TECNICA M

TECNICA M El método de la técnica M nos permite solucionar casos en el que al menos una de las restricciones del problema es del tipo “≥” o “=”, no importando así el numero de restricciones. Lo más importante es saber plantear los problemas, identificar las restricciones, y sobre todas las cosas, saber qué modelo se usa para que tipo de restricciones. Desigualdad ≤ ≥ =

Variable que se agrega Si -Si + Ri Ri

Para resolver un problema de este tipo se deben de seguir lo siguientes pasos: Paso 1: Expresar en forma estándar el problema, por medio de las variables de holgura y artificiales. Paso 2: Si se está minimizando, en la función objetivo agregar una M positiva por cada variable artificial que se agrego en el paso 1; y si estamos maximizando agregar una M negativa por cada variable artificial. Paso 3: Igualar la función objetivo a cero (0). Paso 4: Construir la matriz del tablero, colocando en la primera fila todas las variables existentes en el problema, así como la solución; y colocando en la primera columna solamente la función objetivo, las variables de holgura positivas y las artificiales. Paso 5: En la fila de la función objetivo, realizar la siguiente operación si se está minimizando ∑(𝑅𝑖 )(𝑀) + 𝑋0 . Si estuviéramos maximizando la operación a realizar sería la siguiente ∑(𝑅𝑖 )(−𝑀) + 𝑋0 Paso 6. Si estamos minimizando, buscar el valor más positivo en la fila de la función objetivo que acompañe a la M, sin tomar en cuenta la columna de solución. Si se está maximizando se busca el más negativo que acompañe a la M en la misma fila. La columna donde se encuentre dicho valor es conocida como la columna pivote. “Si ya no existe valor positivo o negativo acompañado de M, pero aún hay valor positivo o negativo, se debe de seguir trabajando como un simplex normal.” Paso 7. Dividir cada uno de los elementos de la columna solución dentro de la columna pivote. Paso 8. De los resultados del paso 7, nos enfocamos en el resultado más pequeño de los positivos sin tomar en cuenta el cero, y vemos a que valor pertenece dentro de la columna pivote, dicho valor será conocido como elemento pivote.

Paso 9. Hacer cambio de variables donde se encuentra la intersección de fila y columna, donde se encuentra el elemento pivote, esto quiere decir que la variable que está en la columna pasa a substituir a la que está en la fila. Paso 10. Convertir en uno el elemento pivote obtenido en el paso 8, y los demás valores de la columna pivote convertirlos en cero a través de operaciones entre filas. Repetir los pasos del 6 al 10 hasta que no existan elementos negativos o positivos dependiendo el caso que se esté trabajando y en la intersección de la fila de la función objetivo y la solución el valor ya no contenga M.

Ejemplo Minimizar Z = 4𝑋1 + 𝑋2 Sujeto a: 3𝑋1 + 𝑋2 = 3 4𝑋1 + 3𝑋2 ≥ 6 𝑋1 + 2𝑋2 ≤ 4 𝑋1 ; 𝑋2 ≥ 0 SOLUCIÓN: Z = 4𝑋1 + 𝑋2 + M𝐴1 + M𝐴2 Z - 4𝑋1 - 𝑋2 - M𝐴1 - M𝐴2 = 0

Z 1 0 0 0

Z 𝐻1 𝐴1 𝐴2

Z 𝐻1 𝑋1 𝐴2

Z 𝐻1 𝐴1 𝐴2

Z 1 0 0 0

Z 1 0 0 0

𝑋1 0 0 1 0

𝑋1 7M-4 1 3 4

𝑋1 -4 1 3 4 𝑋2 4M-1 2 1 3

𝑋2 5/3M+1/3 5/3 1/3 5/3

𝑋2 -1 2 1 3 𝐻1 0 1 0 0 𝐻1 0 1 0 0

Sujeto a 3𝑋1 + 𝑋2 + 𝐴1 = 3 4𝑋1 + 3𝑋2 -𝑆1 + 𝐴2 = 6 𝑋1 + 2𝑋2 + 𝐻1 = 4

𝐻1 0 1 0 0 𝑆1 -M 0 0 -1 𝑆1 -M 0 0 -1

𝑆1 0 0 0 -1 𝐴1 0 0 1 0

𝐴1 -M 0 1 0 𝐴2 0 0 0 1

𝐴1 -7/3M+4/3 -1/3 1/3 -4/3

𝐴2 -M 0 0 1

Solución 0 4 3 6

Solución 9M (𝐴1 +𝐴2 )(M)+Z 4 3 6 𝐴2 0 0 0 1

Solución 2M+4 3 1 2

𝑋1 (-7M+4)+Z 𝑋1 (-1)+𝐻1 𝐴1 /3 𝑋1 (-4)+Z

Z 𝐻1 𝑋1 𝑋2

Z 1 0 0 0

Z 𝑆1 𝑋1 𝑋2

Z 1 0 0 0

𝑋1 0 0 1 0 𝑋1 0 0 1 0

𝑋0 = 17/5 = 3.4;

𝑋2 0 0 0 1 𝑋2 0 0 0 1

𝐻1 0 1 0 0

𝑆1 1/5 1 1/5 -3/5

𝐴1 -M+8/5 1 3/5 -4/5

𝐴2 -M-1/5 -1 -1/5 3/5

Solución 18/5 1 3/5 6/5

𝑋2 (-5/3M-1/3)+Z 𝑋2 (-5/3)+𝐻1 𝑋2 (-1/3)+𝑋1 𝐴2 /(5/3)

𝐻1 -1/5 1 -1/5 3/5

𝑆1 0 1 0 0

𝐴1 -M+7/5 1 2/5 -1/5

𝐴2 -M -1 2/5 0

Solución 17/5 1 2/5 9/5

𝑆1 (-1/5)+Z 𝐻1 𝑆1 (-1/5)+𝑋1 𝑆1 (3/5)+ 𝑋2

𝑋1 = 2/5 = 0.4;

𝑋2 = 9/5 = 1.8