Sucessões de números naturais que permitem determinar algumas das incertezas numéricas de números pares relacionadas com operações do tipo a/n*n, com a,n∈N

Sucessões de números naturais que permitem determinar algumas das incertezas 𝒂 numéricas de números pares relacionadas com operações do tipo 𝒏 𝒏, com 𝒂, 𝒏 ∈ 𝑵 Cardoso, C., Morais, C., Ávila, M., Rocha, T. & Rodrigues A.F. Resumo Este trabalho de investigação em matemática baseia-se na definição de incerteza numérica de Rodrigues & Martins, (2014) e tem um caracter totalmente teórico. Procura encontrar regras que permitam quantificar e comparar as incertezas numéricas de números pares, usando como critérios de incerteza o desvio padrão ou a distorção de uma distribuição estatística de uma população de resultados de cálculos do tipo

𝑎𝑖 𝑏, 𝑏𝑗 𝑗

com 𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 com j a variar de 1 a 1020. O tratamento empírico de dados permitiu-nos encontrar um vasto número de regras que foram sintetizadas sob a forma de sucessão de números naturais.

Palavras Chave: Incerteza Numérica, Operações Matemáticas, Desvio Padrão, Distorção de uma Distribuição Estatística, Sucessões de Números Naturais.

1-Introdução

O conceito de incerteza de uma operação está normalmente associado a conceitos físicos de medição, onde se pretende identificar as principais fontes de variabilidade de ensaios de modo a controlar o erro. Por outro lado, considera-se que existe propagação de erro quando se efetuam várias medições, todas elas sujeitas a variabilidade e cujo resultado depende inequivocamente, mas não claramente das operações matemáticas envolvidas (Albano & Raya-Rodriguez, 2009). Ainda na área da incerteza física, à qual estão associados cálculos numéricos, considerase como fonte de incerteza, mas não exatamente como incerteza, o desvio padrão da precisão intermédia (desvio de repetibilidade e reprodutibilidade) obtido através de um estudo intralaboratorial para confirmação de desempenhos (Albano e Raya-Rodriguez, 2009). Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

Na área da matemática/física define-se incerteza algorítmica ou incerteza numérica, aquela que está associada a erros numéricos ou a aproximações numéricas resultantes da implementação de um determinado modelo computacional, isso porque a maioria dos modelos são muito complexos e de resolução numérica difícil. Existem vários métodos para calcular essas incertezas, como por exemplo o método do elemento finito, ou o método das diferenças finitas que são usados para aproximar a solução numérica dos valores fornecidos por determinada equação diferencial parcial, a qual, se assume, que introduz erros numéricos (Kennedy & O'Hagan 2001). A incerteza abordada neste trabalho é aquela definida por Rodrigues & Martins (2014) que apesar de se relacionar com os algoritmos das operações envolvidas na obtenção de um determinado resultado, não está dependente da aleatoriedade dos resultados produzidos com diferentes números, mas sim, da incapacidade de memória para se aplicar um algoritmo até à obtenção de um resultado exato. Parte do princípio que o resultado é conhecido e estima o afastamento desse resultado teórico produzido por um vasto conjunto de números naturais, estimados por sucessões de conjuntos de números naturais. O exemplo mais simples que se pode dar desse tipo de incerteza numérica é o caso de

1 3

. 3 não ser exatamente igual a 1, mas um valor próximo de 1 quando se

aplicam os algoritmos, e percebe-se perfeitamente, pelas regras algébricas que qualquer número diferente de zero a dividir por si próprio tem como resultado teórico a unidade. Rodrigues & Martins (2014) afirmam que a unidade natural, não é coincidente com a unidade dos números reais, pois neste segundo caso ela deverá ser representada pelo conjunto de todos os números do tipo

𝑎𝑖 𝑏, 𝑏𝑗 𝑗

com 𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a ∞ e j

também a variar de 1 a ∞.

2- Metodologia

Para avaliar a incerteza numérica associada a números reais pares, teoricamente equivalentes a números naturais pares, assumiu-se que essa incerteza seria função do desvio padrão ou da distorção da distribuição estatística de uma sucessão de resultados do tipo

𝑎𝑖 𝑏, 𝑏𝑗 𝑗

com 𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 e j a variar de 1 a 1020, com todos

os 𝑎𝑖 pares e independente do facto de 𝑏𝑗 ser par ou impar. Apesar do desvio padrão e da distorção variarem com a dimensão da amostra, os números utilizados são Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

suficientemente grandes para os aceitarmos como representativos da população dos resultados das distribuições do número 1, 2, 4, 6, 8,…..2n. O desvio padrão a que nos referimos é uma medida do grau de dispersão dos valores em relação ao valor médio (a média), que no caso em apreço e para cada uma das distribuições vale 1, 2, 4, 6, 8, ….2n. O Desvio padrão foi calculado pela expressão ∑(𝑎𝑖 −𝑎̿)2

√

(𝑛−1)

em que a é a média da amostra (1, 2, 4, 6, 8,…..2n) e n coincide com a

dimensão da amostra. O desvio padrão de uma distribuição devolve a média aritmética dos desvios absolutos dos pontos de dados a partir da sua média. A Distorção mede o “afastamento” da média da amostra da média da população. É 𝑛

𝑎𝑖 −𝑎̅

usualmente calculada pela expressão:(𝑛−1)(𝑛−2) ∑ (

𝑠

) onde n coincide com a dimensão

da amostra e a é a média dos valores reais cujos resultados teoricamente são a. S é a variância da variável aleatória, e não é mais do que uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado. Considerou-se então neste trabalho que qualquer número real par, aparentemente coincidente com um número natural par, resulta de uma infinidade de operações do tipo 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛 𝑚, 𝑚

ou seja,

𝑛

qualquer número real n é representado pelo conjunto 𝐶 = {1 1, 2 2, 3 3, 4 4 … … … … 𝑚 𝑚}. Neste contexto, haverá uma dispersão em torno do número n, não sendo o conjunto C singular. Uma forma de avaliar essa dispersão será através do desvio-padrão σ ou da distorção da distribuição estatística da amostra relativamente à distribuição estatística esperada. 3- Resultados Depois de se terem calculado em Excel o desvido padrão e a distorção de mil cálculos do tipo 1 𝑛, 𝑛

mil cálculos do tipo

2 𝑛, 𝑛

mil cálculos do tipo

4 𝑛,....até 𝑛

mil cálculos do tipo

2040 𝑛, 𝑛

começou-se por comparar os desvios padrões das diferentes distribuições obtidas, com o desvio padrão da distribuição de números resultantes dos cálculos de

1 𝑛. 𝑛

Sejam então 1 o desvio padrão da distribuição de resultados de distribuição de resultados de 4 𝑛,………..e 𝑛

2 𝑛, 𝑛

1 𝑛, 𝑛

2 o desvio padrão da

4 o desvio padrão da distribuição de resultados de

2040 o desvio padrão da distribuição de resultados de

2040 𝑛. 𝑛

Verificou-se ser 2=21, 4=4 1, 8=8 1, …..1024=1024 1. No entanto 6≠61, 10≠101, 12≠121,……..2040≠20401. Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

No gráfico 1, apresenta-se o comportamento da incerteza numérica de números de base 2.

500 450 400 350 Número de vezes que a incerteza numérica de 2n é superior à incerteza numérica da unidade

300 250 200 150 100 50 0 0

2

4 6 Expoente a que se eleva a base 2

8

10

Gráfico 1- Relação entre a potência de base 2 e o número de vezes que a sua incerteza numérica é superior à unidade. Generalizando os resultados obtidos pode afirmar-se que 𝜎2𝑛 = 2𝑛 𝜎1. Rodrigues & Martins (2014) obtiveram a mesma expressão, levando-os a concluir que o erro numérico é quântico. Se em vez do desvio padrão se utilizar como medida da incerteza numérica a distorção das distribuições di, verificamos o mesmo comportamento tendo-se 𝑑2𝑛 = 2𝑛 𝑑1 . Os autores anteriormente mencionados não referem esta relação, isso porque não utilizaram a distorção das distribuições como uma possível medida da incerteza numérica. Decidiu-se comparar os desvios padrão ou as distorções das distribuições estatísticas de uma sucessão de resultados do tipo

1 𝑎𝑖

𝑏𝑗

𝑏𝑗 , com 𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝑁 e i a variar de 1 a 1000 e j a

variar de 1 a 1020, com todos os 𝑎𝑖 pares e independente do facto de 𝑏𝑗 ser par ou impar. Considerou-se, tal como anteriormente, que qualquer número fraccionário, com 1

denominador natural par do tipo 𝑛, resulta de uma infinidade de operações do tipo ou seja, qualquer númerofracionario

1 𝑛

1 𝑛

𝑚

𝑚,

de denominador par é representado por um

Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

1

1

1

1

1 𝑛

conjunto 𝐶 = { 𝑛 1, 𝑛 2, 𝑛 3, 𝑛 4 … … … … 1

2

3

4

𝑚

𝑚}. Neste contexto, tal com anteriormente,

haverá uma dispersão de valores reais, relativamente pequenos, em torno do número

1 𝑛

,

que representa a média da distribuição, fazendo com que o conjunto C não seja singular. Obtêm-se, quando comparamos os diferentes valores padrão das distribuição com o 1 1

1

1

(desvio padrão do 1), relações do tipo: 𝜎1 = 2 𝜎1 , 𝜎1 = 4 𝜎1 , 𝜎1 = 8 𝜎1,………. 𝜎 1 = 2

4

2𝑛

8

1 𝜎. 2𝑛 1

No gráfico 2 apresenta-se o comportamento dos valores de a pares, em função da 1

incerteza numérica dos números 𝑎 𝜎1. 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 1/𝑎 𝜎1 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0

100

200

300

400

500

600

Valor de a

1

Figura 2- Relação entre a incerteza algébrica relativa dos números do tipo 2𝑛 e os valores de a (potências de 2) 1

De modo genérico verifica-se que 𝜎 1 = 2𝑛 𝜎1 ⇔ 𝜎2−𝑛= 2−𝑛 𝜎1 . 2𝑛

Rodrigues & Martins, (2014) chegaram à mesma conclusão, com uma distribuição diferente daquela com que aqui se trabalhou. Por outro lado, a mesma relação é obtida se em vez de usarmos o desvio padrão da amostra como estimativa do erro numérico, usarmos a distorção da distribuição da amostra relativamente à distribuição esperada. Com base nas expressões gerais de incerteza numérica anteriormente referidas pode-se afirmar que 𝜎2𝑘 = 2𝑘 𝜎1 , com 𝑘 ∈ 𝑍. Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

Ainda foram obtidas outras relações de incerteza numérica relacionadas com os números pares que resultam do produto de 2 por um número impar, como aquelas que de seguida se apresentam: 𝜎3𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎6;

𝜎5𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎5;

𝜎7𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎7;

𝜎9𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎9;……. 𝜎253𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎253; que generalizando se obtém: 𝜎(2𝑛−1)𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎(2𝑛−1) . Repare-se que a última expressão fornece uma infinidade de incertezas algébricas, dependentes do número impar em questão, ou seja, os múltiplos pares de números ímpares fornecem incertezas algébricas crescentes, crescimento esse, também ele exponencial.

4- Conclusões

Com este trabalho de investigação conclui-se que aparecem inúmeras regras que permitem determinar a incerteza numérica de números reais, mas também racionais, das quais apenas conseguimos generaliza-las para três situações: quando os números pares são potências de 2 obtêm-se uma incerteza algébrica, avaliada pelo desvio padrão da amostra ou pela distorção da amostra que é dada pela expressão 1 𝜎2𝑛 = 2𝑛 𝜎1 com 𝑛 ∈ 𝑁 Expressão 1 Caso avaliemos pelo mesmo processo potências negativas de 2, ou seja, o inverso de números pares, a incerteza numérica é avaliada pela expressão geral 2: 𝜎 1 = 2−𝑛 𝜎1 com 𝑛 ∈ 𝑁 Expressão 2 2𝑛

Sendo a Expressão 2 um caso particular da expressão 1, pode-se afirmar que a Expressão 3, no domínio dos números inteiros relativos, acaba por sintetizar a incerteza numérica expressa pelas expressões 1 e 2. 𝜎2𝑘 = 2𝑘 𝜎1 com 𝑘 ∈ 𝑍 Expressão 3 As expressões 1, 2 e 3, são idênticas às de Rodrigues & Martins, (2014), obtidas com amostras distintas e uma variabilidade de números naturais e inteiros relativos também diferente. Relativamente ao trabalho anteriormente citado, verificamos que as mesmas expressões podem ser obtidas utilizando o parâmetro distorção das diferentes distribuições estatísticas que também ele se revela um excelente indicador da incerteza numérica de números reais. Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo

Para números pares, que sejam resultado do produto de uma potência de base 2 por um número impar, obteve-se a expressão 4: 𝜎(2𝑛−1)𝑥2𝑛 = (2𝑛−1 )𝜎(2𝑛−1) com 𝑛 ∈ 𝑁 Expressão 4 Esta última expressão não consta do trabalho de Rodrigues & Martins, (2014), sendo aqui apresentada pela primeira vez. Apesar de se ter restringido a avaliação da incerteza algébrica aos números inteiros pares, verifica-se que ela também pode ser aplicada com os mesmos critérios e as mesmas definições aos números racionais de denominador par. Significa isso que muitas outras regras de avaliação de incerteza numérica estarão subjacentes a muitos outros subconjuntos de números reais. Por outro lado, os parâmetros estatísticos desvio padrão e distorção da distribuição estatística da amostra relativamente à distribuição esperada, parecem ser bons indicadores de uma medida relativa da incerteza numérica.

5- Bibliografia

Albano, F. M. & Raya-Rodriguez, M.T.R. 2009. Validação e garantia da qualidade de ensaios laboratoriais. Rede Metrológica. Porto Alegre.

Kennedy, M.C. & O'Hagan, A. 2001. Bayesian calibration of computer models. Journal of the Royal Statistical Society. Series B. Volume 63. Issue 3, pages 425–464.

Rodrigues, A.F. & Martins, N. 2014. Numerical uncertainty and its implications. Journal of Applied Mathematics and Physics. Volume 2, pages 33-44.

Universidade dos Açores, Angra do Heroísmo 4 e 5 de Abril de 2014-Angra do Heroísmo