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SOBRE RELAÇÕES MÉTRICAS, LEIS DE SENOS E COSSENOS NO ENEM: UM ESTUDO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA Mariana Barreto Pereira(IFCE –
[email protected]) Guttenberg Sergistótanes Santos Ferreira (IFCE –
[email protected]) RESUMO Este artigo refere-se a uma aplicação futura com estudantes, através de uma abordagem em sala de aula com o conteúdo disciplinar de Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e das Relações Métricas no Triângulo Retângulo, ou seja, um aparte trigonométrico de grande importância nas relações matemáticas. Tem-se por finalidade relacionar e discutir os problemas contidos no ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) ao longo dos anos de 2011 a 2014, que são solucionados com base no conteúdo supracitado. A pesquisa é de natureza bibliográfica e a problemática consiste na valorização e interesse pela Trigonometria, para tanto serão discutidas as provas sob o foco da aplicação contextualizada. Esta é uma pesquisa inicial, com resultados esperados de despertar nos estudantes o desejo de se apropriar do conhecimento matemático, esperando-se obter uma exitosa contribuição na aprendizagem e interesse por parte do estudante da Educação Básica. Palavras-chave: Relações Trigonométricas. Resolução de Problemas. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos
INTRODUÇÃO
A matemática surgiu, ou foi criada, para facilitar e/ou otimizar o trabalho do homem, seja na contagem de suas posses, seja em suas construções, ou em suas atividades comerciais. O mundo em que vivemos nos propõe o uso de várias ferramentas, sejam concretas ou abstratas, para nossas práticas cotidianas. Neste cenário, a Trigonometria, que se dedica a estudar as relações matemáticas obtidas através dos triângulos, especialmente do triângulo retângulo, tem papel significativo por auxiliar no desenvolvimento do raciocínio matemático no que concerne ao cálculo de distâncias, áreas, volumes, dentre outros. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (Brasil, 1997), a atividade matemática escolar não sugere a simples apreensão de conhecimentos, mas o olhar crítico sobre os mesmos, de modo que o estudante possa construir o conhecimento e com isso possa ajudar na transformação da sua realidade. Sobre isto, Rodrigues e Magalhães (2010) também destaca como um dos objetivos da Educação Básica, o desenvolvimento no estudante da capacidade compreender e solucionar problemas.
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Ainda seguindo PCN, na área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias, são previstas competências como metas a serem alcançadas durante a etapa de escolaridade básica quer no ensino fundamental quer no ensino médio. Tendo por base o contexto educacional acima citado e ainda percebendo a importância da Trigonometria, em especial das relações métricas e das leis de seno e cosseno, este trabalho propõe discutir a aplicação daquele conteúdo junto aos estudantes do ensino médio quando da realização da prova do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM). Vale ressaltar que o ENEM, criado em 28 de maio de 1998, segundo a Portaria MEC Nº 438, tem como objetivo principal avaliar o desempenho do estudante ao fim da educação básica, buscando contribuir para a melhoria da qualidade desse nível de escolaridade (INEP BRASIL, 2011). Desde o ano de 2009 que o ENEM passou a ser utilizado também como mecanismo de seleção para ingresso no ensino superior, principalmente em Instituições Federais de Ensino Superior (IFES). A partir do exposto, destaca-se e se justifica o uso do ENEM como elemento norteador desta pesquisa, enquanto instrumento oficial de avaliação educacional do ensino médio, sob a prerrogativa da aprendizagem significativa, sugere-se uma boa avaliação e, com isso, o acesso ao ensino superior àqueles que desejam obter esse conhecimento.
JUSTIFICATIVA
A Trigonometria desde o seu início se embasa em específico nas Leis de Seno e Cosseno e nas relações métricas no triângulo retângulo, logo o tema do trabalho é de grande importâcia e valorização para os estudantes do Ensino Fundamental e Médio quanto do Ensino Superior e a relação entre eles deve ser sólida. E veremos se essas dificuldades terão uma fundamentação aritmética, se as dificuldades existem por falta de conteúdo ou se devido à interpretação do estudante. Pretendemos com o presente trabalho contribuir na valorização e interesse pela Trigonometria, sugerir ao estudante que não goste das Leis de Seno, Cosseno e das Relações Métricas no Triângulo Retângulo passem a obter interesse e vontade de sempre está renovando o seu conhecimento, pois é um conteúdo que além de ser maravilhoso, está contido no Enem que é o exame que oferece oportunidades de estudo a quem deseja ter um boa formação no futuro.
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OBJETIVOS
O objetivo maior desta pesquisa é buscar relacionar e discutir os problemas que caem no Enem ao longo dos anos de 2011 a 2014, que são solucionados com base na Lei dos Cossenos, na Lei dos Senos ou nas Relações Métricas. Como objetivos específicos, elencamos analisar a resolução desses problemas, analisar as metodologias para induzir o estudante na compreensão do conteúdo dito anteriormente e identificar os obstáculos dos estudantes ao resolverem estes problemas. Através dessa observação, veremos quais as dificuldades que os estudantes possuem diante do tema abordado, se possuem uma fundamentação aritmética, se as dificuldades existem por falta de conteúdo ou se é devido à interpretação do estudante.
METODOLOGIA
Este artigo se baseia em uma pesquisa bibliográfica com uso das provas do ENEM que foram aplicadas durante os anos de 2011 a 2014. Segundo Marconi e Lakatos (2010), a pesquisa bibliográfica trata do levantamento de estudos já publicados em diversos veículos de divulgação, tendo por finalidade maior auxiliar o estudante/pesquisador com o material escrito sobre determinados temas, auxiliando na análise de pesquisas e discussão de informações. Esta pesquisa se utilizou da modalidade estudo de caso, que segundo Triviños (1987, p. 274), “é uma categoria de pesquisa cujo objeto é uma unidade que se analisa profundamente”. Trata-se de uma pesquisa investigativa, que reuni o maior número de informações visando descrever a complexidade de um fato. De acordo com Gil (1991), o estudo de caso é caracterizado pelo estudo exaustivo e em profundidade de poucos objetos, de forma a permitir conhecimento amplo e específico do mesmo. Para apresentação, análise e discussão dos resultados, recorreu-se à observação livre e à discussão de alguns problemas que foram propostos na avaliação do ENEM ao longo dos anos de 2011 a 2014. Para tanto, contou-se que estudantes.
REFERENCIAL TEÓRICO
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A constante utilização da resolução de problemas como metodologia de ensino na prática educativa da matemática merece destaque junto aos professores, uma vez que estimula o aprendizado aliado à capacidade de perceber, analisar e discutir situações práticas da vida cotidiana, doravante chamadas de problemas, além de ser uma forma bastante simples para fazer com que o discente construa sua auto desenvolvimento intelectual, ao passo que busca caminhos e aponta direções para conseguir êxito na dificuldade a ele imposta. Segundo o PCN de Matemática (BRASIL, 1998), a resolução de problemas possibilita aos estudantes mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim, os estudantes terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. A Trigonometria se fundamenta no estudo do triângulo retângulo, enfatizando suas características, seus elementos e as suas relações métricas que interligam estes mesmos elementos. Dentre os estudos da Geometria, o triângulo é uma figura geométrica que possui três lados e três ângulos, e para formarmos um triângulo basta unirmos três pontos quaisquer por segmentos de reta, desde que não alinhados. A abertura obtida por duas retas, unidas pelo mesmo ponto, é chamada ângulo e é aferido em radianos (rad) no Sistema Internacional de Medidas (SI), vale ressaltar ainda que nos triângulos a soma de seus ângulos internos é igual a 180º. O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana que possui um de seus ângulos internos a 90º, sendo que este ângulo recebe a denominação de ângulo reto. No triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto, ao passo que os demais lados chamam-se catetos.
Elementos do Triângulo Retângulo
O Triângulo Retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto, na Figura 1, o ângulo
é reto. Costuma-se dizer, neste caso, que o triângulo
é retângulo em .
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Figura 1 – Triângulo Retângulo . Fonte: Construção própria no software Geogebra
Relações Métricas
Sobre as relações métricas no triângulo retângulo convém observar a Figura 2, em que o ângulo
é reto, e o segmento ̅̅̅̅ é perpendicular ao lado ̅̅̅̅ , nestes termos ficam
definidos: ̅̅̅̅
(hipotenusa), ̅̅̅̅
cateto AB sobre a hipotenusa), ̅̅̅̅
(cateto), ̅̅̅̅
(cateto), ̅̅̅̅
(projeção do
(projeção do cateto AC sobre a hipotenusa), ̅̅̅̅
(altura relativa a hipotenusa)
Figura 2 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo. Fonte: Construção própria no software Geogebra
Importantes aplicações de semelhança de triângulos se dão nas relações métricas. Dados dois triângulos, diz-se que são semelhantes quando têm os ângulos correspondentes congruentes e os lados homólogos proporcionais. A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo
o divide em dois triângulos retângulos semelhantes a ele e
semelhantes entre si, conforme Figura 3.
Figura 3 – Semelhança de Triângulos Retângulos. Fonte: Construção própria no software Geogebra
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A partir da Figura 3, pode-se construir a igualdade de razões que resultam em outras relações métricas. Observando os triângulos . Enquanto que nos triângulos ̅̅̅̅
̅̅̅̅
, e ̅̅̅̅
e
̅̅̅̅
̅̅̅̅
e
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
, temos ̅̅̅̅
. E ainda entre
̅̅̅̅
̅̅̅̅
, temos que ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
e
, segue que ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
. Um dos mais conhecidos da Matemática foi demonstrado pela escola pitagórica, criada pelo matemático grego Pitágoras de Samos (séc. VI a.C.). Esse teorema estabelece uma relação entre as medidas dos lados do triângulo retângulo, somando membro a membro as relações métricas
e
, temos que
, percebendo que
, logo
, conclui-se que
.
Lei dos Senos
A relação matemática, chamada de Lei dos Senos, estabelece a existência de uma razão constante entre a medida de um lado qualquer do triângulo e o seno do ângulo oposto a este lado, ou ainda, que esta razão é igual ao dobro do raio da circunferência circunscrita a este triângulo. Seja a Figura 4 contendo o triângulo retângulo ̅̅̅̅
̂ e também contendo o triângulo retângulo ̂
̂ , daí segue que obtemos que
̂
̂
e daí
̂ , logo ̂
̂
̂ ̂
, logo ̂
̂
̅̅̅̅
̂
, logo ̅̅̅̅
̅̅̅̅
. Procedendo de modo análogo
.
Figura 4 – Triângulo Retângulo. Fonte: Construção própria no software Geogebra
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Lei dos Cossenos
Em todo triângulo, o quadrado de qualquer um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois, diminuída do dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. Seja o triângulo
, acutângulo conforme Figura 4, e ̅̅̅̅
lado ̅̅̅̅. Considerando o triângulo em que
, em que
e o triângulo
, obtém-se que
̂ , chega-se a
a altura relativa ao ,
. Considerando que ̂ . Com raciocínio análogo, pode-se escrever
̂e
̂.
RESULTADOS ESPERADOS
Através das Leis dos Senos e dos Cossenos e das Relações Métricas no triângulo retângulo aplicados junto ao ENEM, pretende-se contribuir no processo de aprendizagem de Matemática, discutindo o conteúdo teórico e as possíveis aplicações cotidianas, de modo que desperte nos estudantes o desejo de se apropriar de mais conhecimentos matemáticos e/ou de (re) significar aquele que já foi abordado em diversas outras ocasiões.
Espera-se
com
a
discussão das provas do ENEM, contribuir na aprendizagem e interesse por parte do estudante, para que estabeleça, em sua rotina cotidiana, o hábito de estudar de forma crítica e contextualizada.
CONCLUSÃO
Diante do exposto e da proposta de aplicação em sala de aula, espera-se que os estudantes consigam assimilar o conteúdo referente à Trigonometria e, com isso, desenvolver o hábito investigativo necessário à solução dos problemas contidos no ENEM, desenvolvendo ainda a sua autonomia de resolução de situações problema.
REFERÊNCIAS BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1997. BRASIL. Portaria MEC nº 438, de 28 de maio de 1998. Brasília: MEC, 1998.
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DANTE, L. R. D. Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009. GIL, A.C. Métodos e técnicas de pesquisa social. São Paulo: Editora Atlas, 1991 IEZZI, G. et al. Matemática. São Paulo: Editora Atual, 1997. LAKATOS, E. M.; MARCONI, M. de A. Fundamentos da metodologia científica. São Paulo: Editora Atlas, 2010. RODRIGUES, A.; MAGALHÃES, S. C. A resolução de problemas nas aulas de Matemática: diagnosticando a prática pedagógica. Disponível em: . Acesso em: 15 mai 2015 TRIVIÑOS, A. N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais: a pesquisa qualitativa em educação. São Paulo: Editora Atlas, 1987. Disponível em: . Acesso em: 10 fev 2015
