SOLUÇÃO GENÉRICA DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE UNIDIMENSIONAL PARA ELEVADAS ORDENS DE QUADRATURA
Cynthia F. Segatto e Marco Túllio M. B. de Vilhena
Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio Grande do Sul Av. Bento Gonçalves, 9500. CEP 90046-900
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RESUMO Neste trabalho é proposto um método recursivo de inversão da matriz sA+B associada à solução analítica de aproximações da equação de transporte. Este método combina a decomposição de Schur e o método do particionamento para inversão de matrizes bloco. Resultados numéricos são apresentados.
1. INTRODUÇÃO Recentemente foi proposta uma solução analítica para as aproximações SN [1-8], PN [9,10], WN [11],ChN [12,13], AN [14] e LDN [15] da equação de transporte que resultam na resolução de um sistema de equações diferenciais ordinárias [16]. A idéia básica do método consiste na aplicação da transformada de Laplace no sistema de equações diferenciais ordinárias provenientes da aproximação da equação linear de transporte unidimensional, solução analítica da equação matricial resultante para o fluxo angular transformado e reconstrução do fluxo angular pela técnica de expansão de Heaviside. Cabe ressaltar que a matriz simbólica a ser invertida é do tipo sA+B, onde A e B são matrizes que contém os parâmetros da equação de transporte e s é um parâmetro complexo proveniente da aplicação da transformada de Laplace. Cumpre também observar que no caso da aproximação SN a matriz A reduz-se a matriz identidade. Os métodos usuais para inversão destas matrizes (sI+B e sA+B) são feitas através da definição de matriz inversa [1] e pelo algoritmo de Trzaska [9]. Para viabilizar a aplicação do método genérico na solução de problemas que requerem elevada ordem de quadratura, bem como controle de erro, é proposto um método recursivo de inversão da matriz genérica sA+B. A idéia básica consiste na combinação da decomposição generalizada de Schur [17] e o método do particionamento para inversão de matrizes bloco [18]. Serão apresentadas simulações numéricas para a inversão da matriz LTSN, com N variando de 100 até 390.
2. O MÉTODO GENÉRICO Consideremos o seguinte problema de transporte µ
∂ ψ (τ , µ ) + σ tψ (τ , µ ) = ∂τ
+1
∫ σ s ( µ ' , µ )ψ (τ , µ' )dµ'+Q(τ , µ )
(1)
−1
sujeito às condições de contorno ψ (0, µ ) = f ( µ ) ,
µ >0
(1a)
µ
