SOLUÇÃO NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DA EQUAÇÃO DE LAPLACE PARA O ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR

SOLUÇÃO NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DA EQUAÇÃO DE LAPLACE PARA O ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR

Caetano Soares Fajardo

Projeto Final apresentado ao Departamento de Engenharia de Controle e Automação do Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Bacharel em Engenharia de Controle e Automação. Orientador: Vinícius Ribeiro dos Santos de Sá Brito

Nova Iguaçu Dezembro de 2015

SOLUÇÃO NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DA EQUAÇÃO DE LAPLACE PARA O ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR Caetano Soares Fajardo

PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE BACHAREL EM ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO.

Examinado por: Prof. Vinícius Ribeiro dos Santos de Sá Brito, M.Sc

Prof. Rodolfo do Lago Sobral, M.Sc

Prof. Fabrício Lopes e Silva, M.Sc

Prof. Rafael Prudencio Sacsa Diaz, D.Sc

NOVA IGUAÇU, RJ – BRASIL DEZEMBRO DE 2015

Fajardo, Caetano Soares Solução numérica bidimensional da equação de laplace para o escoamento ao redor de um cilindro circular/Caetano Soares Fajardo. – Nova Iguaçu: CEFET-RJ/UNED-NI, 2015. XII, 64 p.: il.; 29, 7cm. Orientador: Vinícius Ribeiro dos Santos de Sá Brito Projeto Final – CEFET-RJ/UNED-NI/Departamento de Engenharia de Controle e Automação, 2015. Referências Bibliográficas: p. 63 – 64. 1. Simulação Numérica. 2. Cilindro circular. 3. Equação de Laplace. I. Brito, Vinícius Ribeiro dos Santos de Sá. II. Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca, UNED-NI, Departamento de Engenharia de Controle e Automação. III. Título.

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A alguém cujo valor é digno desta dedicatória.

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Agradecimentos Agradeço primeiramente ao Grande Arquiteto do Universo, que através de sua energia, sabedoria, tolerância e amor forma pessoas iluminadas na construção de uma sociedade justa e fraterna. Aos meus pais, pelo incentivo e reflexão, em face das dificuldades, situação econômica brasileira e por ter o privilégio de cursar engenharia na CEFET-RJ. Aos professores Vinícius de Sá Brito e Fabrício Lopes e Silva pelos ensinamentos, confiança, incentivo e determinação. Aos demais professores do CEFET-RJ, que contribuíram na construção do conhecimento necessário. Aos amigos pelo apoio, seriedade, e união.

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Resumo do Projeto Final apresentado à UNED-NI/CEFET-RJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Bacharel em Engenharia de Controle e Automação.

SOLUÇÃO NUMÉRICA BIDIMENSIONAL DA EQUAÇÃO DE LAPLACE PARA O ESCOAMENTO AO REDOR DE UM CILINDRO CIRCULAR

Caetano Soares Fajardo Dezembro/2015

Orientador: Vinícius Ribeiro dos Santos de Sá Brito Departamento: Engenharia de Controle e Automação Apresenta-se, neste projeto final, um estudo sobre a simulação numérica bidimensional da Equação de Laplace para o escoamento potencial ao redor de um cilindro. A exploração de reservas petrolíferas, oceânicas, através de plataformas FPSO (f loating, production, storageandof f loading) demanda novas tecnologias, que são desenvolvidas e estudadas, em toda cadeia produtiva, por engenheiros, cientistas e diversos profissionais. A construção de modelos físicos, que simulam o comportamento de estruturas como "risers", é muito onerosa. Para solucionar este problema, recorreu-se a simulação numérica, pelos recursos de análise, previsão, obtenção de dados de variáveis fluidodinâmicas, eficácia e custos viáveis. Na simulação desse projeto, o programa implementado resolve a equação de Laplace em duas dimensões e em coordenadas curvilíneas gerais. Fisicamente, isto representa um escoamento potencial, incompressível, em estado estacionário. O programa foi implementado de forma a resolver o escoamento potencial sobre um cilindro. Foram feitas comparações dos resultados encontrados neste código computacional com resultados encontrados na literatura, inclusive comparações com escoamento de baixa viscosidade. Os resultados mostram que o método AF1 alcançou os resultados esperados na solução numérica bidimensional da equação de Laplace para o escoamento ao redor de um cilindro. Os resultados mostraram que o código de escoamento potencial produz resultados bem próximo ao escoamento de baixo número de Reynolds (Re < 5).As variáveis hidrodinâmicas e os efeitos físicos do processo são plotados e mostrados graficamente.

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Abstract of Bachelor Report presented to UNED-NI/CEFET-RJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Bachelor in Control and Automation Engineering.

TWO-DIMENSIONAL NUMERIC FLOW SIMULATION AROUND A CIRCULAR CYLINDER SECTION

Caetano Soares Fajardo December/2015

Advisor: Vinícius Ribeiro dos Santos de Sá Brito Department: Control and Automation Engineering It is presented in this final project, a study of two-dimensional numerical simulation of the Laplace equation for the potential flow around a cylinder. The exploitation of oil, oceanic reserves through platforms FPSO (floating, production, storage and offloading) demand new technologies that are developed and studied throughout the production chain, for engineers, scientists and various professionals. The construction of physical models that simulate the behavior of structures such as risers, is very costly. To solve this problem, we used the numerical simulation, the analysis capabilities, forecasting, data collection fluid dynamic variables, effective and viable costs. In the simulation of this project, implemented the program solves the Laplace equation in two dimensions and in general curvilinear coordinates. Physically, this represents a potential flow incompressible, in the steady state. The program was implemented to resolve the potential flow over a cylinder. They compared the results of this computational code with results found in literature, including comparisons with flow of low viscosity. The results show that AF1 method produced the expected results in the two-dimensional numerical solution of Laplace’s equation for flow around a cylinder. The results showed that the potential flow code produces results very close to the flow low Reynolds number (Re < 5) .The hydrodynamic effects and physical variables of the process are plotted and shown graphically.

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Sumário Lista de Figuras

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Lista de Tabelas

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1 Introdução 1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . 1.2 Justificativa . . . . . . . . . . . . 1.3 Objetivo principal . . . . . . . . . 1.4 Objetivos secundários . . . . . . . 1.5 Metodologia . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Como resolver o problema 1.5.2 Que ferramentas, sistemas, 1.5.3 Como serão utilizados . . 1.5.4 Quantos casos serão feitos 1.6 Organização do Trabalho . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . softwzres, modelos serão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Revisão Bibliográfica 2.1 Formulação matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Equações governantes (Equações de Navier Stokes) . . . . . . 2.1.4 Equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Equações de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Superfície de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Volume de controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Peso material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9 A equação do transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Formulação numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Algoritmo de Thomas para resolução de problemas que envolvam matrizes tridiagonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Método de fatoração aproximada aplicado a equação de Laplace

viii

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 4 5 6 7 9 9 10 10 10 10 11 13

2.2.3 2.2.4 2.2.5

2.3 2.4 2.5 2.6

Equações de diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores de diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . Validação para um método de diferenças finitas usado na esteira de Von Karman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 A escolha pelo método CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Método de Chorin para resolução das Equações de Navier Stokes 2.2.8 Análise de Pulliam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9 Variáveis bidimensionais das equações de Navier Stokes compressíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escoamento em cilindro estacionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escoamento em cilindro oscilando de forma forçada . . . . . . . . . . Escoamento oscilatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vibração induzida por vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Método Proposto 3.1 Malha computacional . . . . . . . . . . . . 3.2 Arquivo de entrada . . . . . . . . . . . . . 3.3 Velocidades Ux e Uy . . . . . . . . . . . . . 3.4 Condições de contorno e condições iniciais 3.5 Esquema de diferenças finita . . . . . . . . 3.6 Coeficiente de pressão . . . . . . . . . . . 3.7 Esquema de diferenças espaciais . . . . . . 3.8 Esquemas de iteração . . . . . . . . . . . . 3.9 Apresentação de resultados . . . . . . . . . 4 Resultados e Discussões 4.1 Malha computacional adaptada ao cilindro 4.2 Curva resíduo x iterações . . . . . . . . . . 4.3 Linhas de corrente e velocidade . . . . . . 4.4 Comparação entre resultados . . . . . . . . 4.4.1 Coeficiente de pressão . . . . . . . 4.4.2 Velocidades . . . . . . . . . . . . .

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19 23 24 24 24 24 25 26 27 28 29 30

. . . . . . . . .

33 33 37 38 40 40 42 42 43 45

. . . . . .

47 47 48 50 52 52 56

5 Conclusões

61

Referências Bibliográficas

63

ix

Lista de Figuras 2.1 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3

3.4 3.5

Linhas de corrente . . . . . . . . Malha discretizada com os dados adaptado de White (2010). . . . . Fonte: (Sumer e Fredsoe, 2006) . Fonte: (Sumer e Fredsoe, 2006) .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . da solução numérica. Extraído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. e . . .

Malha computacional discretizada. Adaptado de White (2010) . . . Malha computacional em coordenadas curvilíneas . . . . . . . . . . Malha discretizada em coordenadas curvilíneas gerais e malha discretizada cartesiana. Extraído de (LOMAX, 2001; PULLIAM, 2001; ZING, 2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo de um cilindro representado em coordendas cilindricas. Extraído de White (2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Localização dos nós de uma malha discretizada pelo método de diferenças finitas. Extraido de White (2010) . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

.

. 17 . 31 . 32 . 34 . 35

. 35 . 35 . 41

Malha cartesiana discretizada. Extraído e adaptado de White (2010). Malha de coordenadas curvilíneas gerais discretizada . . . . . . . . . Resíduo método AF2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resíduo método AF1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linhas de corrente método AF1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linhas de corrente método AF2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escoamento incompressível para Re < 5. Extraido de White (2010) . Linhas de corrente e linhas potenciais para um escoamento invíscido. Extraido de White (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Valores de CP para Re = 40. Extraído de Wanderley e Levi (2002). . 4.10 Escoamento ao redor de um cilindro para Re = 5. Extraido de Blevins (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Regiões de alternância do gradiente de pressão. Extraido e adaptado de Blevins (2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Mapa de cores de CP método AF1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

5

47 48 49 49 50 50 51 51 52 53 54 54

4.13 Mapa de cores de CP método AF2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.14 Valores de velocidade no sentido do escoamento método AF1 . . . . . 57 4.15 Valores de velocidade no sentido do escoamento método AF2 . . . . . 58

xi

Lista de Tabelas 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Tipos de escoamentos com base no N ◦ de Reynolds (Fox et al., 2010) Tipos de escoamentos baseados no numero de Reynolds Fonte: Vieira (2009) página 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escoamentos baseados no numero KC . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fenômenos vibratórios causados pela velocidade reduzida Fonte: (Sumer e Fredsoe, 2006) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dados da figura 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabela com valores de coeficiente de pressão da figura 4.9 . Valores de CP da figura 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores do CP para a figura 4.13 . . . . . . . . . . . . . . Valores de Ux do mapa de cores para o método AF1 . . . . Valores de Ux do mapa de cores para o método AF2 . . . . Tabela comparativa entre os resultados desta monografia e tados de CP para Re = 40 de Wanderley e Levi (2002) . .

xii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . os resul. . . . .

. . . . .

9 28 29 30 32 53 55 56 57 59

. 59

Capítulo 1 Introdução 1.1

Motivação

A simulação computacional permite o estudo, implementação e desenvolvimento de soluções numéricas para resolução de problemas fisícos, que acontecem em estruturas submersas no oceano. Através da simulação computacional, o escoamento e os fenômenos físicos são visualizados e plotados em gráficos bidimensionais e tridimensionais. A CFD (ComputacionalF luidDynamics) ganha novos campos de pesquisa e desenvolvimento pela sua eficácia na determinação de soluções viáveis.

1.2

Justificativa

Alguns autores acreditam na melhora do projeto de engenharia através da simulação computacional de variáveis e fenômenos da mecânica dos fluidos que provocam impacto considerável nos custos de projeto, nos custos operacionais, e segurança do processo. Como exemplo, as melhoras abrangem o desempenho de máquinas e instalações industriais. Segundo os autores (FOX, 2014; MCDONNALD, 2014; PRITCHARD, 2014), CFD (ComputacionalF luidDynamics), tornou-se de vasta aplicação nas indústrias naval, automobilística, aeroespacial e instituições de pesquisa devido a pesquisas e estudo do escoamento, que proporcionam soluções numéricas eficientes. Neto (2012) descreve o interesse da indústria no estudo do escoamento: identificar os efeitos de perturbações causadas pelo escoamento de fluidos nas estruturas e as vibrações originadas de vórtices nas estruturas. O autor também cita estruturas de geometria semelhante a de um cilindro em que o escoamento ocorre: chaminés, trocadores de calor, estruturas treliçadas, risers e dutos submarinos. (A) Soluções numéricas de equações diferenciais simulam um modelo, que pode ser estudado, implementado e desenvolvido sem a necessidade de implantação onerosa de modelos físicos reais; 1

(B) Visualização das variáveis hidrodinâmicas do processo, que levam a melhora da compreensão do processo (coeficiente de pressão e velocidade do sentido do escoamento); (C) Visualização gráfica do escoamento e seus fenômenos, que afetam as estruturas do projeto.

1.3

Objetivo principal

Resolver o escoamento potencial ao redor de cilindros circulares utilizando os métodos CFD.

1.4

Objetivos secundários

1. Comparar resultados obtidos pela simulação do escoamento potencial (irrotacional, invíscido, incompressível) com os resultados obtidos em escoamentos viscosos da literatura; 2. Utilizar conceitos de diferenças finitas para solução das equações que modelam a física do problema; 3. Variar o número de iterações p/ o escoamento viscoso a fim de observar semelhanças com o escoamento irrotacional.

1.5 1.5.1

Metodologia Como resolver o problema

O problema será resolvido através da discretização por diferenças finitas da equação de Laplace para o escoamento potencial.

1.5.2

Que ferramentas, sistemas, softwzres, modelos serão utilizados

Usaremos os métodos de discretização AF1 e AF2, os softwares M ICROSOF T F ORT RAN P OW ERST AT ION , versão 4.0, Tecplot e os modelos de soluções numéricas para CFD (computacionalf luiddynamics).

1.5.3

Como serão utilizados

Serão utilizados com simulações e plotagens interativas. 2

1.5.4

Quantos casos serão feitos

Serão feitos os casos com os intervalos de 1.5