Sistemas Numericos

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GUIA DE LABORATORIO 05/NOV/2012

PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS ARQUITECTURA DEL COMPUTADOR VERSION 1.2

TEMA: SISTEMAS NUMERICOS OBJETIVOS: 1. Afianzar las habilidades de reconocimiento, conversión y operaciones con y entre los sistemas numéricos. 2. Aprender las operaciones básicas con los sistemas numéricos. 3. Poner en práctica algoritmos de multiplicación y división con binarios. METODOLOGIA: Esta guía puede ser desarrollada en grupos máximo de tres estudiantes. Se deben entregar lo solicitado en cada punto y en la fecha indicada. DESARROLLO: El hombre siempre ha visto la necesidad en tener un control de cantidad sobre las cosas que posee, es así como desde la antigüedad se han inventado distintos sistemas, simbólicos, abstractos y/o numéricos, para representar un conjunto de entes específicos. En informática se usan muchos sistemas de numeración como el binario, el octal, el hexadecimal y el decimal. Para representar las cantidades numéricas utilizó símbolos, introducidos inicialmente por los árabes, quienes los habrían tomado de los hindúes. Esos símbolos se conocen hoy en día con el nombre de dígitos. En el sistema decimal se identifican como: cero (0), uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8) y nueve (9). Para el hombre poder comunicarse de manera fácil con la computadora, estudio y determinó las características de un sistema ya conocido para él y las extrapoló hacia los demás sistemas. Características de los Sistemas Numéricos: 1. Todo Sistema Numérico tiene una base (B). Ejemplo: En el Sistema Decimal la base es el (10) Diez. En el Sistema Octal la base es (8) Ocho. En el Sistema Hexadecimal la base es (16) Dieciséis. En el Sistema Binario la base es (2) Dos. Cuando hay varios números de distintas bases éstos se escriben entre paréntesis y se les escribe la base como un subíndice. Ejemplo: (457)10 (457)8 (457)16 2. El máximo dígito que existe en un sistema numérico es la base menos 1. (B – 1). Ejemplo: en el sistema decimal el máximo digito es el nueve (9). En el sistema Octal el máximo dígito es el siete (7). En el sistema binario el máximo digito es el uno (1). M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

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En el sistema hexadecimal ocurre algo especial. El máximo dígito está representado por un símbolo alfabético así. (16 – 1 = 15 = F). 3. La representación de los números en un sistema numérico se hace con sus dígitos, cuando estos se acaban se incrementa en uno el dígito a la izquierda y se inicia nuevamente desde cero. Ejemplo: En el sistema decimal se tiene {00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} En el sistema octal se tiene {00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17} En el sistema hexadecimal se tiene {00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 0A, 0B, 0C, 0D, 0E, 0F 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F} En el sistema binario se tiene {00, 01 10, 11 100, 101, 110, 111} Esta propiedad le permite a los sistemas numéricos conocerse también como sistemas numéricos posicionales. 4. Todo sistema numérico se puede representar por la siguiente fórmula:

Donde: B es la base en que se encentra Z. Z es un número en base B. Zk es el digito de Z en la posición K. Ejemplo: (8794)10 = 4*100 + 9*101 + 7*102 + 8*103 (8794)10 = 4*1 + 9*10 + 7*100 + 8*1000 (8794)10 = (8794)10

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CONVERSIONES ENTRE SISTEMAS NUMÉRICOS De Base B a Base 10 Para convertir un número que se encuentra en una base B se utiliza la cuarta característica de los sistemas numéricos. Otros Ejemplos: (672456)8 = 6*80 + 5*81 + 4*82 + 2*83 + 7*84 + 6*85 (672456)8 = 6*1 + 5*8 + 4*64 + 2*512 + 7*4096 + 6*32768 (672456)8 = 6 + 40 + 256 + 1024 + 28672 + 262144 (672456)8 = (292142)10 (101111.101)2 = 1*2-3 + 0*2-2 + 1*2-1 + 1*20 + 1*21 + 1*22 + 1*23 + 0*24 + 1*25 (101111.101)2 = 1*0.125 + 1*0.5 + 1*1 + 1*2 +1*4 + 1*8+ 1*32 (101111.101)2 = (47.625)10 De Base 10 a Base B Para convertir un número en base 10 a Base B se hacen divisiones sucesivas entre la base a la cual se desea llevar el número, hasta que el cociente sea menor que la base. El número resultante se escribe de la siguiente manera: El dígito más significativo es el último cociente hasta el primer residuo; este será el digito menos significativo. Ejemplos:

2 347 173 86 43 21 10 5 2 1

1 1 0 1 1 0 1 0

(347)10 = (X)8 (X)16 (X)2 8 (101011011)2 347 3 (533)8 43 3 5

16 347 B 21 5 1

(15B)16

Cuando se tienen números en base 2 se pueden convertir directamente a base 8, 16 y 4 utilizando la tabla de equivalencia del hexadecimal:

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0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

En esta tabla, los valores en rojo indican que pertenecen a la base 4 por lo tanto para un número en binario se tomarían en grupos de 2 de derecha a izquierda para obtener el equivalente a base 4. De igual manera, se haría para los de base 8; es decir, se tomarían en grupos de 3 de derecha a izquierda para obtener el equivalente en octal o base 8; y finalmente para base 16 o hexadecimal se tomarían en el de base 2 grupos de 4 para obtener el equivalente en base 16. Nota: si el número tiene una parte decimal o fraccionaria entonces, se toman de izquierda a derecha los dígitos necesarios del número en binario para la respectiva conversión.

Remítase al ejemplo anterior

OPERACIONES BASICAS CON SISTEMAS NUMERICOS Desde niños en el sistema decimal nos enseñaron a realizar operaciones básicas como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Esas mismas operaciones las podemos realizar en los otros sistemas numéricos; teniendo en cuenta el mismo concepto posicional de las cifras o dígitos y la base. Suma En decimal: al sumar dos dígitos en base 10, no tenemos problemas si la suma de estos no superan la base, es decir 10. Ejemplo: 4 6 +5 +2 9 8 El problema inicia cuando la suma supera la base. Ejemplo: Una decena (1) 7 +8 15

Cinco unidades (5)

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Lo mismo ocurrirá en las otras bases; o mejor dicho, en cualquier base. En Octal: al sumar en octal nuestra base será el 8, por lo tanto debemos tener en cuenta que nuestras decenas ya no serán de diez unidades sino de ocho (8) unidades. Ejemplo: Una octena (1) 7 +6 15

Cinco unidades (5)

En Hexadecimal: al sumar en hexadecimal nuestra base será el 16, por lo tanto, debemos tener en cuenta que nuestras decenas serán de dieciséis unidades. Ejemplo: Una hexena (1) A +E 18

Ocho unidades (8)

Ejemplos: Sumar en octal:

3

+

3

3 7 5 2 6 5 1 1 6

3 4 7 5 3 7 0 0 5

Sumar en hexadecimal:

3 6 4 1 7 5 0 3 5

---- acarreo--2 7 0 1 7 7 5 5

5

+

5

2 E B 1 F D B D 0

3 A C 4 0 3 E 1 F

3 1 E 3 D 2 B A 9

F 0 A A D A 5 F

En Binario: las sumas con binarios son algo especiales, debido a que se limita a sumar unos y ceros. Sin embargo, existe una regla que se puede utilizar para realizar la suma a saber: cuando se sumen números en binarios se pueden simplemente contar los unos de la columna que se vayan a sumar; si la cuenta da para la suma dará cero si la cuenta es impar entonces la suma dará uno; y se llevara de acarreo la cantidad de pares de unos que se hayan contado. M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

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Ejemplo: 9

+

1

0

0

1

7 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0

7 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0

6 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0

7 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1

7 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0

7 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

7 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0

6 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

5 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1

4 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1

1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1

Es el acarreo de la cuenta de los unos

En el ejemplo anterior se cuentan los unos de la primera columna, la cual da 9; Como es impar la suma dará como resultado un uno (1); como en 9 hay cuatro (4) pares de unos esa cantidad de pares es la que se lleva (acarreo) en la siguiente columna a sumar. El procedimiento se repite hasta la última columna; el acarreo de esta última columna en este caso para el ejemplo es 9, ese número se convierte a binario. Resta En Decimal: al restar dos dígitos en base 10 debemos cerciorarnos que el primer dígito que se nombra en la resta sea mayor que el segundo dígito; de esta manera se asegura que la resta se pueda realizar. En caso contrario podemos realizar la resta usando otro concepto: el de complemento. Ejemplo: 9 7 En este caso se aplica el concepto de - 7 - 9 complemento 2 no se puede En algún caso dentro de una resta de varios dígitos se nos puede presentar el caso de que no se pueda realizar la resta entre dos dígitos; para ello se le pide prestada una

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unidad al que se encuentra al lado izquierdo del dígito sumándosele la base al dígito que solicita el préstamo y restando una unidad al dígito que presta. Ejemplo: 17 14 15 6 7 4 5 14 7 8 5 6 4 - 5 9 7 8 6 1 8 7 7 8 El mismo concepto ocurre en las otras bases, sólo que al prestar se le suma la base al dígito que haga el préstamo. En Octal: la resta en octal es igual a la resta en decimal Ejemplo: 11 10 12 6 3 2 4 12 7 4 3 5 4 5 6 4 7 6 1 5 6 5 6 En la resta anterior al tratar de quitarle seis unidades a cuatro, no se puede, por lo tanto se le presta una unidad (la base, 8) al cuatro y se convierte en 12. Se hace la resta normal Como si fuera en decimal y se continúa. En la siguiente operación el cinco (5) que da siendo cuatro y se repite la acción al no poder restar siete unidades de cuatro. En Hexadecimal: la resta es exactamente igual como las anteriores. Recuerde que la base es 16 y esa es la cantidad que se presta. Ejemplo: E 16 B 26 F 0 C A 5 D E B E 0 1 2 0 C 5 En Binario: la resta en binario funciona igual y podríamos decir que hasta más sencilla pues sólo manejamos ceros y unos. Ejemplo:

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-

1 1 0

0 1 0 0

2 0 1 1

0 1 0 0

2 0 1 1

1 0 1

0 1 0 0

1 2 0 1 0

2 0 1 1

Complemento El complemento de un dígito es lo que le hace falta, a ese dígito, para llegar al dígito más alto que se puede representar en un sistema numérico. Con los sistemas numéricos se pueden utilizar los complementos a B-1 y complemento a B; es decir, complemento a la base menos uno y complemento a la base. Ejemplo: En Decimal: En decimal, al igual que en todas las bases, se pueden realizar el complemento a B-1; que sería complemento a 9 y el complemento a B que sería complemento a 10; en el primer caso es lo que le falta al dígito para llegar a 9 y en el segundo caso es el complemento a 9 + 1. Ejemplo: Calcule el complemento a 9 y complemento a 10 del siguiente número: Número normal 6 7 2 1 3 5 Complemento a 9 3 2 7 8 6 4

Complemento a 10

3

2

7

8

3

2

7

8

6 + 6

4 1 5

En hexadecimal: al igual que en decimal se tiene complemento a 15 y complemento a 16; es decir, complemento a B-1 y complemento a B. Ejemplo: Calcule el complemento a 5 y complemento a 16 del siguiente número: Número normal 6 7 2 1 3 5 Complemento a 15 9 8 D E C A

Complemento a 16

9

8

9

8

D E C A + 1 D E C B

En Octal: la base es 8 y se pueden obtener los complementos a 7 y complemento a 8. Ejemplo: M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

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Calcule el complemento a 7 y complemento a 8 del siguiente número: Número normal 6 7 2 1 3 5 Complemento a 7 1 0 5 6 4 2

Complemento a 8

1

0

5

6

1

0

5

6

4 + 4

2 1 3

En Binario: el complemento en binario es el más famoso, pues se tiene el complemento a 1 y complemento a 2, y es el más sencillo de utilizar. Ejemplo: Calcule el complemento a 1 y complemento a 2 del siguiente número: Número normal 1 1 0 1 1 1 Complemento a 1 0 0 1 0 0 0

Complemento a 2

0

0

1

0

0

0

1

0

0 + 0

0 1 1

Aplicación del concepto de complemento El concepto de complemento se utiliza en la resta cuando el sustraendo es mayor que el minuendo. Ejemplos: En Decimal: Restar usando complemento a 10 Minuendo 5 9 7 8 6 Sustraendo - 7 8 5 6 4 Paso 1: Obtenemos el complemento a 10 del sustraendo

Complemento a 9 del sustraendo Complemento a 10 Paso 2: Le sumamos el minuendo al C a 10

Respuesta

+

2

1

4

2 5 8

1 9 1

4 7 2

3 + 3 8 2

5 1 6 6 2

Al hallar el complemento a 10 de la respuesta anterior obtenemos el número: 18778 a lo que podemos decir que 81222 es el negativo de 18778. En hexadecimal: Restar usando el complemento a 15 M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

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A diferencia del ejercicio anterior no se obtendrá el complemento a la base; es decir, el complemento a 16. 5 9 7 8 6 Minuendo Sustraendo - 7 8 5 6 4 Paso 1: Obtenemos el complemento a 15 del sustraendo

Complemento a 7 del sustraendo Paso 2: Le sumamos el minuendo al C a 15

+

Paso 3: Le sumamos uno al resultado Respuesta

8 5 E

7 9 1

A 7 2 2

9 8 2 + 2

B 6 1 1 2

E

1

5 7

7 6

7 5

6 6

6 4

0

1

2

0 5 6

1 7 1

2 7 2

1 + 1 6 0

3 1 4 6 2

Realice el ejemplo anterior usando el complemento a 16. En Octal: reste usando el complemento a 8 Ejemplo: Minuendo Sustraendo

-

Paso 1: Obtenemos el complemento a 8 del sustraendo

Complemento a 7 del sustraendo Complemento a 8 Paso 2: Le sumamos el minuendo al C a 8

Respuesta

+

En Binario: se usan los famosos complementos a 1 y a 2; En este momento ya habrán notado que las restas se pueden realizar usando cualquiera de los dos complementos. Es decir, el complemento a B - 1 ó el complemento a B.

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Ejemplo: usando el complemento a 1: Minuendo Sustraendo

-

1 1

0 1

0 1

1 1

1 0

0 1 1

0 0 0

0 0 1

1

0

1

0 1 0 + 0

1 1 0 1 1

Paso 1: Obtenemos el complemento a 1 del sustraendo

Complemento a 1 del sustraendo Paso 2: Le sumamos el minuendo al C a 1

+

Paso 3: Le sumamos uno al resultado Respuesta

Multiplicación La multiplicación, al igual que las operaciones anteriores, se realiza de igual forma que en decimal. El concepto es equivalente para las otras bases. Pero en Binario es más funcional realizar la multiplicación a través de un algoritmo. Algoritmo para la multiplicación: Si (A0 = 1) entonces P  P + B; PA ; Sino PA ; Repetir lo anterior hasta que el Bit Más Significativo de A salga. Ejemplo: multiplicar 1011 X 1101 (11 X 13 = 143) P A B 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 Como A0 es 1 se suma B a P + 1 1 0 1 0

1

1

0

1

1

0

1

1

Se hace el desplazamiento de P y A hacia la derecha.

0

0 1

1 1

1 0

0 1

1

1

0

1

A0 es 1 se suma B a P

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1 0 1

1 1

1 1

1 1

0 1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

P + B. A queda igual; se hace el desplazamiento

1

0

0

0

1

1

1

1

Es la Respuesta (143)

+

+

B

M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

P + B. A queda igual; se hace el desplazamiento A0 es 0; se hace el desplazamiento A0 es 1; se suma B a P

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En el ejemplo anterior el Bit Más Significativo de A esta resaltado con rojo y el Bit menos Significativo de A esta resaltado en azul. La respuesta está resaltada en naranjado y conformada por los registros P y A. División La división, al igual que las operaciones anteriores, se realiza de igual forma que en decimal. El concepto es equivalente para las otras bases. Pero en Binario es más funcional realizar la división a través de un algoritmo. Algoritmo para la división: PA; P  P - B; Si (P < 0) entonces A0  0; P P + B; Sino A0  1; Repetir lo anterior hasta que el Bit Menos Significativo de A salga. Después de esto el registro A contendrá el cociente y el registro P el residuo. Ejemplo: Divide 1110 entre 0011 (14 / 3 = 4 y sobran 2) P A B 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 Desplazar P y A hacia la izquierda Restamos P – B 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 Como P es -2 se rellena A0 con 0 - 0 0 0 1 0 1 1 0 0 Se hace P + B y da 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 Se desplaza P y A 0 0 0 1 1 1 0 0 Restamos P – B 0 0 1 1

-

-

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1

0

0

1

0 0 0

0 0 1

1 1 0

0

0

0

1

0

0 0 0 0

1

Como no es negativo se rellena A0 con 1 Se desplaza P y A

0 0

Como P es -2 se rellena A0 con 0 Se Hace P + B y da 1 Se desplaza P y A Restamos P – B

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1

0

0

Como no es negativo se rellena A0 con 1

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0

0

0

1

0

0

1

0

0

Se Hace P + B y da 2

Listo el algoritmo para, porque ya el bit menos significativo de A salió. Y el cociente es 0100 (registro A) y el residuo es 00010 (registro P).

En el algoritmo dentro del condicional hacemos P = P + B; esa sentencia se conoce como restauración de P. Es evidente, debido a que la sentencia antes de entrar al condicional es una resta de p con B y la condición para restaurar a P es que debe dar negativa la resta. El algoritmo tiene una variante que se conoce con el nombre de división sin restauración y dice: Si P es negativo, 1. Desplazar el par de registros (P, A) un bit a la izquierda. 2. Sumar el contenido del registro B al P. Si no, 1. Desplazar el par de registros (P, A) un bit a la izquierda. 2. Restar el contenido del registro B del P. Finalmente, 3. Si P es negativo, poner el bit menos significativo de A, a 0, en otro caso a 1.

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EJERCICIO 1: Qué otro tipo de sistema de numeración utilizan las computadoras en la actualidad y/o en un futuro. EJERCICIO 2: Según las características dadas; cree su propio sistema numérico. EJERCICIO 3: En qué base se encuentra el sistema numérico de un reloj de manecillas. Demuéstrelo. ¿Cómo sabría usted la hora del día si se encontrara en una habitación donde no se notara la diferencia entre la noche y el día? ¿Qué otro sistema utilizaría? EJERCICIO 4: Averigüe cuantas horas tiene un día en Marte. Cuántos días tiene un año en Marte. Con base en la información anterior, determine lo siguiente: De cuantos días pueden ser los meses en Marte. Si una persona marciana tiene 3 veces menos años que una persona de la tierra ¿Cuántos años terrestres tiene la persona de Marte y cuántos años Marcianos (de Marte) tiene la persona terrestre si nacieron el mismo día, en el que los dos planetas se encontraban alineados con el sol, en la siguiente alineación? EJERCICIO 5: Encontrar el valor de X y de Y para (301)x = (1233)y Donde Y es el doble de la operación: Y2 -1 X + 2 5X XY-X Y + 1 2X + 4 EJERCICIO 6: Haga 5 ejercicios de conversiones de base B a base 10 donde se desconozca la base. Y 5 donde se desconozca un digito del número en la base B. EJERCICIO 7: Realice un ejemplo donde se haga un complemento B – N; donde N sea mayor que 2 y menor que B. Justifique las representaciones. EJERCICIO 8: Inventa un sistema de numeración, , como el ejemplo que sigue: A B C D E F G H I J T S V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 80 300 800 Con el sistema de numeración que has inventado escribe las siguientes cifras 4528, 521, 140. Convierte (10111011110111)2 a tu sistema. EJERCICO 9: M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

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GUIA DE LABORATORIO 05/NOV/2012

PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS ARQUITECTURA DEL COMPUTADOR VERSION 1.2

Establece y demuestra una condición para determinar si un número es impar en el sistema Base 3 y para el sistema Base n. EJERCICIO 10: Multiplica, usando registros paralelos: 10101010,101010111 * 1011110100,0001111 EJERCICIO 11: Una profesora observa en el tablero la igualdad 3*31=3*43. Antes de borrarlo piensa que quizás está escrita en un sistema de numeración no decimal. ¿Es esto posible? ¿Cuál sería la base de dicho sistema? EJERCICIO 12: Divida, usando el algoritmo: 11011011 / 110,011

M. Sc. Milton Hernández Zakzuk

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