientador o Prof. Dr. ....., ao meu Co-Orientador o Prof. Dr. .... , a Maristela Bradil pela amizade e dedicação com que nos atende, aos amigos, ...., .... ...., ......., e toda a galera do CESEC.

Epígrafe

“vida é um algo multidimensional cuja imprevisível curvatura temporal só é conhecida quando se experimenta os fatos a cada dia e, mesmo assim, não se consegue prever com exatidão a curvatura temporal dos fatos seguintes, mesmo que se expanda esta (a curvatura futura) numa vizinhança em torno do fato no instante presente” (Lucas M. Alves)

Sumário Capítulo – I ...............................................................................................................................14 INTRODUÇÃO........................................................................................................................14 1. 1 – Apresentação do curso...................................................................................................14 1. 2 – Conceitos Básicos..........................................................................................................15 1.2.1 – Graus de Liberdade....................................................................................................... 15 1.2.2 – Sistema ......................................................................................................................... 15 1.2.3 – Sistema Autônomo ....................................................................................................... 15 1.2.4 – Sistema Não-Autônomo ............................................................................................... 15 1.2.5 – Sistema Conservativo ................................................................................................... 15 1.2.6 – Sistema Dissipativo ...................................................................................................... 15 1.2.7 – Equilibro Estável .......................................................................................................... 15 1.2.8 – Equilíbrio Instável ........................................................................................................ 15 1.2.9 – Estabilidade Estrutural.................................................................................................. 15 1.2.10 – Diagrama ou Retrato de Fases ................................................................................... 15 1.2.11 – Linhas de Fluxo .......................................................................................................... 16 1.2.12 – Ponto Fixo ou Estacionário ........................................................................................ 16 1.2.13 – Atrator......................................................................................................................... 16 1.2.14 – Bifurcação................................................................................................................... 16 1.2.15 - Bacia de Atração ......................................................................................................... 16 1. 3 – Exemplos e Simulações .................................................................................................24 1. 4 – Oscilador de Duffing .....................................................................................................25 1. 5 – Oscilador com excitação vertical no suporte.................................................................29 1. 6 – Conclusão ......................................................................................................................39 1. 7 – Referências Bibliográficas.............................................................................................40

Lista de Figuras Figura - 1. 1. Representação esquemática de um oscilador......................................................25 Figura - 1. 2. Plano de fase x1 x x2 para o sistema (50) ,   0.16 ,   0,4 ,   0.2 e c  0.04 ....................................................................................................................................27 Figura - 1. 3. Mapa de Poincaré para o sistema (50)   0.16 ,   0.4 ,   0.2 , e c  0.04 .. ...................................................................................................................................27 Figura - 1. 4. Diagrama de bifurcação do sistema (50)   0.16 ,   0.4 ,   0.2 e c  0.04 ....................................................................................................................................28 Figura - 1. 5. Representação esquemática de um oscilador com excitação vertical no suporte e com um amortecimento c . .....................................................................................................29 Figura - 1. 6. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada  para a obtenção da energia cinética.....................................................................................................29 Figura - 1. 7. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada u para a obtenção da energia cinética. ...................................................................................................................30 Figura - 1. 8. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada  para a obtenção da energia potencial...................................................................................................31 Figura - 1. 9. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada u para a obtenção da energia potencial. .................................................................................................................32 Figura - 1. 10. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.....................34 Figura - 1. 11. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.....................35 Figura - 1. 12. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.....................36 Figura - 1. 13. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.....................37 Figura - 1. 14. Diagrama de bifurcação para diferentes intervalos de b. (a) b=1.7 até b=2.2. (b) b=2.2 até b=3. ...........................................................................................................................37

Lista de Tabelas

Lista de Siglas

Lista de Símbolos

Resumo

Abstract

Capítulo – I INTRODUÇÃO RESUMO

1. 1 – Apresentação do curso

1. 2 – Conceitos Básicos

1.2.1 – Graus de Liberdade

1.2.2 – Sistema É todo objeto cujas partes exibem um comportamento depende ou interelacionado com o todo gerando uma estrutura organizada.

1.2.3 – Sistema Autônomo

1.2.4 – Sistema Não-Autônomo

1.2.5 – Sistema Conservativo

1.2.6 – Sistema Dissipativo

1.2.7 – Equilibro Estável

1.2.8 – Equilíbrio Instável

1.2.9 – Estabilidade Estrutural Um sistema é estruturalmente estável se campos vetoriais suficientemente próximos têm retratos de fases equivalentes

1.2.10 – Diagrama ou Retrato de Fases

1.2.11 – Linhas de Fluxo

1.2.12 – Ponto Fixo ou Estacionário

1.2.13 – Atrator Ë o ponto para o qual convergem as trajetórias no espaço de fases depois de um tempo suficientemente longo

1.2.14 – Bifurcação

1.2.15 - Bacia de Atração É o conjunto de toadas as possíveis condições iniciais que converge para o mesmo atrator.

Capítulo – II FLUXO NO ESPAÇO DE FASE RESUMO

2. 1 – Introdução

2. 2 – Determinismo, Fluxo de Fase e Teorema de Liouville

2.2.1 – Estado Dinâmico de um Sistema O Estado Dinâmico de um Sistema é definido por n variáveis no tempo, t,

X ( t )   x1 ( t ) , x 2 ( t ),..., x n ( t ) 

(2. 1)

geometricamente este é um ponto em um espaço n-dimensional chamado de Espaço de Fase. Pelo determinismo isto significa que existe uma regra definitiva. Se o estado X(t) ocorre então este surge por uma seqüência de passos de um estado definido X(to) a um tempo anterior to < t. Em outras palavras, se X(t) ocorre então X(to) deve ter ocorrido anteriormente. Como pode acontecer em um sistema não-linear, uma não-unicidade pode surgir. Uma condição inicial X(to) pode dar lugar a duas ou mais soluções. Mas isto é somente uma complicação. O principal ponto é que não existe aleatoriedade ou possibilidade de livre escolha na evolução temporal de um estado para outro. O futuro é fixado uma vez e para todo pelo passado. Define-se um sistema dinâmico por um sistema de equações diferenciais.

x i ( t )  V i  x1 ( t ) , x 2 ( t ),..., x n ( t ), t , 



(2. 2)

Com  um parâmetro de controle ( pode também denotar uma seqüência de parâmetros de controles). O determinismo está implícito no fato de que as soluções dependem apenas das condições iniciais, bem como apenas de t e .

x i ( t )  

i

 x1 ( to ), x 2 ( t o ),...,

x n ( t o ), t o , 



(2. 3)

Dado que iniciou-se o assunto com Equações Diferenciais, é natural tentar pensar na coleção de trajetórias no Espaço de Fase como um fluxo análogo ao fluxo de um fluido. Por sua vez, supões-se que o lado direito de (2. 2) é independentemente do tempo t, o que significa que nós restringimos nossas considerações para sistemas auto-reguláveis (autônomo), por onde a solução (2. 3) dependem somente e apenas da diferença de tempo t – to. A extensão para sistemas com uma contribuição para o lado direito que varia periodicamente com t é dado na secção 1.4. Uma linha de corrente do fluxo e uma trajetória do sistema dinâmico, e o campo de velocidades

V  V i V 1 , V 2 ,..., V n 

(2. 4)

é em todo o ponto tangente as linhas de corrente. O análogo do fluxo de uma massa finita do fluido é o tubo de linhas de corrente traçada pelo desenvolvimento do tempo, começando de um elemento de volume finito do espaço de fase.

  ( t o )   x1 ( t o ) ,  x 2 ( t o ),...,  x n ( t o )

(2. 5)

Todo ponto neste elemento de volume é uma condição inicial de (2. 2) e assim para cada ponto de fase existe uma trajetória conforme t aumenta a coleção destas trajetórias formam um cilindro, ou tubo, no espaço de fase conforme mostra a Figura - 2. 1.

Figura - 2. 1. Tubo de linhas de corrente no espaço de fase emananado de uma bola de condições iniciais.

Na natureza, nós nunca podemos especificar a localização de um ponto com precisão infinita, tal que um valor finito de

 (t o ) geometricamente representa a ignorância

finita que é presente no início de todo experimento ou seqüência de observações. Será visto nos capítulos subseqüentes que a diferença qualitativa entre a evolução de trajetórias de sistemas caóticos e não-caóticos estende-se na maneira com que a forma de

 (t o ) varia

conforme o tempo passa. Vamos por sua vez estabelecer ao lado da questão de como diferenciar significativamente da forma de

 (0) pode

 (t ) e concentrar, ao invés disso, apenas na

questão mais fácil. Como o tamanho do elemento de volume varia com o tempo? Porque:

  ( t o )  J ( t o )  ( 0 )

(2. 6)

onde nós tomamos to = 0, e onde

J (t ) 

  x1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t )    x1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) ,..., x n ( 0 ) 

(2. 7)

é o determinante de Jacobi da transformação (2. 3) (nós queremos pensar de (2. 3) como uma transformação de coordenadas de um par6ametro com t) nós precisamos somente estudar a derivada.

dJ ( t )   x1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t )    x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t )    .. dt   x 1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) ,..., x n ( 0 )    x1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) ,..., x n ( 0 ) 

(2. 8)

Pela regra da cadeia para o determinante de Jacobi, pode-se escrever:

  x 1 ( t ) ,.. x i ( t ) ,..., x n ( t )    x 1 ( t ) ,.. x i ( t ) ,..., x n ( t )   J (t )   x 1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) ,..., x n ( 0 )    x 1 ( t ) , x 2 ( t ) ,..., x n ( t ) 

(2. 9)

Este se reduz a

  x1 ( t ) ,.. x i ( t ) ,..., x n ( t )   x i ( t )  J (t )   x1 ( 0 ) , x 2 ( 0 ) ,..., x n ( 0 )   x i ( t )

(2. 10)

Por causa das variáveis  x1 (t ),..xi (t ),..., xn (t ) são independentes. Observa-se que: n

 .V 

 i 1

 x i ( t )  xi (t )

(2. 11)

É a divergência do campo de fluxo V, então nós obtemos a equação diferencial de primeira ordem

J  J  .V



Para o tempo do desenvolvimento do Jacobiano.

(2. 12)

2.2.1 - Sistemas Conservativos Os sistemas conservativos são definidos pela condição de divergência livre

 .V  0 , e isto significa que o fluxo no espaço de fase é incompressível Pensando-se do fluxo como sendo aquele de um fluido com densidade de massa

 ( x1 , x2 ,..., x2 , t ) então a

conservação local de massa (ou a conservação da probabilidade) corresponde a equação da continuidade:

 . V 

  0 t

(2. 13)

Onde  é o gradiente n-dimensional no espaço de fase (veja a equação (2. 11)). Se o divergente do campo de velocidades se anula, então nós podemos reescrever (2. 13) na forma:

  V .     .V 

 t

(2. 14)

E

  V .  

  0 t

(2. 15)

a qual é exatamente a condição para d / dt  0 ou  = constante no tempo ao longo de uma linha de corrente, porque   d / dt é a densidade no tempo ao longo de uma linha de corrente no fluxo. Isto é, o fluxo é incompressível.

2. 3 – Introdução à Teoria da Estabilidade

2. 4 – Equilíbrio, Estabilidade Linear e Limite Cíclicos

2. 5 – Exemplos e Simulações

2. 6 – Oscilador de Duffing Neste exemplo aplica-se todas as técnicas de análise apresentadas nesse trabalho, começando pela modelagem física do oscilador usando a função de Lagrange para obter as equações do movimento e por fim fazendo a análise sua estabilidade e instabilidade de acordo com a variação dos parâmetros do sistema [3].

Figura - 2. 2. Representação esquemática de um oscilador

A energia cinética do sistema representado pela Figura - 2. 2 é da forma

T 

1 m x 2 2

(2. 16)

e a energia potencial do sistema é da forma

V   f ( x)dx

(2. 17)

A força elástica da mola não linear pode ser escrita por

fel   (   x  x 3 ) sendo



(2. 18)

o coeficiente de rigidez da mola. De acordo com a seção 2.1.2 eq.(15), o amortecimento f d e a força externa f c

são somadas, pois não entram nas energias cinética e potencial do sistema, e por isso não entram na função de Lagrange, então

Qi = fd + fc =  cx +  cos(  t )

(2. 19)

Calculando a energia potencial do sistema temos que

  f el dx

(2. 20)

   (   x  x 3 ) dx

(2. 21)

V= Substituindo (2. 18) em (2. 20) V= resultam em

V=  

x2 x4  2 4

(2. 22)

Calculando o Lagrangeano L  T  V temos, L=

x2 x4 1 2  mx  (   ) 2 4 2

(2. 23)

A função Lagrangeana apresentada em (15) é repetida a seguir para fácil referência,

L d  L      Qi x dt  x 

(2. 24)

Substituindo (2. 19) em (2. 24), temos

L d  L      c x   cos(  t )  x dt   x 

(2. 25)

 x  x 3  m x  c x   cos(  t )

(2. 26)

e

A equação diferencial para o oscilador de Duffing é dada por

m x  c x   x  x 3   cos(t )

(2. 27)

Considere a equação do oscilador de Duffing na forma espaço estado, definindose as variáveis de estado x1  x e x 2  x .

dx1  x2 dt dx2  x1  x13  c x2   cos(t ) dt

(2. 28)

O plano de fase x1 x x2 do sistema (2. 27), é mostrado na Figura - 2. 3.

Figura - 2. 3. Plano de fase

x1

x

x2

para o sistema (50) ,

  0.16 ,   0,4 ,   0.2 e

c  0.04 .

Observando a Fig.9 nota-se que o sistema apresenta, uma órbita caótica ou uma órbita com muitos períodos. O mapa de Poincaré para um período fixo T =

2 , é mostrado 

na Figura - 2. 4,

Figura - 2. 4. Mapa de Poincaré para o sistema (50)   0.16 ,

  0.4 ,   0.2 , e c  0.04 .

No mapa da Figura - 2. 4 observa-se uma distribuição irregular de pontos, o sistema não é periódico. Foram plotados 50000 pontos nesse mapa. Para observar a transição de estabilidade e instabilidade constrói-se o diagrama de bifurcação, variando-se o parâmetro de controle  (coeficiente de rigidez da mola) em função da posição x1 como é mostrado da Figura - 2. 5.

Figura - 2. 5. Diagrama de bifurcação do sistema (50)   0.16 ,

  0.4 ,   0.2 e c  0.04 .

Observa-se que na região entre   0.6 e 0.8 ocorrem bifurcações, ou seja, quando o  (coeficiente de rigidez) aumenta, o sistema deixa de ser estável e começa a ficar instável e

ter regiões caóticas, como mostra o diagrama.

2. 7 – Oscilador com excitação vertical no suporte Neste outro exemplo se faz a mesma análise feita no exemplo anterior, só que agora, excita-se o suporte verticalmente e, para simplificar, retira-se a mola não linear, como mostra a Figura - 2. 6 [5].

Figura - 2. 6. Representação esquemática de um oscilador com excitação vertical no suporte e com um

amortecimento c .

O diagrama de forças para a obtenção da energia cinética em relação a coordenada



é mostrado na Figura - 2. 7.

Figura - 2. 7. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada energia cinética.

Para a posição tem-se a seguinte expressão



para a obtenção da

x1  L sen( )

(2. 29)

Derivando (2. 29) obtemos a expressão da velocidade

x1  L cos( )

(2. 30)

Substituindo (2. 30) na expressão da energia cinética temos T1 

1 m( L cos( )) 2 2

(2. 31)

O diagrama de forças para a obtenção da energia cinética em relação a coordenada u é mostrado na Figura - 2. 8.

Figura - 2. 8. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada u para a obtenção da energia cinética.

Analisando a Figura - 2. 8 conseguimos obter a expressão para a posição

x 2  u  L cos(  )

(2. 32)

Derivando (2. 32) obtemos a expressão da velocidade

x 2  u  L  sen( )

(2. 33)

A energia cinética para a coordenada u é dada por T2 

1 m(u  L sen( )) 2 2

(2. 34)

Supõe-se mais tarde uma expressão harmônica para a coordenada u para o movimento vertical ser oscilatório. Somando T1 e T2 obtemos a energia cinética total do sistema

T  T1  T2

(2. 35)

e T

1 1 m( L cos( )) 2  m(u  L sen( )) 2 2 2

(2. 36)

O diagrama de forças para a obtenção da energia potencial em relação a coordenada



é

mostrado na Figura - 2. 9.

Figura - 2. 9. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada energia potencial.



para a obtenção da

A energia potencial do esquema da Figura - 2. 9 é dada por

V1  mgh , h  L(1  cos( ))

(2. 37)

Substituindo o valor de h em (2. 37) temos

V1  mg[ L(1  cos( ))]

(2. 38)

O diagrama de forças para a obtenção da energia potencial em relação a coordenada u é mostrado na Figura - 2. 10.

Figura - 2. 10. Representação das forças do pêndulo em relação a coordenada u para a obtenção da energia potencial.

A energia potencial do esquema da Figura - 2. 10 é obtida como segue

V 2  mgu

(2. 39)

sendo u que determina a altura da polia. A energia potencial total do sistema é dada por

V  V1  V2

(2. 40)

V  mg[ L(1  cos( )  u )]

(2. 41)

e

Aplicando a função Lagrangeana L  T  V para a coordenada  , temos

1 L  m(L2 2  2uL sen  u 2 )  (mg[L(1  cos( )  u]) 2

(2. 42)

A equação do movimento para a coordenada  é

d  L  L  c   dt    

(2. 43)

mL2  mL u sen( )  mgL sen( )   c

(2. 44)

e

A equação do movimento para coordenada u é obtida como segue d  L   L      F dt  u   u 

A componente F existe, pois F depende da coordenada u.

(2. 45)

A equação do movimento para a coordenada u é

mLsen( )  mL 2 cos( )  mu  mg  F

(2. 46)

Para u  Asin ( t ) , sendo A amplitude de excitação e  a freqüência, temos

u  A cos(y )

(2. 47)

u   A sen(t ) 2

Substituindo u apenas em (2. 44), pois quando introduzimos a excitação u  Asin(t ) no sistema (2. 46) se torna simplesmente a força necessária para produzir o movimento harmônico no suporte. Considerando (2. 44) na forma espaço de estado e definindo as variáveis de estado como   x1 e   x 2 temos x1  x 2 x 2 

 mLA 2 sen(t ) sen( x1 )  mgL sen( x1 )  cx2 mL2

(2. 48)

Escolhemos as constantes do sistema (2. 48) como d 

c g  0 . 31623 a   0 .1 ; L mL 2

e

b

A L

2

,

(2. 49)

sendo b a amplitude de excitação, e nas simulações utilizou-se um período de T   . O plano de fase para b=1.7, é mostrado na Figura - 2. 11.

Figura - 2. 11. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.

Neste caso, observa-se uma oscilação de amplitude muito pequena em torno do zero, o que pode caracterizar uma estabilidade [4]. Fazendo a mesma análise acima , só que para b=1.75, obtemos a Figura - 2. 12.

Figura - 2. 12. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.

Para b=1.75, observa-se que o histórico no tempo aparentemente converge para zero, mas quando observa-se o plano de fase nota-se a formação de um ciclo limite próximo de zero, pode-se observar também no mapa de Poincaré que não existe mais um ponto, mas sim duas regiões muito próximas, caracterizando perda de estabilidade no sistema. Segundo [4], para este valor do parâmetro b obtém-se um multiplicador de Floquet igual a +1, e o tipo de bifurcação que se forma é a bifurcação por quebra de simetria. Fazendo b=1.8, obtemos a Fig.19.

Figura - 2. 13. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.

Para um parâmetro b=1.8, observa-se na Fig.19 que o ciclo limite do plano de fase e as duas regiões de atração do mapa de Poincaré não estão mais em torno do zero, houve um afastamento devido a um aumento maior da amplitude de excitação b. Fazendo b=2.448, obtemos a Figura - 2. 14.

Figura - 2. 14. (a) Histórico no tempo. (b) Plano de fase. (c) Mapa de Poincaré.

Na Figura - 2. 14 observa-se duas regiões com grande concentração de pontos, podendo caracterizar um atrator aperiódico, ou seja, depois de uma seqüência de duplicações de período o sistema tornou-se caótico. A seguir, apresenta-se o diagrama de bifurcação do sistema (2. 48).

Figura - 2. 15. Diagrama de bifurcação para diferentes intervalos de b. (a) b=1.7 até b=2.2. (b) b=2.2 até b=3.

No diagrama da Figura - 2. 15(a) observamos que a partir de b  1.7 há um braço de soluções estáveis tornando-se instável após a bifurcação, e originando dois novos braços de soluções estáveis a partir de b  1.75 , o que caracteriza o comportamento da bifurcação por quebra de simetria [4], [5]. Já no diagrama da Figura - 2. 15(b), observa-se uma nuvem de pontos, caracterizando um comportamento caótico.

2. 8 – Conclusão Neste trabalho são apresentados os conceitos de formulação Lagrangeana, princípio de Hamilton, mapas e seções de Poincaré, bifurcações e duas aplicações em dois tipos diferentes de pêndulos. A partir da modelagem física, utilizando o Lagrangeano para a obtenção das equações de movimento, até a parte de simulação, onde são feitas análises da estabilidade e instabilidade nos sistemas, pode-se observar em qual ponto o sistema deixa sua órbita estável e inicia um comportamento instável ou caótico. Observa-se a importância de se realizar muitas variações nos parâmetros do sistema com a intenção de analisar o seu comportamento, já que o sistema é sensível às condições iniciais impostas.

2. 9 – Referências Bibliográficas [1] Leech, J.W., Mecânica Analítica, Livro Técnico S.A.e Editora da Universidade de São Paulo, 1971. [2] Ferrara, N.F., Prado, C.P.C., Caos uma Introdução, Edgard Blucher, 1995. [3] Argyris, J., Faust, G., Haase, M., An Exploration of Chaos, North- Holland, 1994. [4] Nayefh, A.H., Balachandran, B., Applied Nonlinear Dinamics, Wiley, 1995. [5] Dávid, A., Sinha, S.C., Control of Chaos in Nonlinear Systems with Time-Periodic Coefficients, Proceedings of the American Control Conference Chicago, Illinois, June 2000. [6] Gonçalves, P.B., Del Prado, Z.G.N., Instabilidades de Sistemas Dinâmicos, 1a Escola de Aplicações em Dinâmica e Controle, São Carlos, Agosto 2001.