Solução de equações por meios de radicais

Sumário 1 Introdução 3 1.1 Sobre Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Estruturas Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Funções Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Resultados para as equações de grau 2 6 n 6 4 2.1 Considerações Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 A Equação de 2o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 A Equação do 3o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 O Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Condições do Discriminante da Equação do 3o Grau 2.4 Equação do 4o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 A equação de Grau n > 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

29 29 31 31 33 35 36 38

3 A Teoria de Galois 39 3.1 Correspodências de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Insolubilidade por radicais da equação geral de grau n > 5 . . 52 Referências Bibliográ…cas

54

1

2

SUMÁRIO

Capítulo 1 Introdução

Remonta-se na história que os babilônios sabiam resolver alguns casos particulares de equações do segundo grau, mil e setecentos anos antes da era cristã, e apenas no século XII, graças à contribuição de Baskhara (matemático hindu), assumiu a forma que tem hoje, por ele tê-la escrito em forma de verso. Já as equações do terceiro e quarto grau tiveram suas fórmulas esclarecidas no século XVI pela escola italiana apresentado por S. Del Ferro (1467-1526), N. Tartáglia (1500-1557), G. Cardano (1501-1576) e L. Ferrari (1522-565). Primeiramente, Del Ferro solucionou a equação cúbica e manteve isso em segredo, a qual posteriormente resolvida independentemente por N. Tartáglia. E em 1545 G. Cardano a publicou, fazendo as devidas referencias a Del Ferro e Tartáglia, no livro "Ars Magna", juntamente com a fórmula da equação de quarto grau. Diante de tantos sucessos nas resoluções dessas equações na época, aconteceram tentativas de resolverem as demais, para grau n > 5. E no …nal do século XVIII o matemático italiano P. Ru¢ ni fez uma prova da impossibilidade de se resolver por radicais a equação de quinto grau; porém havia algumas lacunas em sua argumentação. Então, logo após, no século XIX, uma prova convincente dessa impossibilidade foi demonstrada pelo matemático norueguês N. H. Abel (1802-1829). O trabalho de Abel então foi …nalizado pelo gênio francês Evarist Galois (1811-1832), o qual em seu artigo "Mémoire: Sur les conditions de resolubilité des equations por readicaux"caracterizou as equações f (x) = 0, com grau arbitrário n, as quais são solúveis por radicais, por meio de uma propriedade de certo grupo de permutações de suas raízes, chamada atualmente de grupo de Galois de f . 3

4

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Figura 1.1:

1.1

Sobre Galois

Évariste Galois nasceu em Bourg-la-Reine, Paris na França a 25 de outubro de 1811, …lho de Nicolas-Gabriel Galois e de Adélaide MarieDemante, uma família de Juristas. Recebeu uma educação clássica e religiosa. Além da educação habitual, Galois recebeu da mãe formação em Grego, Latim e ensinamentos religiosos, nos quais a mãe introduzia as suas próprias idéias. Ele ingressou para o Liceu Louis-le-Grand e veri…cou que os estudantes não eram devidamente tratados e isso o revoltou um pouco. Com 12 anos entrou para a quarta classe, pois possuía boa educação, obteve ótimas notas e recebeu prêmios. Aos 16 anos tenta ingressar na escola Écòle Polytechnique; porém não obteve sucesso em retórica. Galois tenta publicar seus trabalhos de matemática, mas são injustamente considerados obscuros. Desse momento em diante, com o infame suicídio do seu pai, ele se revolta e começa a agredir publicamente as instituições, principalmente a Monarquia, chega a brindar embriagado-Morte ao Rei"puxando um canivete e vai preso várias vezes. Apesar de tantos desafetos e complicações pessoais, Galois chegou a publicar artigos sobre suas descobertas em Frações Contínuas e Teoria das Equações, bem como enviar um artigo sobre sua grande descoberta na Teoria dos Grupos à Cauchy, o qual esqueceu "engavetando"o trabalho. Soma-se a esses os três artigos enviado à Academia de Ciências com muitas descobertas em Equações Algébricas, os quais o prospectos ao Prêmio de Matemática, recebidos por Fourier que morreu antes de submetê-los e os mesmos desapareceram. Assim, o percurso da vida de E. Galois com tudo para se ter uma ótima trajetória culmina com um romance de uma mulher, a qual teve de

1.1. SOBRE GALOIS

5

defender a honra com um duelo, e sabendo da impossibilidade de seu sucesso escreveu, durante a noite anterior, cartas de seus trabalhos aos seus amigos e uma endereçada a sua mãe. E aos 30 de maio se 1832 morre Evarist Galois com apenas 21 anos de idade.

6

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

1.2

Estruturas Algébricas

Para dar alguma idéia do que faremos nesta parte necessitamos entender “estruturas algébricas”. Talvez a estrutura algébrica que nos é mais familiar seja a dos inteiros. Já sabemos, desde a escola primária, usar as operações binárias de adição, subtração e multiplicação. Uma estrutura algébrica é formada por um conjunto não vazio A, dito suporte da estrutura, e uma ou mais operações binária sobre A. Com o objetivo de melhorar o efeito didático comecemos a ver as de…nições e propriedades de estruras algébricas por anéis e corpos, e logo em seguida grupos, de forma a incluir exatamente o que é de necessidade a compreensão do teorema de Galois. Consideremos um conjunto não vazio A; onde estejam de…nidas duas operações, as quais chamaremos de soma e produto em A e denotemos por +e : De forma a ter-se: +:A A ! A (a; b) 7 ! a + b e A ! A (a; b) 7 ! a b —————————————————————————————————– :A

De…nição 1.1 Chamamos A; +; um anel se as seguintes seis propriedades são veri…cadas para quaisquer que sejam a; b; c 2 A: 1. (a + b) + c = a + (b + c) (associatividade da soma). 2. 9 0 2 A tal que a + 0 = 0 + a = a (existência de elemento neutro para a soma). 3. 8x 2 A existe um único y 2 A, denotado por y = y + x = 0 (existência do inverso aditivo).

x, tal que x + y =

4. a + b = b + a (comutatividade da soma). 5. (a:b):c = a:(b:c) (associatividade do produto). 6. a:(b + c) = a:b + a:c e (a + b):c = a:c + b:c (distributividade à esquerda e à direita).

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

7

Se um anel A; +; satisfaz a propriedade: 7. 9 1 2 A; 0 6= 1; tal que x:1 = 1:x = x; 8x 2 A; dizemos que A; +; ; é um anel com unidade 1: 8. 8x; y 2 A; x:y = y:x; dizemos que A; +; é um anel comutativo. 9. x; y 2 A; x:y = 0 ) x = 0 ou y = 0; dizemos que A; +; é um anel sem divisores de zero. Se um anel A; +; é um anel comutativo, com unidade e sem divisores de zero, dizemos que A; +; é um dominio de integridade. Finalmente, se um dominio de integridade A; +; satisfaz a propriedade: 10. 8x 2 A; x 6= 0; 9 y 2 A tal que x:y = y:x = 1; dizemos que A; +; é um corpo. —————————————————————————————————– Exemplo: p p Z; nZ; Zn ; Q; R; C; Z[ 2] e Q[ 2] são anéis. Observemos que esses exemplos são anéis comutativos e os únicos os quais não possuem unidade são nZ; em que n > 2:Por exemplo, A = 2Z (inteiros pares) não possuem unidade. E os que possuem divisores de zero acima são A = Zn ; onde n > 2 não seja um número primo. Exemplo: Em Z6 = f0; 1; 2; 3; 4; 5g; temos que 2:3p= 0; porém p 2 6= 0 e 3 6= 0; logo eles são divisores de zero em Z6 : Já Z e Z[ 2] = fa + b 2 : a; b 2 Zg; são exemplos de dominios de pintegridade que não são corpos. Agora, Q; R; C; Q[ 2] e Zp ; p primos > 2 são exemplos de corpos. —————————————————————————————————– De…nição 1.2 Seja A; +; um anel e B um subconjunto não vazio de A tal que B é fechado para as operações + e de A; dizemos que B é um subanel de A: —————————————————————————————————–

8

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

Teorema 1.1 Seja A; + um anel e seja B um subconjunto de A: Então , B é um subanel de A se, e somente se, as seguintes condições são veri…cadas: 1. 0 2 B (o elemento neutro de A pertence a B). 2. x; y 2 B ) x

y 2 B (B é fechado para a diferença).

3. x; y 2 B ) x:y 2 B (B é fechado para o produto). Se B é um subanel de A, denotaremos B

A:

Prova ())Se B é um subanel então por de…nição temos claramnete as condições (1), (2) e (3). Observe que o elemento neutro 00 de B relativamente à adição é o mesmo elemento neutro 0 de A, pois se b 2 B, então 00 = b + ( b) = 0: (()Suponhamos que B A e as três propriedades (1), (2) e (3).são satisfeitas. por (1) segue que B 6= ?; e por (1) e (2) temos que: ( )se x 2 B então x = 0 x 2 B: Agora, por (2) e por ( ) teremos, se x; y 2 B então x+y = x ( y) 2 B, isto é B é fechado para a soma. Por (3) B é fachado para o produto. Como as propriedades associativa, comutativa e distributiva são hereditárias segue imediatamente que B é um subanel de A. Exemplo: nZ

Z

Q

R

C; onde n 2 Z:

—————————————————————————————————–

De…nição 1.3 Se um subanel B; +; de um corpo K; +; é também um corpo, dizemos que B é um subcorpo de K: —————————————————————————————————– Exemplo: p Q[ p] é um subcorpo de R e Q[i] é subcorpo de C: Observemos que Z2 = f0; 1g não é um subanel de Z3 = f0; 1; 2g: —————————————————————————————————–

De…nição 1.4 Um corpo F é uma extensão de K se K

F:

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

9

—————————————————————————————————– Por exemplo, C é uma extensão de R, pois R C. —————————————————————————————————– De…nição 1.5 Seja A um anel com unidade e seja I um subanel de A. Dizemos que I é um ideal à esquerda de A se: a x 2 I; 8a 2 A; 8x 2 I e denotaremos por A I

I:

Analogamente, de…nimos ideal à direita, sendo J um subanel de A tal que x:a 2 J; 8a 2 A; 8x 2 J e denotamos por J A J: —————————————————————————————————– De…nição 1.6 Se I é um ideal simultaneamente à direita e esquerda de A; dizemos simplesmente que I é um ideal de A; ou seja, A I I e I A I: —————————————————————————————————– Se o anel A for comutativo então as condições acima são equivalentes e coincidem. Claramente f0g e A são ideais chamados de trivias. E os não trivias são chamados de ideais próprios de A: —————————————————————————————————– 0

De…nição 1.7 Uma função f : A ! A diz-se ser um homomor…smo de 0 anéis de A em A se satisfaz as seguintes condições: 1. f (x + y) = f (x) + f (y), 8x; y 2 A: 2. f (x y) = f (x) f (y); 8x; y 2 A: 0

Se f : A ! A é um homomor…smo bijetivo dizemos que f é um 0 0 isomor…smo de A sobre A : (escreve-se A ' A ). Os homomor…smos f : A ! A também são chamados de endomor…smos de A; e os isomor…smos de A sobre si mesmo são chamados de automor…smos de A: E denotaremos

10

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO End(A) = f f : A ! A : f é um endomor…smog e Aut(A) = f f : A ! A : f é um automor…smog

—————————————————————————————————– 0

Proposição 1.1 Seja f : A ! A um homomor…smo de anéis. Então: 0

1. f (0) = 0 : 2. f ( a) = 3. f (a

f (a); 8a 2 A:

b) = f (a)

f (b) ; 8a; b 2 A:

0

4. Se A e A são domínios de integridade, então f (a) = 0; 8a 2 A ou 0 f (1) = 1 . Prova. (1)É claro que em um anel a equação X + X = X tem o elemento neutrocomo única solução e assim temos; 0 + 0 = 0 ) f (0 + 0) = f (0) + f (0) = f (0) e portanto f (0) = 00 que é o elemento neutro de A0 : (2)Seja a 2 A: De a + ( a) = 0 segue pelo item (1) que: f (a) + f ( a) = 00 ou seja f ( a) = f (a) : (3) de 1:10 = 1 seque que f (1)2 = f (1), isto é, f (1) : (f (1) 10 ) = 00 : Agora, A0 é domínio de integridade nos diz que ou f (1) = 00 ou f (1) = 1: Se f (1) = 00 então segue que f (x) = f (x:1) = f (x) :f (1) = f (x) :00 = 00 8x 2 A, ou seja, f é a função constatante zero. (4) Sejam A e A0 corpos e suponhamos que f não é a função constante zero. Assim, pelo item anterior sabemos que f (1) = 10 : Vamos provar que f é injetiva. De fato, se x; y 2 A e f (x) = f (y) teremos, f (x y) = 00 : Suponhamos por absurdo que x 6= y; então x y 6= 0 e A corpo nos diz que9b 2 A tal que b.(x y) = 1 e dai segue que f (b) :f (x y) = f (b) :00 = 1 que é uma contradição. —————————————————————————————————–

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

11

De…nição 1.8 (Polinômio em uma variável) Seja K um corpo qualquer. Chamamos de polinômio sobre K uma variável indeterminada x uma expressão formal

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn

1

+ an x n

onde ai 2 K; 8i 2 N e 9n 2 N tal que aj = 0 8j n: —————————————————————————————————– E dizemos que os polinômios p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn

1

+ an x n

q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ::: + bn 1 xn

1

+ bn xn

e

sobre K são iguais se e somente se ai = bj em K; 8i 2 N: Se p(x) = 0 + 0x + 0x2 + ::: + 0xn 1 + 0n xn dizemos que p(x) é identicamente nulo sobre K, assim se e somente se ai = 0 2 K; 8i 2 N: Chamaremos ao polinômio p(x) = a; a 2 K de polinômio constante em a: Se p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn 1 + an xn é de talforma que an 6= 0 e ai = 0 8j > n dizemos que n é o grau de p(x), e denotemos por @p(x) = n: Denotaremos por K[x], sendo K um anel, o conjunto de todos os polinômios sobre K, em uma indeterminada x: Para melhor entendimento devem …car esclarecidos outros resultados como o algoritmo da divisão, grau do polinômio, a quantidade de raízes e as extensões algébricas, aos quais citaremos de…nições e alguns sem suas devidas demonstrações, que podem ser encontradas em qualquer livro de algebra de nivel superior, citarei como exemplo Gonçalves, Adilson-Introdução à Algebra; Rj, IMPA;1997. Teorema 1.2 Sejam f (x); g(x) 2 K[x] e g(x) 6= 0: Então existem únicos q(x); r(x) 2 K[x] tais que: f (x) = q(x):g(x) + r(x) onde ou r(x) = 0 ou @r(x) < @g(x)

12

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Prova.

Seja f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn 1 + an xn e g(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ::: + bn 1 xn 1 + bn xn (@g(x) = m): Existência: Se f (x) = 0 basta tomar q(x) = r(x) = 0: suponhamos f (x) 6= 0: Assim, grau de f = n . se n < m basta tomar q(x) = 0 e r(x) = f (x): Assim podemos assumir n m: Agora seja f1 (x) o polinômio de…nido por: f (x) = an bm1 xn

m

:g(x) + f1 (x):

É fácil observarmos que @f1 < @f : Vamos demonstrar o teorema por indução sobre @f = n: Se n = 0; n > m ) m = 0

e portanto f (x) = a0 6= 0; g(x) = b0 6= 0 e teremos, f (x) = a0 b0 1 g(x) e basta tomar q(x) = a0 b0 1 e r(x) = 0: Pela igualdade f1 (x) = f (x) an bm1 xn m g(x) e @f1 (x) < @f (x) = n temos pela ipótese de indução.que 9q1 (x); r1 (x) tais que: f1 (x) = q1 (x)g(x) + r1 (x) onde r1 (x) = 0 ou @r1 (x) < @g(x): Dai segue imediatamente que: f (x) = (q1 (x) + an bm1 xn

m

)g(x) + r1 (x);

e portanto tomando q(x) = q1 (x) + an bm1 xn m e r1 (x) = r(x) provamos a existência de dois polinômios q(x) e r(x) tais que f (x) = q(x):g(x) + r(x); e r(x) = 0 ou @r(x) < @g(x): Agora provaremos a unicidade. Sejam q1 (x); q2 (x); r1 (x) e r2 (x) tais que: f (x) = q1 (x)g(x) + r1 (x) = q2 (x)g(x) + r2 (x): onde ri (x) = 0 ou @ri (x) < @g(x); i = 1; 2: Dai segue: (q1 (x)

q2 (x)):g(x) = r2 (x)

r1 (x):

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

13

Mas se q1 (x) 6= q2 (x) o grau do polinômio do lado esquerdo da igualdade acima é > @g(x) enquanto que o grau @(r2 (x) r1 (x)) < @g(x) o que é uma contradiçao. Logo, q1 (x) = q2 (x) e dai segue r1 (x) = f (x)

q1 (x):g(x) = f (x)

q2 (x):g(x) = r2 (x)

como queríamos demonstrar. Proposição 1.2 Seja K um corpo e seja f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn 1 + an xn um polinômio não nulo em K[x] de grau n: Então o número de raízes de f (x) em K é no máximo igual a @f (x) = n: Prova. Se f (x) não possui raízes em K a proposição está provada. Suponhamos que 2 K e seja uma raiz de f (x): Como g(x) = x 2 K[x]; podemos usar o algorítmo da divisão. Assim 9q(x); r(x) 2 K[x] tais que: f (x) = q(x)(x

) = r(x)

onde r(x) = 0 ou @r(x) < @g(x) = 1 : Assim, r(x) = b0 é um polinômio constante, e temos f (x) = q(x)(x

) + b0

e como f ( ) = 0; segue que 0 = 0 + b0 ou seja, r(x) = 0 e f (x) = q(x)(x ) onde @q(x) = n 1: Agora, como não existem divisores de zero em um corpo, se 2 K é uma raiz qualquer de f; então f( ) = (

):q( ) = 0

14

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

)

=

ou

também é uma riaz de q(x) 2 K: Dessa forma, as raízes de f são e as raízes de q(x): Vamos usar indução sobre @f = n Ora se n = 0 f não possui raízes em K e nesse caso ja vimos que nada há a demonstrar Agora, por indução, @q(x) < @f (x) = n; q(x) possui no máximo @q(x) = n 1 raízes em K e portanto f (x) possui no máximo n raízes em K, como queríamos mostrar. —————————————————————————————————–

Teorema 1.3 (Kronecker) Seja K um corpo e seja f (x) um polinômio não constante em K[x]: Então existe uma extensão F de K e 2 F tal que f (x) possui uma raíz em L: Prova Como f (x) é irredutível, o ideal hf (x)i é maximal. Logo, o anel quociente L = K[x]=hf (x)i = K[u] = fan un +an 1 un 1 +

+a1 u+a0 : a0 ; a1 ; :::; an 2 Kg

é um corpo. Podemos considerar K imerso em L: De fato, seja ' : K ! K[x]; de…nido por '(a) = a p(x) o homomor…smo inclusão e : K[x] ! L de…nido por (p(x)) = p(x) +h p(x)i é o homomor…smo canônico, temos que ' : K ! L é homomor…smo, com (

')(a) = (p(x)) = p(x) + h p(x)i

Veja o diagrama abaixo: '

K ———— !L % '

K[x]

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

15

Logo, podemos considerar K imerso em L; identi…cando-o com (

')(K)

Considere a classe lateral u = x+ hf (x)i 2 L. Seja ai = ai + hf (x)i para cada ai 2 K. Considere f (x) = a0 + a1 x + ::: + an xn um polinômio de grau n. Então: f (u) = an un + ::: + a1 u + a0 = (an +hf (x)i)(xn +hf (x)i)+:::+(a1 +hf (x)i)(x+hf (x)i)+(a0 +hf (x)i) = (an xn + ::: + a1 x + a0 ) + hf (x)i = f (x) + hf (x)i =0 pois f (x) 2 hf (x)i: Logo, f (x) tem uma raiz em L. —————————————————————————————————–

De…nição 1.9 Um elemento de uma extensão F de um corpo K é dito algébrico sobre K se f ( ) = 0 para algum polinômio f (x) de K[x]: Se não for algébrico dizemos que é transcedente sobre K: —————————————————————————————————–

De…nição 1.10 Seja f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn 1 + an xn Um polinômio não nulo de grau n em K[x]. Então, f (x) possui no máximo n raízes em qualquer extensão L de K: —————————————————————————————————–

De…nição 1.11 Seja f (x) 2 K[x], sendo K corpo, tal que @f (x) 1: Dizemos que f (x) é um polinômio irredutível sobre K se toda vez que f (x) = g(x):h(x); com g(x); h(x) 2 K[x] então temos g(x) = a constante em K ou h(x) = b contante em K: Se f (x) for não irredutível sobre K dizemos que f é redutível sobre K: —————————————————————————————————– Temos então que todo polonômio de grau 1 sobre um corpo K é irredutível sobre K. Vejamos que o polinômio f (x) = x2 + 1 é irredutível

16

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

sobre o corpo R porém é redutível sobre C: Assim, f (x) 2 K[x] pode ser irredutível sobre K e redutível sobre uma extensão L K: Nesse caso acima, temos aseguinte extensão: C R. —————————————————————————————————– De…nição 1.12 (Corpo de decomposição) Chamamos de corpo de decomposição de um polinômio f (x) 2 K[x] sobre K, que denotaremos por L = Gal(f; K) ao menor subcorpo de C que contém K e todas as raízes de f (x) em C: Esse subcorpo existe e é a intersecção de todos os subcorpos de C contendo K e todas as raízes de f (x) em C: —————————————————————————————————– Sejam f (x) 2 K[x] e 1 ; 2 ; :::; r as distintas raízes de f (x) em C: Constitui-se uma de…nição de L = Gal(f; K) : consideremos, K0 = K K1 = K[ 1 ] K2 = K1 [ 2 ] ::: Kr = Kr 1 [ r ]: Claramente Ki é o menor subcorpo de C contendo K e 1 ; 2 ; ::: i e portanto Kr = Kr 1 [ r ] = Gal(f; K): Denotemos por Kr = K[ 1 ; 2 ; ::: r ] temos Gal(f; K) = K[ 1 ; 2 ; ::: r ]: É de imediato que qualquer que seja a ordem em que tomarmos as raízes 1 ; 2 ; ::: r ainda assim esse processo, chamado adjunção de raízes, nos levará a Gal(f; K): Seja K um corpo e K C , e mais ainda, uma raíz 2 C, 2 = K;sendo algébrico. Considere o homomor…smo de anéis ' : K[x] ! C f (x) 7! f ( ) Chamado de homomor…smo de avaliação em A imagem desse homomor…smo é, por de…nição, K[ ], isto é, K[ ] = Im ' = ff ( ) =f (x) 2 K[x]g No nosso caso, 0:

é algébrico, logo existe p (x) 2 K[x] tal que p ( ) =

Podemos escolher p (x) 2 K[x] tal que p ( ) = 0 com o grau mínimo. Logo, p (x) é irredutível (do contrário p (x) = g (x) :h (x) e g ( ) = 0 ou h ( ) = 0, com @(g) < @(p) ; @(h) < @(p)) Assim, Ker' = ff (x) :p (x) / f (x) 2 K[x]g = (p (x)) e pelo teorema dos homomor…smos,

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

17

K[ ] = Im ' ' K[x]= (p (x)) : Exemplo: Seja a equação fp(x) =p x3 2;pnesse caso, teremos; pelo que vimos 3 3 L = Gal(f; K) = K[ 2; w: 2; w: 3 2]; onde w; w 2 C: Consideremos agora, uma estrutura algébrica simples, com apenas uma operação e que é usado em outros sistemas algébricos. —————————————————————————————————– De…nição 1.13 (Grupo) Seja G um conjunto não vazio. Uma operação binária sobre G é uma função: :G

G ! G (a; b) 7 ! a b

—————————————————————————————————– De…nição 1.14 Dizemos que a estrutura algébrica (G; ) é um grupo se, são válidas as seguintes condições: G1 )

é uma operação associativa, isto é, quaisquer que sejam x; y; z em G; tem-se (x y) z = x (y z):

G2 )

tem elemento identidade, isto é, existe e em G tal que x qualquer que seja x em G.

e = x

G3 ) Cada elemento de G é invertível na operação ; ou seja, para todo x em G existe um elemento y em G ( chamado inverso de x na operação ) tal que x y = e: Exemplo. (Z; +); (Q; +) e (R; +) ; são os grupos aditivos dos inteiros; racionais e reais respectivamente. E (Q f0g, ) e (R f0g; ) são os grupos multiplicativo dos racionais e reais respectivamente. —————————————————————————————————– De…nição 1.15 (grupo abeliano) Se (G; ) for um grupo tal que x y = y x para todo x; y em G; dizemos que G é um grupo abeliano ou comutativo. —————————————————————————————————–

18

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

De…nição 1.16 (subgrupo) Sejam G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Dizemos que H é um subgrupo de G se H for ele próprio um grupo com a mesma operação de G e denotaremos por H G: —————————————————————————————————– Podemos ter também a seguinte condição H

G,

1) e 2 H onde e 2 G é o elento neutro de G 2) a; b 2 H ) a:b 1 2 H

Exemplo: Sejam H1 G. Então

H2

Hn H=

1 [

Hn+1

subgrupos de um grupo

Hi

i=1

é um subgrupo de G: Solução. Temos que e 2 H 6= 0, pois e 2 H1 H: Se a; b 2 H; então a 2 Hi e b 2 Hj ; onde i; j 2 f1; 2; : : : ; n; : : :g: Sem perda de generalidade podemos supor que i 6 j: Logo, a; b 2 Hj ; pois Hi Hj : Assim, ab 1 2 Hj H e portanto, 1 [ H= Hi i=1

é um subgrupo de G: —————————————————————————————————–

De…nição 1.17 Sejam G um grupo, e H um subgrupo. Para cada a 2 G; de…ne-se a classe lateral à direita de H; determinada por a; como sendo o conjunto Ha = fha : h 2 Hg Analogamente, de…nimos

aH = fah : h 2 Hg como sendo a classe lateral à esquerda de H; determinada por H. —————————————————————————————————– Se Ha = aH dizemos que G é normal e indicamos por H E G: —————————————————————————————————–

1.2. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS

19 0

De…nição 1.18 (homomor…smo) Sejam G e G grupos. Chama-se homo0 mor…smo a uma aplicação f : G ! G , dotada da seguinte propriedade: f (xy) = f (x)f (y) e em notação aditiva temos, f (x + y) = f (x) + f (y) para todos x; y 2 G: —————————————————————————————————– 0

Se f : G ! G é um homomor…smo bijetivo, dizemos que f é um isomor…smo. Se X é um conjunto e G = ff : x ! x / f é bijetivag; então (G; ) é um grupo, onde :G

G !G

é a composição de função e o elemento neutro de (G; ) é a função I:X !X dada por I(x) = x; 8x 2 X —————————————————————————————————– Se é a operação composição de funções, isto é : G G ! G; tal que (g; f ) ! gof; então G; é claramente um grupo tendo Is : X ! X; tendo x ! x como identidade. Esse grupo é chamado de grupo das permutações do conjunto X: Se X = f1; 2; 3; 4; :::ng denotemos esse grupo por Sn , e temos que o número de elementos de Sn é exatamente n!: Agora, veri…caremos que os grupos Sn ; n 3, são exemplos de grupos não abelianos. De fato, sejam f; g 2 Sn de…nidas como se segue: f : f1; 2; 3; 4; :::; ng ! f1; 2; 3; 4; :::; ng; sendo f (1) = 2; f (2) = 1; f (x) = x 8x; 4 x n: g : f1; 2; 3; 4; :::; ng ! f1; 2; 3; 4; :::; ng; sendo g(1) = 2; g(2) = 3; g(3) = 3 se n 4 g(x) = x 8x; 4 x n: Bem, como (gof )(1) = g(f (1)) = g(2) = 3 e (f og)(1) = f (g(1)) = f (2) = 1; temos que gof 6= f og: É usual denotar um elemento do grupo Sn por,

20

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1 2 3 ::: n f (1) f (2) f (3) ::: f (n)

f=

;

Assim, por exemplo o grupo S3 é composto dos seguintes 6 elementos:

e=

1 2 3 1 2 3

;

f1 =

1 2 3 2 1 3

= f1 1 ;

f2 =

1 2 3 1 3 2

= f2 1 ; f3 =

1 2 3 3 2 1

= f3 1 ;

f4 =

1 2 3 2 3 1

= f4 1 ; f5 =

1 2 3 3 1 2

= f4

1

Logo, S3 = fe; f1 ; f2 ; f3 ; f4 ; f5 g: com exatamente 6 elementos. —————————————————————————————————– De…nição 1.19 (r-ciclo) Dizemos que a permutação 2 Sn é um r ciclo de Sn ; r > 2 se existem i1 ; i2 ; :::; ir distintos elementos de f1; 2; :::; ng tais que : (i1 ) = i2 ; (i2 ) = i3 ; :::; (ir 1 ) = ir ; (ir ) = i1 e (j) = j 8j 2 f1; 2; 3; :::; ng fi1 ; i2 ; :::ir g: —————————————————————————————————– De…nição 1.20 Grupo An das permutações pares. Consideremos P = P (x1 ; :::; xn ) um polinômio nas variáveis x1 ; :::; xn : onde xi :xj = xj :xi 8ij 2 f1; 2; ::; ng; assim , P (x1 ; :::; xn ) = (x1 x2 )(x1 x3 )

(x1 xn )(x2 x3 ):::(x2 xn ):::(xn

1

xn )

o qual denotarems por : p=

Q

(x

(i)

x

(j) ):

1 i 5; An é o único subgrupo normal 6= feg; Sn (não trivial) de

Seja feg = 6 H E Sn : Suponha que H \ An 6= feg: Então H \ An E An ) H \ An = An ; pois An é simples. Logo, An H: Como [Sn : An ] = 2; temos [Sn : H] 6 2; logo H = Sn ou H = An . Se H \ An = feg; então jH:An j = jHj : jAn j = jHj : n!2 6 n! ) jHj 6 2: Como H 6= feg; temos que jHj = 2; logo H = fe; g: Como H E 1 Sn; = ; 8 2 Sn ) 2 Z (Sn ) = feg; (onde Z (Sn ) é o centro de Sn ); absurdo, pois jHj = 2:

1.3. FUNÇÕES SIMÉTRICAS

1.3

27

Funções Simétricas

O objetivo dessa parte é um breve esclarecimento sobre essas equações simétricas, as quais se relacionam em momento importante no uso que faremos das extensões de corpos e suas raízes. Percebemos que foram várias conquistas matemáticas individuais e fragmentadas que levou ao sucesso dessas soluções brilhantes, vejamos. Próximo da metade do século XVIII, a estrutura das equações tornou -se mais clara a partir das investigações de Viète. As informações sobre as relações das raízes das equações e seus coe…cientes se tornou de grande importância, pois possibilitou se tirar informações sobre as raízes sem necessáriamente resolver as equações. Como Girard havia mostrado para qualquer polinômio a seguinte relação: Xn

s1 X n

1

+ s2 X n

2

::: + ( 1)n sn = (X

x1 ) (X

x2 ) ::: (X

xn )

Onde s1 = x1 + ::: + xn s2 = x1 x2 + ::: + xn 1 xn s3 = x1 x2 x3 + ::: + xn 2 xn 1 xn . . . sn = x1 x2 :::xn Assim, as funções nas variáveis x1 ; :::xn devem ser consideradas indeterminadas independentes em relação aos coe…cientes s1 ; :::sn sobre algum corpo F [X]; e normalmente para isso consideraremos corpos com sendo F = Q: Para melhor entendermos, veremos umas de…nições que nos auxiliará à compreensão. —————————————————————————————————–

De…nição 1.24 Se x1 ; :::xn são consideradas indeterminadas independentes sobre um corpo F , o polinômio X n s1 X n 1 + s2 X n 2 ::: + ( 1)n sn = (X x1 ) (X x2 ) ::: (X xn ) é chamado de polinômio mônico geral de grau n sobre F: É um polinômio de indeterminação X com coe…cientes em F [x1 ; :::xn ]; e pode ser visto como um elemento de F [x1 ; :::xn ; X]: E é geral ainda no seguinte sentido: Se P = X n an 1 X n 1 + an 2 X n 2 + ::: + a1 X + a0 é um polinômio mônico de grau n para algum corpo K contendo F que divide em um produto de fatores lineares em algum corpo L contendo K de modo

28

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

que P = (X u1 ) ::: (X un ), com ui 2 L para i = 1; :::n; então existe um homomor…smo F [x1 ; :::xn ] ! L para xi ; ui com i = 1; :::n: Este anel de homomor…smo traduz qualquer cálculo com x1 ; :::xn para cálculos com u1 ; :::un : —————————————————————————————————–

De…nição 1.25 Um polinômio P (x1 ; :::xn ) em n indeterminadas é simétrico se e somente se quando suas indeterminadas não se alteram quando são arbitrariamente permutadas, para qualquer permutação de 1; :::n; ou seja, P x (1) ; :::; x (n) = P (x1 ; :::; xn ) : —————————————————————————————————– Logo, nesse sentido, as equações simétricas serão usadas nesse trabalho diretamente relacionadas com as permutações já mencionadas acima. Para o leitor que almeja ter mais informações nesse sentido indico o livro TIGNOL, Jean-Pierre. Galois Teory of Algebraic Equation-USA: Copyringt; 2001.

Capítulo 2 Resultados para as equações de grau 2 6 n 6 4 2.1

Considerações Preliminares Seja uma equação algébrica de grau n > 2 a igualdade com a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn

1

+ an xn = 0 (n)

ai 2 R (i = 0; 1; 2; 3; :::; n), an 6= 0: Procuramos o valor de x de modo que satisfaça a igualdade. E para esse …m, oPTeorema Fundamental da Pn usamos i Álgebra em que o polinômio f (t) = i=0 ai t = ni=0 ti ai 2 R [t], de grau n, fatora-se como f (t) = an (t

z1 )(t

z2 ):::(t

zn ) (L)

Sendo z1 , ..., zn 2 C (corpo dos números complexos) não distintos necessáriamente, determinados inivocamente. Dessa forma, dizemos que toda equação algébrica de grau n tem exatamente n raízes complexas, podendo haver repetições, com suas multiplicidades. As raízes, coe…cientes, grau, etc. da equação (n) são, por de…nição, as raízes, coe…cientes, grau, etc. do polinômio f . Desenvolvendo o segundo membro de (L), e comparando os coe…cientes de mesmo grau, obtêm-se as relaçõesentre coe…cientes e raízes de um polinômio, segundo as relações de Albert Girard (1590-1635) teremos: z1 + ::: + zn= an 1 =an z1 z2 + :::zn 1 zn = an 2 =an : : :P zi1 zi2::: zik = ( 1)k an k =an i1‹i2‹:::‹ik 29

30CAPÍTULO 2. RESULTADOS PARA AS EQUAÇÕES DE GRAU 2 6 N 6 4 . . : z1 z2::: zn = ( 1)n a0 =an Dessa forma, para encontrar as raízes de f (x) = 0 dividimos todos os coe…cientes de de f por an 6= 0, e supor sem perda de generalidade , que seja an = 1: E também, deve-se considerar que dado um número complexo w e um número natural n > 1, diz-se que z 2 C é uma raíz n esima de w se: zn = w Se w = 0, …ca claro que z = 0 é a única solução de z n = w: Se w 6= 0 então existem exatamente n soluções distintas da equação n z = w: Teorema 2.1 Fixe n 2 N : Todo número complexo não nulo w possui exatamente n raízes complexa distintas, a saber: p n jwj[cos( Arg(w)+2k ) + i sen( Arg(w)+2k )]; (D) onde k = 0; 1; 2; 3::::; n 1: n n Prova.

(D).

Para cada k 2 Z, denotemos por zk o número complexo dado em

Escreva w = jwj (cos + i seno ); onde = Arg(w): Procuramos todos os números complexo z = jzj (cos + i seno ) para os quais é verdade que z n = w: Pela fórmula de Moivre, a equação z n = w se transforma em jzjn [(cos(n ) + i sen(n )] = jwj (cos

+ i seno );

o que equivale adizer que jzjn = jwj e que também cos(n ) = cos

e sen(n ) = sen : p A primeira condição é satisfeita quando jzj = n jwj e as duas outras com k 2 Z: quando n = + 2k com k 2 R, ou seja, = +2k n

2.2. A EQUAÇÃO DE 2O GRAU

31

De modo, que as n-ésimas raizes de w são os números zk para k 2 Z. Fazendo k = 0; 1; 2; 3:::; n 1 obtemos raízes distintas. Porém os demais valores de k nos dão repetições de raízes z0; z1; z2; z3; :::; zn 1 De fato tomando-se k 2 Z arbitrário,e escrevemos k = qn + r com q 2 Z e 0 r < n: Como +2k = +2(qn+r) = +2k + 2q ; vemos, assim, n n n que zk = zr 2 fz0; z1; z2; z3; :::; zn 1 g :

2.2

A Equação de 2o Grau Para n = 2, temos a equação quadrática x2 + bx + c = 0 (I) Para resolvê-la, basta "completar o quadrado" : x2 + 2(b=2) + (b=2)2 + c

,

b x+ 2

(b=2)2 = 0

2

b ,x+ = 2 ,x=

(b=2)2 ,

=c b2

b

1 2

4c 4 p 2

, ;

em que = b2 4c é chamado depdiscriminante (2). p De…ni-se para r < 0 : r = i r;onde i é a unidade imaginária do corpo dos complexos C. Obtendo-se dessa maneira a conhecida fórmula de Baskhara p b x= 2

2.3

A Equação do 3o Grau

O procedimento de "complementação do cubo" para a equação x3 + ax2 + bx + c = 0 retira seu coe…ciente de 2o grau. De fato, podemos escrever

32CAPÍTULO 2. RESULTADOS PARA AS EQUAÇÕES DE GRAU 2 6 N 6 4 a a a x3 + 3( )x2 + 3( )2 x + ( )3 + (b 3 3 3

a2 )x + c 3

a3 = 27

a a = (x + )3 + p(x + ) + q = 0 3 3 onde

2a3 ab a2 p=b eq = + c: 3 27 3 Basta, agora resolver a equação reduzida x3 + px + q = 0 (II)

Cujas raízes xi fornecem as três raizes xi a3 da equação completa. Para resolver (II), usa-se um artifício de calculo, fazendo x = u + v, com u 6= 0 e v 6= 0, a serem determinados Note-se que podemos supor x 6= 0 e q 6= 0 ; de outra forma recaíriamos em uma equação quadrática. Assim, (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 , , u3 + v 3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0: Obviamente, obtem-se uma raiz cuja soma é x; ou seja, x = u + v, resolvendo-se o sistema de equações em u e v como sendo 3uv + p = 0, temos: u3 + v = q (III) 3uv = p A solução de (III) são necessáriamente soluções (u; v) do seguinte sistema, o qual pode ser resolvido facilmente em u3 e v 3 : u3 + v 3 = u3 v 3 =

q p3 27

Logo, faz-se na primeira equação u3 = que na segunda equação u3 ( q

u3 ) =

(B) q

p3 , 27

v 3 , dessa forma teremos

2.3. A EQUAÇÃO DO 3O GRAU

,

qu3

33

(u3 )2 =

, (u3 )2 + qu3

p3 , 27 p3 =0 27

fazendo y = u3 , teremos p q q 2 4( p3 )3 p 3 y + qy ( ) = 0 ) y = ) 3 2 r q q 2 p3 )y= + + ; 2 4 27 um procedimento similar para v 3 = z obtemos r q q 2 p3 z= + :; 2 4 27 consequentemente, r r q q 3 3 p3 p3 q q2 q2 q + 27 :(A) + + x=u+v = + 4 4 27 2 2 2

Assim, x = u + v, é uma raiz da equação x3 + px + q = 0 .

2.3.1

O Discriminante

O discriminante da equação x3 + px + q = 0 é de…nido por = (x1 x2 )2 (x1 x3 )2 (x2 x3 )2 ; onde x1 2 C (i = 1; 2; 3) são raizes da equação. Proposição 2.1 O discriminante da equação x3 +px+q é dado, em termos de seus coe…cientes, por = 4p3 27q 2 : Prova Sabemos que as raizes da equação são dadas por x1 = u + v; x2 = wu + w2 v e x3 = w2 u + wv; onde u e v são raizes cúbicas complexas de

34CAPÍTULO 2. RESULTADOS PARA AS EQUAÇÕES DE GRAU 2 6 N 6 4

s 3

q + 2

r

q 2 p3 + e 4 27

s 3

q 2

r

q 2 p3 + respectivamente; 4 27 p : 3

e w é raiz da unidade em C , sendo uv = x1

x2 = (1

x3 = (1

x2

x3 = (w

w2 )v = (1

w)u + (1

w2 )u + (1

x1

Logo, teremos: w2 v)

w)( w2 u + v)

w)v = (1

w2 )u + (w2

w)(u

w)v = w(1

w)(u

Assim, (x1

x2 )(x1

= w(1

= (1

x3 )(x2

w)3 w2 (v 3

3

r

w) ( 2

x3 ) = u3 ) =

q 2 p3 + ); 4 27

por outro lado temos (1

w)6 = [(1

w)3 ] = (1

3w + 3w2

p = (3i 3)2 =

)

= [(x1

=

x2 )(x1

w3 )2 =

27: ) x3 )(x2

27(q 2 + 4p3 =27) =

4p3

x3 )]2 = 27q 2 :

v)

2.3. A EQUAÇÃO DO 3O GRAU

2.3.2

35

Condições do Discriminante da Equação do 3o Grau

Considere o polinômio f (X) = X 3 + pX + q 2 R[X], e a equação cúbica f (x) = x3 + px + q = 0 . _ Consideremos z 2 C seja raíz de f (X) se somente se z também é raíz de f (X): De fato, de x3 + px + q = 0, tiramos _

_

_

(x)3 + px + q = x3 + px + q = 0 = 0 1. A equação tem uma raíz tripla se somente se p = q = 0: Com efeito temos que se p = q = 0, …ca claro que x1 = x2 = x3 = 0: Reciprocamente, se x1 = x2 = x3 = c, tem-se x3 +px+q = (x c)3 = x3 3cx2 + 3c2 x c3 , para todo x 2 C: Logo, c = 0, então, p = q = 0: 2. A equação tem uma raiz dupla x1 = x2 6= x3 , = 0 e (p; q) 6= (0; 0): A implicação “) ”decorre imediatamente da de…nição do discriminante e de (1). Novamente por (1), se (p; q) 6= (0; 0), então temos, pelo menos, duas raízes distintas. Se, além disso, = 0, teremos somente uma raiz dupla. 3. As três raízes são simples (não há raiz repetida) se e somentese 6= 0, como se vê a partir da de…nição do discriminante. 4.: 0 se e somente se todas as raízes da equação são reais. Acondição é obviamente necessária, pois o quadrado de qualquernúmero real é não negativo. Também é su…ciente, pois se umadas raízes é imaginária, tem-se duas imaginárias conjugadas, digamos x1 e x2 = x1 ; e temos f (X) = (X

x1 )(X

x1 )(X

x3 ):

Comparando os termos constantes, obtemos jx1 j2 x3 = q 2 R; logo, x3 = c 2 R: Portanto, = [(x1

x1 )(x1

c)(x1

5 Se r < 0, podemos fazer r q 3 q + 108 + 3 x1 = 2

q 2

reais, devido ao produto delas ser

c)]2 = [2(x1 )i jx1 q p : 3

108

cj2 ]2 =

r

0:

, em que as raizes cúbicas são as

Ademais, temos neste caso duas raizes

36CAPÍTULO 2. RESULTADOS PARA AS EQUAÇÕES DE GRAU 2 6 N 6 4 complexas não reais não conjugadas. Mas temos que: q = x1 jx2 j2 0 , x1 0: 6 Se > 0, tem-se três raízes reais distintas. Neste caso, tem-se 4p3 27q 2 > 0 e portanto p < 0: Deve-se notar que a equação de 3o . de coe…cientes racionais, f (x) = 0 contem x1 2 Q tal que x1 é raíz de f (x). Dessa forma temos f (x) = (x x1 )g(x), logo as raízes dessa equação são x1 e as raízes da equação quadrática g(x) = 0, naõ precisando do uso da fórmula de Cardano. De outra forma, f (x) = x3 + px + q é um polinômio com coe…cientes racionais, irredutível sobre Q: Se 4 = 4p3 27q 2 > 0 a equação f (x) = 0 terá raízes reais , x1 ; x2 ; x3 , distintas, de forma s s r r 3 3 q q x1 = + + 2 2 108 108 s s r r 3 q q 2 3 x2 = w + +w 2 108 2 108 s s r r 3 q q 2 3 + x3 = w +w 2 2 108 108 Observemos que embora sejem reais, as raizes são radicais cúbicos complexos não reais. Esse é o caso irredutível, cujo Cardano não conhecia bem, pois os complexos não eram conhecidos bem ainda. Os radicais quadráticos de números negativos eram conhecidos como números imaginários, os quias na expressão x1 são os complexos conjugados.

2.4

Equação do 4o Grau

Considere a equação completa x4 + ax3 + bx2 + cx + d a qual pode ser escrito da seguinte forma a a a (x + )4 + p(x + )2 + q(x + ) + r 4 4 4 completando-se a quarta potência. Tão, basta considerar a equação do quarto grau reduzida x4 + px2 + qx + r = 0 (C):

2.4. EQUAÇÃO DO 4O GRAU

37

Fazendo x = u + v + z, com u 6= 0; v 6= 0; z 6= 0, dessa forma teos: x2

(u2 + v 2 + z 2 ) = 2(uv + uz + vz) )

) [x2

(u2 + v 2 + z 2 )]2 = 4(uv + uz + vz)2 ,

, x4

2(u2 + v 2 + z 2 )x2 + (u2 + v 2 + z 2 )2 =

= 4[u2 v 2 + u2 z 2 + v 2 z 2 + 2(u2 vz + uv 2 z + uvz 2 )] = = 4(u2 v 2 + u2 z 2 + v 2 z 2 ) + 8uvz(u + z + v) , , x4 2(u2 +v 2 +z 2 )x2 8(uvz)x+[(u2 +v 2 +z 2 )2 4(u2 v 2 +u2 z 2 +v 2 z 2 )] = 0 Assim, sendo (u; v; z) solução do seguinte sistema: 8 u2 + v 2 + z 2 = p2 < uvz = 8q , : 2 2 (p2 4r) 2 2 2 2 u v + u z + v z = 16 então x = u + v + z é raiz de (C). Resolvendo o sistema em u2 ; v 2 ; z 2 , sendo: 8 u2 + v 2 + z 2 = p2 < q2 u2 v 2 z 2 = 64 ; : 2 2 (p2 4r) 2 2 2 2 u v + u z + v z = 16

dessa forma, temos que u2 ; v 2 ; z 2 são raizes da equação cúbica y 3 +( p2 )y 2 + 2 q2 = 0 chamada de cúbica resolvente de (C). [ (p 164r) ]y 64 2 2 2 Encontra-se, assim, os numéros complexos p u = ; vp = ; z = . Escolhendo duas raizes quadradas u = ev = ;determina-se q q2 q 2 q 2 z = 8uv ;sendo = z = 64u2 v2 = ( 8uv ) ; temos que z = 8uv é uma das raizes quadradas de p: p p Assim, x = + + é raiz de (C). Logo, as quatro raizes de (C) são: p p p x1 = p + p + p x2 = p p p x3 = p + p p x4 = +

38CAPÍTULO 2. RESULTADOS PARA AS EQUAÇÕES DE GRAU 2 6 N 6 4

2.5

A equação de Grau n > 5

A equação geral de grau n > 5, é uma equação insolúvel, não tendo solução por radicais e operaçãoes aritméticas elementares. Porém para demonstrar isso, trona-se necessário um conhecimento prévio de algebra sobre teoria dos corpos, culminando no Teorema Fundametal da Teoria de Galois para uma extensão L K de um certo grupo de permutações das raizes de um polinômio f (x): Em que se determina uma correspondência biunívoca entre os subcorpos intermédiários K F L e os subgrupos do grupo Gal(f; K) dos automor…smo de L sobre K: Assim, essa teoria resulta em que a equação f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn 1 + an xn = 0; pode ser resolvida por radicais se e somente se Gf = Gal(L; K) é um grupo solúvel, onde L é constituído a partir de f (x): Para tanto, iniciaremos na próxima parte os conhecimentos necessários sobre algebra abstrata ao entendimento desse Teorema.

Capítulo 3 A Teoria de Galois A idéia fundamental da Teoria de Glois é fornecer uma conexão entre a Teoria dos Corpos e a Teoria dos Grupos. Através da Teoria de Galois, certos problemas na Teoria dos Corpos podem ser reduzidos a problemas na Teoria dos Grupos, a qual é, de certo modo, mais simples e melhor entendida. Através desta Teoria podemos demonstrar via grupos solúveis, que não existem fórmulas do tipo Baskhara para resolução de polinômios de grau maior ou igual a cinco em termos de seus coe…cientes.

3.1

Correspodências de Galois

Galois descbriu que existe uma corespondência entre extensões intermédiárias e subgrupos do grupo de Galois, como veremos. —————————————————————————————————–

De…nição 3.1 Sejam N uma extensão de K e : N …smo que …xa pontualmente os elementos de K, isto é

! N um automor-

(x) = x; para todo x em K Neste caso, dizemos que

é um K

automorf ismo de N:

—————————————————————————————————– p 2] p uma extensão e Exemplo: Sejam Q[ p mor…smo tal que ( 2) = 2: Assim, 1 (a

p p + b 2) = a + b 2 ou 39

2 (a

p p : Q[ 2] ! Q[ 2] um iso-

p + b 2) = a

p b 2

40

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS p p Dado x = a + b 2 2 Q[ 2]; tem-se sempre 2 (x)

1 (x)

= x: Mas,

=x,x2Q

p Logo, há dois Q automorf ismos de Q[ 2]: —————————————————————————————————–

De…nição 3.2 Sejam N; K dois corpos, onde N é uma extensão …nita de K e : N ! N um automor…smo. De…nimos o conjunto Aut(N ) por: Aut(N ) = f :

e um automorf ismo de N g

—————————————————————————————————–

De…nição 3.3 (Grupo de Galois de uma extensão) Seja N uma extensão de um corpo K. Então o grupo de todos os automor…smos de N sobre K que deixam …xo todo elemento de K é denominado de grupo de Galois de N sobre K e indicado por gal(N nK); isto é, gal(N nK) = f 2 Aut(N ) : (x) = x; 8x 2 Kg —————————————————————————————————– Nota: Podemos observar que, com a composição de funções ( ), Aut(N ) é um grupo e gal(N nK) é um subgrupo de Aut(N ):

Exemplo: Calcule gal(CnR): Solução. Seja um automor…smo arbitrário de C. Como i2 = 1 temos que (i)2 = (i2 ) = ( 1) = 1 pois, (r) = r; 8r 2 R. Logo , (i) = i: Por outro lado, para todo x; y 2 R; temos (x + iy) = (x) = (i) (y) = x iy Assim, temos dois candidatos para ser R automorf ismo de C; 1 (x

+ iy) = x + iy

2 (x

+ iy) = x

e iy

Por de…nição, 1 é um R automorf ismo de C: É fácil veri…car que 2 é um automor…smo e e portanto, 2 é um R automorf ismo e além disso,

3.1. CORRESPODÊNCIAS DE GALOIS 2 2

= 1 : Segue-se que gal(CnR) = h 2 i = f 1 ; pela classi…cação dos grupos ciclicos,

41 2g

é um grupo de ordem 2 e

gal(CnR) ' Z2

p Exemplo: Calcule gal(QnL); onde L = [Q 2]: p Solução. Temos que f (x) = x2 2 2 Q[x] é o polinômio minimal de 2 sobre Q: Qualquer Q automorf ismo : L ! L transforma raízes deste p polinômio em raízes de [Q 2]. Assim, temos dois automor…smo, a identidade e p p (x + y 2) = x y 2 Segue-se que gal(QnL) = h i = fidL ; g é um grupo de ordem 2 e pela classi…cação dos grupos cíclicos gal(QnL) ' Z2 —————————————————————————————————–

De…nição 3.4 Seja N uma extensão de K. O corpo L tal que K é chamado de corpo intermediário da extensão.

L

N

—————————————————————————————————– Exemplo: R épum corpo intermediário da extensão C de Q: Exemplo: Q[ 2] é um corpo intermediário da extensão R de Q: Galois descobriu que existe uma correspondência entre extensões intermediárias e subgrupos do grupo de Galois, conforme veremos a seguir. Sejam N nK uma extensão …nita, G = gal(N nK) e os conjuntos @ = fL : K

L

N g(conjunto dos subcorpos L de N contendo K)

e a = fH : H < Gg(conjunto dos subgrupos H de G) De…nimos duas funções : @ ! a de…nida por (L) = gal(N nL) e : a ! @ dada por (H) = N H = fx 2 N : (x) = x; 8 2 Hg Veja que (L) pode ser considerado como a imagem de L N pela aplicação : fsubcorpos de N g ! }(Aut(N ))

42

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS

L 7 ! (L) = gal(N nL) Veja que (H) pode ser encarado como a imagem de H pela aplicação : }(Aut(N )) ! fsubcorpos de N g H 7 ! (H) = N H Obeservamos agora algumas propriedade elementares dessas aplicações: 1. (K) = gal(N nK) = G: 2. (N ) = gal(N nN ) = f 2 Aut(N ) : (x) = x; 8x 2 N g = fidN g: 3. (idN ) = N idN = fx 2 N : (x) = x; 8 2 idN g = N: 4. (G) = fx 2 N : (x) = x; 8 2 Gg K: Proposição 3.1 Seja H um subconjunto não vazio de Aut(N ): Então o conjunto N H = fx 2 N : (x) = x; 8 2 Hg é um subcorpo de N: Prova. Sejam a; b 2 N H e (a

2 H: Então (a) = a e (b) = b: Logo, b) = (a)

(b) = a

b

e (a:b) = (a): (b) = a:b o que implica a b 2 N H e a:b 2 N H : Como (1N ) = 1N ; 8 2 H; temos que 1N 2 N H : Analogamente, 0N 2 N H : Sejam 0 6= a 2 N H : Então, dado 2 H temos e (a 1 ) = (a)

1

=a

1

donde a 1 2 N H : Logo, N H é um subcorpo de N: —————————————————————————————————– De…nição 3.5 O subcorpo N H

N será chamado o corpo …xo de H:

3.1. CORRESPODÊNCIAS DE GALOIS

43

—————————————————————————————————– Exemplo: Já vimos que gal(CnR) = h 2 i = f 1 ; 2 g; onde 1 = id e (a + bi) = a bi: Logo, os únicos subgrupos de G = gal(CnR) são: 2 H = fidg e G Determinie CH e CG : Solução: Note que C CG Temos que R CG : Se x + iy =

2 (x

C: Logo, CH = C. = x + iy 2 CG ; então + yi) = x

yi ) y = 0

e portanto, CG = R. O par de funções f ; g é chamado uma conexão de Galois. Este par satisfaz as seguintes propriedades: Proposição 3.2 Mantendo as notações acima temos: a) Se L1 ; L2 2 @ e L1 L2 ; então (L1 ) (L2 ): A função inverte inclusões. b) Se H1 ; H2 2 a e H1 H2 ; então (H1 ) (H2 ): A função inverte inclusões c) L ( )(L): d) H ( )(H): Além disso,denotando por @ a imagem de e a a imagem de ; temos que @ @; a a e as seguintes propriedades: e) L 2 @ se, e somente se, L = ( )(L): f) H 2 a se, e somente se, H = ( )(H): Prova. a) Sejam K L2 N e 2 (L2 ): Então para todo x 2 L2 ; (x) = x: Como L1 L2 ; temos que para tdo x 2 L1 ; (x) = x: Logo, 2 g(L1 ): b) Seja x 2 (H2 ); logo para todo 2 (H2 ); (x) = x; em particular, o mesmo vale para todo 2 H1 : Logo, x 2 (H1 ): c) Para cada x 2 L; e para cada 2 (L) = gal(N nL) temos que (x) = x: Logo, L ( )(L) d) Para cada )(H): Assim, H (

2 H; temos (x) = x; 8x 2 (H): Logo, )(H):

2 (

44

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS

e) É claro que se L = ( )(L); então H 2 a : Reciprocamente, já sabemos que L ( )(L): Se L 2 @ ; digamos L = (H); então como H ( )(H); temos que L = (H)

(

)(H) = (

)(L)

pois L = (H) e portanto, ( )(L) L: Logo, L = ( )(L): f) É claro que se H = ( )(H); então H 2 a : Reciprocamente, já sabemos que H ( )(H): Se H 2 a ; digamos H = (L); então como L ( )(L); temos que H = (L)

(

)(L) = (

)(H)

pois H = (L) e portanto, ( )(H) H: Logo, H = ( )(H): —————————————————————————————————–

De…nição 3.6 Uma extensão …nita LnK é dita galoisiana se forseparável e normal. —————————————————————————————————– Teorema 3.1 (Teorema de Artin) Dado H 2 a temos que N nN H galoisiana, N : N H = #H e H = gal(N nN H ) = (

)(H):

—————————————————————————————————– Prova. H

Seja 2 N e C = f ( ) : 2 Hg o conjunto dos elementos conjugados a : Note que #C 6 jHj : Seja f =

2C

(x

)

Temos que para todo 2 H; nC é uma permutação de C ; pois é injetivo, C é …nito e (C ) C : Logo, f 2 N H [x]: Por construção f é separável, por tanto, é separável sobre N H : Agora, para provar que N nN H é normal, basta mostrar que #gal(N nN H ) = [N : N H ]

3.1. CORRESPODÊNCIAS DE GALOIS pela Proposição 3.2, H

45

)(H) = gal(N nN H ) e portanto

(

#H 6 gal(N nN H ) 6 [N : N H ]

Para provar a outra desigualdade, observe que N nN H é …nita e separável, e pelo Teorema do elemento primitivo, existe 2 N tal que H N = N [ ]: Mas neste caso, [N nN H ] = @p

nN H

6 @f 6 jHj

Portanto, N : N H = #H e H = gal(N nN H ) = (

)(H):

————————————————————————————————– Proposição 3.3 Seja L 2 @: Então L 2 @ se, e somente se, N nL for galoisiana. Prova. Se L 2 @ ; então pelo Teorema 6.?, temos que N nL é galoisiana. Reciprocamente, suponhamos que N nL seja galoisiana. Então jgal(N nL)j = [N : L] Por outro lado, L [N : (

(

)(L)

N e dessa forma, temos que

)(L)] = [N : N gal(N nL) ] = jgal(N nL)j = [N : L]

Logo, L = ( )(L) 2 @ : —————————————————————————————————– Proposição 3.4 Para todo L 2 @;

2 G; temos ( (L)) =

(L)

1

:

Prova. Temos que 2 ( (L)) , 8y 2 (L); temos (y) = y , 8x 2 L; 1 1 temos ( (x)) = (x) , 8x 2 L; temos ( ( (x))) = x , 2 1 (L) , existe 2 (L) tal que = , existe 2 (L) tal que 1 1 = , 2 (L) : —————————————————————————————————– Finalmente, vamos enunciar o teorema chave da Teoria de Galois. —————————————————————————————————–

46

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS

Teorema 3.2 (Teorema Fundamental da Teoria de Galois) Seja N nK uma extensão galoisiana …nita, G = gal(N nK): Então valem: i) e são bijeções inversas entre si e invertem inclusões. ii) Para todo L 2 @; temos que [N : L] = j (L)j e [L : K] = (G : (L)) Além disso, LnK é normal se, e somente se, (L) C G: Neste caso, nK) gal(N nK) ' G= (L) = gal(N gal(N nL) Prova. i) Se N nK é uma extensão galoisiana, podemos mostrar que N nL também é galoisiana para todo L 2 @: Logo, pela de…nição do grupo de galois de uma extenção em 3.3, ( )(L) = L e pelo Teorema de Artin, ( e portanto, inclusões.

e

)(H) = H

são inversas. Já vimos que as funções

e

invertem

ii) Para todo L 2 @; temos que N nL é galoisiana. Então [N : L] = j (L)j e pelo Teorema das torres, jGj = j (K)j = [N : L][L : K] = j (L)j [L : K] Logo, [L : K] = (G : (L)) N # L # K

! (N ) \ ! (L) \ ! (K)

Sabemos que LnK é normal (e portanto galoisiana) se, e somente se, 1 (L) = L; 8 2 G: Então (L) = ( (L)) = (L) donde (L) C G: 1 Reciprocamente, se (L) C G; então ( (L)) = (L) = (L) e portanto, ( (L)) = (L) ) (L) = L pela injetividade de :

3.1. CORRESPODÊNCIAS DE GALOIS

47

Suponhamos que LnK seja galoisiana. Seja ' : G = gal(N nK) ! gal(LnK) de…nida por '( ) = nL ' está bem de…nida, ja que LnK normal implica que (L) = L; ou seja é um automor…smo de L em L que …xa K

nL

N !N # # nL L !L K Obviamente, ' é um homomor…smo de grupos, pois '( )=( = '( ) '( ) nL nL Como N nK é normal, se 2 gal(LnK), então existe 2 gal(N nK) tal que nL = : Logo, ' é sobrejetora )nL =

N !N # # L !L K Além disso, '( ) = idL ,

nL

= idL ,

2 gal(N nL)

Logo, pelo Teorema Fundamental dos Homomor…smo de grupos, G=gal(N nK) = G= ker ' ' Im ' = gal(LnK) Exemplo. Seja K = Q e N = Gal(x3 @ = fL : Q

L

Gal(x3

2; Q): : Q Determine 2; Q)g

ou seja os corpos L, intermediários de Q N = Gal(x3 2; Q): Solução. p Já provamos que N = Q[ 3 2; !]; onde ! = cos 23 +isen 23 : Temos que N nQ é uma estensão galoisiana, pois N é corpo de raízes de um polinômio

48

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS

irredutível f (x) = x3 Q] = 6 e portanto,

2 em Q[x]nQ: Logo, se G = Gal(N nQ); então [N :

G = Gal(N nQ) ' S3 = fid; ; é gerado por

e

2

; ;

;

2

g

tais que 3

= id = 2 e = 2 p p p p Além disso, ( 3 2) = 3 2!; (!) = !; ( 3 2) = 3 2 e (!) = ! 2 : Note que N N fidg N e portanto, N fidg = N; ou seja, (id) = N: Também Q NG N e pelo Teorema 3.1, [N : N G ] = jGj = 6 e portanto, N G = Q; ou seja, (G) = Q: Seja H1 = h i = fid; ; 2 g: Note que Q[!] N H1 N e que [N : N H1 ] = [H1 ] = 3 como [Q[!] : Q] = 2; concluimos que N H1 = Q[!]; ou seja, (H1 ) = Q[!] p Seja H2 = h i = fid; g: Note que Q[ 3 2]

N H2

N e que

[N : N H2 ] = [H2 ] = 2 p p como [Q[ 3 2] : Q] = 3; concluimos que N H2 = Q[ 3 2]; ou seja, p 3 (H2 ) = Q[ 2] p p 3 3 Seja H = h i : Note que ( )( 2) = 2! e ( )(!) = ! 2 3 p p 3 3 logo, ( )( 2) = 2: Portanto, p p p 3 2! 2 ( )( 3(1 + !)) = 3(1 + !) = p p Assim, Q[ 3 2! 2 ] N H3 N: Como 3 2! 2 épraiz de uma polinômio irredutível f (x) = x3 2 em Q[x]nQ; segue que [Q[ 3 2! 2 ] : Q] = 3: Como [N : N H3 ] = [H3 ] = 2 p concluimos que N H2 = Q[ 3 2! 2 ]; ou seja,

3.1. CORRESPODÊNCIAS DE GALOIS

49

p 3 (H3 ) = Q[ 2! 2 ] p p 2 Seja Hp ip: Note que ( 2 )( 3 2) = 3 2! 2 e ( 4 = h logo, ( 2 )( 3 2! 2 ) = 3 2: Portanto, p p p 3 3 3 ( 2 )( 2(1 + ! 2 )) = 2(1 + ! 2 ) = 2! p Assim, Q[ 3 2!] N H4 N; p 3 [N : N H4 ] = [H4 ] = 2 e [Q[ 2!] : Q] = 3:

2

)(!) = ! 2

Como [N : N H3 ]p = [H3 ] = 2 3 H4 Logo, N = Q[ 2!]; ou seja, p 3 (H3 ) = Q[ 2! 2 ] fN g . . # & (H2 ) (H4 ) (H3 ) (H1 ) - - " % Q l G = S3 . . #& H2 H4 H3 H1 - - " % fidg —————————————————————————————————–

De…nição 3.7 Dizemos que L se 9 a1 ; a2 ; :::ar 2 L tais que:

K …nita é uma extensão radical sobre K

a) K = K0 K1 = K[a1 ] K2 = K1 [a2 ] ::: Ki = Ki 1 [a1 ] ::: Kr = L: b) 8i 2 f1; 2; :::; rg 9ni 2 N tais que ani i 2 Ki 1 : —————————————————————————————————– Observemos que como ani i = bi

1

2 Ki

1

podemos também denotar

50

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS p Ki = Ki 1 [ n ibi 1 ]

ou seja, Ki é obtido de Ki 1 por adjunção de uma raíz do polinômio x bi 1 2 Ki 1 [x]: Agora, se f (x) 2 K[x] e uma raíz de f (x) está numa extensão radical L = K[a1 ; a2 ; :::; ar ] como acima, então pode ser expresso como uma expressão polinôminal p(a1 ; a2 ; :::; ar ) com coe…cientes em K; ou seja, ni

= p(a1 ; a2 ; :::; ar ) 2 K[a1 ; a2 ; :::; ar ] p p p E mantendo a notação acima: a1 = n1 b0 ; a2 = n2 b1 ; :::; ar = nr br 1 onde bj 2 Kj ; j = 0; 1; 2:::; r 1p p p e teremos também: = p( n1 b0 ; n2 b1 ; :::; nr br 1 ); que é uma expressão polinôminal radical. Obervemos que, p n

a1 =

1

b0 ; a2 =

q

n2

q1 (

p n 1

r

n3

b0 ); a3 =

q2 (

q

n2

p q1 ( n1 b0 )); etc; ect; ::

onde q1 ; q2 ; :::são polinômios com coe…cientes em K; e assim poderia se reduzir a uma expressão radical envolvendo polinômios e raízes de b0 2 K: Exemplo: Suponhamos que uma raiz p 5 =

se denotarmos a1 =

p 4

5; a2 =

p 7

1

de f (x) 2 Q[x] seja expressa por: 2 p 7

p 2+ 3 p 1 45

a1 ; a3 =

p 3

p

2; a4 =

p 5

2

a3 ; a5 =

p

3;

teremos Q = K0

K0 [a1 ] = K1

K1 [a2 ] = K2

K2 [a3 ] = K3

K3 [a4 ] = K4

K4 [a5 ] = K5:

e podemos ecrever ainda, a41 2 K0 ; a72 2 K1 ; a33 2 K2 ; a54 2 K3 ea25 2 K4 ;

2 K5 = Q[a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 ]:

3.1. CORRESPODÊNCIAS DE GALOIS

51

Assim, a expressão radical acima pertence a uma extensão K5 ; contendo , com certas propriedades. Exemplo: Para melhor esclarecer essa questão consideremos o corpo da pfamília 2 2 de decomposição = fx 2; x +1g 2 K então temos que K = Q 2; i ; o seu grupo de Galois como subgrupo de Sn é o grupo Gal = f(1) ; (12) ; (34) ; (12) (34)g; onde as raízes podem ser indicadas como: p 1 ! 2 p 2 ! 2 3 !i 4 !

i

Assim, poderemos veri…car os subgrupos do grupo de Galois e os subcorpos de um corpo K, as relações de bijeção.

f1g

.

#

&

"

%

#

&

"

%

h(12)i h(12) (34)i h(34)i -

Q (i)

.

Gal (f; K) p Q 2; i

Q

-

p

2i

Q

Q

p

2

Vejmamos as seguintes observações: a) Toda função das raízes que pode ser escrita como um número racional é invariante pelas permutações de Gal (f; K) : b) c) d)

Todo elemento de Q (i) é invariante pelas permutações de h(12)i: p Todo elemento de Q 2i é invariante pelas permutações de h(12) (34)i: p Todo elemento de Q 2 é invariante pelas permutações de h(34)i

52

CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS

3.2

Insolubilidade por radicais da equação geral de grau n > 5

Considerem, nesse momento, que todos os corpos aqui mencionados são corpos perfeitos, ou seja, extensões de Q. E antes da veri…cação da insolubilidade da equação geral de grau n > 5; é bom deixar claro que as resoluções das equações nos estudos de Galois foi fornecido por ele condições de veri…cação da solubilidade ou não da equação dada. E …ca claro que uma equação de grau n > 5 pode sim em algum caso particular ser solúvel, logo, desse momento em diante cada equação se torna um caso particular de solução com suas resolventes. Com tudo, faremos uma prova para casos gerais da insolubilidade por radicais da equação geral de grau n > 5: E para tal feito, torna-se necessário usarmos todos conhecimentos de álgebra já mencionados nos capítulos anteriores, então vejamos: Proposição 3.5 Dado um equação algébrica de grau n > 5, da forma f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ::: + an 1 xn 1 + an xn = 0 2 K; tal equação não é solúvel por radicais. Prova Seja L = K(x1 ; x2 ; x3 ; :::xn ; ) o corpo das funções em K com coe…cientes sobre K nas variáveis independentes x1 ; x2 ; x3 ; :::xn Se de…nirmos: s1 = x1 + x2 + ::: + xn s2 = x1 x2 + x1 x3 + ::: + x1 xn + +:::xn 1 xn

sn = x1 x2 :::xn Então J = K(s1 ; s2 ; s3 ; :::sn ; ) é o corpo das funções em K simétricas sobre ele. Agora vemos que x1 ; x2 ; x3 ; :::xn são elementos algébricos em J embora, transcedentes sobre K, pois J = Gal(f; J) onde:

f (t) = tn

s1 tn

1

+ s2 t2

1

+ ::: + ( 1)n sn 2 J[t]:

Assim, x1 ; x2 ; x3 ; :::xn ; são as n raízes de f (t) e mais,

L = J[x1 ; x2 ; x3 ; :::xn ] = Gal(f; J):

3.2. INSOLUBILIDADE POR RADICAIS DA EQUAÇÃO GERAL DE GRAU N > 553 Agora, podemos provar que cada permutação

0

do conjunto

! = fx1 ; x2 ; x3 ; :::xn g das raízes de f da origem a um elemento 2 AutJ L: De fato, as permutações do conjunto ! podem ser representradas por um conjunto r ciclos, ou seja:

! = [ (x1 ) = x2 ; (x2 ) = x3 ; (x3 ) = x4 ; :::; (xn 1 ) = xn 1 ] e percebemos que temos a permutação

(xn ) = xn ; …ca claro que existem elementos …xados nos r que existe uma função

ciclos, o que nos garante

(xn ) = xn ; 8xn 2 J;

assim,

2 AutJ L;

o que está de acordo com o teorema 3.1, em outras palavras, [L : J] = n!; logo pelo teorema do homomor…smo de grupos temos que AutJ L ' Sn : Portanto, como já sabemos que em Sn para n 5 não é solúvel, o que nos garante não existir uma cadeia de subgrupos feg = G0

G1

G2

:::

Gn

1

Gn = G

que satisfaça as condições Gi 1 E Gi e Gi =Gi 1 seja abeliano que sejam extenções radicas em K[x]: O que foi demonstrado no teorema 1.5 a insolubilidade de Sn para n 5: Se veri…carmos as mesmas condições para uma equação do tipo x5 1 2 Q veremos que é solúvel por radicais, ou seja , Gal (x5 1) = Q[1; 4 ]; o que satisfaz a invariação das permutação e são todas abelianas. Em 1803, Gauss mostrou que toda equação do tipo xn 1 é solúvel por radicais.

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CAPÍTULO 3. A TEORIA DE GALOIS

Referências Bibliográ…cas [1] DOMINGUES, Hygino H. Álgebra Moderna-São Paulo: Atual, 2003. 200p [2] FERNANDES, Cecília S / JR, Nilson C. Bernades. Introdução às Funções de uma Variável Complexa-Rio de Janeiro: SBM; 2006. 11p. [3] GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 3a. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1979. 167p. [4] J.-P. Tignol, Galois’Theory of Algebraic Equations, Longman Scienti c & Techical, 1988. [5] LANG, Serge. Estruturas Algébricas-Brasília: INL; 1972. 34p. [6] MATEMÁTICA, Universitária. 06/1987; No 5(ISSN 0102-8545)-São Paulo: SBM; 1987. 9p.

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