Tautologia para concursos públicos

Artigo – Tautologia

Link da videoaula: https://goo.gl/fcfutN Fala galera, seja bem-vindo. Hoje estou aqui para trazer para vocês um assunto certo na sua prova do INSS, seja para o cargo de técnico, seja para o cargo de analista. Quem está respondendo muitas questões anteriores da CESPE já deve ter se deparado com questões de Tautologias. No geral são questões fáceis, afinal basta fazer a tabela verdade e verificar se todas as possibilidades são verdadeiras, não é mesmo? Na verdade não, fazer a tabela verdade de uma expressão nem sempre é uma tarefa fácil. Imagine só se o avaliador decida trazer para sua prova uma expressão com 4 ou mais proposições simples utilizando todos os conectivos possíveis. Sabendo que o número de linhas de uma tabela verdade é dado pela fórmula 2^n, sendo n o número de proposições simples distintas, teremos uma tabela com 16 linhas se tivermos 4 proposições, 32 linhas se forem 5 proposições e assim por diante. Imagine o trabalho. Soma-se a isso a facilidade de errar um valor lógico e perder uma tabela gigantesca e então chegamos que definitivamente fazer a tabela verdade não é a melhor saída, embora seja uma. Mas, se não vamos fazer a tabela verdade, o que faremos então? Minha resposta é simples: Saiba as equivalências lógicas, as negações e a propriedade distributiva das proposições e você terá grandes aliados para sua prova. Antes de entrarmos nos exercícios, vamos lembrar as equivalências com as quais trabalharemos: Equivalências: p → q = ¬q → ¬p p → q = ¬p v q Negações: ¬(p v q) = ¬p ^ ¬q ¬(p ^ q) = ¬p v ¬q ¬(p → q) = p ^ ¬q ¬(p ↔ q) = p v q ¬(p v q) = p ↔q 1 www.gustavobussolotti.com.br

Distributiva: Aqui entra nosso pulo do gato, é muito comum nas questões de tautologia trabalharmos com a distributiva da conjunção e da disjunção Distributiva da conjunção: p ^ (q v r) = (p ^ q) v (p ^ r). Distributiva da disjunção: p v (q ^ r) = (p v q) ^ (p v r). Agora sim, sabendo o que iremos utilizar, vamos fazer algumas questões para exercitar. Cespe - 2014 - TJ/SE - Técnico Judiciário A proposição [(¬P) ∨ Q] ↔ {¬[P ∧ (¬Q)]} é uma tautologia. Errado Certo Repare que do primeiro lado temos uma equivalência da implicação e do segundo lado temos a negação da conjunção, se desenvolvermos, iremos chegar em: [p → q] ↔ {¬p ∨ q} Temos novamente uma equivalência da implicação aparecendo do segundo lado. Vamos desenvolver:

[p → q] ↔ {p → q} Ficamos agora com a mesma proposição composta em ambos os dados da dupla implicação. SEMPRE que isto ocorrer, será uma tautologia. Gab. Certo.

Cespe - 2014 - TJ/SE - Técnico Judiciário A proposição [P→(Q∧R)]↔{[(¬P)∨Q]∧[(¬P)∨R]} é uma tautologia. Certo Errado O macete para resolver questões de tautologias, quando não estamos desenvolvendo a tabela verdade, é buscar iniciar pelo lado maior para tentar chegar na mesma proposição do lado menor. Nesse caso temos a distributiva da disjunção desenvolvida do segundo lado. Se voltarmos para a forma contraída teremos: [P→(Q∧R)]↔[(¬P) ∨ (Q ∧ R)]

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A segunda etapa aqui é enxergar (Q ∧ R) do segundo lado como sendo uma proposição só, a qual chamaremos de T. (somente para facilitar). Então temos [P→(Q∧R)]↔[(¬P) ∨ T] Do segundo lado, podemos aplicar a equivalência da implicação. Assim teremos: [P→(Q∧R)]↔[P → T] Substituímos o valor original de T e teremos: [P→(Q∧R)]↔[P → (Q∧R)] Novamente chegamos que as proposições são iguais em ambos os lados. Logo, é uma Tautologia. Gab. Certo.

Cespe – 2014 – CADE – Agente Administrativo A proposição [(P∨Q)∧(R∨S)]↔[Q∧(R∨S)] ∨[(P∧R)∨(P∧S)] é uma tautologia. Certo Errado Agora temos uma proposição composta com 4 proposições simples. Nossa tabela verdade teria 16 linhas. Não convém muito fazer, concorda? Vamos olhar para essa proposição igual fizemos com as outras. Vamos dividi-la em 2, uma parte antes da dupla implicação e outra após. Iniciaremos pela parte maior. No segundo lado, temos a distributiva da conjunção desenvolvida. Vamos contraí-la [(P∨Q)∧(R∨S)]↔[Q∧(R∨S)]∨[P∧(R∨S)] Agora vamos chamar (R∨S) de T em toda a nossa proposição, logo: [(P∨Q)∧(T)]↔[Q∧(T)]∨[P∧(T)] Observe que temos a distributiva da conjunção do segundo lado. Caso esteja difícil de visualizar, coloque a proposição da seguinte forma e remova alguns parênteses: [T∧(P∨Q)]↔(T∧Q)∨(T∧P) Agora ficou mais fácil de visualizar a distributiva do segundo lado. Vamos contraí-la. [T∧(P∨Q)]↔(T) ∧ (Q∧P) Novamente chegamos em algo semelhante dos dois lados. Logo é uma tautologia. Se preferir, pode voltar o valor de T e você terá: 3 www.gustavobussolotti.com.br

[(R∨S)∧(P∨Q)]↔[(R∨S) ∧ (Q∧P)] Gab: Certo. Cespe – 2013 – SEGESP-AL - Papiloscopista A proposição [(PΛQ)VR]VQ⇔[PVRVQ]Λ(RVQ) é uma tautologia. Certo Errado Essa questão é um pouco mais complicada. Mas nada demais. Olhe para o primeiro lado da dupla implicação e vamos desenvolver a distributiva da disjunção que está dentro dos colchetes [(PVR)Λ(RVQ)]VQ⇔[PVRVQ]Λ(RVQ) Agora, ainda do primeiro lado, vamos desenvolver a distributiva da disjunção que restou. [(QVPVR)Λ(QVRVQ)]⇔[PVRVQ]Λ(RVQ) Observe que ficamos com (QVRVQ) no primeiro lado. A propriedade associativa da disjunção permite que reescrevamos isso como: (QVQVR). Porém, QVQ terá o mesmo valor lógico que Q. Assim, (QVQVR) será equivalente a (QVR). Logo, [(QVPVR)Λ(QVR)]⇔[PVRVQ]Λ(RVQ) Novamente ficamos com proposições iguais em ambos os lados, logo será uma tautologia. Gab: Certo. Cespe - 2014 - Agente de Polícia Federal A partir do preenchimento da tabela-verdade abaixo, é correto concluir que a proposição P ∧ Q ∧ R → P ∨ Q é uma tautologia. Certo Errado Essa questão é bacana pois não solicita uma tautologia com a dupla implicação. Sempre que temos uma implicação como “conectivo principal”, nossa linha de raciocínio muda. Pense na tabela verdade da implicação. Ela só será falsa se tivermos V → F. O que nós fazemos então é colocar um F no segundo lado da implicação e tentaremos achar um V no primeiro lado. Porém do segundo lado temos uma disjunção. Para que uma disjunção seja falsa, ambas as proposições devem ser falsas. Logo P e Q possuem valores lógicos Falsos. Temos algo parecido com isso:

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F ∧ F ∧ R → F ∨ F, F∧R→F Observe que independente do valor lógico de R, sempre teremos um falso no primeiro lado, pois já temos um falso de um lado da conjunção. Então, F → F. Reparamos então que será impossível simular um valor lógico Verdadeiro no primeiro lado da implicação quando o valor lógico do segundo lado for falso. Logo, isso será uma tautologia. Gab. Certo Pessoal, eu sei que alguns de vocês já devem estar pulando da cadeira pedindo para mostrar o macete de substituir tudo por falso. Particularmente, não gosto muito de macetes, principalmente daqueles que ora funcionam, ora não funcionam. O macete de substituir tudo por falso e chegar em um resultado verdadeiro dará certo para proposições que não possuam implicações. Observe só: A proposição (P^Q)→R é uma tautologia? Se formos resolver pelo macete teremos: (F^F)→F F→F V Pelo macete chegamos em um resultado verdadeiro e consequentemente vamos julgar a proposição como sendo uma tautologia. Mas, vamos desenvolver nossa tabela verdade: P V V V V F F F F

Q V V F F V V F F

R V F V F V F V F

P^Q V V F F F F F F

(P^Q)→R V F V V V V V V

Repararam que não temos uma tautologia, se P for V, Q for V e R for F, chegaremos em um resultado falso e isso nos diz que a proposição não é uma tautologia.

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Queridos, espero que tenham gostado e decorem as equivalências, negações e tabela verdade dos conectivos. Esqueçam seus nomes no dia da prova, mas não esqueçam o conteúdo. Isso te auxiliará não somente nas questões de tautologia, mas também em 90% das questões de Álgebra das Proposições. Se você possui dificuldades com Álgebra das Proposições, sugiro que assista à Terceira aula do Curso de Raciocínio Lógico Matemático disponível em meu site clicando aqui. Abraços galera. Até a próxima.

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